基于Goos-Hänchen位移的保偏角锥棱镜设计

谢莉莎; 黄春晖

doi:doi:10.3788/LOP57.132304

激光与光电子学进展, 2020, 57 (13): 132304, 网络出版: 2020-07-09

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Design of Polarization Preserving Corner-Cube Reflector Based on Goos-Hänchen Displacement

论文大纲

谢莉莎 ¹黄春晖 ^1,2,*

作者单位

¹ 福州大学物理与信息工程学院, 福建福州 350116

² 阳光学院人工智能学院, 福建福州 350015

光学器件角锥棱镜 COMSOL Multiphysics 倏逝波粒子群算法 optical devices corner-cube reflector COMSOL Multiphysics evanescent wave particle swarm optimization

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摘要

提出一种通过光学隧穿效应调控Goos-H?nchen位移实现相位可控的保偏方案。首先研究在角锥棱镜反射面外侧镀上两层介质膜(膜1和膜2);然后使用粒子群优化(PSO)算法优化介质膜的折射率和厚度,使入射光在角锥棱镜-膜1界面上发生全内反射,倏逝波经由膜2返回角锥棱镜,利用反射光束与倏逝波的叠加效应改变传播光束的相位进而实现保偏;最后,利用COMSOL Multiphysics软件仿真镀膜角锥棱镜的保偏效果。结果表明,当线偏振光的初始入射方位角在[-40°,40°]范围时,所设计的角锥模型具有较好的偏振效果,出射光的方位角和椭圆率分别变化约0.2°和0。

Abstract

This paper proposes a phase-controllable polarization-preserving scheme by adjusting Goos-H?nchen displacement based on the optical tunneling effect. First, two dielectric films (i.e., films 1 and 2) are coated outside a corner-cube reflector's reflective plane. Then, the refractive index and thickness of the dielectric film are optimized through particle swarm optimization (PSO) method to realize the incident light, which can be totally reflected at the interface of the corner-cube reflector and the dielectric film. The evanescent wave returns to the corner-cube reflector through the film 2. The polarization preservation can be achieved using the superposition effect of the reflected beam and the evanescent wave to change the propagating beam phase. Finally, COMSOL Multiphysics simulation software is used to simulate the polarization preservation effect of the corner-cube reflector. Simulation results show that when the initial azimuth of the incident polarized light is in the range of [-40°,40°], it exhibits better preserved polarization, i.e., the azimuth angle and the ellipticity of the emitted light are varied by approximately 0.2° and 0, respectively.

1 引言

角锥棱镜在工程中应用广泛,免调试激光器具有独特的自准直光学特性、准相位共轭特性和相干合成功能^[1],角锥棱镜作为该类激光器的主要反射部件,其偏振特性会降低激光器的输出效率及热稳定性。偏振调制测距法具有抗大气扰动强、精度高、无模糊距离等优点^[2],但该偏振调制测距系统中角锥的失偏效应会影响测量精度。为了实现角锥的保偏,国内外科研人员进行了大量的研究,常用的保偏方法有镀膜法和附加波片法两种。Lee^[3]建立了在角锥棱镜反射面镀多层膜的偏振特性理论模型,并进行镀层和未镀膜角锥棱镜的比较实验。Bieg^[4]则研究了反射面为金属钨时角锥对光束的偏振作用。Kalibjian^[5]研究了633~1550 nm范围内的14种金属对角锥偏振的保偏作用。彭堂超等^[6]用1/4波片实现一对相互正交的线偏振态的保偏。上述方法都存在一定的不足之处,镀膜法在薄膜结构和材料选择上都有严格的要求,因而相应的镀制工序复杂,工作量大^[7]。附加波片法的工艺相对于镀膜法更简单,但是只能实现特定偏振态的保偏,而且在应用过程中需要频繁调整波片,增加了操作的复杂度。本文基于倏逝波场会对反射光束的相位变化产生影响,提出一种利用双层膜结构实现角锥偏振态保偏的方法,并对该模型进行了理论分析,应用粒子群优化(PSO)算法优化参数,同时利用COMSOL软件研究了双层膜结构中倏逝波的耦合,重点研究了该结构对任意方向线偏振光的保偏效果。

