0 引言

宽光谱光学系统在宽波段范围内具有良好的空间分辨率以及光谱分辨率，并且能够获取更多目标信息.对于中小口径、大相对孔径的光学系统，透射式结构形式仍然存在着很大的性能优势^[1-2].对于宽光谱光学系统来说，如何对系统进行消色差是要解决的关键问题之一.西南技术物理研究所曲锐等^[3]设计出一款宽波段大相对孔径光学系统.波段范围为0.4~1.7 μm，论述了各光学玻璃材料的使用与替换方法，利用四种普通光学玻璃材料，实现了宽波段复消色差；中科院上海物理研究所桂立^[4]等设计了一款可见近红外高光谱物镜.该系统波段范围为365~1 000 nm，通过对玻璃材料的使用，物镜在宽波段内的色差得到了良好校正.中科院长光所刘娟娟^[5]等设计出一款300~1 000 nm宽波段光学系统，该系统采取反远距结构型式，利用棱镜进行三路分光，通过合理选材达到消色差要求，利用移动透镜来完成消热差.以上研究都是从初级色差理论出发，对消色差方程进行求解，最终通过对系统合理选材以及光焦度的合理分配，实现宽波段的消色差.

为了实现在宽波段范围对不同物距的物体成像，在设计光学系统时，需要对宽光谱光学系统进行内调焦设计.杭州照相机械研究所李晓艳等^[6]设计了一款内调焦摄远镜头，焦距为500 mm，物距从无穷远到5 m，利用远距型结构形式来获取较小的远摄比.最近，浙江大学设计出一款高精度的自动调焦系统，此系统的物距调焦范围从无穷远至50 mm处，系统采用图像处理法，成像清晰度良好，调焦速度极快，能够达到10 s之内.内调焦光学系统独特的调焦特性大大改善了光学系统的性能，而对于长焦距的内调焦光学系统，其二级光谱很难矫正^[7].因此，实现对内调焦宽光谱光学系统的复消色差是需要解决的关键问题.

在实现光学系统的宽波段清晰成像的同时，具有内调焦功能，可使系统的应用更为广泛，也大大提升系统的应用环境.光学系统中，各片透镜产生的色差量不仅与透镜光焦度、所用材料色散性质有关，还与它在系统中所处的位置有关.同时，内调焦的光学系统需要透镜(组)在光轴上移动，这也导致系统中的色差发生变化.因此，色差的校正在宽波段以及内调焦光学系统中尤为重要并且难度也较大.本文在设计宽光谱光学系统的基础上实现系统的内调焦，选取相应玻璃材料，并对内调焦消色差理论进行了数学模型的建立和公式推导.最后对成像质量进行具体分析，为内调焦宽光谱光学系统的设计提供了合理方法与依据.

1 宽波段复消色差理论

透射式系统的色差主要来源于材料的色散^[8].光学系统在校正位置色差之后还存在二级光谱，直接影响系统的成像质量^[9].系统的二级光谱由两种玻璃材料的相对色散系数之差与阿贝系数之差共同决定.一般来说，系统既满足光焦度要求又要校正二级光谱至少需要用三种玻璃材料^[10].系统的总光焦度、位置色差、二级光谱表达式分别为

1 $ {\varphi _1} + \frac{{{H_2}}}{{{H_1}}} + \frac{{{H_3}}}{{{H_1}}}{\varphi _3} = \mathit{\Phi } $

2 $ \frac{{{\varphi _1}}}{{{\nu _1}}} + {\left( {\frac{{{H_2}}}{{{H_1}}}} \right)^2}\frac{{{\varphi _2}}}{{{\nu _2}}} + {\left( {\frac{{{H_3}}}{{{H_1}}}} \right)^2}\frac{{{\varphi _3}}}{{{\nu _3}}} = {C_{\rm{I}}} $

3 $ \frac{{{\varphi _1}}}{{{\nu _1}}}{P_1} + {\left( {\frac{{{H_2}}}{{{H_1}}}} \right)^2}\frac{{{\varphi _2}}}{{{\nu _2}}}{P_2} + {\left( {\frac{{{H_3}}}{{{H_1}}}} \right)^2}\frac{{{\varphi _3}}}{{{\nu _3}}}{P_2} = {C_{{\rm{II}}}} $

式中，φ₁、φ₂、φ₃分别为三块透镜的光焦度；H₁、H₂、H₃分别表示三种玻璃材料上的光线入射高度；P₁、P₂、P₃分别为三块透镜的相对色散系数；ν₁、ν₂、ν₃分别为三块透镜的阿贝数；Φ为系统的总光焦度；C_Ⅰ为位置色差；C_Ⅱ为二级光谱.

