光场相干测量及其在计算成像中的应用

张润南; 蔡泽伟; 孙佳嵩; 卢林芃; 管海涛; 胡岩; 王博文; 周宁; 陈钱; 左超

doi:doi:10.3788/LOP202158.1811003

激光与光电子学进展, 2021, 58 (18): 1811003, 网络出版: 2021-09-02

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Optical-Field Coherence Measurement and Its Applications in Computational Imaging

论文大纲

张润南 ^1,2,3蔡泽伟 ^1,2,3,**孙佳嵩 ^1,2,3卢林芃 ^1,2,3管海涛 ^1,2,3胡岩 ^1,2,3王博文 ^1,2,3周宁 ^1,2,3陈钱 ^3,***左超 ^1,2,3,*

作者单位

¹ 智能计算成像实验室, 南京理工大学电子工程与光电技术学院, 江苏南京210094

² 南京理工大学智能计算成像研究院, 江苏南京210019

³ 江苏省光谱成像与智能感知重点实验室, 江苏南京 210094

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摘要

光场的相干性是定量衡量其产生显著的干涉现象所具备的重要物理属性。尽管高时空相干性的激光已成为传统干涉计量与全息成像等领域不可或缺的重要工具,但在众多新兴的计算成像领域(如计算摄像、计算显微成像),降低光源的相干性,即部分相干光源在获得高信噪比、高分辨率的图像信息方面具有独特优越性。因此,部分相干光场的“表征”与“重建”两方面问题的重要性日益凸显,亟需引入光场相干性理论及相干测量技术来回答计算成像中“光应该是什么”和“光实际是什么”的两大关键问题。在此背景下,系统地综述了光场相干性理论及相干测量技术,从经典的关联函数理论与相空间光学理论出发,阐述了对应的干涉相干测量法与非干涉相干恢复法的基本原理与典型光路结构;介绍了由相干测量所衍生出的若干计算成像新体制及其典型应用,如光场成像、非干涉相位复原、非相干全息术、非相干合成孔径、非相干断层成像等;论述了相干测量技术现阶段所面临的问题与挑战,并展望了其未来的发展趋势。

Abstract

The coherence of optical field is an important physical property that should be quantified to produce significant interference phenomenon. Although high spatial and temporal coherence lasers have become an essential tool in traditional interferometry and holography, in many emerging computational imaging fields (such as computational photography and computational microscopy imaging), reducing the coherence of the light source, i.e., using a partially coherent light source, is uniquely advantageous for obtaining high signal-to-noise ratio and high-resolution imaging information. As a result, the importance of “characterization” and “reconstruction” of partially coherent optical fields has become increasing prominent. Therefore, it is necessary to introduce the optical field coherence theory and develop coherence measurement techniques to answer “what light should be” and “what light is” in computational imaging. This paper provides a systematic review in the aforementioned context. The basic principles and typical optical path structures of the interferometric coherence measurement and non-interferometric coherence retrieval methods are described using the classical correlation function and phase space optics theories. Several new computational imaging regimes derived from coherence measurements and their typical applications, such as light-field imaging, non-interferometric phase retrieval, incoherent holography, incoherent synthetic aperture, incoherent cone-beam tomography, are discussed. Further, the challenges faced the current coherence measurement technology are discussed and its future development trend is predicted.

1 引言

光的相干性(coherence)是指为了产生显著的干涉现象,光场所应需具备的物理性质。众所周知,激光具有很高的相干性。自20世纪60年代Maiman^[1]制造的第一台红宝石激光器问世以来,激光已被广泛地应用在精密测量、成像传感、信息通讯、切割加工、**毁伤、照明显示等方面,极大地推动了基础研究、****、工业生产、医疗健康等领域的迅速发展。特别在光学成像与测量领域,自人们证实光的干涉原理可以作为一种精密的测量工具使用以来,激光就成为了光学干涉与全息成像等应用领域不可或缺的重要工具。目前高精密激光干涉仪的光程测量精度已可达到激光波长千分之一。2016年,位于美国路易斯安那州和华盛顿州的激光干涉引力波探测器(LIGO)^[2-3]因探测到引力波而闻名于世,LIGO实际上就是一个臂长达4 km的巨型迈克耳孙干涉仪,其测量精度更是达一个质子大小的1/10000。全息成像与数字全息技术利用干涉记录物光场的复振幅信息,再经过参考光照射衍射重建出原物光场,从而实现了物体三维立体影像的再现或物体定量相位信息与三维形貌结构的重构^[4-8]。

尽管激光光束具有高相干性、单色性、高亮度、高方向性等优点,且其光强分布、波长/频率、偏振、相位等参量易于调控。但在很多特殊应用场合与成像领域中,如自适应光学^[9-12]、X射线衍射成像^[13-16]、透射电子显微成像^[17-19]、中子射线成像^[20-21]等,光场的相干性可能远不及可见光波段的激光那么理想。另一方面,在光学显微成像、激光大气光通讯、激光材料表面热处理、激光涂敷、惯性约束核聚变中的靶面辐照等领域,光束的高相干性反而可能成为一种不利的因素,因为相干性越高,光场越容易受大气扰动和散斑相干噪声的影响。降低光源的相干性,即采用部分相干光源在一定程度上可以克服上述缺点,获得更高信噪比的信号和更高空间分辨率的图像信息。因此,针对部分相干光的理论研究和实际应用的意义和价值日益凸显,已发展成为现代光学体系建构中不可或缺的组成部分。

从光的量子本质来讲,不论是自然界中存在的、还是人为调控的任一光场,都不可能是完全相干的,而是有随机涨落的现象。光学相干理论旨在通过光场随机涨落的统计性质对光波场随时间变化的特性和规律进行探索和研究。相干性是光场的重要属性之一,分为空间相干性和时间相干性,分别表示空间不同位置光场之间的相关性和空间点在不同时刻光场之间的相关性。对光的相干性研究可以追溯到19世纪初,1802年,Young^[22]在双缝干涉实验中观测到明暗相间的条纹图案,也就是后来广为人知的杨氏干涉实验,由此开启了光学相干性研究的大门^[23]。这一实验,2002年被Physics World评为物理学中最漂亮的实验之一^[24],其对物理学发展,尤其是光学的发展有着重要而深远的意义,为相干光学的发展奠定了基础。

自杨氏干涉实验报道以后,光学相干性理论的发展沉寂了许久,直到20世纪30年代,由van Cittert^[25]提出并由Zernike^[26]证明的范西泰特-泽尼克定理(van Cittert-Zernike theorem)的出现,才重新唤醒了光学相干性理论研究的记忆。他们利用光形成干涉条纹的能力来定义光的相干性,并认为光场在空间两点之间的相干度与干涉条纹的对比度密切相关。1954年,Wolf^[27]给出了互相干函数的定义,并以此来定义空间-时间域中空间两点间光场的相关程度。一年后,他将空时域的互相干函数拓展至空频域,进一步给出了交叉谱密度函数的定义,其与互相干函数互为傅里叶变换关系,构成对光场相干性的统计描述。与此同时,Wolf还发现互相干函数和交叉谱密度函数在自由空间分别满足波动方程和广义亥姆霍兹方程,这表明相干性能够像光波一样传输,并具有光波的一切特性。同期,Hopkins^[28]建立了部分相干成像系统的光学传递函数,并以此研究光学显微镜中照明相干性与光学系统对物体像场的分辨率和对比度的定量影响,将光的相干性理论正式引入到了显微成像领域^[29-30]。1959年,Born和Wolf合著出版了光学典籍Principle of Optics,该书以经典波动光学为基本理论架构,首次将“部分相干理论”单列成章节,涵盖了当时人们对光学相干性理论的主要理解。至此,人们对光的相干性研究逐渐由定性转到定量研究。

20世纪中后期激光器的问世,极大地推进了光学相干理论研究。1961年,Mandel^[31]提出了交叉谱纯(cross spectral purity)的概念,并以此将光束的时间相干性与空间相干性相分离,以简化相干性的分析与处理。1976年,Mandel等^[32]提出有关交叉谱密度的相关系数,称之为复杂的光谱相干度(或光谱相关系数),研究了空间-频率域中的光场二阶相干特性。1978年,Wolf等提出了著名的部分相干光束——高斯谢尔模(Gaussian-Schell model)光束,其相干度和光强都为高斯分布。和传统的高相干性激光束相比,高斯谢尔模光束在粒子捕获/操纵、光学相干断层扫描、激光材料处理、光学测量等领域具有独特的优越性。因此,高斯谢尔模光束从提出至今,涌现出了大量关于它的产生、传输及应用的研究论文,掀起了光场时空域相干调控理论研究的热潮,并在大气通讯、成像探测、激光核聚变、工业加工等各领域得到了广泛应用。1986年,Wolf^[33]进一步发展了相干模态分解理论,将复杂的光场相干特性分解成具有多个简单相干性的光场的叠加,并推导了高阶源及其远程辐射的相干度、光谱密度等相关性质和光源特征、传输距离等因素之间的表达形式,从而为分析复杂光场的相干特性提供了一种崭新的数学框架^[34]。1998年,Gori等^[35-36]将处理相干光的互相干函数方法与处理部分偏振光的相干矩阵方法相结合,提出了相干偏振矩阵的概念,该概念被普遍地用于研究矢量化的部分相干光的性质。2003年,Wolf^[37]首次提出了在空间-频率域的“相干与偏振统一理论”,表明光场的相干与偏振特性存在紧密的内在关联性,并且可以采用统一的数学表征,即交叉谱密度矩阵表征。目前交叉谱密度矩阵已经成为部分相干部分偏振光束的标准工具。

另一方面,作为一种对光场相干性进行定量表征的重要工具,“相空间光学(phase space optics)”理论也在这个时期得到了快速并行发展。不同于常见傅里叶变换的空间域或频率域,相空间光学是一个人为构造的多维空间,能够同时描述光信号的空间位置和空间频率(角谱)^[38]。Wigner分布函数(WDF)和模糊函数(AF)是两种常用的相空间表征形式,最早可追溯到1932年Wigner^[39]针对热力学体系的量子修正研究而提出的一个描述粒子动力学状态的准概率分布函数。20世纪60年代,Dolin^[40]和Walther^[41-43]在辐射计量学领域中引入Wigner分布函数,并定义其为“广义辐亮度(generalized radiance)”。与传统辐亮度概念有所区别的是,广义辐亮度可以取负值,它不仅涵盖了光线的直线传播现象,还能够精确描述光的波动光学效应,如干涉与衍射现象。1977年,Bastiaans^[44-51]正式将Wigner分布函数引入到傅里叶光学领域,系统地分析和总结了Wigner分布函数在光学成像与光信息处理中的应用,并论述了Wigner分布函数在描述部分相干光场的独特优势。由于Wigner分布函数能够同时表示信号的空间位置和空间频率特性,其既可满足对部分相干光场空域和频域信息关联特性的分析和处理的需求,又能够以近似光线的形式对部分相干光场分布的表征与传输进行直观的可视化^[52],从而建立了波动光学和几何光学的桥梁,并为部分相干理论和应用研究提供了崭新的视角。

有关光场部分相干性的理论研究和实际应用总体上可以分为表征、调控与测量三个层面。部分相干光场的“表征”旨在如何系统地通过数学公式对光场的相干性及其在传输或成像系统中的特性进行定量描述。正如前所综述的,这方面的理论研究在过去几十年内已经取得了较大进展,系统性成果已经形成多本论著甚至走入了大学教科书中。部分相干光场的“调控”旨在通过对光场的振幅、相位、偏振态、相干性等参量的空间/时间分布进行调控,产生具有特殊空间/时间分布特性的新型光场。近年来,随着基础研究的不断深化以及国内外研究人员的不断推动,光场调控已经成为了当今光学界一大研究热点,国家自然科学基金委也于2017年推出了“新型光场调控物理及应用”重大研究计划,证明了该领域具有极高的关注度。相比较之下,部分相干光场的“测量”,即通过光学手段定量测定或反演出光学相干性的相关理论与技术,虽然已经取得了诸多重要进展,但在现阶段并未得到充分的认识与广泛的关注。国内许多科研人员在光学相干性理论、光场调控及相干测量的应用等方面开展了持续、深入的研究,并取得了一系列重要研究成果。例如在光学相干性理论研究方面,华侨大学蒲继雄团队^[53-54]、南京理工大学陈延如团队^[55-56]在部分相干光场的传输及其光谱特性、偏振相干统一理论等方面开展深入的研究;在光场的调控与传输方面,西北工业大学赵建林团队^[57-58]、南京大学陆延青团队^[59-60]、深圳大学袁小聪团队^[61-62]、上海理工大学詹其文团队^[63-64]、南开大学陈树琪团队^[65-66]、山东师范大学蔡阳健团队^[67-68]及苏州大学赵承良团队^[69-70]在复杂矢量光场调控、光取向液晶光场调控、光学旋涡与轨道角动量光通信、部分相干相位恢复等方面取得了重要研究成果;在相干测量及其在计算成像中的应用方面,北京工业大学的万玉红团队^[71]在非相干全息术领域开展了持续系统的研究工作,清华大学戴琼海团队^[72-73]、哈尔滨工业大学李浩宇团队^[74]、中国科学院神经科学研究所王凯团队^[75]在光场显微领域取得了显著进展,深圳大学的彭翔、刘晓利团队^[76]在基于结构光的三维光场测量方面取得了系列研究成果。

总的来说,光场相干性的测量可以分为时间相干性的测量和空间相干性的测量。由于光场时间相干性仅与光场的光谱分布相关,所以光场时间相干性的测量即等价于光场的光谱测量。一个典型的例子就是傅里叶变换光谱仪(FTS),其基于部分相干光场下的Wiener-Khinchin定理,利用迈克耳孙干涉仪分振幅测量干涉条纹对比度,以获得光场时间相干性,由此反演光谱分布。相比之下,光场的空间相干性的测量则较为复杂,因为光场的互强度(准单色光场的交叉谱密度)是一个关于空间坐标点对的四维函数,对该函数进行测量是本文所讨论的重点。光场空间相干性的测量技术最早可以追溯到1802年Young氏双缝干涉仪^[22],其最初被用来观测相干光束的干涉效应。后来Zernike^[26]提出Young氏干涉仪的双孔结构,可以用来测量空间两点的相干性,通过两个极小孔径的不透明掩模,在空间上分割光束的波阵面,并基于干涉图的条纹来测得光束的互强度。该方法基于相干性的定义进行测量,原理简单直接,但存在测量效率过低(单次仅能测量一对点对)、能量利用率低、易受掩模形状尺寸干扰等问题,难以实用。随后,2006年Santarsiero等^[77]提出逆波前Young氏干涉(RWY),2011年González等^[78]提出非冗余孔径阵列(NRA)测量空间相干性,可以一次性对大量空间点对进行测量,可大大提升测量效率,但能量效率和干涉图受孔径干扰的问题仍然存在。相比之下,剪切干涉法(SI)由于没有采用孔径掩模,不损失光场能量且不受掩模影响,并且一次可以测量多组点对,因此是一种更具应用前景的相干测量方法^[79-82]。还有一些可以替代干涉仪测量光场互强度的技术。受Alonso^[83]提出的基于相空间的边缘衍射(edge diffraction)方法的启发,Cho等^[84]提出了一种基于边缘衍射测量空间相干性的方法,在光束路径中插入掩模,通过对测量光强与不存在掩模时的光强的差值进行傅里叶变换,即可得到光束在掩模边缘为中心的任意点对处的互强度。尽管这些方法装置简单且测量鲁棒,但是它们仅适用一维光束表征,对二维光场的相干测量依旧较为繁琐甚至难以实现。