2 角锥的失偏效应

角锥是一个四面体光学棱镜,其三个反射面两两垂直,底面是一个正三角形。为了说明角锥的偏振特性,建立如图1所示的坐标系。

图 1. 光在角锥中的传输及其反射次序。(a)传输路径;(b)反射次序

Fig. 1. Transmission of light in a corner cube and its reflection order. (a) Transmission path; (b) reflection order

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图1(a)中底面ABC及3个反射面AOC、BOC、AOB分别用0、1、2、3标注,图1(b)中DEFGHI构成的正六边形是角锥中能进行3次全内反射时底面ABC的有效入射区域。光从底面正六边形的不同区域入射时共有6种不同的反射次序,其中标有123的区域表示当光束从该区域入射时,入射光在角锥中的传输路径为面1→面2→面3,然后从与该入射区域关于O点对称的区域反向平行出射。其他次序标注同理。用琼斯矩阵来描述光束经过角锥棱镜后偏振态的变化,以光的传输路径123为例,此时的琼斯矩阵为^[8]

\begin{matrix} J_{123} = T_{30} (- \frac{2 π}{3}) R_{3} T_{23} (\frac{π}{3}) R_{2} T_{12} (- \frac{π}{3}) \cdot R_{1} T_{01} (- \frac{π}{3}), (1) \end{matrix}

式中:R_k(k=1,2,3)为对应反射面的全内反射矩阵;T_kj(k,j=0,1,2,3)为相邻的反射面-入射面间坐标系旋转时的传输矩阵。R_k和T_kj分别为^[9]

\begin{matrix} \begin{matrix} R_{k} = [\begin{matrix} |r_{pk}| \exp (i δ_{pk}) & 0 \\ 0 & |r_{sk}| \exp (i δ_{sk}) \end{matrix}], \\ T_{kj} = [\begin{matrix} cosθ & sinθ \\ - sinθ & cosθ \end{matrix}], (2) \end{matrix} \end{matrix}

式中: $\begin{matrix} |r_{pk}| \end{matrix}$ exp $\begin{matrix} (i δ_{pk}) \end{matrix}$ 为p分量的反射系数;δ_p_k为光束在k面上反射时,反射光束中的p分量的相位相对于入射光中p分量的相位跃变; $\begin{matrix} |r_{sk}| \end{matrix}$ exp $\begin{matrix} (i δ_{sk}) \end{matrix}$ 是s分量的反射系数,δ_s_k为光束在k面上反射时,反射光束中s分量的相位相对于入射光中s分量的相位跃变;θ为出射面到相邻入射面间的旋转角度,定义逆光方向观察时顺时针方向旋转为负。反射光束中的相位跃变可表示为^[10]

\begin{matrix} \tan \frac{δ_{⊥}}{2} = - \frac{\sqrt[]{si n^{2} β - n^{2}}}{cosβ}, \tan \frac{δ_{‖}}{2} = - \frac{\sqrt[]{si n^{2} β - n^{2}}}{n^{2} cosβ}, (3) \end{matrix}

式中:β为入射角;n为光疏介质折射率与光密介质折射率的比值。当光束从底面垂直入射时,在每个反射面上的入射角为54.7°,若角锥由玻璃材料N-BK7构成,在波长为1064 nm的情况下,其折射率为1.5066,角锥-空气界面的全内反射临界角为41.6°,小于54.7°,入射光发生全反射。将上述参数代入(3)式,计算得到反射光中的s分量与相对于入射光中的s分量相位变化了78.8246°,而p分量的相位变化则为123.6073°。因此,当入射光为线偏振态时,出射光一般为椭圆偏振光,这就是角锥的失偏效应。

3 理论分析

全反射发生相位变化的原因是Goos-Hänchen位移导致空间位置发生变化,进而引起相位的变化。对于具有足够大束腰半径的入射光束,其Goos-Hänchen位移与反射光束相位变化的关系为^[11]

\begin{matrix} Δ = - \frac{λ_{0}}{2 π} \frac{dψ}{dβ}, (4) \end{matrix}

式中:Δ为Goos-Hänchen位移;ψ为相位变化;λ₀为入射光在真空中的波长。2008年,葛国库等^[12]构造了角锥-空气-薄膜-角锥的耦合结构,其中角锥的折射率为2.0,薄膜的折射率为1.64,角锥-空气界面的入射角为54°,发生全反射,倏逝波通过光隧穿效应穿过空气层在薄膜中继续传输,并采用稳态相位法分析得到了反射光束中Goos-Hänchen位移与薄膜厚度的关系,如图2所示。