根据式(1)~(3)光学系统对位置色差以及二级光谱的校正，有C_Ⅰ=0、C_Ⅱ=0.发现选取相对色散系数接近，而阿贝系数相差较大的玻璃材料是校正色差和二级光谱的重要前提^[11].但是一般玻璃材料的相对部分色散近似与阿贝系数呈线性关系，这与系统校正位置色差所要求的阿贝系数值相差越大越好相矛盾，因此系统要实现复消色差需要加入特殊色散玻璃^[12-13].

选取国内部分玻璃材料，计算它们的相对色散系数P以及阿贝系数ν.绘制玻璃材料图，如图 1所示.

图 1. P－ν distribution of glass materials

Fig. 1. P－ν distribution of glass materials

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从图 1可以看出H-ZPK5和CaF₂的分布远离正常玻璃直线，具有特殊的色散特性.但由于CaF₂的可加工性和化学稳定性差，因此在设计时使用H-ZPK5玻璃材料.利用H-ZPK5和其他玻璃材料的合理组合能够很好地校正位置色差以及二级光谱.

2 内调焦宽光谱复消色差原理

在内调焦光学系统中，一组元透镜沿光轴做轴向运动，以此保证处于远近不同位置的物体能够成清晰像.色差问题与光线入射到透镜的高度有着直接关系，而对于内调焦系统，调焦组一定要沿光轴做轴向运动才能保证对不同位置的物体进行观测.但是，透镜(组)在移动过程中必然影响到光线入射到透镜(组)的高度.因此，要保证在物距变化过程中系统的色差不会受到影响, 实现在物距变化过程中，光学系统成像质量几乎不发生变化满足像质要求^[14].

轴向色差公式为

4 $ \frac{{{\mathit{\Phi }_1}}}{{{\nu _{1{\rm{combine}}}}}} \cdot h_1^2 + \frac{{{\mathit{\Phi }_2}}}{{{\nu _{2{\rm{combine}}}}}} \cdot h_2^2 + \frac{{{\mathit{\Phi }_3}}}{{{\nu _{3{\rm{combine}}}}}} \cdot h_3^2 = 0 $

式中，Φ₁、Φ₂、Φ₃分别代表每个组元的光焦度；ν_1combine、ν_2combine、ν_3combine分别表示各个组元中组合阿贝常数.组合阿贝常数的关系式为

5 $ {\nu _{{\rm{combine}}}} = \frac{{{\mathit{\Phi }_{\rm{a}}} + {\mathit{\Phi }_{\rm{b}}} + {\mathit{\Phi }_{\rm{c}}}}}{{\frac{{{\mathit{\Phi }_{\rm{a}}}}}{{{\nu _{\rm{a}}}}} + \frac{{{\mathit{\Phi }_{\rm{b}}}}}{{{\nu _{\rm{b}}}}} + \frac{{{\mathit{\Phi }_{\rm{c}}}}}{{{\nu _{\rm{c}}}}}}} $

式中，Φ_a、Φ_b、Φ_c是透镜组中单个透镜的光焦度；ν_a、ν_b、ν_c表示单个透镜的阿贝常数.

在系统内调焦过程中各个组件的光焦度与色散系数不会改变，只要保证主光线高度平方的比值不发生改变，那么色差就不会改变.因此，需满足条件

6 $ \frac{{h_{{\rm{o}}1}^2}}{{h_1^2}} = \frac{{h_{{\rm{o}}2}^2}}{{h_2^2}} = \frac{{h_{{\rm{o}}3}^2}}{{h_3^2}} $

式中，h₁、h₂、h₃分别代表有限远物距L时主光线在各组元上的边缘高度；h_o1、h_o2、h_o3分别代表无限远物距时主光线在各组元透镜上的边缘高度.

