1 引言

线结构光非接触式测量技术因测量精度高得到了广泛的应用,而其光平面标定结果会直接影响系统的测量精度。为了得到较高的标定精度,很多专家学者对此进行了研究。现在主要的标定方法有基于平面靶标法^[1-4]、基于平面直线拟合^[5-6]及直线消影原理法^[7],其中关于平面靶标法的研究较为广泛。

周富强等^[1]提出了一种基于未知运动平面靶标的线结构光标定方法,该方法通过交比不变性计算光平面标定点,但是获取特征点的效率较低,数量不足。在此基础上,Wei等^[2]采用双重交比不变方法减少靶标的放置次数,显著提高了特征点数量,但该方法需要制作高精度的三维靶标,增加了标定成本。张瑞峰等^[3]利用靶标平面方程与图像点对应射线相交求解标定点。李爱娟等^[4]通过直线方程采样增加标定点数,提高了标定精度,但是单图像点提取偏差大,另外实际的多条空间光条线并非共面,人为选取点的位置会降低求解精度。刘震等^[5-6]则从靶标面上直线角度出发,利用直线Plücker矩阵求解光平面方程,求解精度高,并且所有直线上的特征点都参与运算,但是每次需要计算靶标面空间方程和光条投影面方程,求解点与空间平面对偶性时会引入较多的变量,另外,前期忽略了对输入数据的优化。许丽等^[8]通过误差传递理论和矩阵扰动理论,分别对系统的测量误差和光平面标定误差进行误差传递分析,发现利用拟合直线求交点的方法得到的误差远小于图像点提取的误差,验证了直线参与标定光平面的精度比特征点参与时的更高。陈天飞等^[7]则从直线在射影空间中的消隐原理出发,运用精密的运动机构进行平移运动,并构建辅助约束,这虽然不需要靶标和特征点,但是需要辅助运动机构求解第4个量。

以上方法中有通过大量特征点计算光平面的,其求解速度慢且需要已知的基准点辅助求解,另外受人为选择影响,选取的特征点分布不均匀;而在以直线计算光平面的方法中,过程比较繁琐,或需要辅助装置计算第4个未知量。为此本文提出了一种基于直线空间变换的线结构光光平面标定方法。该方法根据平面单应性矩阵快速求解靶标面的二维直线方程,并根据靶标坐标系的特殊性构建三维Plücker矩阵形式直线方程,利用直线进行光平面拟合;充分利用整条激光线数据,不需要求解靶标面方程和投影面方程,另外采用直线进行拟合时,利用滑动平均法和正交回归拟合法,保证了前期数据点的抗噪性,增加了标定结果的准确性,从而所提方法满足实际线结构光的测量要求。

2 线结构光视觉测量模型

线结构光测量装置主要由激光投射器和相机组成,其几何结构如图1所示。 OwXwYwZw为世界坐标系, OcXcYcZc为相机坐标系, ouv为图像坐标系,点 P为激光线与待测物体交线上任意一点,其在图像平面上对应的投影为点 p。

图 1. 线结构光几何传感器示意图

Fig. 1. Schematic of line structed light geometry sensor

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根据建立的相机成像透视模型^[9],图像坐标系下的点 u,v经相机射影变换后与世界坐标系下的点 xw,yw,zw的对应关系为

suv1=αcu00βv0001RTxwywzw1=MRTxwywzw1,(1)

式中: s为比例因子; M为相机内参矩阵; α,β分别为摄像机在 x,y方向上的归一化焦距; c为摄像机 x轴和 y轴之间的不垂直因子; u0,v0为光轴在图像坐标系下的偏移量;矩阵 RT为外部参数, R、T分别表示世界坐标系与摄像机坐标系之间的旋转、平移关系。相机内参 M可根据文献[ 9]完成标定。

相机坐标系下,线结构光的光平面方程可表示为

A·xc+B·yc+C·zc+D=0,(2)

式中: [ABCD]为光平面方程系数,即光平面待标定参数。完成光平面标定后联立(1)、(2)式,求解得到激光线上每个点对应的相机坐标下的三维坐标。

3 基于直线空间变换的光平面标定方法

3.1 平面光条中心线提取

在实际生产环境中,光条成像受外界光源、靶标面不均匀反射影响,存在很多噪声,它们会影响光条中心的提取。采用文献[ 10]中的互相关算法,利用邻域光条纹的相关联性提取光条,即在场景本身深度与物体表面反射特性未发生突变的场合下,条纹灰度的变化是相对平稳的。因此,相邻条纹中心点间的坐标位置与灰度值均具有一定的相似性,利用这种相似性可以在很大的程度上降低噪声的干扰,从而能够提高中心条纹提取精度。以行为单位,使用灰度重心法提取光条中心。另外在光条作用于平面成像为一条直线的前提下,利用五点滑动平均(5MA)法^[11]对提取的光条中心点进行预处理,实现过程如图2所示。

