激光与光电子学进展, 2018, 55 (5): 052701, 网络出版: 2018-09-11   

运动原子和场相互作用模型中的量子关联 下载: 864次

Quantum Correlations in Moving Atom-field Interaction Model
作者单位
新疆师范大学物理与电子工程学院, 新疆 乌鲁木齐 830054
摘要
利用运动原子和场相互作用模型,研究了当两原子处于纠缠态而光场处于真空态时,原子运动及耦合系数的线性变化对量子关联的影响。结果表明,对于单光子过程,随着场模结构参数的增大,量子关联增大;耦合系数的线性变化对量子关联有积极作用;对于双光子过程,与耦合系数为常数的情况相比,场模结构参数及耦合系数的线性变化对量子关联的积极影响作用更显著。
Abstract
By using the moving atom-field interaction model, the effects of the atomic motion and the linear change of coupling coefficient on quantum correlations are investigated when the two atoms are in the entangled states and the light field is in the vacuum state. The results show that, as for the single-photon process, the quantum correlations increase with the increment of the structure parameters of field mode. The linear change of coupling coefficient plays a positive role on the quantum correlations. As for the two-photon process, the positive effects of the structure parameters of field mode and the linear change of coupling coefficient on the quantum correlations are more obvious if compared with the case that the coupling coefficient is constant.

1 引言

作为量子信息处理的重要物理资源,量子纠缠受到了学者们的广泛关注[1-4],并已被广泛应用于量子计算和量子信息科学的各个领域。在大范围的量子网络和量子中继站中,长时间纠缠对远距离量子通讯起重要作用[5-6]。量子纠缠并不包含所有的量子关联[7],Ollivier等[8]提出了量子失协这一新的物理量来度量量子关联。2008年,Lanyon等[9]在实验上实现了基于量子失协的量子计算。由于量子失协的实际计算困难[10-13],Dakic等[7]引入了几何量子失协的概念,建立了几何量子失协与远程量子态保真度之间的关系,进一步指出了几何量子失协的操作意义,并利用偏振编码的光子进行了远程量子态的实验制备[14-16]。因此,研究量子失协和几何量子失协具有极其重要的意义。

二能级原子-场的相互作用模型是一种物理上精确可解的模型[17],关于该模型的量子关联已有大量研究[18-23]。随着激光致冷和原子囚禁技术[24]的发展,冷原子和超冷原子的获得必须考虑原子的空间运动,刘小娟等[25-27]研究了运动原子和场间的相互作用。在许多研究中,原子-场的耦合系数被当作常数处理[28-30]。然而,在处理原子与场耦合中的绝热变化或突然变化时,原子-场的耦合系数是随时间变化的[31]。调节原子-场的耦合系数的线性变化斜率以提高量子关联成为了关键问题之一。Kayhan等[32]研究了单个隔离原子与J-C(Jaynes-Cummings)模型原子的纠缠,结果表明,可以通过调节原子与光场耦合系数的线性变化斜率来控制原子间纠缠。胡要花等[33]分析了耦合系数随时间的线性变化对原子-腔场的相互作用模型中量子纠缠的调控作用,但并未涉及对量子失协和几何量子失协的影响。本文考虑处于同一单模腔场中两个无相互作用的运动二能级原子,讨论了单光子和双光子过程中场模参数(与原子运动有关)对量子关联的影响,并分析了耦合系数线性变化的斜率对量子纠缠、量子失协和几何量子失协的调控作用。

2 运动原子和场的相互作用系统模型

考虑单模腔场和两个运动的二能级原子A和B构成的模型,在实验中可以使原子在空腔内沿着轴运动[26],两个原子彼此之间无相互作用,只考虑原子和腔的耦合,原子可能处于基态|g>或者激发态|e>。模型结构如图1所示。

图 1. 模型结构

Fig. 1. Structural diagram of model

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2.1 单光子过程

假定每个原子和腔场经由单光子过程耦合[31],系统的哈密顿量可以描述为

H=ω0σZA+ω0σZB+ωa+a+(z)a+σA-+aσA++(z)a+σB-+aσB+,(1)