在得知内调焦消色差条件之后，需对系统在物距不同情况下的参数进行求解.分析在不同物距下各参数需满足怎样关系才能保证对系统进行色差校正.

2.1 三组元有限远物距参数求解

首先，将物距设为有限远L，光学系统由三组元结构组成，对这种情况进行各参数求解及公式推导.其结构示意图如图 2.

图 2. Three groups of finite distance structure

Fig. 2. Three groups of finite distance structure

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图 2中，存在关系式

7 $ {u_2} = {u_1} - {\mathit{\Phi }_1}{h_1} $

式中,

8 $ {u_1} = \frac{{{h_1}}}{L} $

对h₂进行求解

9 $ {h_2} = {h_1} + u_1^\prime {t_1} $

整理可得

10 $ {h_2} = {h_1} + \left( {\frac{{{h_1}}}{L} - {\mathit{\Phi }_1}{h_1}} \right) \cdot {t_1} $

11 $ \frac{{h_2^2}}{{h_1^2}} = \frac{{{{\left( {L + {t_1} - {\mathit{\Phi }_1}L{t_1}} \right)}^2}}}{{{L^2}}} $

同样推导可得

12 $ u_2^\prime = {u_1} - {\mathit{\Phi }_1}{h_1} - {\mathit{\Phi }_2}{h_1} + {\mathit{\Phi }_2}{\mathit{\Phi }_1}{h_1} \cdot {t_1} - {\mathit{\Phi }_2}{u_1} \cdot {t_1} $

13 $ {h_3} = {h_2} + u_2^\prime {t_2} $

14 $ {h_3} = {h_1} + \left( {\frac{{{h_1}}}{L} - {\mathit{\Phi }_1}{h_1}} \right) \cdot {t_1} + \left\{ {\frac{{{h_1}}}{L} - {\mathit{\Phi }_1}{h_1} - {\mathit{\Phi }_2}\left[ {{h_1} + \left( {\frac{{{h_1}}}{L} - {\mathit{\Phi }_1}{h_1} \cdot {t_1}} \right.} \right]} \right\} \cdot {t_2} $

最终得到

15 $ \frac{{{h_3}}}{{{h_1}}} = \frac{{ - L + {t_1} - {\mathit{\Phi }_1}L{t_1}}}{L} + \frac{{\left( {1 - {\mathit{\Phi }_1}L - {\mathit{\Phi }_2}L - {\mathit{\Phi }_2}{t_1} + {\mathit{\Phi }_1}{\mathit{\Phi }_2}L{t_1}} \right) \cdot {t_2}}}{L} $

其中，各角度数值大小逆时针为正，顺时针为负.u₁、u₂分别表示有限远物距L时第一组元的物、像方孔径角；u₂、u'₂分别表示第二组元的物、像方孔径角；t₁、t₂分别表示第一组元与第二组元距离以及第二组元与第三组元距离；Φ₁、Φ₂分别表示有限远物距L下第一、二组元的光焦度.

2.2 三组元无限远物距参数求解

对物距为无限远的情况进行具体分析，其结构示意图如图 3.

图 3. Three groups of infinite distance structure

Fig. 3. Three groups of infinite distance structure

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根据式(7)~(12)推理过程可得

16 $ {{u'}_{{\rm{o2}}}} = - {\mathit{\Phi }_1}{h_{{\rm{o1}}}} - {\mathit{\Phi }_2}{h_{{\rm{o1}}}} + {\mathit{\Phi }_2}{\mathit{\Phi }_1}{h_{{\rm{o}}1}}{t_{{\rm{o1}}}} $

17 $ {h_{{\rm{o}}2}} = \frac{{ - u_{{\rm{o}}2}^\prime - {\mathit{\Phi }_1}{h_{{\rm{o}}1}}}}{{{\mathit{\Phi }_2}}} $

