Λ型三能级原子与Pólya态光场相互作用系统的量子纠缠特性

罗瑞桓; 萨楚尔夫

doi:doi:10.3788/LOP56.232701

激光与光电子学进展, 2019, 56 (23): 232701, 网络出版: 2019-11-27

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Quantum Entanglement Characteristics in System Comprising Pólya-State Light Field Interacting with Λ-Type Three-Level Atom

论文大纲

罗瑞桓 ^1,**萨楚尔夫 ^1,2,*

作者单位

¹ 内蒙古师范大学物理与电子信息学院, 内蒙古呼和浩特 010022

² 内蒙古师范大学图书馆, 内蒙古呼和浩特 010022

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摘要

运用量子熵理论,探讨了Λ型三能级原子与Pólya态光场相互作用时,光场分布参数、原子相对失谐量、最大光子数、光场概率参数和原子初态对系统量子纠缠特性的影响。结果表明:当Λ型三能级原子与Pólya态光场相互作用时,若初态为两能级等权叠加态,各参量取适当值时可得到最大纠缠度较小的、稳定的、周期性振荡的量子纠缠态,若初态为激发态或三能级等权叠加态,各参量取适当值时可得到最大纠缠度为1.1的、稳定的、周期性振荡的纠缠态。

Abstract

The influences of light-field distribution parameters, atomic relative detuning, maximum photon number, light-field probability parameters, and initial atomic states on quantum entanglement characteristics of a system comprising a Pólya-state light field interacting with a Λ-type three-level atom are analyzed based on the quantum entropy theory. The results denote that when the Λ-type three-level atom interacts with the Pólya-state light field and the initial state is a two-lower-level energy-equal superposition state, a stable and periodically oscillating entangled state with a relatively small maximum entanglement degree can be obtained for appropriate parameter values. However, if the initial state is an excited state or a three-level equal-weight superposition state, a stable and periodically oscillating entangled state with a maximum entanglement degree of 1.1 can be obtained for appropriate parameter values.

1 引言

量子纠缠特性^[1-2]是量子力学的独有特性之一,也是其有别于经典物理的显著特征,其在实际应用中对量子通信^[3-4]、量子计算、量子编码及隐形传态^[5-9]等发挥着重要作用。近些年来,量子纠缠领域取得了诸多新的重大突破与进展,如2016年我国自主研制的“墨子号”量子科学实验卫星首先实现了星地百万米级的量子纠缠分发;2018年芬兰和奥地利科学实验团队分别实现了肉眼可见的量子纠缠;同年,中国科技大学教授郭光灿领导的团队首次在实验上实现了量子纠缠态自检。

研究者们热衷于探讨的量子纠缠态常在量子信息传递^[10]过程中作为信息载体出现,且常与各种各样的辐射场发生相互作用,产生各种影响^[11-12],因此辐射场对量子纠缠特性的影响是人们热衷于探讨的一个重要问题。

近些年来,研究者们提出了许多度量量子纠缠的方法,如von Neumann熵方法、共生纠缠度方法、部分转置负本征值方法^[13-16]等。然而,人们的相关研究多集中在二能级原子在一些典型辐射场(相干态、热态或数态等)作用下的纠缠特性,但从实际出发,辐射场大多是以诸多典型辐射场作为其边界的各种构造态场,如Pólya态光场^[17-19]、Glauber-Lanchs态光场和NCS态光场^[20-21]等。Pólya态光场就是一种典型的构造态光场,通过调节某些参数,Pólya态光场可以很方便地描述光场从二项式态^[22]历经中间态再到负二项式态的变化过程,因而Pólya态光场的表达意义与应用场景将更为广泛。近些年来一些研究表明,三能级原子系统^[23]在信息表达等方面相较于二能级原子系统有着更多优势。

文献[ 23]运用von Neumann熵方法探讨了压缩相干态光场与Λ型三能级原子相互作用时一些参数对系统纠缠特性的影响,而Λ型三能级原子在构造态光场——Pólya态光场作用下系统的纠缠特性还未被涉及。本文将在文献[ 23]的基础上,进一步探讨Λ型三能级原子在Pólya态光场作用下,系统光场的最大光子数、分布参数、概率参数、原子相对失谐量及原子初态等因素对系统的纠缠特性的影响。在相关领域的量子通信、密匙发放及隐形穿态等方面,本文得到的结果均有潜在的应用前景。