图 2. 薄膜厚度与Goos-H?nchen位移的关系^[12]

Fig. 2. Relationship of film thickness and Goos-H?nchen displacement^[12]

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基于前人研究得到的薄膜厚度和折射率变化对Goos-Hänchen位移的影响^[13-14],本研究提出的基于光隧穿效应对Goos-Hänchen位移的调控进而实现保偏的角锥-薄膜结构如图3所示。

图 3. 角锥薄膜结构模型

Fig. 3. Model of corner cube coated thin films

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介质薄膜1和介质薄膜2具有不同的折射率和厚度,入射光在角锥-介质薄膜1的界面处发生全内反射,由于介质薄膜1的折射率小于介质薄膜2的折射率,在光隧穿效应的作用下,倏逝波会在介质薄膜2中经全反射回到角锥中。除了角锥-介质薄膜1的入射场外,其他反射电场和透射电场均是光的叠加形成的。薄膜特征矩阵^[15]从电磁场的边值条件并结合薄膜的光学特性描述了介质不连续处的场关系。由于倏逝波中s分量和p分量对Goos-Hänchen位移的作用不同,因此有必要对这两个偏振分量分别进行讨论。以单层介质膜为例,不连续界面上的电场分布如图4所示。

图 4. 介质薄膜交界面上的电场分布

Fig. 4. Electric field distribution at the interfaceof dielectric film

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根据麦克斯韦方程及其边值条件,可以得到输入光、反射光和透射光的关系,即

\begin{matrix} [\begin{matrix} E_{in 1} + E_{r 1} \\ (E_{in 1} - E_{r 1}) η_{gs} \end{matrix}] = [\begin{matrix} cosδ & - \frac{i}{η_{fs}} sinδ \\ - η_{fs} sinδ & cosδ \end{matrix}] [\begin{matrix} E_{t 2} \\ E_{t 2} η_{as} \end{matrix}] = T [\begin{matrix} E_{t 2} \\ E_{t 2} η_{as} \end{matrix}], (5) \end{matrix}

式中:T为描述该薄膜的特征矩阵,其包含了折射率、空间位置变化引起的相位跃变等与薄膜有关的特征参数;ε₀和μ₀分别表示真空的介电常数和磁导率;η_gs= $\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{ε_{0}}{μ_{0}}} \end{matrix}$ n_ccosθ_in1,η_fs= $\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{ε_{0}}{μ_{0}}} \end{matrix}$ n_fcosθ_in2,η_as= $\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{ε_{0}}{μ_{0}}} \end{matrix}$ n_acosθ_in2,δ= $\begin{matrix} \frac{2 π}{λ_{0}} \end{matrix}$ n_fcosθ_in2,其中θ_in1和θ_in2分别为角锥-薄膜交界面和薄膜-空气交界面的入射角;E_in1为入射光在角锥-薄膜边界处的电场分量;E_r1为反射光在角锥-薄膜边界处的电场分量;E_t2为出射光在薄膜-空气边界处的电场分量。因为光束在角锥-介质薄膜界面发生全反射,所以cosθ_in2=i $\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{si n^{2} θ_{in 1}}{(n_{f} / n_{g})^{2}} - 1} \end{matrix}$ 。由(5)式可得s分量的反射系数为

\begin{matrix} r_{s} = \frac{η_{fs} (η_{gs} - η_{as}) cosδ - i (η_{gs} η_{as} - η_{fs}^{2}) sinδ}{η_{fs} (η_{gs} + η_{as}) cosδ - i (η_{gs} η_{as} + η_{fs}^{2}) sinδ}, (6) \end{matrix}

s分量的相位跃变为

\begin{matrix} \tan φ_{rs} = \frac{η_{fs} sinδcosδ [(η_{gs} η_{as} + η_{fs}^{2}) (η_{gs} - η_{as}) - (η_{gs} η_{as} - η_{fs}^{2}) (η_{gs} + η_{as})]}{η_{fs}^{2} co s^{2} δ (η_{gs}^{2} - η_{as}^{2}) + si n^{2} δ (η_{gs}^{2} η_{as}^{2} - η_{fs}^{4})} 。 (7) \end{matrix}