那么

18 $ \frac{{h_{{\rm{o}}2}^2}}{{h_{{\rm{o1}}}^2}} = \frac{{u_{{\rm{o}}2}^\prime }}{{\mathit{\Phi }_2^2}}\frac{1}{{h_{{\rm{o1}}}^2}} + \frac{{2u_{{\rm{o}}2}^\prime }}{{{\mathit{\Phi }_2}}}\frac{{{\mathit{\Phi }_1}}}{{{\mathit{\Phi }_2}}}\frac{1}{{{h_{{\rm{o}}1}}}} + \frac{{\mathit{\Phi }_1^2}}{{\mathit{\Phi }_2^2}} $

化简最终得到

19 $ \frac{{h_{{\rm{o}}2}^2}}{{h_{{\rm{o1}}}^2}} = {\left( { - 1 + {\mathit{\Phi }_1}{t_{{\rm{o}}1}}} \right)^2} $

同理可以得到

20 $ \frac{{{h_{{\rm{o}}3}}}}{{{h_{{\rm{o}}1}}}} = 1 - {\mathit{\Phi }_1}{t_{{\rm{o}}1}} + \left( { - {\mathit{\Phi }_1} - {\mathit{\Phi }_2} + {\mathit{\Phi }_1}{\mathit{\Phi }_2}{t_{{\rm{o}}1}}} \right){t_{{\rm{o}}2}} $

其中，u'_o2表示物距无限远时第二组元的像方孔径角；t_o1、t_o2分别代表无限远物距情况下第一组元与第二组元距离以及第二组元与第三组元距离；Φ₁、Φ₂分别是无限远物距下第一、二组元的光焦度.

2.3 内调焦消色差公式推导

将求解出的各参数代入满足内调焦消色差的关系中，可以精确得出内调焦光学系统对色差校正的各组元移动距离.

将式(11)和(19)代入式(6)化简可得

21 $ \left( {1 - \frac{1}{{{\mathit{\Phi }_1}L}}} \right){t_1} = {t_{{\rm{o1}}}} $

式(21)即为无限远物距时透镜组1与透镜组2之间距离t_o1与有限远物距时透镜组1与透镜组2之间距离t₁所需满足的关系式.

将式(15)和(20)代入式(6)化简可得

22 $ {t_{{\rm{o}}2}} = \left[ {\frac{{1 - {\mathit{\Phi }_2}\left( {L + {t_1}} \right) + {\mathit{\Phi }_1}L\left( { - 1 + {\mathit{\Phi }_2}{t_1}} \right)}}{{ - {\mathit{\Phi }_2}\left( {L + {t_1}} \right) + {\mathit{\Phi }_1}L\left( { - 1 + {\mathit{\Phi }_2}{t_1}} \right)}}} \right] \cdot {t_2} $

式(22)即为无限远物距时透镜组2与透镜组3之间距离t_o2与有限远物距L时透镜组2与透镜组3之间距离t₂所需满足的关系式.

在分别得到t₁与t_o1和t₂与t_o2的关系后，再对t₃以及t_o3进行求解，得到

23 $ {t_{\rm{o3}}} = \frac{1}{{{\mathit{\Phi }_3}}} + \frac{1}{{{\mathit{\Phi }_3}}} \cdot \frac{{1 - {\mathit{\Phi }_1}L - {\mathit{\Phi }_2}L - {\mathit{\Phi }_2}{t_{{\rm{o1}}}} + {\mathit{\Phi }_1}{\mathit{\Phi }_2}L{t_{{\rm{o1}}}}}}{{A + B}} $

式中,

24 $ A = - 1 + {\mathit{\Phi }_1}L + {\mathit{\Phi }_2}L + {\mathit{\Phi }_3}L + {\mathit{\Phi }_2}{t_{{\rm{o1}}}} + {\mathit{\Phi }_3}{t_{{\rm{o1}}}} - {\mathit{\Phi }_1}{\mathit{\Phi }_2}L{t_{{\rm{o1}}}} - {\mathit{\Phi }_1}{\mathit{\Phi }_3}L{t_{{\rm{o1}}}} $