2 理论模型与原子约化密度矩阵

图1为在两近简并下与能级失谐量为Δ、频率为ω的单模光场相互作用的Λ型三能级原子的结构示意图, $\begin{matrix} |c > \end{matrix}$ 为上能级,下能级 $\begin{matrix} |a > \end{matrix}$ 、 $\begin{matrix} |b > \end{matrix}$ 之间单光子跃迁禁戒。在偶极近似和旋波近似下,相互作用绘景下系统的Hamiltonian量可以写为

\begin{matrix} H_{I} = g (|c > < b| + |c > < a|) \hat{a} + g (|b > < c| + |a > < c|) {\hat{a}}^{†} + Δ (|b > < b| - |a > < a|), (1) \end{matrix}

式中: $\begin{matrix} \hat{a} \end{matrix}$ 、 $\begin{matrix} {\hat{a}}^{†} \end{matrix}$ 分别表示光场的湮灭与产生算符;g表示原子-场耦合系数; $\begin{matrix} |j > < k| \end{matrix}$ (j,k=a,b,c,j≠k)用来表示跃迁算符; $\begin{matrix} |k > < k| \end{matrix}$ (k=a,b)用来表示能级k的布居算符; $\begin{matrix} \bar{h} \end{matrix}$ 为约化普朗克常数, $\begin{matrix} \bar{h} \end{matrix}$ =1。

图 1. Λ型三能级原子结构示意图

Fig. 1. Diagram of Λ-type three-level atomic structure

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Pólya态光场可表示为

\begin{matrix} |ϕ_{f} (0) > = |M, l, η > = \overset{M}{\sum_{n = 0}} [P_{n}^{M} {(l, η)]}^{\frac{1}{2}} |n >, (2) \end{matrix}

其中,

\begin{matrix} P_{n}^{M} (l, η) = [\frac{M!}{n! (M - n)!}] \frac{η (η + l) \dots [η + (n - 1) l] \bar{η} (\bar{η} + l) \dots [\bar{η} + (M - n - 1) l]}{(1 + l) (1 + 2 l) \dots [1 + (M - 1) l]}, (3) \end{matrix}

式中: $\begin{matrix} |ϕ_{f} (0) \end{matrix}$ >为Pólya态的态矢; $\begin{matrix} |n > \end{matrix}$ 为光子数态;n为光子数;M表示最大光子数,取值范围为正整数;l表示光场分布参数,取值范围为正实常数;η表示光场概率参数,且0<η<1; $\begin{matrix} \bar{η} \end{matrix}$ =1-η。当l趋近于0时,光场约化为二项式态光场;而当M→¥,l→0,η→0,Mη为常数时,光场约化为负二项式态光场。初始时刻光场处于Pólya态,原子处于相干叠加态C_a $\begin{matrix} |a \end{matrix}$ >+C_b $\begin{matrix} |b \end{matrix}$ >+C_c $\begin{matrix} |c \end{matrix}$ >,其中C_a、C_b、C_c均为概率振幅,系统的任意t时刻态矢表示为

\begin{matrix} \begin{matrix} |Ψ (t) > = \\ \overset{M}{\sum_{n = 0}} [A_{n} (t) |a, n + 1 > + B_{n} (t) |b, n + 1 > + C_{n} (t) |c, n >] + D (t) |a, 0 > + E (t) |b, 0 > 。 (4) \end{matrix} \end{matrix}

将(1)式和(4)式代入薛定谔方程中可得

\begin{matrix} i \frac{\partial}{\partial t} |Ψ (t) > = H_{I} |Ψ (t) >, (5) \end{matrix}

解薛定谔方程可得到如下系数:

