会聚波面光场的衍射特性

郭福源; 李连煌; 郑华

doi:doi:10.3788/AOS202141.0526001

光学学报, 2021, 41 (5): 0526001, 网络出版: 2021-04-07

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Diffraction Characteristic of Light Field with Converging Wave Front

论文大纲

郭福源 ^*李连煌郑华

作者单位

福建师范大学光电与信息工程学院激光与光电子技术研究所, 光子技术福建省重点实验室, 医学光电科学与技术教育部重点实验室, 福建福州 350007

物理光学衍射理论倾斜因子能量守恒定律聚焦 physical optics diffraction theory inclination factor law of energy conservation focusing

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摘要

以能量守恒定律为基础分析一种会聚光场的衍射积分公式,推导出以一个衍射源参考波面为半球面的衍射积分公式的倾斜因子,给出一个计算焦平面上光场分布的表达式,并以虚拟矢量子波干涉解释会聚光场的衍射过程。根据满足正弦条件的聚焦物镜对光波波面的变换特性,给出平坦波面光场经过物镜聚焦后的焦面光场计算表达式,并以简单直角坐标偏振和简单柱面坐标偏振的拉盖尔-高斯光束聚焦特性为例说明该公式的应用。

Abstract

On the basis of the law of energy conservation, we analyzed a diffraction integral formula for the converging light field, derived an inclination factor of the diffraction integral formula for a semi-spherical reference wave front of the diffraction source, and suggested a formula for calculating the light field distribution on the focal plane. In addition, we explained the diffraction process of the converging light field by the interference process of suppositional vector wavelets. Then, according to the wave front transformation properties of focusing objective lens satisfying the sine condition, a calculation formula for the light field in focal plane which focuses from a planar wave front by the focusing objective lens was proposed. Finally, the applications of the above formulas were discussed through the focusing characteristics of the Laguerre-Gaussian beams with simple rectangular coordinate polarization and simple cylindrical coordinate polarization.

1 引言

会聚波面为聚焦光学系统中的常见波面,在考察单色会聚球面波通过圆孔衍射后在焦点附近的光场特性时,由于忽略了衍射源波面上倾斜因子的影响,惠更斯-菲涅耳(Huggens- Fresnel)原理^[1-2]由德拜(Debye)积分^[2-4]或里查德-沃耳夫(Richards-Wolf)衍射积分公式^[5]表达。

柱面坐标偏振光场由于具有一些如光镊子、粒子加速和高分辨率成像等潜在的特殊应用,光场表达和传输特性分析及其应用研究已成为热点课题^[6-11]。德拜积分或里查德-沃耳夫矢量衍射积分公式常被用于各类偏振光束聚焦特性的数值计算和模拟^[10-15],由于忽略了衍射积分公式中的观察方倾斜因子,基于数值计算的电场强度或光强分布图成为焦面光场的常用表达形式,但能够用于焦面光场特性分析的解析函数较少。

本文以矢量光场特性和行波场辐射能量守恒为基础分析适用于会聚光场特性分析的衍射积分公式,将分析衍射问题的衍射源参考面设定于半球形波面,将观察参考面设定于焦平面,推断出用于分析会聚光场焦平面特性的衍射积分公式中的观察方倾斜因子,观察方倾斜因子为观察方倾斜角余弦的平方根,并以虚拟矢量子波相干叠加解释会聚光场的衍射过程。

根据聚焦物镜对光波波面的变换功能,当入射平坦波面垂直于聚焦物镜的光轴时,满足正弦条件的聚焦物镜的变迹(或切趾)因子^[3,5]为物镜像方光线倾斜角余弦的平方根,基于此给出一种平坦波面光场经过满足正弦条件的聚焦物镜聚焦时的焦面光场表达式,并以一个简单直角坐标偏振LG₀₀模高斯(Gauss)光束和简单柱面坐标偏振LG₁₀模拉盖尔(Laguerre)-高斯光束^[9,16]的聚焦特性为例说明该公式的应用。