部分相干光场的相干测量亦可等价地在相空间进行,即直接测量或者重构光场的四维Wigner分布函数或模糊函数。这类方法的一大优势在于无需借助干涉手段,其中最著名的是相空间断层扫描(PST)^[85-86]。实际上早在1992年,Nugent^[87]就已经提出相空间断层扫描的初步思想。他借助Wigner分布函数的强度投影定理,推出通过测量空间三维的光强分布(即二维光强的轴向堆栈)足以恢复四维Wigner分布函数的结论。但随后不久,Hazak^[88]明确指出了Nugent的错误结论,即信息维度的不匹配(从三维到四维)。Gori等^[89]也指出仅仅通过三维空间强度测量,不可能唯一地确定一个包含光学漩涡的部分相干光场。想要解决此问题,必须引入像散透镜(astigmatisc lens)以打破光学系统的旋转对称性。基于此,1994年Raymer等^[85-86]提出了相空间断层扫描技术,该技术通过两个相互垂直的柱面透镜,对待测光场在各种传播距离上的光强进行大量采集,从而获得Wigner分布函数在不同角度下的旋转投影,然后再通过类似传统断层扫描的方式重建出完整的四维Wigner分布函数。然而由于该技术需要大量测量数据,往往难以付诸于实践。所报道的相空间断层扫描的实验结果往往还局限在一维光场(对应二维Wigner分布函数)^[90]或者如旋转不变光束^[91-92]和少量非相干模式^[93]组成的简单二维光束。另一方面,由于Wigner分布函数作为一种局域频谱(local frequency spectrum)或者广义辐亮度性质,可对其直接进行“采样式”测量。这里有两种常见的方式,一种是引入空域光阑(通常是小孔)^[52,94-95],使待测光场空间局域化在空间某点位置后,通过远场衍射或利用透镜的傅里叶变换性质直接测量其二维局域频谱,该频谱近似对应了Wigner分布函数的一个空域采样;当小孔在空域扫描整个二维平面后,即可近似获得光场的四维Wigner分布函数。另一种方式是采用微透镜阵列直接对光场进行四维采样^[96-97],类似于夏克-哈特曼(Shack-Hartmann)波前传感器^[98-100]和光场相机^[101]。这种方式实际上可以看成前一种小孔扫描方式的并行化版本,可以实现单帧采集(每个微透镜后面的光强分布对应于不同空间位置的局域频谱)。这些方法虽然可实现对复杂二维光场的测量,但受不确定性原理(又叫测不准原理)和采样窗函数尺寸的影响,所测得的局域频谱仅仅是Wigner分布函数在四维相空间中模糊化的非负近似版本^[52,94]。受二维相干光场相位恢复技术的启发,Zhang等^[102-103]提出了相干恢复的概念,即通过光场的强度测量直接恢复部分相干场的两点关联函数(严格意义上来说,相空间断层扫描也属于一种相干恢复技术),利用互强度的相干模式分解将相干恢复定义为凸约束加权最小二乘问题,并基于因式分解法将其转换为一个无约束的问题,从而可以采用非线性共轭梯度算法来迭代求解出光场的互强度。

近年来,除了完整测量光场四维相干性函数外,相干测量技术还衍生出了一系列计算成像的新体制,如光场成像、非相干全息成像等。在几何光学近似条件下,Wigner分布函数与表示空间和角度信息的四维光场等价。类似于Shack-Hartmann波前传感器,光场成像最初通过在像平面插入一块微透镜阵列^[101],直接对四维光场信息进行采样。但微透镜阵列以牺牲空间分辨率为代价换取了角度分辨率。为了提高空间分辨率,研究人员提出了一系列改进的光场成像方法,如编码掩模^[104-107]、强度反演^[108-109]、集成相机阵列^[110]等。在光学显微成像领域,基于微透镜阵列的光场显微技术^[111-113]是一种对弱散射或荧光样品进行高速体积成像的新技术,能够单次曝光重建四维光场,实现高速体成像,这对于生命科学研究有着非常重要的意义。非相干全息技术通过自干涉测量光场的空间相干性,实现非相干照明下或者自发光物体的全息记录及全息图的非相干再现^[114-117]。该技术由于在记录过程中不会产生相干全息术中固有的相干散斑噪声,具有更高的再现图像质量,因而在荧光三维显微成像^[118]、非相干彩色全息显示^[119]、自适应光学^[120]等众领域展现出应用潜力。有趣的是,这些由相干测量衍生出的计算成像新体制由于具有较为明确的应用背景以及计算成像技术近年来的飞速发展,比相干测量技术本身得到了更多的重视与关注。

综上所述,虽然光场相干测量这一研究领域已经取得了诸多重要的研究进展,相干性理论和对应的测量技术已经构成体系,但对于计算光学成像领域,“相干测量”仍然是一个生僻词。这并不是因为该领域的研究“不重要”,而是因为相关的原理与技术“太晦涩”。比起相干光场二维复振幅表征的简单直接,四维相干函数或者Wigner分布函数不管在维度上还是物理内涵上都要更加复杂抽象,与其相关的测量技术也更加复杂繁琐。但是对于计算成像领域,对其的研究也是必不可少的。因为计算成像的本质就是“物质信息”与“光媒介”的相互产生、作用、重组与解耦,核心在于光场的数学表征与光信息的测量重建。而实际应用中所遇到的大部分光场都是部分相干的,光场相干性理论与相干测量正解决了计算光学成像中“光应该是什么”以及“光实际是什么”的两大关键问题。因此,近些年来基于相干测量的计算成像新体制得到了蓬勃发展,前者理论与技术的完善为后者的进一步发展提供了新思路,两者交融借鉴,相辅相成,逐渐融为一体。而目前笔者尚未发现有文献对此领域进行系统归纳与总结,因此本综述的出现可谓“恰逢其机”。接下来系统讨论“光场表征”的问题,即回答部分相干光场“如何表示”的问题;光场传播的特性是光场相干测量与计算成像中最重要的特性之一,因此着重讨论“光场传播”;系统归纳总结相干测量的相关技术与方法,并介绍由相干测量所衍生出的若干计算成像新体制;给出相干测量技术在计算成像中的一些典型应用案例;最后分析相干测量技术所面临的问题与挑战,并给出总结性评论。

2 光场表征:从相干到部分相干

理想的相干光源是单色点光源,空间无穷小且谱宽无限窄,其辐射的光波场具有完全的相干性。然而,实际的物理光源不可能是理想的单色点光源,光源有限线度和有限谱宽所致的部分相干性分别对应光的空间相干性和时间相干性。时间相干性与光源的光谱特性相关,表示光束与它本身的延迟(但在空间不移动)之间发生干涉的能力,表现在光波场的纵向上。空间相干性则与光源的延展性有关,表示光束同它在空间移动后的光束(但无时间延迟)之间发生干涉的能力,表现在光波场的横向上。图1展示了关于时间相干性与空间相干性的若干实例,值得注意的是,一般太阳光被认为是完全非相干光,这个概念是不严密的。因为虽然太阳光是宽带光源,其时间上是非相干的,但由于太阳距离地球足够远,可以近似为理想点光源,在万里无云(大气散射效应可以忽略)的情况下,可以认为地表接收到的太阳光是理想的空间相干光。类似地,激光亦不能保证在任何情况下均是完全相干光,例如当激光器发出的光经扩束后再经过毛玻璃片等发生散射,此时光的空间相干性就会完全丧失,仅具有时间相干性。

图 1. 光源的时间相干性与空间相干性的若干典型实例

Fig. 1. Several typical examples of light sources with different degrees of temporal coherence and spatial coherence

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2.1 相干光场的复振幅表征

1867年,英格兰数学物理学家Maxwell使用纯粹数学方法推演预言了光的本质同无线电波、X射线、γ射线是一致的,都是一种“电磁波”,满足亥姆霍兹(Helmholtz)方程。

(\nabla^{2} + k^{2}) U (x) = 0, (1)

式中:k为波数;x为空间坐标;Ñ为哈密顿算符。对于线偏振的单色相干光场,可以使用一个角频率为

ω₀的复标量时间简谐波进行定义:

\begin{array}{l} U (x, t) = U (x) \exp (- j ω_{0} t) = \\ A (x) \exp [j (φ - ω_{0} t)], (2) \end{array}

式中:U(x,t)为给定位置x和时间t的标量场;光波的角频率ω₀=2πν₀=2πc/λ₀,ν₀为光波的频率,c为光速,λ₀为波长。光场的振幅部分不随时间变化,而相位随时间线性变化。对于单色相干光场,空间每点处的光振动在时间上的波动规律都是相同且在空间上是无限延伸的,因此U(x,t)中与时间相关的快速波动部分exp(-jω₀t)通常可略去,即可通过不含时间的二维标量复振幅U(x)进行确定性描述。

U (x) = a (x) \exp [j φ (x)], (3)

式中:a(x)是光场的振幅成分;φ(x)是相位成分。人眼与大多数光学探测器仅能够探测光场在一个平面x=(x,y)上的强度分布:

I (x) = | U (x) |^{2} = {|a (x)|}^{2} 。 (4)

这种光强探测的方式导致光波场的相位信息丢失了。因此针对相干光场测量,核心在于对其“相位”进行测量。

2.2 部分相干光场的表征

对于实际的物理光源,从发光的量子本质来讲,在外界温度、湿度、振动等多方面因素、发光原子本身的统计涨落及非均匀衰减的影响下,光场的振幅和相位不可避免地受到扰动。因此对于一个部分相干光场U(x,t)而言,其光振动在空间与时间上存在随机涨落,仅通过二维复振幅函数U(x)无法完整描述这种部分相干光场在不同时间或者不同空间位置的随机扰动,而需要借助统计的方法来描述光场的相干性。相干性度量理论可划分为两大类:经典的关联函数理论与相空间光学理论,如表1所示。

表 1. 光学相干性量度:经典相干理论与相空间光学理论

Table 1. Coherence measurement: classical coherence theory and phase space optics theory

Theory	Function	Definition	Temporal/Spatial coherence
Classical coherence theory	Mutual coherence function	Γ(x₁,x₂,τ)=<U(x₁,t)U^*(x₂,t+τ)>	Temporal and spatial
	Complex degree of coherence	γ(x₁,x₂,τ)= $\frac{Γ (x_{1}, x_{2}, τ)}{{[Γ (x_{1}, x_{1}, 0) Γ (x_{2}, x_{2}, 0)]}^{1 / 2}}$
	Cross-spectral density function	W(x₁,x₂,ω)=∫Γ(x₁,x₂,τ)exp(2πiντ)dτ
	Self-coherence function	Γ(x,τ)=<U(x,t)U^*(x,t+τ)>Note: I(x)=Γ(x,0)	Temporal
	Self complex degree of coherence function	γ(x,τ)= $\frac{Γ (x, τ)}{Γ (x, 0)}$	Temporal
	Mutual intensity	J(x₁,x₂)≡Γ(x₁,x₂,0)=<U(x₁,t)U^*(x₂,t)>	Spatial quasi-monochromatic
	Complex coherence factor	j(x₁,x₂)≡γ(x₁,x₂,0)= $\frac{J (x_{1}, x_{2})}{{[J (x_{1}, x_{1}) J (x_{2}, x_{2})]}^{1 / 2}}$	Spatial quasi-monochromatic
Phase space optics theory	Wigner distribution function	W(x,u)=∫W $(x + \frac{x'}{2}, x - \frac{x'}{2})$ exp(-j2πux')dx'=∫Γ $(u + \frac{u'}{2}, u - \frac{u'}{2})$ exp(j2πxu')du'	Spatial
Phase space optics theory	Ambiguity function	A(u',x')=∫W $(x + \frac{x'}{2}, x - \frac{x'}{2})$ exp(-j2πux')dx=∫Γ $(u + \frac{u'}{2}, u - \frac{u'}{2})$ exp(j2πux')du	Spatial

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2.2.1 部分相干光场的关联函数表征

经典的部分相干表征方法基于随机过程理论,将标量函数U(x,t)看成是在t时刻,表征x点光场统计性质的函数系综(ensemble)中的一个典型成员,或被称作是一次“实现”,如图2所示。然后不失一般性地假设光场是一个平稳和各态历经的随机过程,其统计性质不随时间改变。当然从频域(光谱)角度而言,光场的随机扰动也可以看作是不同频率的确定性单色光场作用的总和,如图3所示。因此可以把U(x,t)写成傅里叶变换形式:

U (x, t) = \int U (x, ω) \exp (- j ωt) d ω, (5)

式中:U(x,ω)为频率为ω的确定性单色光场不含时间的标量复振幅;exp(-jωt)为对应的与时间相关的快速波动部分。描述部分相干光场的性质时,U(x,ω)与U(x,t)具有同等的重要性(因为它们本身互为傅里叶变换对),代表任意相干态光场下x点光场统计性质的函数系综在频域的一个“实现”,由角频率ω所描述。

图 2. 光信号在时间与空间上的表示形式。(a)光信号是空间上确定一点的关于时间的函数;(b)光信号是时间上确定一点的关于空间的函数

Fig. 2. Representation of optical signal in time and space. (a) Optical signal is a function of time at a certain point in space; (b) optical signal is a function of space at a certain point in time

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图 3. 不同频率光波的叠加。(a)不同频率的光波相干叠加为一个脉冲波包;(b)不同频率的光波非相干叠加为一个连续波(非周期无限宽),其相位与振幅都是随机变化的

Fig. 3. Superposition of light waves with different frequencies. (a) Waves with different frequencies are coherently superimposed into one pulse wave packet; (b) waves with different frequencies are incoherently superimposed into one continuous wave (non-periodic and infinite width), and its phase and amplitude vary randomly

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对于平稳、各态历经的光波场,光束的时空相干性可由四维关联函数进行表征。其中互相干函数定义为一个相对时延τ关于x₁和x₂两点光振动的相关函数^[34]:

Γ (x_{1}, x_{2}, τ) = < U (x_{1}, t_{1}) U^{*} (x_{2}, t_{2}) > = < U (x_{1}, t) U^{*} (x_{2}, t + τ) >, (6)