\begin{matrix} \begin{matrix} \{\begin{matrix} A_{n} (t) = \frac{1}{Ω_{n + 1}^{2}} \{\{[g^{2} (n + 1) + Δ^{2}] P_{n + 1}^{M} (l, η) C_{a} + g^{2} (n + 1) P_{n + 1}^{M} (l, η) C_{b} - \\ Δg P_{n}^{M} (l, η) \sqrt[]{n + 1} C_{c}\} \cos Ω_{n + 1} t + g^{2} (n + 1) (C_{a} - C_{b}) P_{n + 1}^{M} (l, η) + \\ Δg P_{n}^{M} (l, η) \sqrt[]{n + 1} C_{c} + i Ω_{n + 1} [Δ P_{n + 1}^{M} (l, η) C_{a} - g P_{n}^{M} (l, η) \sqrt[]{n + 1} C_{c}] \sin Ω_{n + 1} t\} \\ B_{n} (t) = \frac{1}{Ω_{n + 1}^{2}} \{\{g^{2} (n + 1) P_{n + 1}^{M} (l, η) C_{a} + [g^{2} (n + 1) + Δ^{2}] P_{n + 1}^{M} (l, η) C_{b} + \\ Δg P_{n}^{M} (l, η) \sqrt[]{n + 1} C_{c}\} \cos Ω_{n + 1} t + g^{2} (n + 1) (C_{b} - C_{a}) P_{n + 1}^{M} (l, η) - Δg P_{n}^{M} (l, η) \sqrt[]{n + 1} C_{c} - \\ i Ω_{n + 1} [Δ P_{n + 1}^{M} (l, η) C_{b} + g P_{n}^{M} (l, η) \sqrt[]{n + 1} C_{c}] \sin Ω_{n + 1} t\} \\ C_{n} (t) = \frac{1}{Ω_{n + 1}^{2}} {[Δg \sqrt[]{n + 1} P_{n + 1}^{M} (l, η) (C_{b} - C_{a}) + 2 g^{2} (n + 1) P_{n}^{M} (l, η) C_{c}] \cos Ω_{n + 1} t + \\ Δg P_{n + 1}^{M} (l, η) \sqrt[]{n + 1} (C_{a} - C_{b}) + Δ^{2} P_{n}^{M} (l, η) C_{c} - \\ ig \sqrt[]{n + 1} P_{n + 1}^{M} (l, η) Ω_{n + 1} (C_{a} + C_{b}) \sin Ω_{n + 1} t\} \\ D (t) = \frac{1}{Ω_{1}} [Δ^{2} P_{1}^{M} (l, η) C_{a} \cos Ω_{1} t + i Ω_{1} Δ P_{0}^{M} (l, η) C_{a} \sin Ω_{1} t] \\ E (t) = \frac{1}{Ω_{1}} [Δ^{2} P_{1}^{M} (l, η) C_{b} \cos Ω_{1} t - i Ω_{1} Δ P_{0}^{M} (l, η) C_{b} \sin Ω_{1} t] \end{matrix}, (6) \\ Ω_{n + 1} = \sqrt[]{2 g^{2} (n + 1) + Δ^{2}} 。 (7) \end{matrix} \end{matrix}

通过对光场自由度取迹,可得原子约化密度矩阵为

\begin{matrix} ρ_{A} (t) = T r_{f} (|Ψ (t) > < Ψ (t)|) = (\begin{matrix} \sum_{n} {|A_{n} (t)|}^{2} \sum_{n} A_{n} (t) B_{n}^{*} (t) \sum_{n} A_{n} (t) C_{n}^{*} (t) \\ \sum_{n} B_{n} (t) A_{n}^{*} (t) \sum_{n} {|B_{n} (t)|}^{2} \sum_{n} B_{n} (t) C_{n}^{*} (t) \\ \sum_{n} C_{n} (t) A_{n}^{*} (t) \sum_{n} C_{n} (t) B_{n}^{*} (t) \sum_{n} {|C_{n} (t)|}^{2} \end{matrix}), (8) \end{matrix}

式中: $\begin{matrix} A_{n}^{*} \end{matrix}$ (t), $\begin{matrix} B_{n}^{*} \end{matrix}$ (t), $\begin{matrix} C_{n}^{*} \end{matrix}$ (t)均为其原函数的复共轭。再通过取迹可求得系统中原子(光场)的von Neumann熵为

\begin{matrix} S_{F} (t) = S_{A} (t) = - Tr [ρ_{A} (t) \ln ρ_{A} (t)] = - \overset{3}{\sum_{x = 1}} λ_{x} (t) \ln λ_{x} (t), (9) \end{matrix}