同理可得,当入射光为p分量时,传输矩阵M可表示为

\begin{matrix} M = [\begin{matrix} cosδ & - \frac{i}{η_{fp}} sinδ \\ - i η_{fp} s inδ & cosδ \end{matrix}], (8) \end{matrix}

式中:η_fp= $\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{ε_{0}}{μ_{0}}} \end{matrix} \begin{matrix} \frac{n_{f}}{\cos θ_{in 2}} \end{matrix}$ 。此时p分量的反射系数为

\begin{matrix} r_{p} = \frac{η_{fp} (η_{gp} - η_{ap}) cosδ - i (η_{gp} η_{ap} - η_{fp}^{2}) sinδ}{η_{fp} (η_{gp} + η_{ap}) cosδ - i (η_{gp} η_{ap} + η_{fp}^{2}) sinδ}, (9) \end{matrix}

p分量的相位跃变为

\begin{matrix} \tan φ_{rp} = \frac{η_{fp} sinδcosδ [(η_{gp} η_{ap} + η_{fp}^{2}) (η_{gp} - η_{ap}) - (η_{gp} η_{ap} - η_{fp}^{2}) (η_{gp} + η_{ap})]}{η_{fp}^{2} co s^{2} δ (η_{gp}^{2} - η_{ap}^{2}) + si n^{2} δ (η_{gp}^{2} η_{ap}^{2} - η_{fp}^{4})}, (10) \end{matrix}

式中:η_gp= $\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{ε_{0}}{μ_{0}}} \end{matrix} \begin{matrix} \frac{n_{g}}{\cos θ_{in 1}} \end{matrix}$ ;η_ap= $\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{ε_{0}}{μ_{0}}} \end{matrix} \begin{matrix} \frac{n_{a}}{\cos θ_{in 2}} \end{matrix}$ 。

上述理论分析是针对单层膜的,双层膜的传输矩阵可以表现为单层膜的传输矩阵的乘积,即

\begin{matrix} M_{1} M_{2} = [\begin{matrix} \cos δ_{1} \cos δ_{2} - \frac{η_{2}}{η_{1}} \sin δ_{1} \sin δ_{2} & - \frac{i}{η_{2}} \sin δ_{2} \cos δ_{1} - \frac{i}{η_{1}} \sin δ_{1} \cos δ_{2} \\ - i η_{1} \sin δ_{1} \cos δ_{2} - i η_{2} \sin δ_{2} \cos δ_{1} & \cos δ_{1} \cos δ_{2} - \frac{η_{1}}{η_{2}} \sin δ_{1} \sin δ_{2} \end{matrix}] 。 (11) \end{matrix}

从(7)式和(10)式可以看出,反射光束中Goos-Hänchen位移引起的相位变化是一个关于薄膜介质折射率和厚度的函数,因此通过改变这两个参数可以得到满足s分量和p分量相位相差为0°或180°的琼斯矩阵。以光束的传输路径123为例,当角锥3个反射面的性质相同时,描述角锥偏振特性的琼斯矩阵的4个参量J₁₁、J₁₂、J₂₁和J₂₂可表示为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} J_{11} = - \frac{1}{16} \{[|r_{p}| \exp (i δ_{p} {)]}^{3} - 3 |r_{s}| \exp (i δ_{s}) \cdot \\ [|r_{p}| \exp (i δ_{p} {)]}^{2} + 15 |r_{p}| \exp (i δ_{p}) \cdot [|r_{s}| \exp (i δ_{s} {)]}^{2} + 3 [|r_{s}| \exp (i δ_{s} {)]}^{3}\} \\ J_{12} = \frac{\sqrt[]{3}}{16} \{[|r_{p}| \exp (i δ_{p} {)]}^{3} + |r_{s}| \exp (i δ_{s}) \cdot \\ [|r_{p}| \exp (i δ_{p} {)]}^{2} - |r_{p}| \exp (i δ_{p}) \cdot [|r_{s}| \exp (i δ_{s} {)]}^{2} - [|r_{s}| \exp (i δ_{s} {)]}^{3}\} \\ J_{21} = \frac{\sqrt[]{3}}{16} \{[|r_{p}| \exp (i δ_{p} {)]}^{3} + |r_{s}| \exp (i δ_{s}) \cdot \\ [|r_{p}| \exp (i δ_{p} {)]}^{2} - |r_{p}| \exp (i δ_{p}) \cdot [|r_{s}| \exp (i δ_{s} {)]}^{2} - [|r_{s}| \exp (i δ_{s} {)]}^{3}\} \\ J_{22} = - \frac{1}{16} \{3 [|r_{p}| \exp (i δ_{p} {)]}^{3} - 3 |r_{p}| \exp (i δ_{p}) \cdot \\ [|r_{s}| \exp (i δ_{s} {)]}^{2} + 15 |r_{s}| \exp (i δ_{s}) \cdot [|r_{p}| \exp (i δ_{p} {)]}^{2} + [|r_{s}| \exp (i δ_{s} {)]}^{3}\} \end{matrix} 。 (12) \end{matrix}