2 观察方倾斜因子的选择

根据惠更斯原理^[2]分析衍射过程,衍射源参考面Σ为会聚光场的半球形波面,波面曲率半径为R,曲率中心为O',观察参考面Σ'为焦平面处的平坦波面,它与直角坐标系的x'O'y'平面重合,如图1所示。

图 1. 会聚波面衍射过程示意图

Fig. 1. Schematic of the diffraction from converging wave front

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设衍射过程位于无源的各向同性均匀介质空间区域,波长为λ的光波在区域中的电场和磁场分布函数具有相同的表达形式,参考子波波矢k与衍射源参考点P处光波波矢k_s的夹角为衍射源方倾斜角θ_s,参考子波波矢k与观察参考点P'处光波波矢k₀的夹角为观察方倾斜角θ_o,并假设衍射积分公式的倾斜因子K(θ_s,θ_o)由衍射源方倾斜角θ_s和观察方倾斜角θ_o共同决定^[16],根据惠更斯-菲涅耳原理^[2],当衍射源参考点P与观察参考点P'之间的距离L≫λ时,观察参考面Σ'上P'点的光场分布函数U(P')可表达为

U (P') = \underset{Σ}{\int \int} U (P) \frac{\exp (i kL)}{i λL} K (θ_{s}, θ_{o}) d σ, (1)

式中:U(P)为衍射源参考面Σ上的光场分布函数,i为虚数单位,k为光波的波数,dσ为衍射源参考面的微面元。

若焦平面Σ'上的光场有效径向尺寸r'_max较小,衍射源波面Σ的曲率半径R≫2r $'_{\max}^{2}$ /λ,衍射源参考点P处的光波波矢k_s与z轴的夹角为θ',可借鉴瑞利判断简化衍射源参考点P(Rsin θ'cos φ,Rsin θ'sin φ,-Rcos θ')与观察参考点P'(r'cos φ',r'sin φ',0)之间的距离L的表达式,即L≈R-r'sin θ'cos(φ-φ'),简化引起的误差远小于λ/4。当R≫r'_max时,衍射源方倾斜角θ_s≈0,观察方倾斜角θ_o≈-θ',可以认为倾斜因子K(θ_s,θ_o)几乎与衍射源方倾斜角θ_s无关,只由观察方倾斜角θ_o计算,假设K(θ_o)为偶函数,有K(θ_s,θ_o)≈K(θ_o)≈K(θ')。

由于衍射源微面元dσ=R²sin θ'dθ'dφ,由(1)式知,观察平面Σ'上的光场径向分布函数U(r',φ')可由衍射源参考半球面上的光场角向分布函数U(R,θ',φ)表达为

U (r', φ') = \frac{R \exp (i kR)}{i λ} \overset{π / 2}{\int_{0}} \overset{2 π}{\int_{0}} K (θ') U (R, θ', φ) \times \exp [- i kr' \sin θ' \cos (φ' - φ)] \sin θ' d φ d θ' 。 (2)

采用场分布函数U_m(r')表达两类偏振光场,下标m标注偏振类型^[16]。m=0表示简单直角坐标偏振光场,U_m(r')代表光场的x轴或y轴分量,或x轴分量与y轴分量的组合;m=1表示光场为简单柱面坐标偏振光场,U_m(r')代表光场的径向或角向分量,或径向分量和角向分量的组合。根据m阶贝塞尔(Bessel)函数J_m(α)的积分形式表达式^[17-19],观察参考平面Σ'上光场的径向空间频率表达式f'_r=sin θ'/λ及其微分形式表达式df'_r=(cos θ'/λ)dθ',观察平面Σ'上的两类偏振光场的径向分布函数U_m(r')可由衍射源参考半球面Σ上的光场角向分布函数U_m(R,θ')表达为

\begin{matrix} U_{m} (r') = 2 π Rλ \exp (i Φ) \overset{\infty}{\int_{0}} \frac{K (θ') U_{m} (R, θ')}{\cos θ'} circ (λf'_{r}) \times J_{m} (2 π r' f'_{r}) f'_{r} d f'_{r}, (3) \end{matrix}