式中:λ_x(t)为密度矩阵的第x个本征值。通过von Neumann熵借助数值计算即可详细探讨各个参数对此相互作用系统的纠缠演化特性的影响。

3 数值计算与数据分析

3.1 原子初态为激发态

为了便于计算,定义了原子相对失谐量r=Δ/g。图2表示初态为激发态(C_a=C_b=0,C_c=1)时,光场分布参数l、原子相对失谐量r、最大光子数M和光场概率参数η分别取单一变量来表现各参数对S_A(t)随时间演化规律的影响。图2(a)~(c)表示当最大光子数M=50,光场分布参数l=0.01,相对失谐量r=1时,光场概率参数η对系统量子纠缠演化的影响,易发现,当η取较小值,即η=0.1时,系统量子纠缠图像呈现无规则振荡且最大纠缠度较大,随着概率参数η取值逐渐增大,最大纠缠度逐渐变小,振荡图像逐渐表现出波谷随时间演化逐渐增大且比较规则的类周期性振荡。图2(c)~(e)表示当最大光子数M=50,光场概率参数η=0.9,相对失谐量r=1时,光场分布参数l对系统量子纠缠演化的影响,易发现,随着分布参数l取值的增大,系统最大纠缠度无明显变化,但平均纠缠度逐渐增大,且振荡图像逐渐表现出更多的无规则振荡。图2(c)、(f)、(g)表示当最大光子数M=50,光场概率参数η=0.9,光场分布参数l=0.01时,相对失谐量r对系统量子纠缠演化的影响,可以发现,随着相对失谐量r取值的增大,系统最大纠缠度先增大后减小。如图2(f)所示,在r=7时,最大纠缠度已经接近最大值S_A=ln 3≈1.1,但当相对失谐量r取值继续增大,最大纠缠度却开始逐渐减小,当r=100时,系统已接近退纠缠,如图2(g)所示,而振荡图像由r取较小值时的波谷随时间演化逐渐增大且较规则的类周期性振荡变为十分规则的周期性振荡,且振荡周期逐渐变长。如图2(c)和图2(h)~(i)所示,当相对失谐量r=1,光场概率参数η=0.9,光场分布参数l=0.01时,随着最大光子数M取值的增大,系统最大纠缠度无明显变化,但振荡图像规则程度及周期性逐渐增强,且振荡周期逐渐变大。

原子初态为激发态时原子熵随各参数变化的时间演化。(a) η=0.1,M=50,l=0.01,r=1;(b) η=0.5,M=50,l=0.01,r=1;(c) η=0.9,M=50,l=0.01,r=1;(d) l=0.10,M=50,η=0.9,r=1;(e) l=0.5,M=50,η=0.9,r=1;(f) <it

图 2. 原子初态为激发态时原子熵随各参数变化的时间演化。(a) η=0.1,M=50,l=0.01,r=1;(b) η=0.5,M=50,l=0.01,r=1;(c) η=0.9,M=50,l=0.01,r=1;(d) l=0.10,M=50,η=0.9,r=1;(e) l=0.5,M=50,η=0.9,r=1;(f)
Fig. 2. Time evolution of atomic entropy with various parameters when initial state of atom is excited. (a) η=0.1, M=50, l=0.01, r=1;(b) η=0.5, M=50, l=0.01, r=1; (c) η=0.9, M=50, l=0.01, r=1; (d) l=0.10, M=50, η=0.9, r=1; (e) l
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3.2 原子初态为两下能级等权叠加态

初态为两下能级相干叠加态(C_a=C_b=1/ $\begin{matrix} \sqrt[]{2} \end{matrix}$ ,C_c=0)时,分布参数l、相对失谐量r、最大光子数M和概率参数η分别取单一变量来表现各参数对S_A(t)随时间演化规律的影响,如图3所示。图3(a)~(c)表示当最大光子数M=50,光场分布参数l=0.01,相对失谐量r=1时,光场概率参数η对系统量子纠缠演化的影响,易发现,随着概率参数η取值的增大,系统最大纠缠度有轻微减小,且振荡图像的变化也与初态为激发态时类似,但最大纠缠度相对较小。图3(c)~(e)表示当最大光子数M=50,光场概率参数η=0.9,相对失谐量r=1时,光场分布参数l对系统量子纠缠演化的影响,易发现,随着分布参数l取值的增大,系统最大纠缠度逐渐减小,振荡图像逐渐出现许多小幅高频振荡。图3(c)、(f)和(g)表示当最大光子数M=50,光场概率参数η=0.9,光场分布参数l=0.01时,相对失谐量r对系统量子纠缠演化的影响,可以发现,随着相对失谐量r取值的增大,系统最大纠缠度无明显变化,而振荡图像的规则程度及周期性均逐渐增强,表现出周期性十分稳定的纠缠态,且周期逐渐变大。图3(c)、(h)、(i)表示当相对失谐量r=1,光场概率参数η=0.9,光场分布参数l=0.01时,最大光子数M对系统量子纠缠演化的影响,可以发现,随着最大光子数M取值的增大,系统最大纠缠度也无明显变化,但振荡图像规则程度及周期性都逐渐增强,且振荡周期逐渐变大。