式中:τ=t₂-t₁,角括号表示求时间平均。基于互相干函数的定义,光强可被简单地表示为I(x)=Γ(x,x,0),而两束光场叠加产生的干涉条纹可被表示为I(x)=Γ(x₁,x₁,0)+Γ(x₂,x₂,0)+2Re Γ(x₁,x₂,τ),以此定义复相干度为互相干函数Γ(x₁,x₂,τ)的归一化函数^[26]:

γ (x_{1}, x_{2}, τ) = \frac{Γ (x_{1}, x_{2}, τ)}{\sqrt[]{Γ (x_{1}, x_{1}, 0) Γ (x_{2}, x_{2}, 0)}} = \frac{Γ (x_{1}, x_{2}, τ)}{\sqrt[]{I_{1} (x_{1}) I_{2} (x_{2})}} 。 (7)

模0≤ $|γ (x_{1}, x_{2}, τ)|$ ≤1的物理意义实际上就代表两束光波干涉叠加后形成干涉条纹的对比度^[32]。光场的两类相干性问题,即时间相干性和空间相干性,它们可以一并包含在互相干函数的概念中。为了单独分析部分相干光的空间相干性与时间相干性两方面因素的影响,在(6)式互相干函数中,当x₁和x₂点重合为一点x,互相干函数退化为x点的自相干函数^[26]:

Γ (x, τ) = < U (x, t + τ) U^{*} (x, t) > 。 (8)

由于忽略了空间位置差异的因素而只考虑相对时延对关联函数的影响,自相干函数是光场时间相干性的直接体现。显然当τ=0时,Γ(x₁,x₁,0)和Γ(x₂,x₂,0)就分别退化为x₁和x₂点的光强。随机过程的Wiener-Khinchin定理认为,平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度有密切关系。针对部分相干光场,光场中某点x处信号的自相关函数Γ(x,τ)与其光源的功率谱密度S(x,ω)互为傅里叶变换:

S (x, ω) = \int Γ (x, τ) \exp (j ωτ) d τ 。 (9)

光源的功率谱密度即通常所理解的光谱分布,因此光源的光谱分布直接决定光场时间相干性。因此为了更简单方便地衡量光源的时间相干性,可以利用光谱的半功率宽(谱宽)来定义相干时间(τ_c)和相干长度(l_c),表达式分别为

\begin{array}{l} τ_{c} = \frac{1}{Δ ν}, (10) \\ l_{c} = c τ_{c} = \frac{c}{Δ ν} = \frac{{\overset{̅}{λ}}^{2}}{Δ λ} 。 (11) \end{array}

它们的物理概念表示,光波与其自身最大允许延迟多少时间/距离以后还能够形成干涉。尽管不像自相干函数那样严格,相干时间和相干长度由于物理概念的简单直观一直被广泛使用。反之,也可通过干涉法来测量光场的自相干函数,反推出光源的功率谱密度(如图4所示,采用臂长调节的迈克耳孙干涉仪记录光源自相干产生的干涉光强随光程差的变化,然后通过傅里叶变换将记录的干涉图转换为光谱图),这就是傅里叶变换光谱仪的基本原理。

图 4. 傅里叶变换光谱仪的基本原理

Fig. 4. Basic principle of Fourier transform spectrometer

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与自相干函数类似,可以定义互相干函数的傅里叶变换为交叉谱密度函数^[121]:

W (x_{1}, x_{2}, ω) = \overset{\infty}{\int_{- \infty}} Γ (x_{1}, x_{2}, τ) \exp (j ωτ) d τ 。 (12)

(12)式又被称为广义的Wiener-Khinchin定理,定义的交叉谱密度函数(互强度函数)是部分相干理论中的一个中心概念,它描述了一个多色部分相干光场中针对某个特殊的单色频率的系综相关特性。它还能够被等价表示为

W (x_{1}, x_{2}, ω) δ (ω - ω_{0}) = < U (x_{1}, ω) U^{*} (x_{2}, ω_{0}) >, (13)

式中:角括号表示针对不同频率成分的系综平均。(13)式表示部分相干光场中不同频率的光波成分是互不相关的(不产生干涉),因此交叉谱密度代表空间内两点不同位置,在相同时刻同一频率成分光扰动之间的相关性,定量描述了光波场的空间相干性。

接下来仅关注光场的空间相干性,对空间相干性的测量是讨论的重点。为了更方便地分析光的空间相干性,通常假设光场满足“准单色条件”,即窄带条件(光源频宽Δω远远小于中心频率 $\overset{̅}{ω}$ )和小光程差条件(观测区域内所引起的光程差远小于光源相干长度),可以证明此时光场的相干性可以近似由空间相干性,即零时延的互相干函数Γ(x₁,x₂,0)所主导。因此定义表征准单色条件下空间相干性的物理量Γ(x₁,x₂,0)为互强度J(x₁,x₂):

J (x_{1}, x_{2}) = Γ (x_{1}, x_{2}, 0) = < U (x_{1}, t) U^{*} (x_{2}, t) > 。 (14)

所以准单色条件近似下的光波场仍可以被单频时域谐波很好表述,不难证明此时交叉谱密度函数仅包含位于 $\overset{̅}{ω}$ 的一个非零光学频率分量,该冲击响应的幅度即为光场的互强度:

W (x_{1}, x_{2}, ω) = J (x_{1}, x_{2}) δ (ω - \overset{̅}{ω}) 。 (15)

这也就说明准单色光波场可以近似认为仅含有一个光学频率成分 $\overset{̅}{ω}$ ,时间相干性接近理想的完全时间相干光场。因此对于准单色光场而言,其交叉谱密度在 $\overset{̅}{ω}$ 处的取值 $W_{\overset{̅}{ω}}$ (x₁,x₂)即为互强度J(x₁,x₂),即 $W_{\overset{̅}{ω}}$ (x₁,x₂)=J(x₁,x₂)=Γ₁₂(x₁,x₂,0),因此两种表示方式完全等价。同理,定义准单色光的复相干度为复相干因子,其即为零时延的复相干度:

μ (x_{1}, x_{2}) = \frac{Γ (x_{1}, x_{2}, 0)}{\sqrt[]{Γ (x_{1}, x_{1}, 0) Γ (x_{2}, x_{2}, 0)}} = \frac{Γ (x_{1}, x_{2}, 0)}{\sqrt[]{I_{1} (x_{1}) I_{2} (x_{2})}} = γ (x_{1}, x_{2}, 0) 。 (16)

模0≤ $|γ (x_{1}, x_{2}, 0)|$ ≤1的物理意义就是准单色光波空间两点干涉叠加后形成干涉条纹的对比度。近代光学中最重要的定理之一的van Cittert-Zernike定理^[25-26,122]表明,一个互强度为J₀(x₁,x₂)=I₀(x₁)δ $\begin{matrix} (x_{1} - x_{2}) \end{matrix}$ 的准单色非相干光源形成的远场衍射光场的互强度正比于光源光强分布的傅里叶变换,表达式为

J_{z} (x_{1}, x_{2}) = J_{z} (x_{1} - x_{2}) = \frac{1}{{\overset{̅}{λ}}^{2} z^{2}} \exp (j ψ) \iint I_{0} (x') \exp [- \frac{2 π}{\overset{̅}{λ} z} x' \cdot (x_{2} - x_{1})] dx' 。 (17)

J_z(x₁,x₂)模只和衍射平面上选定x₁和x₂两点间的坐标差x₁-x₂有关。这种关系类似于完全相干情况下夫琅禾费衍射图案正比于孔径平面复振幅的傅里叶变换。因此,光源的空间相干性与光源的尺寸密切相关。对于一个形状任意、面积为A_s的均匀光强分布的非相干光源,可以定义空间相干性的度量——在离光源z处的相干面积为

A_{c} = \frac{{\overset{̅}{λ}}^{2} z^{2}}{A_{s}} = \frac{{\overset{̅}{λ}}^{2}}{Ω_{s}}, (18)

式中:Ω_s为立体角,Ω_s=A_s/z²。A_c的物理概念就是准单色的非相干光源在离光源z处的平面内多少的范围能够形成可见的干涉条纹。反之,也可以通过干涉法来测量准单色光场的空间相干度,反推出光源的尺寸(如图5所示,采用间距调节的迈克耳孙干涉仪记录光源的干涉光强随空间间距的变化,当干涉条纹对比度由最大值降为0时,获得最大空间相干间隔,并由此反推光源的角直径),这就是迈克耳孙恒星干涉仪的基本原理。

图 5. 迈克耳孙恒星干涉仪通过干涉法来测量准单色光场的空间相干度,反推出光源的尺寸。(a) 光路示意图;(b) 系统实物图

Fig. 5. Michelson stellar interferometer measures the spatial coherence of a quasi-monochromatic wave field by interferometry to infer the size of the light source. (a) Optical configuration; (b) photograph of a real system

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2.2.2 部分相干光场的相空间表征

在经典部分相干理论中,互相干函数是描述部分相干光最常用的工具。然而它们的双线性本质使其在计算中较为复杂,并且通常难以对公式背后所蕴含的物理意义进行直观解释。通过Wigner分布函数,对部分相干光场进行表征能够有效克服上述缺点,简化对成像过程、系统以及相关机理的描述。对于部分相干光场U(x,t),Wigner分布函数被定义为其交叉谱密度函数在差分变换坐标系下的傅里叶变换^[38]:

\begin{array}{l} W_{ω} (x, u) = \\ \int W_{ω} (x + \frac{x'}{2}, x - \frac{x'}{2}) \exp (- j 2 π ux') d x', (19) \end{array}

式中:u是对应x在空间频率域的坐标。方便起见,将Wigner分布函数同样用W_ω(x,u)表示,但这里有两点需要注意。一方面,与交叉谱密度函数W_ω(x₁,x₂)类似,Wigner分布函数W_ω(x,u)等价地描述了一个多色部分相干光场中针对ω单频成分的系综相关特性。另一方面,Wigner分布函数W_ω(x,u)定义在相空间中,即拥有空间域与空间频率域的联合坐标(x,u),以此对交叉谱密度函数W_ω(x₁,x₂)(两个二维空间坐标)进行区分。Wigner分布函数中关于(x,x')的差分坐标系与原坐标系(x₁,x₂)的关系为

\{\begin{array}{l} x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} \\ x' = x_{1} - x_{2} \end{array} 或等价 \{\begin{array}{l} x_{1} = x + \frac{x'}{2} \\ x_{2} = x - \frac{x'}{2} \end{array} 。 (20)

以下部分仅考虑光场的空间相干性,因此忽略交叉谱密度函数W_ω(x₁,x₂)以及Wigner分布函数W_ω(x,u)的角标ω。

Wigner分布函数严格来说可以被理解为关于光子的位置和动能的概率密度分布。单色相干光波场的标量复振幅函数在某一个平面上的空间频率坐标实际上对应不同角度传播的平面波分量(角谱),所以可以将Wigner分布函数W(x,u)中的u近似地理解为某点x处的光线分布的角度。由于位置与方向(动能)是唯一确定一束光线的两个元素,Wigner分布函数又可以被理解为一种更加严格的光线模型,被定义为广义辐亮度,不同于传统辐亮度,广义辐亮度可以取负值^[123]。因此它不仅考虑了光线的直线传播,还能够精确描述光波的波动光学效应,如干涉与衍射现象。当U(x)为单色相干光波场时,W(x₁,x₂)=U(x₁)U^*(x₂),则Wigner分布函数可以表示为

\begin{array}{l} W (x, u) = \int U (x + \frac{x^{'}}{2}) U^{*} (x - \frac{x^{'}}{2}) \times \\ \exp \exp (- j 2 π u x^{'}) d x^{'} 。 \end{array} (21)

类似地,同Wigner分布相对应,可以定义模糊函数为

\begin{array}{l} A (u', x') = \int W (x + \frac{x'}{2}, x - \frac{x'}{2}) \times \\ \exp (- j 2 π u' x) d x 。 (22) \end{array}

不难证明模糊函数与Wigner分布函数之间存在傅里叶变换关系,

\begin{array}{l} A (u', x') = \iint W (x, u) \times \\ \exp [- j 2 π (u' x - ux')] d x d u 。 (23) \end{array}

可见,当对Wigner分布函数进行两次傅里叶变换后,便可以将其转换为模糊函数。所以二者作为相空间光学的两种表述方式,本质上是等价的^[38]。图6展示了经典相干理论与相空间光学的联结关系。相空间的Wigner分布函数、模糊函数与经典部分相干理论的互相干函数、交叉谱密度函数在中心差分坐系下通过傅里叶变换/傅里叶逆变换可以互相转换。在几何光学近似下,Wigner分布函数近似为光场^[52]。

图 6. 经典相干理论与相空间光学的关联

Fig. 6. Relationship between classical coherence theory and phase space optics

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如表2所示,Wigner分布函数具有空间边缘(spatial marginal)性质、频率边缘(spatial frequency marginal)性质、卷积(convolution)性质和瞬时频率(instantaneous frequency)性质等。其中,空间和频率边缘性质是利用强度重建Wigner分布函数的基本依据,卷积性质是分析光学系统(光源、透镜等)对Wigner分布函数影响的重要基础,瞬时频率是部分相干下“广义相位”的重要根据。

表 2. Wigner分布函数的性质

Table 2. Properties of Wigner distribution function

Property	Representation	Explanation
Realness	W(x,u)∈ℝ	W is always a real function
Spatial marginal property	I(x)=∫W(x,u)du	I(x) is the intensity
Spatial frequency marginal property	S(u)=∫W(x,u)dx	S(u) is the power spectrum
Convolution property	U(x)=U₁(x)U₂(x) W(x,u)=W₁(x,u) $\underset{u}{\otimes}$ W₂(x,u)U(x)=U₁(x) $\underset{x}{\otimes}$ U₂(x) W(x,u)=W₁(x,u) $\underset{x}{\otimes}$ W₂(x,u)	$\underset{x}{\otimes}$ is the convolution over x $\underset{u}{\otimes}$ is the convolution over u
Instantaneous frequency	$\frac{\int uW (x, u) d u}{\int W (x, u) d u}$ = $\frac{1}{2 π}$ Ñϕ(x)	ϕ(x) is the phase component Ñϕ(x) is the instantaneous frequency

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Wigner分布函数具有同时空间、频率双重表述的功能,在概念上非常接近于几何光学中光线的概念。虽然Wigner分布函数不满足非负性而不能直接等价于能量密度函数,但其空间传播与光学变换性质却无一例外地遵循光线模型,这使Wigner分布函数成为一座连接几何光学(光度学)与物理光学的桥梁,为成像系统分析和光信号处理提供了一种非常简单而实用的工具。表3为Wigner分布函数的常见光学变换,它们在相空间所对应的Wigner分布函数的变化作用总结于图7。其中,光信号的菲涅耳衍射与分数傅里叶变换所对应的Wigner分布函数变换是相空间断层扫描的重要依据,详见4.2.2小节的“非干涉相干恢复”。