图 2. 5MA平滑

Fig. 2. 5MA smooth

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5MA法取邻近5点均值来消除光条点的随机误差,即由当前点 p=(xm,ym)与上下临近4个点的平均值确定 p'=(x'm,y'm),公式为

x'm=xm-2+xm-1+xm+xm+1+xm+25y'm=ym。(3)

直线拟合常用方法有代数距离和欧氏距离2种。代数距离只考虑光条点集 y与观察值 y˙之间的距离约束,忽略了 x方向的误差,且无法表示竖直方向的直线,据文献[ 12],正交回归法具有较好的拟合效果与旋转不变性。为此采用点法式正交回归法拟合光条中心线,以点到直线的欧氏距离建立新约束函数 e:

e=∑i=0n|v·vTpi'-p0|2,(4)

式中: v为待拟合直线方向单位向量; p0为待拟合直线上一点, pi'为光条提取点。使用奇异值分解(SVD)得到图像中的光条直线方程。

3.2 空间直线方程求解

在二维射影变换中,平面直线方程 a·u+b·v+c=0的齐次表达式为

abcuv1=I·x=0,(5)

式中:直线方程系数 I=abcT;x为在平面直线上点坐标的齐次矢量。

满足中心投影映射的两个平面之间存在单应性矩阵 H^[13]变换关系,如图3所示,两平面中对应点 x'与 x满足的对应关系为

x'=Hx。(6)

图 3. 点、直线二维射影变换

Fig. 3. Two-dimensional projective transformation of a point and a line

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利用图像上光条中心点与靶标面上点之间的单应性关系和直线方程的齐次表达式,可推导得到两平面上光条中心线单应性变换关系为

I·x=0x'=Hx⇒I·H-1·x'=0⇒I'=IH-1,(7)

式中: I'为靶标面上光条直线方程系数。其中,利用图像标记点与靶标平面标记点之间的映射关系,采用Ransac算法完成未知位置的单应性矩阵H的求解。根据图像的直线方程,便可以求解出对应靶标面上的光条中心线的方程。

如图4所示,在建立的空间直线变换模型中,靶标面上所有点具有特殊性,其在靶标空间坐标系中满足z_w=0,为此可将原先的二维直线方程上的点全部拓展至三维。选取光条上任意两点 A=(xa,ya,za,1)T,B=(xb,yb,zb,1)T,其中z_a=z_b=0,将空间直线的方程组解析式转换成Plücker矩阵形式^[13],便于矩阵运算,直线的Plücker表达形式 Lw不受取点大小影响。 Lw的表达式为

Lw=ABT-BAT=0l12l13l14-l120l23l24-l13-l230l34-l14-l24-l340lij=Ai·BTj-Bj·ATi。(8)

图 4. 空间直线变换模型

Fig. 4. Spatial line transformation model

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靶标与相机坐标系的转换关系可用相机成像模型(8)式求解得到:

suv1=αcu00βv0001RTxwywzw1=ARTxwywzw1。(9)

图像上圆形标记点与靶标坐标系下的圆形标记点之间存在N点透视关系PnP(perspective N-point),因此可建立两者之间的重投影误差函数,使用Levenberg-Marquardt算法^[14]优化重投影误差函数,获得非线性最优解 R和 T。根据坐标系转换,得到了两坐标系下对应点的关系,表达式为

Xc=XwRT01=XwP。(10)

进一步可推出空间直线变换对应关系为

Lc=PA(PB)T-PBPAT=PLwPT,(11)

式中: Lc为相机坐标系下的直线方程; P为位姿转换矩阵。由此得到了当前位姿下光平面与靶标平面相交所得的直线方程。

3.3 光平面方程计算

激光线 Lc为光平面 π与靶标平面交线,其与光平面共面,根据线面约束方程^[13],可知

Lc·π=0。(12)

多次移动靶标平面( n≥2),得到多组光平面上的直线 Lci,建立线面方程组

LT·π=0,L=Lc1,Lc2,…,Lcn。(13)

由于参与拟合光条直线方程的数据存在提取误差,可增加激光线数量,将多个线面约束方程求解问题转换成超静定齐次方程组的最小二乘解问题,利用SVD分解 L(L=UDVT),其中 U为酉矩阵, D为奇异值沿对角线从大到小构成的对角矩阵, V为酉矩阵。 D中最小奇异值在 VT对应的特征向量为平面方程的系数 π,从而完成光平面方程参数求解。

4 实验验证与分析

为了验证标定结果的精度,通过定量实验进行分析。选用分辨率为1280×960的映美精工业相机,镜头选择焦距为8mm的AZURE的定焦镜头,激光器为波长为660nm的NLlaser,滤光片选用AZURE660nm的窄带滤光片,平面制造精度为0.01mm的氧化铝标定板。