25 $ B = {\mathit{\Phi }_3}{t_{{\rm{o2}}}} - {\mathit{\Phi }_1}{\mathit{\Phi }_3}L{t_{{\rm{o2}}}} - {\mathit{\Phi }_2}{\mathit{\Phi }_3}L{t_{{\rm{o2}}}} - {\mathit{\Phi }_2}{\mathit{\Phi }_3}{t_{{\rm{o1}}}}{t_{{\rm{o2}}}} + {\mathit{\Phi }_1}{\mathit{\Phi }_2}{\mathit{\Phi }_3}L{t_{{\rm{o1}}}}{t_{{\rm{o2}}}} $

同理得出

26 $ {t_3} = \frac{1}{{{\mathit{\Phi }_3}}} + \frac{1}{{{\mathit{\Phi }_3}}}.\frac{{ - {\mathit{\Phi }_1} - {\mathit{\Phi }_2} + {\mathit{\Phi }_1}{\mathit{\Phi }_2}{t_1}}}{D} $

式中,

27 $ D = {\mathit{\Phi }_1} + {\mathit{\Phi }_2} + {\mathit{\Phi }_3} - {\mathit{\Phi }_1}{\mathit{\Phi }_2}{t_1} - {\mathit{\Phi }_1}{\mathit{\Phi }_3}{t_1} - {\mathit{\Phi }_2}{\mathit{\Phi }_3}{t_2} - {\mathit{\Phi }_2}{\mathit{\Phi }_3}{t_1} + {\mathit{\Phi }_1}{\mathit{\Phi }_2}{\mathit{\Phi }_3}{t_1}{t_2} $

式中，t_o3表示物距为无限远时透镜组3到像面的距离；t₃表示物距为L时透镜组3到像面的距离;

经过公式推导，掌握了内调焦光学系统消色差需满足条件，并在此基础上得出对系统进行消色差各组元之间距离的关系.通过关系表达式，可以对内调焦光学系统中组元进行定量移动，同时给出具体参数后，也能清楚掌握每组元对内调焦系统的影响程度.这对接下来光学系统实现内调焦设计有了更好的理论基础与保障.

3 实例验证

内调焦宽光谱光学系统的具体参数如表 1所示，其工作波段为420~900 nm，覆盖了完整可见光与近红外波段.

首先，设计的光学系统结构形式是由具有正光焦度的三组元组成，物距为200 m和200 km时其简易结构示意图如图 4所示.

图 4. Simple diagram of initial structure

Fig. 4. Simple diagram of initial structure

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图 5~9为各个组元焦距变化对系统内调焦过程中组元之间距离变化量的影响.f'₁、f'₂、f'₃分别代表第一、二、三组元的焦距；dt₁、dt₂、dt₃分别表示第一、二、三组元在内调焦过程中的移动量.从图 5~7发现随着f'₁增大dt₁的绝对值随之增大，同时f'₁与dt₂和dt₃分别呈反比与正比关系.

图 5. The relationship between f'₁ and dt₁

Fig. 5. The relationship between f'₁ and dt₁

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图 6. The relationship between f'₁ and dt₂

Fig. 6. The relationship between f'₁ and dt₂

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图 7. The relationship between f'₁ and dt₃

Fig. 7. The relationship between f'₁ and dt₃

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图 8. The relationship between f'₂、f'₃ and dt₂

Fig. 8. The relationship between f'₂、f'₃ and dt₂

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图 9. The relationship between f'₂、f'₃ and dt₃

Fig. 9. The relationship between f'₂、f'₃ and dt₃

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在实际设计内调焦光学系统时，尽量移动少量组元，这样有利于后续的装调，并且也能减少误差.本文主要考虑移动第一组元，即满足少量移动组元的要求，又对距离参数变化有更好的控制.在系统具体设计过程中合理地对每组元光焦度进行分配，尽可能保证内调焦过程dt₁的变化数值比较大，dt₂、dt₃的变化数值比较小.在内调焦过程中只移动t₁的距离，而忽略t₂、t₃的移动，并且实现系统色差的变化不大.这样既满足具体参数要求，同时也能很好地控制像质.