为了实现角锥的保偏,当光束经过角锥往返传输一次后,出射光的偏振态和入射光的偏振态应满足

\begin{matrix} [\begin{matrix} E_{pout} \\ E_{sout} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} E_{pin} \\ E_{\sin} \end{matrix}], (13) \end{matrix}

即J₁₁、J₁₂、J₂₁、J₂₂这4个参量应该满足以下关系: $\begin{matrix} |J_{11}| \end{matrix}$ = $\begin{matrix} |J_{22}| \end{matrix}$ ,J₁₂=J₂₁=0。由前面的理论分析可知,该方程组的求解量过大,且是一个周期性函数,理论上有很多解。为了能更快得到满足保偏的参数值,本研究先用PSO算法得到一组解,然后再通过更改约束条件,优化参数取值。

4 PSO算法

PSO算法^[16]的基本思想是模拟鸟群搜寻食物的捕食行为,与其他算法相比,该算法具有计算速度非常快、全局搜索能力强的优点,适用于多峰值问题的求解。PSO算法中,每个粒子在一个N维的解空间中运动,具有位置x和速度v两个属性:

\begin{matrix} \{\begin{matrix} x_{i} = [x_{i 1}, x_{i 2}, \dots, x_{in}] \\ v_{i} = [v_{i 1}, v_{i 2}, \dots, v_{in}] \end{matrix} 。 (14) \end{matrix}

位置属性由自变量的个数和取值范围决定,在本研究中自变量共有3个,分别是介质薄膜2的折射率和厚度以及介质薄膜1的厚度。薄膜2的折射率的取值范围为1.62~8,薄膜2厚度的取值范围为50~450 nm,而薄膜1的厚度搜索空间为100~2000 nm。

表 1. 介质薄膜参数的仿真结果

Table 1. Simulation results of thin film parameters

Refractive indexof thin film 2	Film thickness /nm
Refractive indexof thin film 2	Thin film 1	Thin film 2
5.306	282.174	372.933
5.189	201.000	371.188
5.524	269.144	276.685
4.697	215.275	356.227
4.482	212.416	307.876
5.085	210.159	316.276
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速度属性由自变量的个数和速度限制决定,速度限制的取值越大,收敛速度越快,但是有可能错过最优解;取值越小,收敛精度越高,不容易错过最优解,但是计算速度慢。本研究中取速度限制值v_limit=0.005×(K_max-K_min),K_max和K_min分别表示不同参数的最大值和最小值。该算法的伪代码如图5所示。

图 5. PSO算法的伪代码

Fig. 5. Pseudocode of PSO algorithm

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循环调用该算法1000次,得到的部分结果如表1所示。考虑到倏逝波的有效穿透深度、反射率的大小以及介质薄膜材料的选择,在经过反复的参数优化后,得到了一组参数即薄膜1的折射率和厚度分别为1.515和129.67 nm,薄膜2的折射率和厚度分别为2.15和231.48 nm。

