1 引言

随着人类对宇宙认知的不断加深,卫星、载人飞船等载体需要得到更加精确的姿态信息。在通常情况下,载体的姿态信息是通过比较两个坐标系之间的关系得到的。根据姿态传感器测量得到的两个坐标系之间的相对关系,可以推测载体的姿态变化^[1]。姿态传感器主要有太阳、地球和星敏感器等仪器^[2],器件精度最高的要属星敏感器^[3]。星敏感器是一种以恒星为观测对象的姿态测量仪器^[4],具有精度高、体积小、自主性强、功耗低、抗干扰性强、重量轻等优点,目前已经成为空间航天器姿态测量系统的首选^[5-6]。

星图定位是星光导航中的关键技术。由于透镜的散射作用和大气的影响,星图目标成像过程具有点扩展函数(PSF)模糊效应^[7-9]。目前星点的定位常用算法有灰度质心法(GC)^[10-12]和加权灰度质心法(WGC)^[13-15]。质心法可以看成是以灰度为权值的加权方法^[16],简单明了,运算量小,但只有灰度呈对称分布的目标才能获得理想的效果。而实际的星点中心附近的灰度分布是非均匀对称的,并且星点边缘的像素受噪声的影响较大,这将导致质心法的抗干扰能力较弱,容易受到系统噪声的影响。加权灰度质心法除了考虑像元的灰度值外,还考虑像元与中心点的距离d,由于光斑边缘像素易受到噪声的污染,可信度较低,而靠近中心点的像素的可信度较大,因此将1/d作为加权函数,可以减弱噪声的干扰^[17]。当光斑分布不是近似高斯分布时,该方法依然有较高的精度,改善了质心法受噪声影响大的现象。

受图像传感器角分辨率精度的影响,星敏感器拍摄的星图的分辨率会受到限制。为了在已有的星图数据的基础上提高分辨率,常通过插值算法,根据已有的像素灰度分布扩充像素数据,使得目标像点定位精度突破探测器的像元尺度,达到亚像元级别^[18-20]。

常用的插值算法是双线性插值,在星图的两个方向上,待插点像素取其相邻的4个像素值的线性内插,权重由待采样点与4个邻点的距离来确定。然而,待插点的函数值(对应高斯光斑的灰度值)分布是非均匀变化的,例如在光斑的中心附近,邻近的两个像素点之间的灰度值差距很小,但是在光斑中段的某些区域内,邻近的两个像素点的跳跃却比较大。为了使插值后的结果更好地逼近真值,本文提出了一种基于改进线性插值的星点定位方法,根据插值点与星点中心的距离,设置不同的权重,使得插值数据尽可能地逼近真实值,提高了计算精度。

2 基本原理

2.1 基于线性插值的星点定位方法

由于星敏感器光学系统的离焦等对成像的影响,像点弥散,恒星可看成是理想平行光源。当其在像平面聚焦时,成像光斑的能量分布符合点扩展函数的特征,出现灰度从中心向四周逐渐降低的弥散效应。同时,星图受到背景噪声的影响,背景噪声可以看作是高斯白噪声。

假定f(x,y)是星图图像中(x,y)处的灰度值,(x₀,y₀)为星点中心,则星图中各个像素点的灰度值可表示为

f(x,y)=A·exp{-12σ2[(x-x0)2+(y-y0)2]}+n(x,y),(1)

式中:A为中心点的灰度值;σ为像点光斑弥散半径大小;n(x,y)为高斯白噪声。

选定A=0.99,σ=10,图片分辨率为256 pixel×256 pixel,星点中心在图像的中心,噪声方差为0.02,得到图1所示的不受噪声影响的星图和受噪声影响后的星图。

图 1. 单个星点成像图。(a)无噪声;(b)有噪声

Fig. 1. Images of single star point. (a) Without noise; (b) with noise

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基于线性插值的星点定位方法的具体过程如下:先采集星图的灰度值数据,确定分割阈值,然后采用阈值法得到二值化后的图像,接着进行连通域的划分和归类,得到属于某一个编号的星图数据,最后通过线性插值提高星图数据的分辨率,利用质心法计算出星图的中心坐标。

线性插值法虽然提高了星图的分辨率,但该方法利用线性的方法对非线性函数进行插值,结果与实际的函数值会存在误差,这个误差在原函数为线性函数时才会逼近零。为了在提高分辨率的同时尽量减少插值数据和实际数据之间的误差并更好地描述原函数,提出了基于改进线性插值的星点定位方法。