式中,Φ=kR-(m+1)π/2为相位延迟,θ'=arcsin(λf'_r),用于θ'和f'_r之间的变量替换, circ(λf'_r)为圆孔函数。

衍射源参考面为半球形波面,倾斜角θ'≤π/2,焦面光场的径向空间频率f'_r≤1/λ,(3)式中的圆孔函数circ(λf'_r)=1。

根据数学概念上的空间频谱定义,焦面光场的径向空间频谱S_m(f'_r)为场分布函数U_m(r')的m阶汉克尔(Hankel)变换,根据汉克尔变换^[9,16,20]的性质,由(3)式知,焦平面光场的径向空间频谱可表达为

S_{m} (f'_{r}) = \frac{RλK (θ') U_{m} (R, θ') \exp (i Φ)}{\cos θ'} 。 (4)

根据帕斯瓦尔(Parseval)定理^[1],基于参考平面上光场径向分布函数U_m(r')计算的焦面光场总功率与基于数学概念上的径向空间频谱分布函数S_m(f'_r)计算的焦面光场总功率等效,由基于径向空间频谱分布函数计算的光场总功率表达式^[16]和(4)式知,在观察参考平面Σ'上,焦面光场总功率P_OP的计算式为

P_{OP} = 2 π C_{0} \overset{\infty}{\int_{0}} \frac{R^{2} λ^{2} K^{2} (θ') {|U_{m} (R, θ')|}^{2}}{co s^{2} θ'} f'_{r} d f'_{r}, (5)

式中:C₀常数^[9,16], $|U_{m} (R, θ')|$ 为光场分布函数U_m(R,θ')的模。

衍射源波面为半球面,当波面曲率半径R≫λ时,波面的尺寸远大于λ,衍射源微面元dσ上的能流密度可由坡印亭(Poynting)矢量^[2,21]时间平均值计算,衍射源微面元上的光场功率dP_DS=C₀ ${|U_{m} (R, θ')|}^{2}$ dσ,由微面元dσ、空间频率f'_r及其微分形式df'_r的表达式知,衍射源参考面Σ上的光场总功率P_DS可表达为

P_{DS} = 2 π R^{2} λ^{2} C_{0} \overset{\infty}{\int_{0}} \frac{{|U_{m} (R, θ')|}^{2}}{\cos θ'} f'_{r} d f'_{r} 。 (6)

由(5)式和(6)式知,当且仅当衍射积分公式的倾斜因子K(θ')=cos¹^/²θ'时,焦平面上的光场总功率P_OP等于半球形衍射源参考面上的光场总功率P_DS,满足能量守恒定律。

而当采用德拜积分或里查德-沃耳夫衍射积分公式分析焦面光场特性时,由于未考虑子波干涉叠加时的矢量特性,忽略了观察方倾斜角θ_o对倾斜因子K(θ_s,θ_o)的影响,认为倾斜因子K(θ')=1,由(5)式和(6)式知,基于K(θ')=1计算的焦平面上的光场总功率P_OP大于半球形衍射源参考面上的光场总功率P_DS。

可见,对于半球形波面衍射源,在分析焦面光场特性时,由于衍射源方倾斜角θ_s≈0,倾斜因子K(θ_s,θ_o)由观察方倾斜因子K(θ_o)表达,观察方倾斜因子的合理表达式为K(θ_o)=cos¹^/²θ_o,基于该倾斜因子表达的衍射场符合行波场辐射能守恒定律。

作为一种解释,本文以矢量光场干涉特性、惠更斯-菲涅耳原理和能量守恒定律为基础,认为在观察参考点P'处参加干涉叠加的虚拟子波为矢量形式的子波,参考子波波矢k方向、振幅为u(θ_o)的矢量子波对P'处观察参考波面微面元dσ'法线(波矢k_o方向)上的能流贡献等效于振幅为u(θ_o)cos¹^/²θ_o标量子波的贡献。以观察参考点P'处振动方向为O'y'平面内的某个子波电场E为例,由于E、H和k三者互相垂直,当子波波矢k与z轴的夹角为θ_o时,子波磁场H在x'O'z'平面内,H与z轴的夹角为π/2-θ_o,不同衍射源参考点P产生的子波波矢k方向不同,即使子波电场E方向相同,子波磁场H方向不同,在干涉叠加时的贡献也不同。若子波波矢k方向振幅为u(θ_o)的矢量子波能流密度为s(θ_o),则它对P'处观察参考波面微面元dσ'法线方向的能流贡献为能流密度在微面元法线上的分量s(θ_o)cos θ_o,与振幅为u(θ_o)cos¹^/²θ_o的标量子波的能流贡献等效,表现为观察方倾斜因子K(θ_o)=cos¹^/²θ_o。