图 3. 原子初态为两下能级等权叠加态时原子熵随各参数的时间演化。(a) η=0.1,M=50,l=0.01,r=1;(b) η=0.5,M=50,l=0.01,r=1;(c) η=0.9,M=50,l=0.01,r=1;(d) l=0.10,M=50,η=0.9,r=1;(e) l=0.90,M=50,η=0.9,r=1;(f

Fig. 3. Time evolution of atomic entropy with various parameters when initial state of atom is equal weight superposition state of two lower energy levels. (a) η=0.1, M=50, l=0.01, r=1; (b) η=0.5, M=50, l=0.01, r=1; (c) η=0.9, M=50, l=0.01, r=1; (d) l=0.10, M=50,
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3.3 原子初态为三能级等权叠加态

初态为三能级等权叠加态(C_a=C_b=C_c=1/ $\begin{matrix} \sqrt[]{3} \end{matrix}$ )时,分布参数l、相对失谐量r、最大光子数M和概率参数η分别取单一变量来表现各参数对S_A(t)随时间演化规律的影响,如图4所示。图4(a)~(c)表示当最大光子数M=50,光场分布参数l=0.01,相对失谐量r=1时,光场概率参数η对系统量子纠缠演化的影响,易发现,当η的取值对系统量子纠缠图像的影响与初态为激发态时类似,但最大纠缠度明显较小。图4(c)~(e)表示当最大光子数M=50,光场概率参数η=0.9,相对失谐量r=1时,光场分布参数l对系统量子纠缠演化的影响,易发现,随着分布参数l取值的增大,系统最大纠缠度逐渐增大,且振荡图像逐渐出现许多小幅高频振荡。图4(c)、(f)和(g)表示当最大光子数M=50,光场概率参数η=0.9,光场分布参数l=0.01时,相对失谐量r对系统量子纠缠演化的影响,可以发现,随着相对失谐量r取值的增大,系统最大纠缠度逐渐增大,如图4(g)所示,在r=100时,最大纠缠度已经接近最大值S_A=ln 3≈1.1,振荡图像也随着r取值的增大,规则程度与周期性逐渐增强,直到表现出比较稳定的周期性纠缠态,且振荡周期逐渐变长。图4(c)、(h)和(i)表示当相对失谐量r=1,光场概率参数η=0.9,光场分布参数l=0.01时,最大光子数M对系统量子纠缠演化的影响,可以发现,随着最大光子数M取值的增大,系统最大纠缠度逐渐减小,但振荡图像周期性逐渐增强,且振荡周期逐渐变大。

图 4. 原子初态为三能级等权叠加态时原子熵随各参数的时间演化。(a) η=0.1,M=50,l=0.01,r=1;(b) η=0.5,M=50,l=0.01,r=1;(c) η=0.9,M=50,l=0.01,r=1;(d) l=0.10,M=50,η=0.9,r=1;(e) l=1.00,M=50,η=0.9,r=1;(f)

Fig. 4. Time evolution of atomic entropy with various parameters when initial atomic state is a three-level equal weight superposition state. (a) η=0.1, M=50, l=0.01, r=1; (b) η=0.5, M=50, l=0.01, r=1; (c) η=0.9, M=50, l=0.01, r=1; (d) l=0.10, M=50, η=0

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4 结论

运用量子熵理论,研究了Pólya态光场与Λ型三能级原子相互作用系统的量子纠缠特性。给出了不同原子初态及Pólya态光场参数条件下,该光场-原子相互作用系统中描述量子纠缠特性的von Neumann熵随时间的演化曲线。结果显示:随着原子初态和Pólya态光场参量的改变,von Neumann熵随时间的变化呈现出丰富的演化特性,尤其是当原子初始处于激发态和三能级等权叠加态,光场参数取确定值时,原子相对失谐量对场-原子相互作用系统的von Neumann熵影响较大。在一定时域上,von Neumann熵可取最大值S_A=ln 3≈1.1,表明系统中场与原子之间的纠缠达到最强程度。这一性质在量子信息领域中具有潜在的应用价值。