表 3. Wigner分布函数的常见光学变换

Table 3. Common optical transformation of Wigner distribution function

Optical transformation	Representation	Explanation
Fresnel diffraction	W_z(x,u)=W₀(x-λzu,u)	λ is the wavelengthz is diffraction distance
Chirp modulation (lens)	W(x,u)=W₀ $(x, u + \frac{x}{λf})$	λ is the wavelengthf is the focal length of lens
Fourier transform(Fraunhofer diffraction)	$W_{\hat{U}}$ (x,u)=W_U(-u,x)	$\hat{U}$ is the Fourier transform of signal
Fractional Fourier transform	$W_{{\hat{U}}_{θ}}$ (x,u)=W_U(xcos θ-usin θ,ucos θ+xsin θ)	${\hat{U}}_{θ}$ is the fractional Fourier transform, θ is the rotation angle
Beam amplifier (compressor)	W(x,u)=W₀(x,u/M)	M is the magnification
First order optical system	$[\begin{array}{l} x' \\ u' \end{array}]$ = $[\begin{array}{l} A & B \\ C & D \end{array}] [\begin{array}{l} x \\ u \end{array}]$	A,B,C,D corresponding to first order optical system

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图 7. 常见信号变换在相空间的表征。(a)菲涅耳传播;(b) Chirp调制(透镜);(c)傅里叶变换;(d)分数阶傅里叶变换;(e) 光束放大器

Fig. 7. Characterization of common signal transformations in phase space. (a) Fresnel propagation; (b) Chirp modulation (lens); (c) Fourier transform; (d) fractional Fourier transform; (e) magnifier

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下面讨论常见光学信号的Wigner分布函数。单色相干光波场可以被给定复振幅U(x)=A(x)eⁱ^ϕ⁽^x⁾表示,部分相干光场可以被交叉谱密度函数W(x₁,x₂)表示。这里关注几种特殊信号,它们的空域表征和相空间表征如表4所示,它们的空域分布和相空间分布如图8所示。

表 4. 常见光信号的空域和相空间表征

Table 4. Spatial and phase space characterization of common optical signals

Optical signal	Spatial representation	Phase space representation	Explanation
Point source	U(x)=δ(x-x₀)	W(x,u)=δ(x-x₀)	Line perpendicular to the x-axis in phase space
Plane wave	U(x)=exp(i2πu₀x)	W(x,u)=δ(u-u₀)	Line perpendicular to the u-axis in phase space
Spherical wave	U(x)=exp(i2πax²)	W(x,u)=δ(u-ax)	Straight line across the origin of phase space
Slow-varying wave	U(x)=A(x)exp $[i ϕ (x)]$	W(x,u)≈I(x)δ $(u - \frac{1}{2 π} \nabla ϕ)$	Curve in phase space
Gaussian signal	U(x)=exp $[- \frac{π}{σ^{2}} (x - x_{0})^{2}]$	W(x,u)=exp $\{- [\frac{π}{σ^{2}} (x - x_{0})^{2} + \frac{σ^{2}}{2 π} u^{2}]\}$	2D Gaussian function in phase space
Spatially incoherent field	W $(x + \frac{x'}{2}, x - \frac{x'}{2})$ =I(x)δ(x')	W(x,u)=cI(x)	c is a constant only related to x
Spatially stationary field	W $(x + \frac{x'}{2}, x - \frac{x'}{2})$ =I₀μ(x')	W(x,u)=c $\overset{̅}{μ}$ (u)	$\overset{̅}{μ}$ (u) is the Fourier transform of μ(x')
Quasi-homogeneous field	W $(x + \frac{x'}{2}, x - \frac{x'}{2})$ ≈I(x)μ(x')	W(x,u)≈I(x) $\overset{̅}{μ}$ (u)	I is a relatively slow-varying signal compared with μ

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图 8. 特殊信号的Wigner分布示意图。(a)点光源;(b)平面波;(c)球面波;(d)相位缓变波;(e)高斯信号

Fig. 8. Wigner distribution function of special signals. (a) Point source; (b) plane wave; (c) spherical wave; (d) phase slow-varying wave; (e) Gaussian signal

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2.3 几何光学近似下的光场表征

“光场”这个术语在计算机图形学相关文献中通常用来表示光线的集合,它通过四维变量L(x,θ)表征,其中x为光线所处的空间位置向量,θ为通过空间某点处所有光线的二维角分布向量。在几何光学近似下,Wigner分布函数与辐亮度^[41-43]或光场L(x,θ)是近似等价的,L(x,θ)≈W(x,λu)。光场的概念最早由Gershun^[124]于1939年提出。1991年,Adelson等^[125]根据人眼对世界的视觉感知,提出了全光函数L(x,y,z,θ,ϕ,λ,t)来表征光线的空间分布状态,如图9(a)所示,包含七维变量,x,y,z为光线在自由空间中的三维坐标,θ,ϕ为光线的传输方向,λ为光线的波长,t为时间。Levoy等^[126]将全光函数降为四维,并使用两个平行平面对四维光场进行参数化表征,如图9(b)所示,两个平面分别由坐标系(u,v)和(s,t)进行表示,通过光线与两个平面相交,光场参数化为L(u,v,s,t)。另一种光场的参数化表征方法于1998年由Camahort等^[127]提出,如图9(c)所示,由空间位置与光线传输方向表示L(x,y,θ_x,θ_y)。两种四维光场的参数化表征方式是等价的,在不同应用领域可以根据需要选择方便合适的表征方式。

图 9. 光场的参数化表征。(a)七维全光函数;(b)双平行平面四维光场;(c)位置角度式四维光场

Fig. 9. Parameterization of the light field. (a) Seven-dimensional plenoptic function; (b) two planes parameterization of four-dimensional light field; (c) position-angular parameterization of four-dimensional light field

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Zhang等^[52]分析了光场和Wigner分布函数的关联。单色相干光场可由二维复振幅函数表征,因此其四维的相空间表征本身是高度冗余的。对于一个缓变相干光场,其相空间的冗余性将变得更加明显。在表4所列举光信号的相空间表征中,相位缓变波在相空间中仅仅填充了一个二维切面,且此时Wigner分布函数永远严格大于0,即保证了非负性。因此对于一个缓变相干光场而言,可以近似忽略衍射效应,那么Wigner分布函数就等价于光场的能量密度函数(辐亮度)。当给定空间坐标与空间频率坐标,相位缓变波的W(x,u)代表通过点x的光线(能流)仅仅沿着一个方向传播,且该方向由相位梯度(法线)所决定。这个性质表明可以通过对光线方向进行测量而实现相位测量,例如使用夏克-哈特曼波前传感器^[98-100]。图10给出了一个平滑相干波前(球面波)的Wigner分布和光场分布的一维示意图^[128]。可以发现,光线的传播方向垂直于波前的相位梯度方向。在傍轴近似下,Wigner分布中空间频率与光场中光线传播角度之间的联系可以简单概括为θ≈λu。

图 10. 光滑相干波前的Wigner分布函数和光场的关系^[128]。相位对应Wigner分布函数中的局部空间频率(瞬时频率),光线垂直于波前方向传播(相位的法线方向)。(a)空域中的波前;(b)相空间中的Wigner分布函数;(c)在位置-角度空间的光场

Fig. 10. Relationship between Wigner distribution function and light field of a smooth coherent wavefront. Phase is represented as the localized spatial frequency (instantaneous frequency) in the Wigner distribution function. Rays travel perpendicularly to the wavefront (phase normal)^[128]. (a) Wavefront in real space; (b) Wigner distribution function in phase space; (c) light field in position-angle space

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由于光场是Wigner分布函数在几何下的近似,因此二者的性质具有许多共性。四维光场信息包含一个平面内所有光线的强度及其角度分布,因此可利用几何光学中的光线追迹技术对光场进行传输、调控及重组,如改变焦距、调节孔径、切换观察视角等^[129]。与之相呼应的是在部分相干光场中,倘若获得了四维相干函数,就可以通过数值计算的方法实现光场传播与调控。假设沿光线传播的能量是常数,那么成像系统在成像平面上检测到的二维图像可以用光线的角度积分表示:

I (x) = \iint L (x, θ) d θ 。 (24)

对光场的空间位置坐标进行剪切变换,可以得到传播到Δz处的光场分布:

L_{Δ z} (x, θ) = L (x + Δzθ, θ) 。 (25)

若沿角度对Δz处的光场进行积分,可以得到对应成像平面上的二维图像,表示为

I_{Δ z} (x) = \iint L (x + Δzθ, θ) d θ 。 (26)

这一操作过程相当于光场在Δz处的重聚焦成像。光场的数字重聚焦将作为基于光强传输的计算光场成像的理论基础。

3 光场传输:从相干到部分相干

将讨论光场传输,光场在自由空间内的传输或传播特性(在光学系统中又称为“离焦”)是光场相干测量与计算成像中最重要的特性之一,是相位恢复、相干测量等技术所依赖的理论基础,也是光场成像、非相干全息术等计算成像机制中必要的数字化调控手段。表5从函数表征、波动方程、空域卷积、频域角谱、光强传输方程这5个方面总结了相干光场和部分相干光场在自由空间传播时所遵循的传输特性。值得注意的是,本章所讨论的部分相干光场的传输特性也特指空间相干性的传输,对于复色光场的传输特性,可通过对其进行光谱分解,再单独对每个波长下的空间相干性的传输特性进行分析得到。

表 5. 光场传输:从相干到部分相干

Table 5. Optical field transmission: from coherent to partially coherent

Coherence	Coherent	Partially coherent
Representation	U(x,z)	W(x₁,x₂)	W(x,u)
Wave equation	( $\nabla^{2}$ +k²)U(x,z)=0	$\nabla_{x_{1}}^{2}$ W(x₁,x₂)+k²W(x₁,x₂)=0 $\nabla_{x_{2}}^{2}$ W(x₁,x₂)+k²W(x₁,x₂)=0	$\frac{\sqrt[]{k^{2} - 4 π^{2} \| u \|^{2}}}{k} \frac{\partial W (x, u)}{\partial z}$ =-λu $\nabla_{x}$ W(x,u)
Spatial convolution	U_z(x)= $\frac{\exp (j kz)}{j λz}$ ∫U₀(x₀)×exp $\{\frac{jπ}{λz} {\|x - x_{0}\|}^{2}\}$ dx₀	W_z(x₁,x₂)=W₀(x₁,x₂) $\underset{x_{1}, x_{2}}{\otimes}$ h_z(x₁,x₂)	W_z(x,u)=W₀(x,u) $\underset{x}{\otimes}$ $W_{h_{z}}$ (x,u)
Angular spectrum	${H^{F}}_{z}$ (u_x,u_y)=exp(jkz)×exp $[- jπ λz (u_{x}^{2} + u_{y}^{2})]$	${\hat{W}}_{z}$ (u₁,u₂)= ${\hat{W}}_{0}$ (u₁,u₂)H_z(u₁,u₂)
Transport of intensity equation	-k $\frac{\partial I (x)}{\partial z}$ =Ñ· $[I (x, z) \nabla φ (x)]$	$\frac{\partial}{\partial z}$ W $(x + \frac{x'}{2}, x - \frac{x'}{2})$ =- $\frac{j}{k} \nabla_{x} \nabla_{x'}$ W $(x + \frac{x'}{2}, x - \frac{x'}{2})$	$\frac{\partial I (x)}{\partial z}$ =-λ $\nabla_{x}$ ·∫uW_ω(x,u)du

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3.1 相干光场的传输

在单色相干光场中,光场分布可由复振幅分布完备描述,它是空间任意坐标的函数。当处于某平面(不失一般性认为位于原点且垂直于光轴的平面)复振幅已知的情况下,便可根据标量衍射理论确定光波在距离z的任一平面上的复振幅分布。相干光场复振幅的传播可以从4个方面分别进行描述。

1) 相干光场衍射的波动方程描述

单色相干光波的自由传播必须遵循亥姆霍兹方程^[130]:

(\nabla^{2} + k^{2}) U (x, z) = 0, (27)

式中:Ñ为三维空间(x,z)中的哈密顿算符。亥姆霍兹方程是波的复振幅必须满足的方程,平面波和球面波都是亥姆霍兹方程的基本解。考虑一个沿z轴传播的傍轴单色相干光波场,表示为

u (x, z) \approx U (x, z) \exp (j kz), (28)

式中:U(x,z)为傍轴光波场的标量复振幅,是关于z的缓变函数。(28)式中与时间相关的快速波动部分exp(-jωt)已经被略去。将(28)式代入亥姆霍兹方程并化简,可得傍轴波动方程:

\nabla'^{2} U (x, z) + 2 j k \frac{\partial U (x, z)}{\partial z} = 0, (29)

式中:Ñ'为(x,y)平面内的哈密顿算子。(29)式描述了单色相干光波在傍轴下复振幅传播必须遵循的规律。

2) 相干光场衍射的空域卷积积分描述

在惠更斯-菲涅耳原理的基础上,1883年Kirchhoff^[131]根据亥姆霍兹方程和格林定理,通过假定衍射屏的边界条件,导出了严格的Kirchhoff衍射公式。当衍射波张角分布足够小,光波场的衍射过程可看成是一个“线性空间平移不变系统”。不失一般性,认为原始观察平面位于(x,0),而衍射平面位于(x,z),

U_{z} (x) = U_{0} (x) * h_{z} (x) 。 (30)

该系统在空间域的特性唯一地由空间不变的脉冲响应函数h_z(x)决定,

h_{z} (x) = \frac{1}{j λ} \frac{\exp (j k \sqrt[]{z^{2} + {|x|}^{2}})}{\sqrt[]{z^{2} + {|x|}^{2}}} 。 (31)

针对近似于沿z轴方向传播的傍轴光波场,该脉冲响应函数可进一步简化为

h_{z} (x) = \frac{1}{j λz} \exp (jkz) \exp \{\frac{jπ}{λz} {|x|}^{2}\} 。 (32)

将(32)式代入(30)式,便得到傍轴相干光场的菲涅耳衍射公式^[132],

U_{z} (x) = \frac{\exp (j kz)}{j λz} \int U_{0} (x_{0}) \exp [\frac{jπ}{λz} {|x - x_{0}|}^{2}] d x_{0} 。 (33)

3) 相干光场衍射的频域角谱传递描述

另一方面,相干光波场的衍射规律可以由“系统”的观点在空间频率域上精确描述:任何一个平面的标量相干光波场U(x,y,0)(不失一般性,认为其位于z=0平面)在二维空间频率域中均可分解为不同角谱(平面波)成分 $\hat{U}$ (u_x,u_y,0)的相干叠加。而衍射的角谱理论表明:位于z=0平面的标量相干光波场U(x,y,0)可以看作是相干光波场的平面波分量的线性叠加,在传播了距离z后,相干光波场U(x,y,0)仍由沿原方向传播的平面波叠加而成。它们的原幅度不改变,而相位改变了kz $\sqrt[]{1 - (λ u_{x})^{2} - (λ u_{y})^{2}}$ 。当1- $(λ u_{x})^{2}$ - $(λ u_{y})^{2}$ <0时,