为了验证用PSO算法得到的参数值能够实现保偏,进一步用COMSOL软件仿真了倏逝波在薄膜中的传输,通过分析传输光波的方位角和椭圆率来考证保偏效果。

5 仿真与保偏效果分析

COMSLOL Mutiphysics软件的波动光学模块包含二维和三维空间中的电磁场(波)的求解。所有建模公式均基于麦克斯韦方程组并结合不同介质的属性。波动光学模块的接口表示麦克斯韦方程组的微分形式以及对应的初始和边界条件,用有限元法对方程组进行求解。利用该算法在COMSOL软件中求解问题的基本流程如下:

首先,选择波动光学和射线光学模块来研究光波在多层介质的传输特性。其次,创建角锥内反射面的几何模型,设置相关参数。已知垂直入射的光束在角锥内反射面上的入射角为54.7°,因此,在COMSOL软件的几何模块中构造一个角度为54.7°的等腰直角三角形的模型,如图6所示。然后,设置材料属性和边界条件。设置AI为入射端口,入射光束为高斯光束,其束腰半径为2000 nm,偏振方向为s分量,其他边界条件为散射边界条件。最后,划分网格并求解。为了提高仿真精度,在双层薄膜的交界面处设置最大单元大小为λ/8(λ=1064 nm),最小单元大小为0.00433 μm,最大单元增长率为1.25,曲率因子为0.25。

图 6. 角锥薄膜结构的仿真模型

Fig. 6. Simulation model of corner cube coated thin film structure

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将PSO算法优化得到的保偏条件用于COMSOL仿真验证,仿真条件如下:角锥以波长为1064 nm、折射率为2.16的碲酸盐材料为基质,薄膜1的折射率为1.515,在角锥-薄膜1界面发生全反射的临界角为44.5385°,光束的入射角为54.7356°,发生全内反射。最终的仿真结果如图7所示。

为了更好地观察倏逝波,对图7的局部进行放大,如图8所示。仿真得到此时的s分量反射系数为0.75 exp $\begin{matrix} (- i \frac{61}{120} π) \end{matrix}$ ,p分量的反射系数为0.71×exp $\begin{matrix} (i \frac{47}{90} π) \end{matrix}$ 。

图 7. 倏逝波的传输。(a)电场模图;(b)电场s分量图

Fig. 7. Transmission of evanescent wave. (a) Electric field pattern; (b) s component of electric field

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接下来研究当在角锥的3个反射面上分别镀上优化后的双层薄膜时,入射光经角锥传输后的偏振变化情况。图9所示为COMSOL软件中角锥的全局坐标系及底面上入射光和出射光的局部坐标系,所有的坐标系都是左手坐标系。局部坐标系是COMSOL软件中预定义的,且出射光束和入射光束对应的入射面也不相同。

图 8. 图7中局部放大的倏逝波传输。(a)电场模图;(b)电场s分量图

Fig. 8. Enlarged view of transmission of evanescent wave in Fig. 7. (a) Electric field pattern; (b) s component of electric field

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图 9. 描述偏振态的坐标系定义

Fig. 9. Definition of coordinate system for describing polarization state

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由于角锥底面上光束垂直入射,光的传输方向和底面的法线方向平行,为了确定线偏振光的水平分量和垂直分量,需要定义一个初始偏振参考坐标系。以与图1中棱BC平行的方向作为初始偏振参考坐标系的s'轴方向,通过左手定则确定p'轴方向。在s'p'坐标系中,线偏振光的垂直分量为sinα,平行分量为cosα,其中α为该坐标系的极化角。s'p'坐标系与入射光束坐标系sp之间存在一个坐标旋转矩阵,s'p'坐标轴绕k'轴逆时针旋转30°得到sp坐标轴,即

\begin{matrix} [\begin{matrix} p \\ s \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos 30 ° & \sin 30 ° \\ - \sin 30 ° & \cos 30 ° \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} p' \\ s' \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos 30 ° & \sin 30 ° \\ - \sin 30 ° & \cos 30 ° \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} cosα \\ sinα \end{matrix}] 。 (15) \end{matrix}

极化角不同的线偏振光从角锥底面垂直入射,经过123路径传输,从底面与入射光束反向平行出射,用斯托克斯参量来描述底面上入射光和出射光的偏振态,图10所示为归一化的斯托克斯参数。