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1 引言

2 理论模型与原子约化密度矩阵

图 1. Λ型三能级原子结构示意图

Fig. 1. Diagram of Λ-type three-level atomic structure

3 数值计算与数据分析

3.1 原子初态为激发态

Fig. 2. Time evolution of atomic entropy with various parameters when initial state of atom is excited. (a) η=0.1, M=50, l=0.01, r=1;(b) η=0.5, M=50, l=0.01, r=1; (c) η=0.9, M=50, l=0.01, r=1; (d) l=0.10, M=50, η=0.9, r=1; (e) l

3.2 原子初态为两下能级等权叠加态

图 3. 原子初态为两下能级等权叠加态时原子熵随各参数的时间演化。(a) η=0.1,M=50,l=0.01,r=1;(b) η=0.5,M=50,l=0.01,r=1;(c) η=0.9,M=50,l=0.01,r=1;(d) l=0.10,M=50,η=0.9,r=1;(e) l=0.90,M=50,η=0.9,r=1;(f

Fig. 3. Time evolution of atomic entropy with various parameters when initial state of atom is equal weight superposition state of two lower energy levels. (a) η=0.1, M=50, l=0.01, r=1; (b) η=0.5, M=50, l=0.01, r=1; (c) η=0.9, M=50, l=0.01, r=1; (d) l=0.10, M=50,
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3.3 原子初态为三能级等权叠加态

图 4. 原子初态为三能级等权叠加态时原子熵随各参数的时间演化。(a) η=0.1,M=50,l=0.01,r=1;(b) η=0.5,M=50,l=0.01,r=1;(c) η=0.9,M=50,l=0.01,r=1;(d) l=0.10,M=50,η=0.9,r=1;(e) l=1.00,M=50,η=0.9,r=1;(f)

Fig. 4. Time evolution of atomic entropy with various parameters when initial atomic state is a three-level equal weight superposition state. (a) η=0.1, M=50, l=0.01, r=1; (b) η=0.5, M=50, l=0.01, r=1; (c) η=0.9, M=50, l=0.01, r=1; (d) l=0.10, M=50, η=0

4 结论

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1 引言

2 理论模型与原子约化密度矩阵

图 1. Λ型三能级原子结构示意图

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3 数值计算与数据分析

3.1 原子初态为激发态

Fig. 2. Time evolution of atomic entropy with various parameters when initial state of atom is excited. (a) η=0.1, M=50, l=0.01, r=1;(b) η=0.5, M=50, l=0.01, r=1; (c) η=0.9, M=50, l=0.01, r=1; (d) l=0.10, M=50, η=0.9, r=1; (e) l

3.2 原子初态为两下能级等权叠加态

图 3. 原子初态为两下能级等权叠加态时原子熵随各参数的时间演化。(a) η=0.1,M=50,l=0.01,r=1;(b) η=0.5,M=50,l=0.01,r=1;(c) η=0.9,M=50,l=0.01,r=1;(d) l=0.10,M=50,η=0.9,r=1;(e) l=0.90,M=50,η=0.9,r=1;(f

Fig. 3. Time evolution of atomic entropy with various parameters when initial state of atom is equal weight superposition state of two lower energy levels. (a) η=0.1, M=50, l=0.01, r=1; (b) η=0.5, M=50, l=0.01, r=1; (c) η=0.9, M=50, l=0.01, r=1; (d) l=0.10, M=50, 下载图片 查看所有图片

3.3 原子初态为三能级等权叠加态

图 4. 原子初态为三能级等权叠加态时原子熵随各参数的时间演化。(a) η=0.1,M=50,l=0.01,r=1;(b) η=0.5,M=50,l=0.01,r=1;(c) η=0.9,M=50,l=0.01,r=1;(d) l=0.10,M=50,η=0.9,r=1;(e) l=1.00,M=50,η=0.9,r=1;(f)

Fig. 4. Time evolution of atomic entropy with various parameters when initial atomic state is a three-level equal weight superposition state. (a) η=0.1, M=50, l=0.01, r=1; (b) η=0.5, M=50, l=0.01, r=1; (c) η=0.9, M=50, l=0.01, r=1; (d) l=0.10, M=50, η=0

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Fig. 3. Time evolution of atomic entropy with various parameters when initial state of atom is equal weight superposition state of two lower energy levels. (a) η=0.1, M=50, l=0.01, r=1; (b) η=0.5, M=50, l=0.01, r=1; (c) η=0.9, M=50, l=0.01, r=1; (d) l=0.10, M=50,
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