光学基础知识大讲堂

——第16期:用光制作的陀螺

临近春节,总是会让人想起小时候过年的气氛,而如今除了春运,大抵已体会不出那浓浓的年味儿了。曾记得,小时候过年穿新衣、拜新年、放鞭炮,伐要忒开心哦!虽然那时候没有很多电脑、游戏,没有现代化的玩具,但是过得真的很快乐,而且那时候拥有的玩具大都是自制的,比如纸牌、陀螺等。好,那么今天就让我们重温小时候的记忆——最经典的玩具:陀螺。


1 高速转动中的陀螺(图片来源于网络)

显然,玩过陀螺的人都知道,陀螺最大的特点是什么?转。只有转起来陀螺才不会倒,而且转得越快,陀螺越稳,如果不额外施力,就会从图1上图慢慢变成下图,最后倾倒。其实这就是陀螺的一个特性,学名叫做定轴性。想象一下,如果陀螺不转,能直接放在平面上不倒吗?肯定是不行的,而且我们小时候自制的陀螺绝对达不到对称的标准,所以需要更快的转速来维持不倒的状态。
      定轴性相信比较好理解,好,下一个。通常,小时候玩陀螺如果一直这么转会觉得比较无聊,所以我们会让2个旋转陀螺对对碰,其实就是给陀螺施加一个外力,然后我们发觉陀螺会沿着一个大圆圈旋转,其实仔细看图1下方的图也可以发现,在重力的作用下,陀螺不仅在自转,而且绕着某一个圆心点在画圆圈公转。这就是陀螺的另一大特性:进动性。好吧,如果不明真相的观众觉得很懵,那么现在我们来看一个极端点的例子,上视频。

 

2 陀螺的进动性(视频来源于网络)

我们惊讶地发现高速旋转的车轮居然不会因为重力而掉下去,而是沿着绳子的支点公转。是不是感觉有那么点神奇,那么现在我们就用中学的受力分析来见证这个奇迹。


3 车轮的受力分析

首先,我们把车轮当做一个整体来考虑,由于重力的作用,会受到一个垂直向下的力,那么必须有一个垂直向上的力才能使它保持平衡。那这个力哪里来呢?接下来再局部分析,我们把车轮分别当做ABCD4个质点进行分析,假定车轮是逆时针旋转的,那么4个点的速度方向应该如图3所示,显然在只有车轮自转的情况下,4个质点的速度是一致的,也就是4个质点的离心力是一样的。这里需要补充一点:转速越快,离心力越大,就像洗衣机或者过山车的原理是一样的。那么如何才能让离心力不一样呢?现在我们让车轮沿着绳子的支点逆时针公转。这样的话,A点的速度就等于v+w,而B点的速度等于v-w,C和D点产生的离心力对于支撑重力没有帮助,所以就不用管它。根据离心力公式得知,离心力和速度的平方成正比,我们先简单计算一下:

显然,根据上式A点的离心力减去B点的离心力后的合力与vw成正比,也就是说,只要有足够快的转速,就能够抵消重力带来的影响,从而保持平衡。而且,当车轮是逆时针转动的,那么公转的方向也必须是逆时针的才能让向上的离心力大于向下的离心力。另外,当转速v足够大,公转w的速度就可以相对较小,所以得出结论:转速越快,陀螺就越稳定。


4 三自由度陀螺(图片来源于网络)

例如图4中的三自由度陀螺,我们给他一个外力,发现陀螺的中心轴的方向是不会变的,而是旋转内外框,就像前面车轮绕着支点公转一样,这就是陀螺的定轴性。那么,陀螺可以用来干什么呢?自然容易想到,可以用来导航,显然这比罗盘(指南针)要更有优势,因为罗盘需要有磁场才能工作,万一没有磁场就坏特了(上海话),而陀螺自然没有这个限制,所以经常用于飞机导航、航海导航、导弹定位等。涉及到导航或者定位,精度自然是我们最最关心的问题。好,那么问题来了,陀螺的精度到底由什么决定?因为利用的是陀螺的定轴性,所以我们要求陀螺的轴变动尽量小。换句话说,我们能做的就是让陀螺的转速尽量地快且稳。这里的稳是指转速很平均,举个极端的例子,如果转速一会儿很快很稳,但是一会儿又不转了,自然这个定位是不可能精确的,木桶原理显然适用在这里。
      好,问题又来了。我们怎么样才能测出陀螺的转速即快又稳呢,因为这决定这陀螺的精度?终于轮到光学的知识登场了。Come on,上图!


5 Sagnac干涉原理图

从图中可以看出,如果这个正方形系统不转动,那么红色a(逆时针)和黑色b(顺时针)的光走过的长度(光程)是一样的。那如果让系统转起来,由于光速是个定值,所以你会发现顺时针和逆时针的光路长度改变了,所以光在里面走过的光程不一样,因此这二束光打到屏幕上会有一定的光程差,根据干涉的原理,我们会发现屏上会形成干涉条纹,这就是常说的萨格奈克(Sagnac)效应。好,现在问题简单了,我们通过数条纹数,就可以得知陀螺的转速,不管是平均转速还是瞬时转速都可以算出来。图6就是已经制备好的激光陀螺仪。


6 激光陀螺仪(图片来源于网络)

显然,实际的陀螺仪系统相对比较复杂,因为光束传输过程中的任何改变或者反射镜的振动都会引起光程差的变化,从而改变干涉条纹,影响陀螺仪的精度。那有没有办法可以让系统不那么复杂?
      有,用光纤。让光在光纤中走自然可以大大减小系统的复杂度,而且一圈不够就二圈,二圈不够就十圈,通过这种方式可以大大提高干涉条纹对角速度的反应精度。当然,也不是说光纤陀螺只有好处没有坏处,比如光纤中散射引起的噪声就会大大影响陀螺仪的信号。显然,这丝毫不影响它称为陀螺仪未来的主导产品,值得期待!


7 光纤陀螺(图片来源于网络)
 

后记:这一期发布后,很多老师对这个陀螺的受力分析产生了质疑,思前想后这个解释说法确实欠妥,为了不误人子弟,下面再用力矩的方式来解释说明,希望能让您更加清晰明了,话不多说,进入正题。

显然,从前面的几个陀螺图我们可以看出,陀螺倒下是因为重力产生的重力矩的影响,那如果陀螺能够保持平衡,必然是因为有另一个相反的力矩使得它抵消了重力矩。


8 陀螺因为重力公转的受力分析图

图8(a)中如果轴向是一根支撑杆,那么自然陀螺不会因为重力产生影响。当然在这里我们没有对陀螺施加任何附加的力,仅研究重力的因素对陀螺产生的影响。
      接下来看图8(b),在这种情况下,陀螺肯定会因为重力下摆,逆时针下摆,应该非常好理解。根据前面的视频,我们得知如果陀螺在高速转动,那么它不会因为重力原因而倒下,好,接下来用力矩进行分析。


9 陀螺力矩分析

从图9(a),根据右手螺旋定理可知,逆时针自转的陀螺的动量矩方向向左。在重力的作用下,陀螺会往下掉,如图9(b)所示,那么动力矩H就可以分解为H1和H2,显然H2是因为重力矩的存在而多出来的,那么如果要阻止陀螺往下,就必须有一个额外的力矩H’来平衡,显然H’的力矩需要陀螺逆时针公转来提供,没有其他的方法了。这就是陀螺为什么不往下掉,而是公转的物理原因。