H_{z} (u_{x}, u_{y}) = \frac{\hat{U} (u_{x}, u_{y}, z)}{\hat{U} (u_{x}, u_{y}, 0)} = e^{j kz \sqrt[]{1 - (λ u_{x})^{2} - (λ u_{y})^{2}}} 。 (34)

(34)式中的H_z(u_x,u_y)实际上是一个反映系统变换特征的传递函数,称为角谱传递函数,在傍轴近似下,该角谱传递函数可以近似为

{H^{F}}_{z} (u_{x}, u_{y}) = \exp (j kz) \exp [- jπ λz (u_{x}^{2} + u_{y}^{2})] 。 (35)

不难证明,(35)式即为傍轴近似下脉冲响应函数(32)式的傅里叶变换。

4) 相干光场的光强传输方程

1983年,Teague^[133]将光波复振幅代入傍轴近似下的亥姆霍兹方程(傍轴波动方程),然后分离实部和虚部,推导得到了光强传输方程。光强传输方程建立了传播过程中沿着光轴方向上光强度的变化量与垂直于光轴平面上光波的相位的定量关系:

- k \frac{\partial I (x)}{\partial z} = \nabla \cdot [I (x, z) \nabla ϕ (x)], (36)

式中:波数k=2π/λ;I(x,z)为位于z平面的光强分布。光强传输方程为相干光场相位复原提供了一种有效的“非干涉”手段,使通过测量相位结构在传输过程中的强度改变反演出定量相位分布成为可能。

3.2 部分相干光场的传输

在部分相干光场中,空间任一点的光扰动随时间作无规则变化。光场中不同位置的互相干函数是不同的。从这个意义上讲,光波在传播过程中,光场的相干性亦随之传播。类似于相干光场,部分相干光场的传播也可以从4个方面分别进行描述。

1) 部分相干光场衍射的波动方程描述

与相干光场类似,部分相干光场的传播本质上也受波动方程支配。从单色相干光波的自由传播遵循亥姆霍兹方程出发,可以导出交叉谱密度(或互强度)传播所满足的一对亥姆霍兹方程^[47,49]:

\begin{array}{l} \nabla_{x_{1}}^{2} W (x_{1}, x_{2}) + k^{2} W (x_{1}, x_{2}) = 0, (37) \\ \nabla_{x_{2}}^{2} W (x_{1}, x_{2}) + k^{2} W (x_{1}, x_{2}) = 0 。 (38) \end{array}

傍轴近似下,亥姆霍兹方程经化简可得傍轴波动方程(29)式,因此可以类似得到交叉谱密度传播所满足的傍轴波动方程:

\begin{array}{l} \nabla_{x_{1}}^{2} W (x_{1}, x_{2}) + 2 jk \frac{\partial W (x_{1}, x_{2})}{\partial z} = 0, (39) \\ \nabla_{x_{2}}^{2} W (x_{1}, x_{2}) - 2 jk \frac{\partial W (x_{1}, x_{2})}{\partial z} = 0 。 (40) \end{array}

在相空间光学中,Wigner分布作为一种相干或部分相干光波的表述方式,在传播过程中亦必须遵循描述传输特性的波动方程。从亥姆霍兹方程出发,结合Wigner分布的性质与Liouville近似(几何光学近似),可以推导出Wigner分布的传播遵循Liouville传输方程^[47,49]:

\frac{\sqrt[]{k^{2} - 4 π^{2} {|u|}^{2}}}{k} \frac{\partial W (x, u)}{\partial z} = - λu \nabla_{x} \cdot W (x, u) 。 (41)

在傍轴近似下 $\sqrt[]{k^{2} - 4 π^{2} {|u|}^{2}}$ ≈k,(41)式的传输方程可以简化为

\frac{\partial W (x, u)}{\partial z} + λu \nabla_{x} \cdot W (x, u) = 0 。 (42)

不难验证,(42)式解的形式为Wigner分布函数的菲涅耳衍射公式W_ω(x,u,z)=W_ω(x-λzu,u,0)。

2) 部分相干光场衍射的空域卷积积分描述

惠更斯-菲涅耳原理或Kirchhoff衍射公式的思想基于线性叠加原理:由于任意复杂的光波场都可以看成点光源的集合,所以总可以将复杂光波分解为简单球面波的线性组合,且波动方程的线性性质允许每个球面波分别应用上述原理,再把它们在衍射平面上所产生的贡献叠加起来。按照类似的思想,以惠更斯-菲涅耳与Kirchhoff的标量衍射计算原理为基础且根据交叉谱密度函数的定义,可将距离z处另一平面上的四维交叉谱密度(或互强度)函数W_z(x₁,x₂)表示^[128]为

\begin{array}{l} W_{z} (x_{1}, x_{2}) = < U_{z} (x_{1}, t) U_{z}^{*} (x_{2}, t) > = \iint < U_{0} (x_{1}, t) U_{0}^{*} (x_{2}, t) > h_{z} (x_{1}^{'}, x_{1}) h_{z}^{*} (x_{2}^{'}, x_{2}) d x_{1}^{'} d x_{2}^{'} = \\ W_{0} (x_{1}, x_{2}) \underset{x_{1}, x_{2}}{\otimes} h_{z} (x_{1}, x_{2}), (43) \end{array}

式中:h_z(x₁,x₂)为部分相干光场交叉谱密度自由空间传播的脉冲互响应函数,定义为

h_{z} (x_{1}, x_{2}) = h_{z} (x_{1}) h_{z}^{*} (x_{2}) 。 (44)

因此当处于某平面的四维交叉谱密度函数W₀(x₁,x₂)已知的情况下,也能够根据(43)式来获得距离z处另一平面上的光场的四维交叉谱密度函数W_z(x₁,x₂)。(43)式还表明,交叉谱密度函数的传播现象也可以看作是一个四维空间内的线性系统,每一对空间位置(x₁,x₂)交叉谱密度的响应函数由四维函数h_z(x₁,x₂)所决定。将W₀(x₁,x₂)作为权重因子,对所有响应函数进行线性叠加后,就可以得到距离z处另一平面上的交叉谱密度函数W_z(x₁,x₂)。

3) 部分相干光场衍射的频域角谱传递描述

类似标量衍射理论的角谱思想,同样可以在空间频率域中讨论部分相干光场的传播。对(43)式两侧的(x₁,x₂)进行四维傅里叶变换,可以得到

{\hat{W}}_{z} (u_{1}, u_{2}) = {\hat{W}}_{0} (u_{1}, u_{2}) H_{z} (u_{1}, u_{2}), (45)

式中: ${\hat{W}}_{z}$ (u₁,u₂)、 ${\hat{W}}_{0}$ (u₁,u₂)与H_z(u₁,u₂)分别是W_z(x₁,x₂)、W₀(x₁,x₂)与h_z(x₁,x₂)对应的四维傅里叶变换;(u₁,u₂)为(x₁,x₂)在频域对应的四维空间频率坐标。H_z(u₁,u₂)称为部分相干光场互强度自由空间传播的传递函数,定义为

H_{z} (u_{1}, u_{2}) = H_{z} (u_{1}) H_{z}^{*} (u_{2}), (46)

式中:H_z(u)为相干光场自由空间传播的角谱传递函数,由(34)式定义。当在傍轴近似下,H_z(u)的形式可进一步由(35)式给出。

4) 部分相干光场的光强传输方程

对交叉谱密度传播所满足的一对傍轴波动方程进行差分坐标变换,两式作差并化简可得^[134-135]

\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial z} W (x + \frac{x'}{2}, x - \frac{x'}{2}) = - \frac{j}{k} \nabla_{x} \cdot \\ \nabla_{x'} W (x + \frac{x'}{2}, x - \frac{x'}{2}) 。 (47) \end{array}

当x'→0时,(47)式左侧简化为光场的强度,并可以得到部分相干光场下的光强传输方程:

\frac{\partial I (x)}{\partial z} = {- \frac{j}{k} \nabla_{x} \cdot \nabla_{x'} W (x + \frac{x'}{2}, x - \frac{x'}{2})|}_{x' = 0} 。 (48)

在相空间中,对Wigner分布函数傍轴传播所遵守的Liouville传输方程两侧的频域坐标u进行全空间积分,可以得到相空间下的广义光强传输方程(GTIE)^[128]:

\frac{\partial I (x)}{\partial z} = - λ \nabla_{x} \cdot \int uW (x, u) d u 。 (49)

(49)式为部分相干照明下的相位复原提供了理论技术。当光场完全空间相干时,(49)式可退化为Teague在相干情况下所推导的光强传输方程^[133]。基于广义光强传输方程和Wigner分布函数的瞬时频率性质,可以定义部分相干光场的广义相位 $\dot{ϕ}$ (x)^[128]为

\frac{\int uW (x, u) d u}{\int W (x, u) d u} = \frac{1}{2 π} \nabla_{x} \hat{ϕ} (x) 。 (50)

(50)式表明,针对部分相干光场,光强传输方程恢复的相位是一个标量势,其梯度为Wigner分布函数的空间频率的一阶条件矩。

3.3 部分相干光场的相干模式分解

虽然互相干或交叉谱密度函数可以很好地对部分相干光场进行表征,并描述其传输特性,但由于它们都是四维函数,导致相关的分析、计算及完整重构变得十分复杂。相干模式分解^{[121,136-138]}为解决这些问题提供了一种有效的工具,基本思想是将部分相干光场表示为若干自身完全相干却互相非相干的光场组分的叠加:

W (x_{1}, x_{2}) = \sum_{n} λ_{n} ψ_{n} (x_{1}) ψ_{n}^{*} (x_{2}), (51)

式中:ψ_n(x)为一个复振幅,被称为相干模式,并且不同的相干模式之间是互不相干的;λ_n为一个非负实数,对应模式的权重。当x₁=x₂,(51)式即表示部分相干光场的光强,即不同相干模式下光强的非相干叠加,

I (x) = \sum_{n} λ_{n} ψ_{n} (x) ψ_{n}^{*} (x) = \sum_{n} λ_{n} I_{n} (x) 。 (52)

所以λ_n实际上表示对应相干模式在总光强中所占的比例。数学上,相干模式分解(51)式可以被理解为对交叉谱密度矩阵W(x₁,x₂)进行正交分解的过程,从而可以有效对其进行降维,并可将相关四维运算简化到传统二维积分的累加,这为部分相干光场的分析和背后的物理机理的理解提供了一种简单而直观的手段。

同样地,运用相干模式分解的基本思想,Wigner分布函数同样可以进行模式展开,分解为自身相干却互相非相干的光场的Wigner分布函数的叠加^[51]:

W (x, u) = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} λ_{n} W_{n} (x, u), (53)

式中:W_n是特征函数U_n的Wigner分布函数,对应一个相干模式,可由相干光场的Wigner分布函数定义(21)式得到。分解后的相干光场的Wigner分布函数W_n仍然是四维函数,Wigner分布函数的相干模式分解不能像交叉谱密度函数相干模式分解那样将四维函数降维,简化运算过程,因此应用较少。

4 光场测量:从相位测量到相干测量

单色相干光波场可以用二维复振幅完备表示,使用四维相干函数或是四维Wigner分布函数来表征相干光场的高度冗余性。可以通过探测器直接探测强度信息,即可以直接得到振幅信息,因此相干光场测量的本质就等价于恢复光波场的相位信息。而部分相干光场描述了光场随机涨落的统计性质,情况复杂得多。由于光场的时间相干性取决于光谱分布,将着重讨论空间相干性的测量技术(后文的部分相干特指准单色空间部分相干),即空间任意两点的相干性是随机的,无法仅仅通过相位测量得到空间部分相干光场。部分相干光场测量的目标是获得四维相关函数或是四维Wigner分布函数,对于部分相干光场而言,四维Wigner分布函数是非冗余的。非相干光场任意两点发出的光波之间不具有相干性,可以用几何光学的光线模型表征非相干光场,在几何光学近似下,Wigner分布函数近似为光场,非相干光场的测量即等价于光场测量。

4.1 相位测量与相位恢复

相干光场测量的本质在于测量或者恢复光波场的相位信息。根据实现原理的不同,相位测量技术可以被细分为干涉和非干涉技术,而相位恢复技术还可再细分为迭代相位恢复技术与直接相位恢复技术,如图11所示。

图 11. 相位成像技术的分类

Fig. 11. Classification of phase imaging techniques

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干涉术是最为经典的相位测量方法,利用相干光的干涉效应,即对两束相干光进行空间叠加,将不可见的相位信息转换为可见的干涉条纹,再通过条纹分析技术,就可以将相位从干涉图中解调出来,实现相位获取。经过数十年的发展,经典的干涉测量术已经日趋成熟,并繁衍出多个分支,如经典干涉、电子散斑干涉、数字全息技术等^[4-8]。近年来,高性能计算机与高分辨率光电传感器的出现促进了数字全息技术的蓬勃发展,已成为定量相位测量与计算光学显微成像中一种最具代表性的相干成像技术^[139-142]。

与干涉测量法截然不同,相位测量的另一大类方法并不借助光的干涉效应,称为非干涉相位测量技术。非干涉相位测量技术的一大分支称为波前传感技术,如Shack-Hartmann波前传感器^[98-100]、四棱锥(金字塔)波前传感器^[143-145]、模式波前传感器^[146-147]等。目前,Shack-Hartmann波前传感器的应用领域已从自适应光学与天文探测学拓展到了光束质量评价^[148-149]、光学元件检测^[150-151]、激光大气通信^[152-153]、显微相差校正^[154-155]、眼科视力矫正^[156-158]等众多领域。

另一类非常重要的非干涉相位测量技术统称为相位恢复,又可以细分为两小类,迭代法与直接法。迭代法主要包括基于离焦传播的Gerchberg-Saxton算法^[159]、混合输入输出(HIO)算法^[160-164]、叠层(ptychography)成像技术^[165-166]、傅里叶叠层显微成像(FPM)^[167]。直接法主要可以细分为光强传输方程(TIE)^[133,168]和差分相衬定量相位显微成像(DPC)^[169-170]。由于本综述的重点放在相干测量技术,针对相位恢复技术,这里就不再赘述,感兴趣的读者可参阅关于TIE、叠层成像、FPM和DPC等技术的相关综述论文^{[168,171-176]}。

4.2 相干测量与相干恢复

如4.1节所述,相干光场的测量等价于光波场的相位恢复,而部分相干光场表示了光场随机涨落的统计特性,没有“相位”的概念,即无法通过相位恢复的技术直接测量部分相干光场。因此从相干光场“相位测量”转向部分相干光场的“相干测量”,即讨论部分相干光场的四维相干函数或是其Wigner分布函数/模糊函数的测量技术。相干测量的技术分类如图12所示。总体来说,相干测量可以分为干涉法和非干涉法两大类。干涉法的代表为杨氏双缝干涉仪、逆波前杨氏干涉仪、非冗余孔径阵列以及剪切干涉仪。非干涉法又可以分为相干复原以及相干采样。