图10(c)中出射光的归一化斯托克斯参量S₃的绝对值小于0.0018,可近似为0。由图10可以得到出射光的斯托克斯参量和入射光的斯托克斯参量具有如下的关系

\begin{matrix} {[\begin{matrix} 1 \\ - S_{1} \\ S_{2} \\ 0 \end{matrix}]}_{out} = M \cdot {[\begin{matrix} 1 \\ S_{1} \\ S_{2} \\ 0 \end{matrix}]}_{in}, (16) \end{matrix}

图 10. 出射光和入射光的归一化斯托克斯参量。(a) S₁;(b) S₂;(c) S₃

Fig. 10. Normalized Stokes parameters of output light and incident light. (a) S₁; (b) S₂; (c) S₃

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式中:M为穆勒矩阵。

当入射光在角锥中沿着传输路径123—321往返传输一次后,有

\begin{matrix} {[\begin{matrix} 1 \\ S_{1} \\ S_{2} \\ 0 \end{matrix}]}_{out} = {[\begin{matrix} 1 \\ S_{1} \\ S_{2} \\ 0 \end{matrix}]}_{in}, (17) \end{matrix}

说明用PSO算法得到的参数可以实现角锥的保偏。为了更具体地研究偏振变化,用方位角和椭圆率以及复振幅比(CAR)来描述光的偏振态,出射光中复电场矢量的两个相互正交的分量分别用E_pout×exp(iφ_p)和E_soutexp(iφ_s)表示,其中E_pout和E_sout分别为平行场分量振幅和垂直场分量振幅,φ_p和φ_s分别为平行场分量和垂直场分量的相位,复振幅分量与方位角和椭圆率χ具有如下关系^[4]:

\begin{matrix} \{\begin{matrix} ψ = Re \{\arctan \{\frac{E_{pout}}{E_{sout}} \exp [i (φ_{p} - φ_{s})]\}\} \\ χ = \arctan \{\tan h \{Im \{\arctan \{\frac{E_{pout}}{E_{sout}} \exp [i (φ_{p} - φ_{s})]\}\}\}\} \end{matrix} 。 (18) \end{matrix}

当方位角在[-40°,40°]变化时,实际出射光相对于理想出射光的方位角变化量为Δψ=ψ_ideal-ψ_real,椭圆率的变化量为Δχ=χ_ideal-χ_real,以6条不同的路径往返传输后,结果如图11所示。

当入射光波长为1064 nm,角锥的折射率为2.16,介质薄膜1的折射率为1.515,薄膜1厚度为129.67 nm,介质薄膜2的折射率为2.15,薄膜2厚度为231.48 nm时,对于方位角在[-40°,40°]的线偏振光,都有 $\begin{matrix} |Δψ| \end{matrix}$ ≤0.2°, $\begin{matrix} |Δχ| \end{matrix}$ ≤0.0045°。接下来与其他研究结果进行比较,在Lee^[3]的研究中,

图 11. 不同传输路径中实际出射光相对于理想出射光的方位角和椭圆率的偏差。(a)方位角;(b)椭圆率

Fig. 11. Deviation of azimuth and ellipticity of actual output light in different transmission paths with respect to ideal output light. (a) Azimuth; (b) ellipticity

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需要在角锥的反射面镀上4层膜,并且只能实现s分量或者p分量的保偏;在Bieg^[4]方位角的变化量小于0.6°,椭圆率的变化量约为3°;在任远^[17]的研究中,使用外加波片的方式实现任意偏振态的保偏,但出射光的椭圆率变化量约为5°,本研究提出的方案只需要镀双层膜,在工艺上要比其他镀膜方案更简单,从保偏的效果来看,出射光更接近入射光,不论是方位角的变化量还是椭圆率的变化量都小于0.2°。

6 结论

针对角锥中的失偏效应,通过分析Goos-Hänchen位移和相位变化的关系,提出了基于倏逝波场的双层膜系保偏结构,采用PSO算法优化薄膜折射率和厚度等参数,然后用COMSOL软件仿真倏逝波传输和光束在角锥中传输。仿真结果表明该结构较好地实现了偏振态的保偏,当任意方向的线偏振光在角锥中以不同传输路径传输时,其方位角的相对误差约为0.5%,椭圆率接近于0。

参考文献

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1 引言

2 角锥的失偏效应

图 1. 光在角锥中的传输及其反射次序。(a)传输路径;(b)反射次序

Fig. 1. Transmission of light in a corner cube and its reflection order. (a) Transmission path; (b) reflection order