式中ω为腔场的频率,ω0为原子的频率,a+(a)为腔场的产生(湮灭)算符, σiZ(i=A,B)为泡利矩阵, σi±(i=A,B)为升降算符,g为原子和光场的耦合系数,β(z)为场模形式函数。设原子沿z轴运动,因此只需要考虑场模形式函数对z轴的依赖关系,原子运动可以具体化为β(vt),其中v为原子的速度,t为时间。为了具体讨论方便,假定腔和原子处于共振情形,即ω=ω0,并定义横电模[26]

β(vt)=sinpπvtL,(2)

式中p为场模结构参数,表示长度为L的腔中场模的半波数。

考虑原子和场耦合时的绝热变化和突然变化,原子和场的耦合系数g随时间线性变化[31],即g可写为gf(t),其中

f(t)=kt/T,0tT0,else,(3)

式中f(t)为一次函数,k为耦合系数线性变化的斜率,T为绝热变化或突变的时间。在固定的时间间隔T内,只需要控制k值即可满足绝热变化或突然变化的条件。

假定初始时刻腔场处于真空态|0>,两原子处于纠缠态,则系统的初态为

|ψ(0)>=cosθ2|eg>+sinθ2|ge>|0>,(4)

式中θ为初始纠缠度。将(1)式代入薛定谔方程并考虑初始条件x1(0)=cos(θ/2),x2(0)=sin(θ/2),选择原子速度v=gL/π(实验上可实现),对场模参数函数β(vt)进行时间积分,得θ(t)=0tβ(vt)dt=1/pg[1-cos(pgt)]。求解薛定谔方程组得到t时刻系统的状态为

|ψ(t)>=x1|eg0>+x2|ge0>+x3|gg1>,(5)

式中系数为

x1=cosθ2+12sinθ2+cosθ2cos22p1-cospgkTt2-1x2=sinθ2+12sinθ2+cosθ2cos22p1-cospgkTt2-1x3=-i12sinθ2+cosθ2sin22p1-cospgkTt2(6)

根据ρAB=|ψ(t)><ψ(t)|得到系统密度矩阵后,对场变量求迹,在基矢|ee>、|eg>、|ge>、|gg>下得到系统的约化密度矩阵

ρ=00000x12x1x2*00x1*x2x220000x32,(7)

式中*代表共轭。

2.2 双光子过程

假定每个原子和腔场经由双光子过程[34]耦合,系统的哈密顿量可以描述为

H=ω0σAZ+ω0σBZ+ωa+a+z2a+2σA-+a2σA++z2a+2σB-+a2σB+(8)

考虑原子和场的耦合系数g随时间线性变化,对于双光子过程,g可写为gf2(t)[31],函数f(t)由(3)式给出。

系统的初态为

|ψ(0)>=cosθ2|eg>+sinθ2|ge>|0>(9)

将(8)式代入薛定谔方程,且对场模参数函数β2(vt)进行时间积分,得 θ(t)=0tβ2(vtB)dt=12ggt-12psin(2pgt),求解薛定谔方程组得到t时刻系统的状态为

|ψ(t)>=x'1|eg0>+x'2|ge0>+x'3|gg2>,(10)

式中系数为

x'1=cosθ2+12sinθ2+cosθ2cos13gk2T2t3-12psin2pgk2T2t3-1x'2=sinθ2+12sinθ2+cosθ2cos13gk2T2t3-12psin2pgk2T2t3-1x'3=-i12sinθ2+cosθ2sin13gk2T2t3-12psin2pgk2T2t3(11)

约化密度矩阵的形式和(7)式相同,系数由(11)式给出。

2.3 量子关联的定义

首先讨论Hill等[35]提出的共生纠缠度C,它度量的是单模腔场中两个原子之间的纠缠。如果系统的密度矩阵ρab为X型态,这时C可等效表达为

C=2max0,ρ23-ρ11ρ44,ρ14-ρ22ρ33,(12)