可见,衍射过程可以认为是虚拟矢量子波相干叠加的过程。

3 平坦波面光场的聚焦特性

设像方焦距为f'的聚焦物镜的物、像双方介质均为空气,光场径向分布函数为U_m(r)的平坦波面简单直角坐标偏振光场或简单柱面坐标偏振光场与聚焦物镜的物方焦面Σ_F重合,如图1所示。若U_m(r)表达的平坦波面光场的径向尺寸较大,聚焦物镜物方主面位于物方焦面光场的菲涅耳衍射深区,聚焦物镜物方主面处的光场径向分布函数U_m(r_H)可表达为U_m(r_H)=U_m(r)exp(ikf')。

若聚焦物镜的成像条件满足正弦条件,物方焦面径向坐标r与像方光线倾斜角θ'的关系为r=f'sin θ',聚焦物镜的变迹因子^[3,5]a(θ')=cos^1/2θ',根据透镜对波面的变换特性,平坦波面光场经过聚焦物镜变换后的光场波面为立体角小于2π球面度的球冠面,当参考波面Σ的顶点与聚焦物镜像方主点重合时,波面曲率半径R=f',波面曲率中心与聚焦物镜的像方焦点重合。若聚焦物镜的数值孔径为NA,聚焦物镜的最大像方孔径角θ'_max=arcsin(NA),则参考波面Σ上的光场分布函数U_m(R,θ')可由聚焦物镜的变迹因子a(θ')和物方焦面处的光场分布函数U_m(r)表达为

U_{m} (R, θ') = circ (\frac{θ'}{θ'_{\max}}) U_{m} (r) co s^{1 / 2} θ' \exp [i k (f' + s)], (7)

式中:s为聚焦物镜物、像双方主面之间的光程。

当聚焦物镜的焦距f'与像方焦面光场的有效径向尺寸r'_max关系满足f'≫2r $'_{\max}^{2}$ /λ时,聚焦物镜像方焦面的光场波面可近似为小平面,根据满足正弦条件的聚焦物镜物、像双方的坐标变换关系,像方焦面的空间频率f'_r与物方焦面的径向坐标r的关系为f'_r=r/(λf'),由于倾斜因子K(θ')=cos¹^/²θ',由(3)式和(7)式知,聚焦物镜像方焦面的光场径向分布函数U_m(r')可表达为

U_{m} (r') = \frac{2 π}{λf'} \exp (i Φ_{1}) \overset{\infty}{\int_{0}} circ (\frac{r}{r_{NA}}) \times U_{m} (r) J_{m} (\frac{2 π r' r}{λf'}) r d r, (8)

式中:Φ₁=k(2f'+s)-(m+1)π/2为相位延迟,r_NA=NA·f'为由聚焦物镜数值孔径NA和焦距f'决定的物方焦面光场最大径向尺寸。

当聚焦物镜物方焦面光场的最大径向尺寸大于r_NA时,聚焦物镜的通光孔径限制参加变换的光场径向尺寸,聚焦物镜像方焦面的光场分布函数U_m(r')为circ(r/r_NA)U_m(r)的m阶汉克尔变换形式。

当聚焦物镜物方焦面光场的最大径向尺寸小于r_NA时,圆孔函数circ(r/r_NA)=1,根据满足正弦条件的聚焦物镜物、像双方的坐标变换关系,物方焦面的空间频率f_r与像方焦面的径向坐标r'的关系为f_r=r'/(λf'),聚焦物镜像方焦面的光场径向分布函数U_m(r')由物方焦面光场的径向频谱函数表达为