3 理论分析

图 2. 薄膜厚度与Goos-H?nchen位移的关系^[12]

Fig. 2. Relationship of film thickness and Goos-H?nchen displacement^[12]

图 3. 角锥薄膜结构模型

Fig. 3. Model of corner cube coated thin films

图 4. 介质薄膜交界面上的电场分布

Fig. 4. Electric field distribution at the interfaceof dielectric film

4 PSO算法

表 1. 介质薄膜参数的仿真结果

Table 1. Simulation results of thin film parameters

图 5. PSO算法的伪代码

Fig. 5. Pseudocode of PSO algorithm

5 仿真与保偏效果分析

图 6. 角锥薄膜结构的仿真模型

Fig. 6. Simulation model of corner cube coated thin film structure

图 7. 倏逝波的传输。(a)电场模图;(b)电场s分量图

Fig. 7. Transmission of evanescent wave. (a) Electric field pattern; (b) s component of electric field

图 8. 图7中局部放大的倏逝波传输。(a)电场模图;(b)电场s分量图

Fig. 8. Enlarged view of transmission of evanescent wave in Fig. 7. (a) Electric field pattern; (b) s component of electric field

图 9. 描述偏振态的坐标系定义

Fig. 9. Definition of coordinate system for describing polarization state

图 10. 出射光和入射光的归一化斯托克斯参量。(a) S₁;(b) S₂;(c) S₃

Fig. 10. Normalized Stokes parameters of output light and incident light. (a) S₁; (b) S₂; (c) S₃

图 11. 不同传输路径中实际出射光相对于理想出射光的方位角和椭圆率的偏差。(a)方位角;(b)椭圆率

Fig. 11. Deviation of azimuth and ellipticity of actual output light in different transmission paths with respect to ideal output light. (a) Azimuth; (b) ellipticity

6 结论

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1 引言

2 角锥的失偏效应

图 1. 光在角锥中的传输及其反射次序。(a)传输路径;(b)反射次序

Fig. 1. Transmission of light in a corner cube and its reflection order. (a) Transmission path; (b) reflection order

3 理论分析

图 2. 薄膜厚度与Goos-H?nchen位移的关系[12]

Fig. 2. Relationship of film thickness and Goos-H?nchen displacement[12]

图 3. 角锥薄膜结构模型

Fig. 3. Model of corner cube coated thin films

图 4. 介质薄膜交界面上的电场分布

Fig. 4. Electric field distribution at the interfaceof dielectric film

4 PSO算法

表 1. 介质薄膜参数的仿真结果

Table 1. Simulation results of thin film parameters

图 5. PSO算法的伪代码

Fig. 5. Pseudocode of PSO algorithm

5 仿真与保偏效果分析

图 6. 角锥薄膜结构的仿真模型

Fig. 6. Simulation model of corner cube coated thin film structure

图 7. 倏逝波的传输。(a)电场模图;(b)电场s分量图

Fig. 7. Transmission of evanescent wave. (a) Electric field pattern; (b) s component of electric field

图 8. 图7中局部放大的倏逝波传输。(a)电场模图;(b)电场s分量图

Fig. 8. Enlarged view of transmission of evanescent wave in Fig. 7. (a) Electric field pattern; (b) s component of electric field

图 9. 描述偏振态的坐标系定义

Fig. 9. Definition of coordinate system for describing polarization state

图 10. 出射光和入射光的归一化斯托克斯参量。(a) S1;(b) S2;(c) S3

Fig. 10. Normalized Stokes parameters of output light and incident light. (a) S1; (b) S2; (c) S3

图 11. 不同传输路径中实际出射光相对于理想出射光的方位角和椭圆率的偏差。(a)方位角;(b)椭圆率

Fig. 11. Deviation of azimuth and ellipticity of actual output light in different transmission paths with respect to ideal output light. (a) Azimuth; (b) ellipticity

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图 2. 薄膜厚度与Goos-H?nchen位移的关系^[12]

Fig. 2. Relationship of film thickness and Goos-H?nchen displacement^[12]

图 10. 出射光和入射光的归一化斯托克斯参量。(a) S₁;(b) S₂;(c) S₃

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