对dt₂与dt₃进行分析.dt₂随着f'₂、f'₃的增加逐渐变小；dt₃则随着f'₂、f'₃的增加逐渐变大.但是可以看到f'₃对dt₃的影响并不大，所以控制一个比较小的f'₂数值来实现一个比较小的dt₃.f'₂数值的减少对dt₂的数值变化不利，所以这里采用增大f'₃数值方式对dt₂的数值进行控制.进而得到一个比较小的dt₂与dt₃数值，同时合理控制f'₁的数值.

结合以上分析，给出第一、二、三组元的焦距见表 2.

在初始结构确定之后，对该光学系统进行具体设计分析.设计采取三组元结构形式，每组元都由两块单透镜组成.在整体结构形式确定后，基于消色差基本理论，选取合理玻璃材料，本文设计选取H-ZPK5、TF3、H-LAK12和H-LAK61四种玻璃材料，利用H-ZPK5材料的特殊色散特性与其余三种玻璃材料合理搭配，各个玻璃的相对色散相差不大而阿贝常数之差却较大，能很好地对系统中存在的色差进行校正.并且对每组元透镜进行合理光焦度分配，在不同物距的情况下，对系统进行内调焦设计，给定不同情况下每组元透镜之间的距离.根据式(21)~(27)，以物距为200 m为例，根据公式算出系统初始结构的第一组元、第二组元以及第三组元的移动量分别为0.071 2 mm、0.017 8 mm、0.017 8 mm.

当物距由20 m到200 km范围变化时，其结构示意图如图 10所示.

图 10. Schematic diagram of system structure with different object distances

Fig. 10. Schematic diagram of system structure with different object distances

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对该系统进行整体分析，其像质如图 11~13所示.

图 11. The system MTF with different object distances

Fig. 11. The system MTF with different object distances

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图 12. Diagram of object distance and position of the first component

Fig. 12. Diagram of object distance and position of the first component

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图 13. Chromated spherical aberration with different object distances

Fig. 13. Chromated spherical aberration with different object distances

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图 11为调制传递函数(Modulation Transfer Function, MTF)曲线，可以看出光学系统在奈奎塞特频率，即N_r=$\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}\;{\rm{pixel}}}}$=145 lp/mm处，全视场内的MTF>0.4，满足成像质量要求.图 12中L表示物距，t₁表示第一组元到第二组元的距离.从图中可以看出，物距从200 m到1 km相对于1 km到200 km过程中第一组元的移动比较明显，但总体来说，在物距变化中，第一组元的移动量数值都很小.图 13色球差曲线中，光学系统的位置色差和二级光谱得到了良好的校正，从图 13(a)、(b)、(c)、(e)和(f)得到在0.707孔径处的位置色差分别为0.020 3 mm、0.020 8 mm、0.019 9 mm、0.020 6 mm、0.020 4 mm、0212 mm，其二级光谱分别为0.013 7 mm、0.013 5 mm、0.013 5 mm、0.013 6 mm、0.013 7 mm、0.013 8 mm.对于校正二级光谱的物镜其大小应小于一倍焦深^[15]，其中系统焦深大小为0.361 mm，可得系统的二级光谱在一倍焦深内，球差小于2倍焦深.同时可见，在物距变化后色差几乎保持不变，整体设计像质良好，满足设计要求.

从像质评价图发现在物距变化后，根据推导公式给出的距离关系，对第一组元透镜沿光轴进行对应数值移动后，系统像质的各项指标都没有出现明显变化.同时，像质也都满足成像要求，对上文的公式推导也有了更好的验证.

4 结论

本文基于初级色差理论，提出了内调焦宽光谱光学系统的设计方法，并对内调焦光学系统消色差公式进行推导与验证.以焦距90 mm，波段范围为420 ~900 nm, 物距为0.2~200 km的光学系统为例，对其进行合理选材以及光焦度的合理分配，光学系统色差在物距变化后几乎不发生改变，其设计结果满足成像要求.验证了内调焦宽光谱光学系统数学模型与推导公式的正确性.