U_{m} (r') = \frac{2 π}{λf'} \exp (i Φ_{1}) \overset{\infty}{\int_{0}} U_{m} (r) J_{m} (2 π r f_{r}) r d r 。 (9)

由帕斯瓦尔(Parseval)定理^[1]、(9)式和空间频率f_r与径向坐标r'的关系式知,基于径向分布函数U_m(r')计算的聚焦物镜像方焦面光场总功率等于基于径向分布函数U_m(r)计算的聚焦物镜物方焦面光场总功率,满足能量守恒定律。

(8)式和(9)式与傅里叶光学导论^[1]中基于菲涅耳或傍轴近似条件下表达的傅里叶变换透镜的传输特性^[1]基本一致,(9)式与满足正弦条件的准直物镜在数值孔径大于物方焦面最大径向空间频率与波长乘积时的物、像双方焦面光场关系式^[16]一致。可见,观察方倾斜因子K(θ')=cos¹^/²θ'具有合理性,它与聚焦物镜的变迹因子a(θ')=cos¹^/²θ'将物、像双方焦面光场的m阶汉克尔变换关系从傍轴领域推广到满足正弦条件的聚焦物镜领域。

若聚焦物镜物方焦面处的光场为平坦波面的简单直角坐标偏振LG₀₀模或简单柱面坐标偏振LG₁₀模拉盖尔-高斯光束^[22]束腰光斑,光场分布函数表达为

U_{m} (r) = C_{m, 1} (\frac{1}{ω_{0}}) {(\frac{r}{ω_{0}})}^{m} \exp (- \frac{r^{2}}{ω_{0}^{2}}), (10)

式中:C_m_,1为常数,ω₀为基模高斯光束束腰光斑半径。

由(8)式和(10)式知,聚焦物镜像方焦面的光场分布函数U_m(r')可表达为

U_{m} (r') = \frac{2 π C_{m, 1}}{λf'} \exp (i Φ_{1}) \overset{r_{NA}}{\int_{0}} {(\frac{r}{ω_{0}})}^{m + 1} \times \exp (- \frac{r^{2}}{ω_{0}^{2}}) J_{m} (\frac{2 π r' r}{λf'}) d r 。 (11)

当聚焦物镜的数值孔径NA≫ω₀/f',且聚焦物镜物方焦面的基模高斯光束瑞利距离z_R≫f'时,由(9)式和(10)式知,聚焦物镜像方焦面处的光场分布U_m(r')可表达为

U_{m} (r') = C_{m, 1} \exp (i Φ_{1}) (\frac{1}{ω'_{0}}) {(\frac{r'}{ω'_{0}})}^{m} \exp (- \frac{r'^{2}}{ω'_{0}^{2}}), (12)

式中,ω'=λf'/(πω₀)为聚焦物镜像方焦面处的基模高斯光束束腰光斑半径。

(12)式与傍轴条件下的高斯光束变换特性一致,这表明观察方倾斜因子由观察方倾斜角余弦平方根表达具有合理性。

4 结论

根据矢量光场特性、能量守恒定律和空间频谱理论分析衍射积分公式,推断出用于计算半球形波面衍射源的焦面光场分布的衍射积分公式倾斜因子K(θ_s,θ_o),由观察方倾斜角θ_o表达为K(θ_s,θ_o)=cos¹^/²θ_o,并基于此给出计算会聚波面的焦面光场分布的表达式,表明衍射过程可以认为是虚拟的矢量子波相干叠加的过程。结合聚焦物镜对光场的变换功能,给出平坦波面光场经过满足正弦条件的聚焦物镜后的焦面光场表达式,当物方焦面上的光场最大径向尺寸小于NA·f'时,聚焦物镜像方焦面光场分布函数与傍轴条件下的聚焦物镜像方焦面光场分布函数一致,进一步论证了观察方倾斜因子为观察方倾斜角余弦平方根的合理性。

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1 引言

2 观察方倾斜因子的选择

图 1. 会聚波面衍射过程示意图

Fig. 1. Schematic of the diffraction from converging wave front

3 平坦波面光场的聚焦特性

4 结论

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