图 12. 相干测量技术分类

Fig. 12. Classification of the coherence measurement techniques

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4.2.1 干涉相干测量

1) 杨氏双缝(孔)干涉法

根据互强度的定义(14)式,可以由遍历的空间所有点对之间的干涉条纹进行完整测量,得到四维互强度。为了更好地测量波面横向任意两点之间的相干性,可以将双缝改进为双孔,这样就产生了杨氏双孔干涉法,如图13所示。最早由Zernike^[26]提出杨氏干涉仪的双孔结构,可以用来测量空间两点的相干性,通过两个极小孔径S₁、S₂的不透明掩模,在空间上分割光束的波阵面,若两点是完全相干的,两点产生的干涉条纹对比度不会衰减;若两点是完全非相干的,将不会产生干涉条纹;介于两者之间就是部分相干的情况。条纹对比度随狭缝间距的增大而减小,当相干长度为狭缝间距时,对比度下降到最小值,基于干涉图中的条纹对比度和相位,即可测得光束的互强度。根据复相干度的定义(7)式,复相干度的模即干涉条纹的对比度。该方法虽然原理简单直接,但具体实施起来存在诸多问题:测量过程较为繁琐,因为必须对分析光束相干性平面上的每一对点进行遍历测量;能量效率低下,因为来自每个孔径的光会散布在整个测量平面上;干扰因素较多,例如掩模孔径的几何形状和尺寸会影响结果。

图 13. 杨氏双孔干涉法^[22]

Fig. 13. Young’s interferometry with two holes^[22]

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2) 逆波前杨氏干涉法

由于杨氏双孔干涉法测量空间相干性时需要测量大量空间点对,必须通过改变两个针孔在整个横断面上的位置来进行采样,测量过程非常复杂繁琐,逆波前杨氏干涉法^[77]改进了经典的杨氏干涉仪,针孔S₁、S₂之间的距离是固定的,结构如图14所示。它的基本原理是利用分束棱镜产生一个入射波前的反向复制。在分束棱镜后放置遮光板,遮光板上有两个针孔,用来测量空间两点间的相干性。当入射光束相对棱镜横向平移时,可以利用该固定间距的双孔测量两个反向光场中任意两个对称位置处的光场相干性。当该双孔相对棱镜横向平移时,可以测量两个反向光场中任意两个非对称位置处的光场相干性。测量原理和杨氏干涉法相同,仍然利用双孔干涉的条纹表示波面上任意两点的相干性,该方法需要两个精密平移台实现入射光相对分光棱镜的横向移动和双孔相对分光棱镜的横向移动,即可测得部分相干场的两点关联函数。然而这项技术的一个明显缺点是必须按一定的序列平移入射光束和双孔平面,在移动过程中应避免旋转,保证双孔在同一波面。

图 14. 逆波前杨氏干涉法^[77]

Fig. 14. Reversed-wavefront Young’ interferometry^[77]

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3) 非冗余孔径法

前两种方法在测量时一次只能测量一个点对,并且针孔掩模极大损失了光场能量,导致采集效率低下。非冗余孔径法^[78]能够同时测量多种间距两点之间的相干性,利用一个有非冗余阵列孔径的掩模获得干涉图,然后利用傅里叶变换同时获得光源横截面内的相干性分布。非冗余阵列的布局和该方法的实验装置如图15所示。图15(a)第一行子图为孔径阵列,第二行子图为孔径阵列的自相关,用来判别最优孔径。图15(b)为非冗余孔径实验示意图,在非冗余阵列孔径的前面放置透镜,入射激光经透镜L₁扩束以完全覆盖阵列。在非冗余阵列孔径后面放置透镜L₂,透镜L₂由两个相同的透镜组成,使阵列的远场干涉图位于透镜的后焦面,在该位置处放置CCD即可对干涉图成像。非冗余阵列孔径应满足两个假设:每个孔径的面积远小于待测光场的相干面积;每个孔径内的振幅和相位变化可以忽略不计。根据Mejía等的推导^[177],干涉图的傅里叶变换可以写成

\dot{I} (r) = Λ (r) \otimes {\overset{N}{\sum_{n = 1}} I_{n} δ (r) + \overset{N}{\sum_{n = m + 1}} \overset{N - 1}{\sum_{m = 1}} \sqrt[]{I_{n} I_{m}} {μ_{nm} δ [r - (r_{n} - r_{m})] + μ_{nm}^{*} δ [r + (r_{n} - r_{m})]}}, (54)

式中:r=(ξ,η)是傅里叶变换平面的位置矢量;Λ(r)是描述孔径几何分布的自相关函数;I_n是光场第n个孔径的强度;μ_nm表示孔径对(m,n)相应的空间相干(复空间相干度); $\otimes$ 代表卷积运算。如果知道每个孔径的光强I_n和干涉图傅里叶变换中尖峰的复振幅,就可以获得非冗余阵列孔径内任意一对孔径之间的空间相干性。非冗余孔径法的关键在于非冗余阵列孔径的设计,应保证每个孔径的形状和尺寸相同,并且确保阵列中任意一对孔径相应的距离矢量均是唯一的。

图 15. 非冗余孔径阵列布局和实验装置示意图^[78]。 (a1)轴上点占优;(a2)点中心分布;(a3)轴外点占优;(b)非冗余孔径实验示意图

Fig. 15. Distributions of nonredundant array method and experimental scheme^[78]. (a1) Superior in points on axes; (a2) central distribution of points; (a3) superior in points out of axes; (b) experimental scheme of nonredundant array method

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4)剪切干涉法

前三种方法都需要利用孔径掩模测量空间离散点对的相干性,都存在孔径设计复杂和光场能量损失的问题。剪切干涉法由于没有采用孔径掩模,不损失光场能量,并且可以测量任意连续间距的点对,因此是一种更具应用前景的相干测量方法。其中一个典型的例子是自参考干涉法^[80],图16为实验示意图。利用分光棱镜将一束光分成两束,这两束光分别沿两个相反的方向在三角形光路中进行传播,利用平行平板的旋转实现两重合光束的横向二维平移,从而获得光场互相干函数的二维分布;然后再次通过一个分光棱镜合成一束光,经光学系统成像在相机靶面。由于两路光场分布是相同的,该过程相当于计算光源光场的自相关。根据光场的互强度定义(14)式,U(x₁)和U^*(x₂)分别表示两路准单色光束的光场和光场的复共轭。根据(14)式,互强度为包含实部和虚部两部分的复数。利用自参考干涉法,可以分别测得互强度的实部和虚部,从而直接计算出光场的互强度。测量互强度的实部时,三角形光路中的1/4和1/2波片的快轴平行于光场的偏振方向,对在不同横向平移距离下的干涉光场进行测量,就可以计算出互强度的实部。测量互强度的虚部时,三角形光路中的1/2波片的快轴旋转45°。但是该方法需要调节平行平板,以测量大量不同的横向位置,整体测量仍然较为复杂耗时。

图 16. 自参考干涉法实验示意图^[80]

Fig. 16. Experimental scheme of self-referencing interferometry^[80]

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4.2.2 非干涉相干恢复

1) 基于相空间断层扫描的相干恢复

另一种对四维部分相干光场进行完整表征的思路是基于相空间测量的方法,即直接测量或者重构四维Wigner分布函数。这类方法中最著名的是相空间断层扫描^[85-86]。根据傅里叶切片定理,图17描述了Wigner分布函数和模糊函数的对应关系。图18展示了相空间断层扫描的原理示意图,即首先得到相空间旋转不同角度的光强投影,再将各角度投影叠加以重建Wigner分布函数。在待测光场中引入非对称光学元件(如柱面透镜),并对光场在各种传播距离上的光强进行大量采集,获得Wigner分布函数在不同角度下的旋转投影,从而再通过类似传统断层扫描的方式重建出完整的四维Wigner分布函数。根据Wigner分布函数性质可知,对于一维光场信号或沿光轴轴向对称的光场而言,在角度θ上的分数阶傅里叶变换直接对应原信号Wigner分布函数W_in(x,u)在相空间旋转了θ的角度:

\begin{array}{l} W_{F_{θ}} (x, u) = \\ W_{in} (x \cos θ - u \sin θ, u \cos θ + x \sin θ), (55) \end{array}

光强信号即是原Wigner分布函数W_U在角度θ的Radon变换。另一方面,Wigner分布函数W_in(x,u)与模糊函数A_in(u',x')互为傅里叶变换的关系[(23)式],因此可以得到相空间下的傅里叶切片定理^[178-179]:

{\hat{R}}_{W_{in}} (γ, θ) = F \{W_{in} (x, u)\} (u^{'}, x^{'}) |_{\binom{u^{' = γ \cos \cos θ}}{v^{'} = γ \sin \sin θ}} =

A_{in} (γ \cos θ, γ \sin θ) \underset{=}{\begin{matrix} polar coordinate \\ system \end{matrix}} \begin{array}{l} \hat{f} (γ, θ) 。 (56) \end{array}

因此对于一维光场信号或沿光轴轴向对称光场^[180]的情形,相空间断层扫描重建二维Wigner分布函数与之前所介绍的传统断层扫描成像的基本原理是完全一致的。

图 17. Wigner分布函数和模糊函数的对应关系

Fig. 17. Correspondence between Wigner distribution function and ambiguity function

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图 18. 相空间断层扫描原理示意图。(a)垂直投影;(b)旋转四分之一投影;(c)旋转90°投影;(d)各角度投影叠加

Fig. 18. Basic principle of phase space tomography. (a) Vertical projection; (b) quarter rotation projection; (c) rotation by 90° projection; (d) superposition of all projections from different angles

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除了分数阶傅里叶变换,还可以借助傍轴近似下的菲涅耳衍射,使Wigner分布函数在x轴方向上产生剪切^[181-182]:

W_{z} (x, u) = W_{in} (x - λzu, u) 。 (57)

再求取光强信号I(x)=∫W_in(x-λzu,u)du,实际上就“等价地”获得了原Wigner分布函数W_U在角度θ下的投影,θ与衍射距离z之间的关系为

\tan θ = - λzu 。 (58)

如图19所示,虽然分数阶傅里叶变换与菲涅耳衍射的相空间表现形式不同,但对于投影的获取(如当θ确定时,所得到的投影都是原Wigner分布函数的同样位置P₁到P₂点的投影)而言是完全等价的。同理,利用菲涅耳衍射获得的Wigner分布函数的投影的傅里叶变换对应原信号模糊函数的一个切片A_in(u',-λzu')。

图 19. 实现相空间断层扫描的两种Wigner分布函数(WDF)变换。(a) 复信号的WDF;(b) 菲涅耳衍射后的WDF表示;(c) 分数阶傅里叶变换后的相空间WDF表示;(d) 菲涅耳衍射与分数阶傅里叶变换的对应关系

Fig. 19. Two different transformations of WDF for phase space tomography. (a) WDF of complex signal; (b) WDF after Fresnel diffraction; (c) phase space WDF after fractional Fourier transform; (d) correspondence between Fresnel diffraction and fractional Fourier transform

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上述讨论局限于一维信号或光场分别沿光轴对称的情形,对于二维光场而言,Wigner分布函数是个四维函数。若通过断层扫描的原理重建四维Wigner分布函数,则需要Wigner分布函数在两个相空间平面(x-u_x与y-u_y)上都要产生相互独立的旋转。分数阶傅里叶变换在x=(x,y)两个坐标轴上都是同阶次的,也就是x,y两轴的旋转角度均为θ。实际上,分数阶傅里叶变换对于二维函数而言并非最一般的形式^[183],而该变换形式的变换核在直角坐标系下是可分离的,也就是说在x,y两个坐标轴上对应的阶次(旋转角度)可以独立取值:

f_{θ_{x}, θ_{y}} (x) = F_{θ_{x}, θ_{y}} \{f (x_{in})\} = \int f (x_{in}) K_{θ_{x}, θ_{y}} (x_{in}, x) d x_{in}, (59)

其中 $K_{θ_{x}, θ_{y}}$ (x_in,x)= $K_{θ_{x}}$ (x_in,x) $K_{θ_{y}}$ (y_in,y),定义为

K_{θ_{x}} (x_{in}, x) = \frac{\exp (j \frac{θ}{2})}{\sqrt[]{jsin θ_{x}}} \exp [jπ \frac{(x_{in}^{2} + x^{2}) \cos θ_{x} - 2 x_{in} x}{\sin θ_{x}}] 。 (60)

$K_{θ_{y}}$ (y_in,y)的表达式类似,其中θ_x,θ_y分别为两坐标轴的旋转角,且θ_x,θ_y≠nπ。Wigner分布函数的旋转变换(在x-u_x与y-u_y两个平面上)可以基于向量形式θ= ${[θ_{x}, θ_{y}]}^{T}$ 表示:

W_{F_{θ}} (x, u) = W_{in} (x \cos θ - u \sin θ, u \cos θ + x \sin θ) 。 (61)

(61)式中的向量相乘实际上表示向量元素对应相乘。此时如果再求取光强信号,即可实现输入光场的Wigner分布在不同角度θ下的投影:

I (x, θ) = R_{W_{in}} (x, θ) = \int W_{F_{θ}} (x, u) d u = \int W_{in} (x \cos θ - u \sin θ, u \cos θ + x \sin θ) d u 。 (62)

当θ取不同角度时,(62)式可以看作是输入光场Wigner分布的Radon变换,因此又被称为输入光场信号的Radon-Wigner变换^[184]。在光学上,想要实现二维函数的非对称分数傅里叶变换,通常需要引入像散透镜(astigmatic lens),以打破光学系统的旋转对称性,如图20所示的2个柱面透镜的光路结构^[85]。然后通过改变透镜的焦距或者透镜之间的间距就可以分别对θ_x,θ_y进行独立调整,从而获得Wigner分布函数在二维角度下的旋转投影。通过采集各角度下的投影数据获得 $R_{W_{in}}$ (x,θ)后,即可通过Radon反换法重构输入光场的Wigner分布。另一方面,Wigner分布函数与模糊函数互为四维傅里叶变换的关系[(23)式],因此可以得到

\begin{array}{l} {\hat{R}}_{W_{in}} (γ, θ) = F \{W (x, u)\} (u', x') |_{\frac{u'_{x} = γ_{1} \cos θ_{z}, x = γ_{1} \cos θ_{z}}{u'_{y} = γ_{2} co s θ_{z}, y = γ_{2} \cos θ_{z}}} = A (γ_{1} \cos θ_{x}, γ_{2} \sin θ_{y}, γ_{1} \cos θ_{x}, γ_{2} \cos θ_{x}) \equiv \\ \hat{f} (γ, θ), (63) \end{array}