式中ρmn(m=1,2,3,4;n=1,2,3,4)为矩阵ρab的矩阵元。对于可分离态,C=0;而对于最大纠缠态,C=1。

然后讨论两体复合系统的量子失协QD,其定义[8]

QDρab=Iρab-CCρab,(13)

式中I(ρab)=S(ρa)+S(ρb)-S(ρab)为量子系统中子系统A、B之间的互信息,其中S(ρ)=-Tr(ρlb ρ),Tr代表求迹;ρa(b)=Trb(a)(ρab)。CC(ρab)=S(ρa)- minBkkpkS(ρk)为系统中的经典关联,pk为获得子系统a密度矩阵的概率,且ρk=1/pk(IaBk)ρ(IaBk)表示利用投影算子Bk对子系统b进行测量后,子系统a获取信息的增量,Ia为子系统a的密度算符,相应的概率为pk=Trb[(IaBk)ρab(IaBk)],Bk=V|k><k|V+,k=0,1,其中V+V的厄米共轭,变换矩阵为

V=cosθexp()sinθexp()sinθcosθ,(14)

式中φ为相位因子。最后分析Dakic等[7]提出的几何量子失协,即量子失协的几何度量D。任意两量子比特的密度矩阵可以表示为

ρ=14II+i'=13xi'σi'I+i'=13yi'Iσi'+i',j'=13Ti'j'σi'I,(15)

式中I为单位矩阵,σi'σj'为泡利矩阵,xi'=Trρ(σi'I)、yi'=Trρ(Iσi')、Ti'j'=Trρ(σi'σj')为关联张量。对应的两体系统的几何量子失协为

DAρab=14x+T-kmax,(16)

式中‖x2=Tr(xTx),x为布洛赫矢量,‖T2=Tr(TTT),T代表转置,kmaxk'=xxT+TTT的最大本征值。

3 数值结果和讨论

数值结果如图2~8所示,初始时刻原子处于最大纠缠态,即θ=π/2,gT=5π,t'=2gt/π,腔处于真空态。

在运动原子和场的相互作用模型中,单光子过程和双光子过程的纠缠演化三维图分别如图2、3所示。可以看出,当耦合系数为常数时,对于单光子过程,随着 p的增大,量子纠缠度逐渐增大,且当p≥1时,纠缠度不会衰减到0;而对于双光子过程,p在纠缠演化中起到消极作用。当原子和场的耦合发生绝热变化或突然变化时,与耦合系数为常数的情况相比,纠缠度为最大值的范围明显增大,时间被延长。图2(b)、3(b)所示为原子和场的耦合突然变化(k=2)[31]时的纠缠演化图;当p为常数时,量子纠缠度随着斜率k及时间t变化的规律如图2(c)、3(c)所示。对比发现,当k取值相同时(原子和场的耦合处于相同环境),双光子过程的纠缠度为最大值的范围比单光子过程的大,说明双光子过程的纠缠度为最大值的时间比单光子过程的长;而量子纠缠度在k≪1时的消失回复现象更为延缓,当k≫1时消失回复现象较为活跃,此结果与文献[ 31-33]的结果相似。此现象说明可以通过控制k来调控量子纠缠。

图 2. 单光子过程的纠缠演化规律。(a)不考虑耦合系数变化;(b) k=2;(c) p=1.2

Fig. 2. Evolution of entanglement in single-photon process. (a) Without consideration of change of coupling coefficients; (b) k=2; (c) p=1.2

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图 3. 双光子过程的纠缠演化规律。(a)不考虑耦合系数变化;(b) k=2;(c) p=1.2

Fig. 3. Evolution of entanglement in two-photon process. (a) Without consideration of change of coupling coefficient; (b) k=2; (c) p=1.2

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图 4. 耦合系数为常数时量子失协的时间演化。(a)单光子过程;(b)双光子过程

Fig. 4. Evolution of quantum discord when coupling coefficient is constant. (a) Single-photon process; (b) two-photon process