4.1 光平面标定实验

首先通过文献[ 9]中的方法完成相机内参标定,然后利用自行设计的平面圆形靶标完成坐标系位姿转换与直线方程求解。大圆点确定坐标系,根据与大圆点的位置关系确定小圆点坐标,其中中间空白部分用于投射激光线。拍摄具有光条图像的平面靶标,如图5所示,并进行图像矫正,然后对图像光条进行预处理、对光条中心进行亚像素提取和采用5MA法进行线性平滑,利用平面单应性完成图像平面向空间靶标面的转换;提取靶标圆心,根据靶标中m个二维圆心与三维圆心坐标的对应关系即PnP^[15]实现相机位姿结算,最终实现相机坐标系与世界坐标系的转换。由多幅视图的光条直线的线面约束方程完成光平面标定。

图 5. 所提方法拟合的光平面

Fig. 5. Light plane fitted by proposed method

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对Plücker直线方程拟合光平面的方式和采用具有交比不变性的靶标特征点^[1]拟合光平面法进行对比。图6中p₁、p₂、p₄为圆形靶标圆心点,p₃为光条与p₁p₂p₄所在直线的交点,利用交比求解空间中p₃点坐标。实验共选取10张图片用于标定,两种方法的光平面方程参数(A、B、C、D)标定结果及程序时间消耗如表1所示。

图 6. 交比法拟合的光平面

Fig. 6. Light plane fitted by cross ratio method

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所提方法与交比法标定结果相近,分别为 0.8813x-0.0699y-0.4120z+85.7558=0与0.9095x-0.0700y-0.4097z+85.2136=0,存在些许偏差。其中10张图片完成标定后,所提方法耗时为19.584s,交比法耗时为23.645s,标定速度提高了17.21%。

4.2 标定精度验证与对比实验

光平面精度验证没有统一的评判标准^[16],采用重建质量间接评估标定精度,分别选择标准台阶块和圆柱体进行线结构光测量。

在图7(a)中,标准台阶块A和B两点间距为20mm,C和D两点间距为25mm,E和F两点间距为25mm。由运动执行机构带动测头沿标准块运动,扫描得到整个点云,如图7(b)所示。

选择点云截面方向进行测量,如图7(c)所示,考虑到滤波影响,边缘部分会缺失,测量误差会大些,选择中间C和D两点部分进行测量。采用两种方法分别在重建点云的5个不同位置作截面线,进行长度尺寸测量,测量结果如表2所示。

图 7. 标准台阶块实验。(a)台阶块及特征点;(b)台阶点云;(c)截面形状

Fig. 7. Standard step block experiment. (a) Step block and feature points; (b) step point cloud; (c) section shape

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采用交比法测量标准块长度时,测量尺寸的平均误差为0.0456mm,方均根(RMS)为0.157mm;所提方法测量结果的平均误差为0.0292mm,RMS为0.065mm。不管从测量结果的稳定性还是精度上,所提方法所得结果都比交比法提高了1倍左右。

线激光在平面上的成像特征比较容易提取且实验环境较为理想,但实际环境中常常需要面对复杂的曲面信息,为此对圆柱体进行测量,验证将所提方法标定的光平面用于曲面环境下的测量效果。选择的圆柱直径为9.800mm,在其截面上同一位置投射4次激光线,重建圆柱体的三维轮廓,使用Geomagic软件拟合圆柱外围轮廓圆,如图8所示,其测量结果如表3所示。

图 8. 圆柱实验。(a)圆柱样件;(b)拟合圆

Fig. 8. Cylinder experiment. (a) Cylindrical specimen; (b) fitted circle

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圆柱直径的测量平均误差为0.047mm,RMS为0.048mm,由于采用数据点来拟合圆,直径结果得到了很好的修正。测量误差与重复性精度较好地说明了所提光平面拟合方法能够满足实际环境下的测量要求。

5 结论

传统的光平面标定方法利用已知的基准点求取有限个光平面特征点,并进行标定,此时特征点数量少,且空间分布不均匀,没有利用光条自身的数据信息。本文基于直线空间变换的光平面标定,优化了前期数据,使用单应性矩阵快速求解空间直线方程,该方法将所有数据点用于光平面标定,避免了异面点选取的标定误差,不需要单独求解特征点坐标,增强了标定结果的鲁棒性,提高了标定速度。实际环境测量下,所提方法测量标准块尺寸的平均误差小于0.03mm,方均根为0.065mm,重复精度高、稳定性强,比交比法的重建测量结果提高了1倍左右。在将来的实际测量中,配合更高像素的相机和平面度较高的标定板可望获得更高的标定精度。