2.2 基于改进线性插值的星点定位方法

星点在星敏感器上形成的星图光斑分布满足点扩展函数的特征,将二维的函数模型转化为一维函数,以便分析。令d²= (x-x0)2+ (y-y0)2,一维的函数表达式为

f(d)=A·exp-d22σ2,(2)

求取(2)式的一阶导数和二阶导数,结果为

f'(d)=-Adσ2exp-d22σ2f″(d)=A(d2-σ2)σ4exp-d22σ2。(3)

由此可以得到表1所示的分析结果。由于原函数是偶函数,因此只需要分析定义域中大于零的部分即可。从表1中可以看出,在(0,σ)范围内,二阶导数小于零,所以原函数在该范围内是凸函数。在(σ,+¥)范围内,二阶导数大于零,原函数在该范围内是凹函数。对于凸函数,如图2(a)所示,在线性插值过程中,将函数在差值范围内看成是线性变化的,即将原函数等同于线段AB。假设插值后的数值为f₁(x+u),原函数在该处的真实值为f₀(x+u),令d=f₀(x+u)-f₁(x+u),通过图2可以看出d>0。对于凹函数,在线性插值过程中,由于线性化处理,d<0,如图2(b)所示。因此,在线性插值的基础上,根据函数的类型,增加权值因子,对各个位置的函数值的权重进行调整,以减小线性插值带来的误差。

图 2. 不同函数的线性插值结果。(a)凸函数;(b)凹函数

Fig. 2. Linear interpolation results of different functions. (a) Convex function; (b) concave function

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增加权值因子后,差值计算公式为

f(x+u,y+v)=p11(1-u)(1-v)f(x,y)+p12v(1-u)f(x,y+1)+p21u(1-v)f(x+1,y)+p22uvf(x+1,y+1),(4)

式中:p_ij(i,j=1,2)是权值因子,其中i为待插入点紧邻的周围四点的行编号, j为待插入点紧邻的周围四点的列编号;u、v是小于1的正数。

定义d_ij为f(x+i-1,y+j-1)与星点中心(x₀,y₀)的距离,其中(x₀,y₀)是在线性插值前计算出来的简易中心坐标。

对于凸函数,若增加B点的权值并减小A点的权值,D点的函数值就会变大并逼近真值。此处考虑将函数点与高斯函数最大值处的距离函数设置为权值因子。因为B点较A点距离最大值处更近,所以将距离的倒数作为权值因子,由此得到的二维函数的权值因子和归一化后的权值因子结果分别为

p11=1d11p12=1d12p21=1d21p22=1d22,(5)

p11=4d12d21d22d12d21d22+d11d21d22+d12d11d22+d12d21d11p12=4d11d21d22d12d21d22+d11d21d22+d12d11d22+d12d21d11p21=4d12d11d22d12d21d22+d11d21d22+d12d11d22+d12d21d11p22=4d12d21d11d12d21d22+d11d21d22+d12d11d22+d12d21d11。(6)

对于凹函数,若减小B点的权值并增加A点的权值,D点的函数值就会减小并逼近真值。将距离作为权值因子,因为B点较A点距离最大值处更近,所以权值因子和归一化后的权值因子分别为

p11=d11p12=d12p21=d21p22=d22,(7)p11=4d11d11+d12+d21+d22p12=4d12d11+d12+d21+d22p21=4d21d11+d12+d21+d22p22=4d22d11+d12+d21+d22。(8)

利用采集到的星图数据,判断出函数凹凸的分界点,即求取星图灰度值矩阵的梯度矩阵,其最值的位置就是凹凸分界点。同时根据表1可以看出,与中心点距离为σ的位置即为分界点。根据高斯型函数的3σ原则可知,整个函数99.74%的能量在d≤3σ的范围内,同时阈值分割去除了星图中的背景部分,所以可以利用该范围内二值化后的星图计算星点坐标。由此可以得到,凹凸的分界点在d为二值化后星图尺寸的1/6处。插值后,利用质心法就可以求出星点的精确坐标。