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通过对单光子过程和双光子过程的量子失协和几何量子失协三维图像的分析,发现其演化规律与量子纠缠的相同。为了更清楚地了解pk对量子失协及几何量子失协的影响,下面分析量子失协及几何量子失协三维图像的二维截图。图4图5分别展示了原子和场的耦合系数为常数及发生绝热变化或者突然变化时量子失协的演化规律。图6图7分别展示了原子和场的耦合系数为常数及发生绝热变化或者突然变化时几何量子失协的变化图像。由图4图6可知,p值越小,量子失协和几何量子失协的周期越长。取相同的p时,双光子过程的量子失协和几何量子失协的周期比单光子过程的长。对于单光子过程,p值越大,量子关联的最小值越大。从图5图7可以更清楚地看到,量子失协和几何量子失协保持最大值的时间与k有关,即与量子纠缠类似,k越小,量子关联的初始阶段保持最大值的时间越长。因为这时场和原子的耦合处于绝热变化或突然变化,所以量子失协和几何量子失协初始阶段保持最大值的时间延长,k=0.5描述的是绝热变化,k=2描述的是突然变化[31]。另外,通过分别对比图5(a)、(b)以及图7(a)、(b)发现,对于相同的k,双光子过程的量子失协和几何量子失协保持最大值的时间比单光子过程的长,说明此类调控对双光子过程更明显。

图 5. p=1.2时量子失协的演化规律。(a)单光子过程;(b)双光子过程

Fig. 5. Evolution of quantum discord when p=1.2. (a) Single-photon process; (b) two-photon process

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图 6. 耦合系数为常数时几何量子失协的演化规律。(a)单光子过程;(b)双光子过程

Fig. 6. Evolution of geometric quantum discord when coupling coefficient is constant. (a) Single-photon process; (b) two-photon process

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图 7. p=1.2时几何量子失协的演化规律。(a)单光子过程;(b)双光子过程

Fig. 7. Evolution of geometric quantum discord when p=1.2. (a) Single-photon process; (b) two-photon process

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为了更清楚地对三种关联进行对比,在图8中同时展示了运动原子和场相互作用过程中各种量子关联的演化规律。可以看出,在取相同参数的情况下,量子纠缠均呈现出优越性。值得注意的是,单光子过程中,耦合系数的线性变化对几何量子失协的调控尤为明显,即量子纠缠和量子失协演化到最小值时,几何量子失协反而变为最大。比较图8(b)、(d)可以发现,对于双光子过程,各种量子关联长时间处于较低状态,从0开始的恢复速度也较缓慢。通过线性变化耦合系数进行调控后,不仅量子关联的降低被延缓,而且量子关联的恢复也加快了。这是由于当原子和场的耦合发生绝热变化或者突然变化时,末态的振幅中存在t2t3项,见(6)~(7)式。

图 8. p=1.2时运动原子和场相互作用模型中的量子关联的演化规律。(a)单光子过程,耦合系数为常数;(b)双光子过程,耦合系数为常数;(c)单光子过程,耦合系数线性变化,k=2;(d)双光子过程,耦合系数线性变化,k=2

Fig. 8. Evolution of quantum correlations in moving atom-field interaction model when p=1.2. (a) Single-photon process, constant coupling coefficient; (b) two-photon process, constant coupling coefficient; (c) single-photon process, linear change of coupling coefficient, k=2; (d) two-photon process, linear change of coupling coefficient, k=2

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4 结论

针对单模腔场中运动的两个二能级原子,分别讨论了单光子过程和双光子过程中各种量子关联的演化规律,主要分析了场模结构参数p和耦合系数线性变化的斜率k对量子纠缠、量子失协和几何量子失协演化的调控作用。研究结果表明,当考虑原子运动时,可以通过调节p的取值来调控量子关联。对于单光子过程,随着p的增大,各种量子关联的最小值也增大。当原子和场的耦合发生绝热变化或者突然变化时,调节k可以延长各种量子关联保持最大值的时间,且该方法对双光子过程的调控更为明显。另外,k越小,各种量子关联保持最大值的时间越长,恢复最大值的时间也越短。在该系统中,可以通过改变pk来调控纠缠、量子失协及几何量子失协。

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