式中:向量γ= ${[γ_{1}, γ_{2}]}^{T}$ 。当给定一个角度θ,可以获得四维Wigner分布函数W(x,u)在该角度下的二维投影 ${\hat{R}}_{W_{in}}$ (γ,θ)(θ固定),再对γ进行二维傅里叶变换,得到 ${\hat{R}}_{f}$ (γ,θ)(γ为r所对应的空间频率坐标),等价于模糊函数四维傅里叶空间中过原点的一个切面,并且这个切面与(x,u)轴夹角同样为θ。借助分数阶傅里叶变换和Radon-Wigner变换,获取Wigner分布函数在不同θ= ${[θ_{x}, θ_{y}]}^{T}$ 角度下的投影数据,以填充模糊函数四维傅里叶空间,即可通过傅里叶逆变换或滤波反投影法重构出光场的四维Wigner分布函数。

图 20. 相空间断层扫描的光路结构^[85]

Fig. 20. Optical path structure of phase space tomography^[85]

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2) 基于边缘衍射的相干恢复

另一种能够取代干涉仪的相干恢复的方法基于边缘衍射原理。受Alonso提出的基于相空间的边缘衍射(edge diffraction)^[83]重建方法的启发,即根据部分相干光场,通过经不透明障碍物或者孔径边缘时发生的衍射效应可以重建光场的Wigner分布函数,Cho等^[84]提出了基于边缘衍射测量空间相干性的方法,该方法可以测量由光扩散器和垂直狭缝生成的一维部分相干场的交叉光谱密度,实验装置如图21所示,在光束路径中插入相位掩模板(cover glass),通过对测量光强与不存在掩模时的光强的差值进行傅里叶变换,即可得到光束在掩模边缘为中心的任意对称点处的交叉谱密度函数:

\overset{̅}{W} (x_{0} - \frac{x'}{2}; x_{0} + \frac{x'}{2}) = - \frac{1}{|x'| \{1 - \exp [- i θ sgn (x')]\}} \int δ I (p; x_{0}) \exp (i kx' p) d p, (64)

式中: $\overset{̅}{W}$ 为重建的交叉谱密度函数;p为方向变量;δI(p;x₀)是有和没有掩模时的辐射强度差,体现了相位掩模对衍射的影响;相位差θ由掩模板的厚度和折射率决定。与其他方法相比,这个方法的优点是装置简单且测量鲁棒,测量光强差时不需要移除光学元件,但对于不连续处的点附近测量存在问题,仅适用于一维光束表征,对二维光场的测量依旧较为繁琐甚至难以实现。

图 21. 基于边缘衍射测量空间相干性的实验装置^[84]

Fig. 21. Experimental device for measuring spatial coherence based on edge diffraction^[84]

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3) 基于互强度反演的相干恢复

Zhang等^[102-103]提出了相干恢复(coherence retrieval)的概念,即测量不同位置的光强,得到一系列关于互强度的线性方程,通过强度测量就能够得出一些互强度的估计。Zhang等^[102]利用互强度的相干模式分解,将相干恢复定义为凸约束加权最小二乘问题,并基于因式分解法将其转换为一个无约束的问题,从而可以采用非线性共轭梯度算法来迭代求解出光场的互强度。相干恢复是一个具有挑战性的高维度病态逆问题(ill-posed inverse problem),测量的原始数据往往是不完整的,由于因式分解法不包括任何正则化项,因此更容易受到病态测量的影响。这就需要增加额外的先验条件,或者对评价函数增加正则项以优化重建结果^[185]。正则项总体可以分为两种,一种是迹运算,另一种在迹运算中增加了加权平方误差。迹运算为

\underset{\hat{J}}{\arg \min} f (\hat{J}; y) + tr (C^{H} \hat{J} C) subject to |\hat{J}| \geq 0, (65)

式中:f是一个线性算符;J是待求解的互强度;y是测量值(一般是强度);tr(·)代表迹运算;C∈ℂ^N^×^Q,C=(c₁,…,c_Q),将迹展开为求和的形式tr(C^H $\hat{J}$ C)= $\overset{Q}{\sum_{q = 1}} {c^{H}}_{q} \hat{J}$ c_q,该展开形式可以看作是“虚拟”光强的叠加,即将问题转换为“虚拟”部分相干场的能量最小化问题。这个方法将测量数据与重建函数数据不匹配的问题转换为虚拟测量值的总能量最小化问题。另一种正则项是能量匹配的,表达式为

\begin{array}{l} \underset{\hat{J}}{\arg \min} f (\hat{J}; y) + {\overset{̅}{ω}}^{2} {[\overset{̅}{y} - tr (C^{H} \hat{J} C)]}^{2} \\ subjec t to |\hat{J}| \geq 0 。 (66) \end{array}

这种方法假设虚拟测量中总能量的某些估计具有一定的可信度,(66)式中增加了迹的加权平方误差,权重因子为 $\overset{̅}{ω}$ ,估计值为 $\overset{̅}{y}$ 。在很多应用场景下这个方法的可信度较高,比如在相空间断层扫描中,将光场传播到不同平面并拍摄每个传播平面的光强,能量在自由空间中传播是守恒的,总强度应等于光源的总能量。

4.2.3 非干涉相干采样

除了基于干涉测量与相空间断层扫描的方法这些相对“间接”的方法外,还可以利用Wigner分布函数作一种局域频谱(local frequency spectrum),或者利用广义辐亮度的性质直接对Wigner分布函数进行测量。如图22所示,这里有两种常见的方式,一种是引入空域光阑(通常是小孔)^[52,94-95],使待测光场空间局域化在空间x₀位置后,通过远场衍射或利用透镜的傅里叶变换性质直接测量其二维局域频谱(spectrogram),该频谱近似对应了Wigner分布函数的一个空域采样W(x₀,u);当小孔在空域扫描整个二维平面后,即可近似获得光场的四维Wigner分布函数。另一种方式是采用微透镜阵列直接对光场进行四维采样^[96-97],类似于夏克-哈特曼波前传感器^[98-100]与光场相机^[101]。这种方式实际上可以看成前一种小孔扫描方式的并行化版本,可以实现单帧采集(每个微透镜后面的光强分布对应不同空间位置的局域频谱),但缺点是无法实现对光场在空域内的连续间隔采样,在一定程度上牺牲了测量的空间分辨率。二者的基本原理是一致的,即利用Wigner分布函数与能量密度函数(辐亮度,或在计算机视觉领域的光场)的近似等价性实现Wigner分布的直接采集。

图 22. 相空间的直接测量。(a) 基于小孔扫描的相空间直接测量; (b)基于微透镜阵列的相空间直接测量

Fig. 22. Direct phase space measurement. (a) Direct phase space measurement based on pinhole scanning; (b) direct phase space measurement based on microlens array

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如图23所示,单色相干光场可由二维复振幅函数表征,因此其四维的相空间表征本身是高度冗余的。在傍轴近似下,Wigner分布中空间频率与光场中光线传播角度之间的联系可以简单概括为θ≈λu。对于部分相干光而言,上述情况要复杂得多。部分相干光场的四维Wigner分布函数会填充整个四维相空间,一般是非冗余的。从几何光学角度而言,对于部分相干光,通过空间中某点的光线(能流)不再仅沿着一个方向传播,取而代之地,光线将扇开为一个二维分布,也就是夏克-哈特曼波前传感器中每个微透镜阵列后方将能够采集到一个二维子孔径图像,这正体现了部分相干光相比相干光具有较高的维度。图24简单阐述了光场相机和夏克-哈特曼波前传感器的原理。光场相机作为夏克-哈特曼波前传感器在计算机图形界的对应变体,可以对光线的空间位置及其角度分布进行联合测量^[101]。“光场”这个术语在计算机图形相关文献中通常用来表示光线的集合,通过四维变量L(x,θ)表征。在几何光学近似下,Wigner分布函数与辐亮度^[41-43]或光场L(x,θ)是近似等价的,L(x,θ)≈W(x,λu)^[95]。由于光场成像获得了所有光线的强度及其角度分布,所以可以利用光线追迹法去计算各种合成图像,如任意改变焦点或观察视角等^[129],这类似于部分相干光场中获得了四维相干函数后,通过数值计算的方法实现光场的传播与调控。

相干光场和部分(空间)相干光场的简化示意图。 (a)相干光场由二维复振幅表示,几何光线垂直于波前传播,恒定相位面即为波前;(b)部分相干光场需要四维相干函数以准确地表示其传播和衍射等特性。部分相干光场的“相位”(广义相位)是空间中每个位置的相位(空间频率,传播方向)的统计集合

图 23. 相干光场和部分(空间)相干光场的简化示意图。 (a)相干光场由二维复振幅表示,几何光线垂直于波前传播,恒定相位面即为波前;(b)部分相干光场需要四维相干函数以准确地表示其传播和衍射等特性。部分相干光场的“相位”(广义相位)是空间中每个位置的相位(空间频率,传播方向)的统计集合

Fig. 23. Schematic of a simplistic view of coherent field and partially (spatially) coherent field. (a) A coherent field requires a 2D complex amplitude representation, the surface of the constant phase is interpreted as wavefronts with geometric light rays traveling normal to them; (b) a partially coherent field requires a 4D coherence function to accurately represent its properties such as propagation and diffraction. The “phase” (generalized phase) of a partially coherent light field is the statistical average of phases (spatial frequency, direction of propagation) at each position in space

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图 24. 夏克-哈特曼波前传感器和光场相机的原理。(a) 对于相干场,夏克-哈特曼波前传感器的信号为焦点阵列;(b) 对于部分相干场,夏克-哈特曼波前传感器的信号扩展为光源阵列;(c) 对于非相干成像,光场照相机产生的信号为二维子孔径图像阵列

Fig. 24. Principle of the Shack-Hartmann sensor and light field camera. (a) For coherent field, the Shack-Hartmann sensor forms a focus spot array sensor signal; (b) for partially coherent field, the Shack-Hartmann sensor forms an extended source array sensor signal; (c) for incoherent imaging, the light field camera produces a 2D sub-aperture image array

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最后需要注意的是,Wigner分布函数与辐亮度或光场的等价性仅仅在某些特殊情况下才能成立(缓变相干光场/几何光学近似),因此直接采集到的局域频谱严格来说并不等价于光场的Wigner分布。根据Wigner分布函数的卷积性质可知,子孔径所测量到的不同空间位置上的局域频谱,实际上对应真实Wigner分布函数在四维相空间中被卷积的结果^[52,94]:

W_{s} (x, u) = W_{in} (x, u) \underset{x, u}{\otimes} W_{T} (x, u), (67)

式中: $\underset{x, u}{\otimes}$ 代表关于参量x,u的四维卷积;W_in(x,u)与W_T(x,u)分别为输入光场与孔径函数的Wigner分布函数。虽然Wigner分布函数可能取负值,但经过孔径函数卷积后一般将会变为非负函数,且直接可测。显然,要想使测量的局域频谱尽可能逼近原始光场的Wigner分布函数,W_T(x,u)应当尽可能地接近于δ(x,u)。但由于不确定性原理的限制,想要使Wigner分布函数在空域与频域的支持域同时缩减是物理上无法实现的。为了缓解这一问题,一方面需要实际需求,通过选择适当的孔径函数使其在空间域与空间频率域的模糊程度中进行妥协^[52,95,186];另一方面可以借助Wigner分布反卷积技术来补偿孔径所带来的模糊效应^[187]。

4.3 光场成像与计算光场成像

对于相位缓变光场或在几何光学近似下,光波场的Wigner分布函数与光场具有等价性,此时Wigner分布函数可以通过光线的空间位置和角度的四维函数进行表征。因此,光场成像的目标即是记录或恢复光线场的四维空间-角度信息。如图25所示,光场成像总体可以分为光场直接采样与基于光强传输的计算光场成像两大类。接下来分别阐述。

图 25. 光场成像技术分类

Fig. 25. Classification of light field imaging techniques

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4.3.1 光场直接采样

1) 基于相机阵列的光场成像

在计算机图形学领域,通过改变相机位姿或使用多个相机组合的相机阵列采集不同视点下的图像,完成对场景在不同空间位置和角度的光场采样,是较早被研究和应用的一种光场成像技术。1996年,Levoy等^[126]提出了光场渲染(LFR)理论,并将相机安装在一个可以平移和转动的机械臂上,构造成一个光场采集支架,如图26(a)所示,由单个相机完成对目标场景的四维光场采集。2002年,Yang等^[188]在麻省理工大学搭建出全世界第一套近实时相机阵列,单个视角下分辨率为320×240,有8×8共64个视角,光场采集帧率为18 frame/s,延时80 ms。2005年,斯坦福大学的Wilburn等^[110]设计了大规模128相机阵列,如图26(b)所示。他们使用低成本相机和镜头一次性对同一场景获取大量视角下的图像,并且将相机阵列的图像用于提升成像分辨率、动态范围、帧率和合成孔径等方面,以获得传统高成本单镜头摄像机无法实现的性能。然而,由于角度采样的高度离散化,需要多次移动相机或使用大规模的相机阵列才能获得满足角度采样需求的光场数据,这种技术通常应用于一些大场景的光场摄像。2015年,Lin等^[189]将基于相机阵列的光场采样应用到显微领域,图26(c)展示了基于相机阵列的光场显微镜,通过专有的光路组合和设计可实现显微视场下的光场采集,能够实现高分辨率的光场显微成像。然而,基于相机阵列的光场成像系统规模较为庞大,硬件成本较高,因而难以广泛应用。

图 26. 基于相机阵列的光场采集。(a)搭建的光场龙门架^[126]; (b)大规模相机阵列^[110];(c)5×5相机阵列实现显微光场采集^[189]

Fig. 26. Light field capture based on camera arrays. (a) Light field gantry^[126]; (b) large camera arrays^[110]; (c) micro light field acquisition acquired by the 5×5 camera array system^[189]

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2) 基于微透镜阵列的光场成像

另一种空间-角度直接采样的光场成像技术源自于一个世纪以前的立体显示或集成成像的概念设计,即在单个相机的成像光路中嵌入一块微透镜阵列或针孔阵列,每个微透镜或针孔对特定空间点源所发射的光束进行分束,并在传感器上形成一幅具有四维空间-角度分布结构的光场图像。进入21世纪,随着光学微结构加工工艺和数码电子技术的快速发展,这种概念设计最终走向现实,衍生出不同类型的光场相机,如图27所示。2005年,Ng等^[101]研发出世界上首台手持式光场相机,几年之后推出了消费级的Lytro光场相机。此外,Raytrix公司推出了面向工业和科研应用的新型光场相机^[190],与Lytro相机的区别在于微透镜阵列不再放置于相机原始成像面,相邻微透镜具有不同焦距,由此拓展了光场成像的景深范围。基于微透镜阵列的光场相机由于便捷性而成为目前最常用的光场记录设备,其结构与Shack-Hartmann波前传感器基本相同,用于非相干光场成像。然而,由于在传感器上同时进行空间和角度采样,光场相机的空间分辨率受限于微透镜个数,通常比全像素分辨率低一到两个数量级。低空间分辨率成为该技术和相关设备推广应用的限制因素之一。