综上所述,利用基于改进线性插值的定位方法求取星点中心的步骤如下。

1) 利用质心法求取阈值分割后的星图的简易中心坐标。

2) 求取星图灰度值矩阵的梯度矩阵或计算矩阵的尺寸大小以得到凹凸分界点。

3) 在凹凸函数部分利用(5)、(6)式进行插值计算。

4) 利用质心法求取星点的精确坐标。

3 仿真实验

3.1 仿真实验方法

为了验证本文所提方法的有效性,采用以下的仿真实验方法。为了更加真实地模拟实际的星图,需要考虑误差源。星敏感器的噪声来源主要有两类:一类是星空背景噪声,一般情况下其影响较小;另一类是器件本身的噪声,包括光学系统的安装误差、焦距的偏差以及非对称像差,其中安装误差和焦距的偏差属于系统误差,而星点在像面的位置是不确定的,非对称像差当作随机误差进行处理。仿真时对系统误差进行校正处理,认为校正后无系统误差,星敏感器的随机误差用高斯白噪声代替,以此得到近似的星图。实验中设定光轴的指向为赤经120°,赤纬30°,视场为12°×12°,星敏感器的分辨率为256 pixel×256 pixel,星点的随机误差为0.02 pixel,成像模型选取σ=0.65的点扩展函数,硬件配置为Intel 2.5G CPU,4G内存。选取依巴谷星表中小于6星等的恒星进行模拟仿真,仿真结果如图3所示,星图中的各个星点的真实坐标如表2所示。

本文分别使用线性插值法和基于权值因子的改进线性差值方法来提取星点的中心坐标。现定义各个方法得到的第l个目标的中心为(x_l,y_l),其真实坐标为( xl0, yl0),m为目标的个数。计算中心和实际中心的平均偏离误差为

de=1m∑l=1m(xl-xl0)2+(yl-yl0)2。(9)

从图3可以看出,星图上共有18颗星,所以m=18。m=1时d_e为单个目标的偏离误差。

图 3. 模拟的噪声星图

Fig. 3. Simulated noise star map

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3.2 实验结果

进行阈值分割和二值化后,两种插值方法求取的中心坐标的结果如表3所示。可以看出,相较于线性插值法,基于权值因子的改进线性插值方法提高了星点的定位精度,平均偏离误差从0.15 pixel减小到0.1268 pixel,减少了15.4%。图4所示为精度提高比例图。综合图4和表3可以看出,单个目标偏离误差的最大减少比例达到了26.6%(从0.04 pixel减小到0.0295 pixel),单个目标偏离误差的最小减少比例为12.11%(从0.2613 pixel减小到0.2296 pixel)。

图 4. 精度提高比例

Fig. 4. Accuracy improvement ratio

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各个星点坐标提取的偏离误差如图5所示,可以看出,对于不同的星点目标,偏离误差并不是几乎不变的,存在一定的波动。但是对于每个星点目标来说,与线性插值方法相比,基于权值因子的改进线性插值方法的偏离误差都较小,所提出的改进线性插值方法的偏离误差小于已有的线性插值方法。对于第15号星,星点定位的偏离误差最小,精度提高比例最大,而第4号和第10号星点定位的偏离误差较大,精度提高比例较小。从整体上看,对于星点定位偏离误差较小的恒星,星点定位的精度提高比例较高,反之则较低。对于星点定位精度较大的恒星,其星等较小,亮度较亮。阈值分割后,恒星在星图上的弥散区域半径越大,占据的像素点数也就越多,线性插值时可利用的有效信息也就越多。当恒星较暗时,恒星在星图上占据的像素点数较少,甚至在阈值分割后的星图上弥散半径小于1 pixel。因为线性插值时利用的信息有限,所以定位误差较大。对于两种插值方法,偏离误差的波动情况接近,所以误差的波动并不是插值方法导致的。不同恒星的星等是不同的,且星等和亮度之间是指数关系,星等较大的恒星,占据的像素数较多,线性插值时可利用的像素数也就较多。因此,星点定位坐标的计算精度会受到恒星星等的影响。此外,周围恒星的成像光斑对恒星自身的影响以及恒星在天球坐标系中的分布均会影响偏离误差的波动情况。

图 5. 各个星点中心的提取误差

Fig. 5. Center extraction error of each star point

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4 结论

通过对高斯函数求取导数,将高斯函数分为凹凸函数两类,并分析了线性插值结果和真值之间的关系,提出了一种基于权值因子的改进线性插值星点定位方法。该方法通过引入函数点到最大值处的距离,根据不同类别的凹凸函数,给出了相应的权值因子的计算方法。根据权值因子,调整相邻函数值的权重,减少了线性插值方法计算星点中心的误差。仿真实验结果表明,基于改进线性插值的星点定位方法可以有效地计算出星点的中心,与传统的线性插值方法相比,平均偏离误差减小了15.4%,定位精度得到提高。

所讨论的情况是以星点高斯分布为前提的,实际上由于受到光学系统的影响,星图边缘的星点分布并非严格的高斯分布,对于利用所有星点来构造星模式并进行星图识别的算法来说,所提方法的精度提高比例将受到影响,对于只利用星图中心附近的部分星点来构建主星模式的算法来说,影响较小。后续的研究重点是寻找更合理的权值因子计算方法,提高运算速度。