图 27. 各种基于微透镜阵列的光场相机系统

Fig. 27. Various light field cameras based on microlens array

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3) 基于编码掩模的光场成像

基于微透镜阵列和基于相机阵列的光场成像都是通过对棱镜和透镜进行排布来捕获高维光场的,是一种直接获得光场的技术。这种技术存在较为明显的缺点,即无法同时兼容或满足高空间采样率和连续视角采样率。如何解决光场成像技术的空间分辨率与角度分辨率二者之间的矛盾是该领域亟待解决的问题。基于编码掩模的光场采集有助于解决这一对分辨率的矛盾,对经过掩模调制后拍摄的光场图像进行相应处理,可以重构出高空间分辨率的光场数据。图28给出了基于编码掩模的计算光场成像的两个典型的方法。图28(a)为Veeraraghavan等^[191]通过在普通相机中插入一个掩模,搭建了一款光场相机,将采集到的图像变换到频域后,发现其频谱呈规律性分布,属于典型的频率复用技术。这类技术的特点在于掩模是非折射元件,并且是通过后期算法计算重构光场信号的,因此使用掩模的光路结构比使用微透镜阵列的光路结构具有更高的设计自由度。除此之外,图28(b)为Marwah等^[192]基于此结构进一步提出的压缩光场采集方法,通过压缩感知采集和重构技术可以获得更高空间分辨率的光场。

图 28. 基于编码掩模的计算光场成像。 (a)掩模增强相机光场采集^[191];(b)压缩光场采集^[192]

Fig. 28. Computational light field imaging based on coded mask. (a) Light field acquisition of mask enhanced camera^[191]; (b) light field acquisition of compressive photography^[192]

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4) 基于可编程孔径的光场成像

与编码掩模类似的另一类技术是可编程孔径技术。该技术由Liang等^[104]首次提出,并设计了可编程孔径相机,如图29(a)所示,对主镜头的子孔径进行多次曝光成像,每次曝光时只允许特定子孔径位置的光线成像到探测器上,采用二值编码方式选取子孔径区域,以确保进行高信噪比光场重构。2016年,本课题组^[106]将可编程孔径思想引入到光场显微领域,提出了一种可编程孔径显微镜(Programmable aperture microscopy),将可编程LCD放在显微成像系统的4f光路中间的傅里叶平面上,如图29(b)所示。LCD是一个可编码的空间光调制器,通过对LCD进行编码,可以拍摄到不同合成角度下的光场图像,由此可以反解出四维光场。基于可编程孔径的光场成像技术能够获得全像素分辨率的光场数据,但是与此同时牺牲了成像的时间分辨率。

图 29. 基于可编程孔径的光场成像。 (a)可编程孔径光场相机^[104];(b)可编程孔径光场显微镜^[106]

Fig. 29. Light field imaging based on programmable aperture. (a) Programmable aperture light field camera^[104]; (b) programmable aperture light field microscope^[106]

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4.3.2 基于光强传输的计算光场成像

另一类计算光场成像技术通过轴向移动相机,采集焦点堆栈图像序列,基于深度测量进行光场反投影,相比编码掩模,其优点在于图像采集过程中可以保持相机孔径全开,大大增加了信噪比。几何近似下的光场成像同样具备与Wigner分布函数光学信号变换类似的成像性质,例如光场传播等效于四维光场的空间坐标剪切,剪切后的光场沿角度坐标轴进行投影,可以获得聚焦于特定深度的等效成像效果,见2.3节。因此,四维光场与三维焦点堆栈之间存在互换关系,表示为

L (x, θ) = \frac{1}{N} \overset{N}{\sum_{n = 1}} I_{Δ z_{n}} (x + Δ z_{n} θ), (68)

式中:N表示焦点堆栈的图像数量。通过获取不同轴向位置的强度图像,即可使用反向投影进行光场重建(LFBP)。一种方式通过获取沿光线方向所有强度图像上对应像素的平均值来近似光线的亮度^[108,193]。然而,这种平均近似结果受噪声的影响较大,当三维场景较为复杂时,光场的重建质量不高。另一种方式可以在焦点堆栈与光场之间进行交替投影^[109,194],充分利用焦点堆栈的结构信息,克服轴向采样不足和边界封闭等问题,从而实现更真实、更高质量的光场重建。对该技术感兴趣的读者可以参阅综述^[195-196]。

反向投影法通常需要较高的轴向采样率来保证光场重建的质量,仍需要采集较大数量的图像序列。相较之下,使用光强传输方程时只需增加一幅额外的离焦光强图像(一幅聚焦图加上一幅离焦图)就可以恢复出相位信息,从信息量角度来看是合乎逻辑的。因为光波场的复振幅仅仅定义在二维平面上,采用离焦光强图像的信息“置换”出相位信息在信息量上是“守恒”的。因此采用四维相空间表征二维完全相干光场时显然是高度冗余的。对于一个缓变物体,其相空间的冗余性将变得更加明显,因为信号在相空间仅仅占据一个二维切面^[128]:

W (x, u) = I (x) δ [u - \frac{1}{2 π} \nabla ϕ (x)] 。 (69)

此时Wigner分布函数永远严格大于0,这种形式的Wigner分布函数代表了物体真实的能量概率密度分布,表明通过某点x的光线(能流)仅仅沿着一个方向传播,且该方向由相位梯度(法线)所决定。这个性质使得相位测量可以通过对光线方向进行测量而实现,如夏克-哈特曼波前传感器^[98]。

对于部分相干光而言,上述情况要复杂得多。部分相干光场的四维Wigner分布函数一般是非冗余的。显然,通过两幅光强图求解光强传输方程是不足以提供足够的信息量去恢复部分相干光场的全部信息。完整四维互相干函数(或等价的四维Wigner分布函数)的测量与恢复相比较之下要复杂得多(见4.2节的讨论)。从几何光学角度而言,对于部分相干光,通过空间中某点x的光线(能流)不再仅沿着一个方向传播。取而代之,光线将扇开为一个二维分布,这就解释了为什么部分相干光本身具有较高的维度。光场相机作为夏克-哈特曼波前传感器在计算机图形界的对应变体,可以对光线的空间位置及其角度分布进行联合测量^[102]。“光场”这个术语在计算机图形相关文献中通常用来表示光线的集合,它通过四维变量L(x,θ)所表征,其中x为光线所处的空间位置,θ为通过空间某点处所有光线的角分布,其在光学范畴对应的物理量严格来说应该是辐射度学中的辐亮度(radiance)^[41-42]。早在1968年,Walther等就采用辐亮度作为等价于相空间物理量的方式为光度学奠定了严格的物理光学基础。2009年,Zhang等^[52]进一步阐明了几何光学近似下光场与Wigner分布函数的等价性,即L(x,θ)≈W(x,λu)。由于光场成像获得了所有光线的强度及其角度分布,这等价于获得了四维的Wigner分布函数(相当于四维互相干函数),因此光场成像本身亦可以被认为是一种相干测量与恢复。因此,部分相干光的传播衍射等均可以被完全表征。这在几何光学所对应的光场成像中表现为利用光线追迹法去计算各种合成图像,如任意改变焦点或观察视角等。然而,相比于传统成像方法,光场成像本身装置较为复杂(需要微透镜阵列),且为了获取额外的角分辨信息,严重牺牲了成像空间分辨率。

虽然光强传输方程无法恢复四维光场的全部信息,但是它却能够提供许多光场的信息量。对于干涉测量而言,相位信息完全蕴含在干涉条纹中,没有条纹就无法恢复相位信息。但对于光强传输方程而言,只需测量光强的传播即可恢复相位,而光强永远是可测的,与光源是否相干无关,这为光强传输方程提供了更广阔的应用背景。在非严格相干的光波场,通过求解光强传输方程得到的是广义相位[(50)式],其梯度为Wigner分布函数的一阶条件频率矩。而在几何光学近似下,Wigner分布函数等价于光场L(x,θ)≈W(x,λu),将其代入(50)式,得到几何光学近似下广义相位的定义^[128]:

\frac{\int θL (x, θ) d θ}{\int L (x, θ) d θ} = k^{- 1} \nabla ϕ (x) 。 (70)

(70)式的左侧即是光场的重心,即空间某一位置的光线角度的加权平均。通过(70)式,Zuo等^[128]提出并通过实验验证了两个观点。1)四维光场包含了二维相位信息(通过光场成像可以直接进行相位重构),相位梯度可以简单地通过对原始光场图像中的每个子孔径图像进行重心检测得到,这与夏克-哈特曼传感器中的标准处理步骤别无二致。2)求解光强传输方程虽然无法重构完整光场,但可以获得光场的一阶矩(重心)。此外在某些简单的情形下(空域平稳照明下的缓变物体),此时四维光场高度冗余,如图30所示,样品为一个“无散”系统,样品并不改变入射光场的角分布,角分布由主级光源光强所决定,样品仅仅对角分布起到整体移动的作用。在光源分布已知的前提下,求解光强传输方程可实现对四维光场的完全重构。

图 30. 缓变物体在空域平稳照明下的光场表示^[128]

Fig. 30. Light field representation of a slowly varying object under spatially stationary illumination^[128]

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透过物体的光场的角分布是由光源强度分布决定的,且受物体相位梯度作用而发生整体偏折。成像系统仅让那些位于光瞳内的具有较小角度的光线通过( $|θ|$ ≤λu_NA),而阻挡掉了其余具有较大角度的光线。最终在图像平面上所采集到的光强是成像系统所有光线能量的叠加,由移位后的主级光源函数与孔径函数重叠区域决定:

\begin{array}{l} I_{image} (x) = I (x) \int u {|S [u - \frac{1}{2 π} \nabla_{x} ϕ (x)]|}^{2} \times \\ {|P (u)|}^{2} d u, (71) \end{array}

式中:S(u)是光源的孔径光阑;P(u)是物镜的光瞳函数。(71)式表明,通过光强传输方程所恢复到的相位梯度 $\nabla_{x}$ ϕ(x),并人为地改变光瞳相对光轴的位置,就可以通过(71)式重建物体各个视角的强度图像(改变光照方向等价于改变视角)。相比较传统光场成像中基于单光线模型的视角合成方法^[126](称之为针孔渲染,即首先获得四维光场,然后通过提取其二维切片作为视角变换图像),由于考虑了成像系统作用,采用(71)式可以得到物理上更准确的高分辨率视角合成重建结果,且其不依赖于任何经验假设。

严格来说,首次采用光强传输方程进行计算光场成像的是Orth等^[197]于2013年所提出的“光场矩成像”。他们发现采用两幅不同焦面的光强图像通过求解一偏微分方程(他们当时并不知晓该方程就是光强传输方程)可以近似重构出场景多个视角的图像。而这里的“矩”正是指该方法只能获得光场的一阶矩,而无法获得完全的光场信息。为了获得完整的四维光场,Orth等^[197]假设光场的角分布符合高斯模型,并填充这些缺失的数据。该做法虽然在物理上缺乏依据,实验上却给出了不错的视觉效果。2014年,Zuo等^[198]指出“光场矩成像”实际上就是光强传输方程在几何光学近似下的变体,因此任何关于光强传输方程的求解与轴向微分估计算法等均可以直接“移植”到光场矩成像中。如2015年,Liu等^[199]采用基于多平面光强测量的高阶有限差分法去优化光强轴向微分估计,提高了光场矩成像的信噪比。

5 基于相干测量的计算成像新体制

第4章阐述了光场从“相位测量”转向“相干测量”的技术,光场相干测量这一研究领域取得了诸多重要的研究进展。对于计算光学成像领域而言,“相干测量”相关的原理与技术有极大借鉴和参考的价值。近些年来,基于相干测量的计算成像新体制得到了蓬勃发展,相干测量的理论与技术为计算成像技术注入了新的活力。

5.1 光场成像与显微

在基于微透镜阵列的光场相机开发后一年,这种光场成像模式即被引入到荧光显微成像上,发展出了一种非相干光场显微成像新体制。2006年,Levoy等^[111,200]搭建了光场显微成像系统,在图31(a)传统科勒照明的明场显微镜的原始成像面插入一块微透镜阵列,图像传感器放置于微透镜阵列后焦面处,类似于基于微透镜阵列的光场相机,能够获得样本在不同视点和不同焦面处的显微图像,如图31(b)所示。通过焦点堆栈和点扩展函数进行3D反卷积,可以实现单帧体成像。然而,这种基于几何光学的光线模型无法考量显微成像条件下的衍射效应,其空间分辨率仍受限于微透镜的个数。2013年,Broxton等^[112]提出一种光场显微成像的波动光学模型,如图31(c)所示,并通过光场点扩展函数进行4D反卷积,利用光场角度信息的冗余性实现较高空间分辨率的体成像。Levoy等提出的光场成像系统结构和波动光学模型奠定了基于微透镜阵列的光场显微成像的基本理论和算法框架。自2014年始,光场显微成像作为一种高速体成像的新型显微成像模式,很快在生命科学领域开辟了一块特有的应用空间,在一定程度上解决了诸如共聚焦显微成像、光片显微成像和双光子显微成像等技术所面临的成像速率问题。

虽然波动光学模型相比几何光线模型提高了光场显微成像的空间分辨率,但是仍面临一些限制其应用推广的主要问题。一个问题是放置于原始成像面的微透镜阵列造成了原始物面上角度信息的高度冗余,以至于原始物面上反卷积重建结果失真。针对这一问题,研究人员通过改变微透镜阵列或图像传感器的位置,或是采用不规则参数(位置和焦距)的微透镜阵列,在一定程度上消解了物面上角度信息的高度冗余性,提高了物面重建结果的空间分辨率。此外,微透镜阵列对轴向点源的成像是线性空变的,体成像的轴向分辨率呈现出分布不均匀的特性,轴向分辨率随着轴向距离的增加而迅速降低,因此限制了成像的深度范围。2019年,Guo等^[113]在传统光场显微成像光路中加入一块傅里叶透镜,如图31(d)所示,将微透镜阵列放置于透镜的傅里叶面上,等效于对物镜光瞳面进行分割成像,在较大的深度范围内获得了轴向和横向分辨率较为均匀分布的结果。

图 31. 光场显微镜模型。(a)传统明场显微镜;(b)光场显微镜^[111];(c)基于波动光学的光场显微模型^[112];(d)傅里叶光场显微镜模型^[113]

Fig. 31. Light field microscope model. (a) Traditional bright field microscope; (b) light field microscope^[111]; (c) light field microscopic model based on wave optics theory^[112]; (d) Fourier light field microscope^[113]

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5.2 非干涉相位复原

区别于4.1小节所阐述的相干光场的相位恢复技术,本章节的重点是介绍基于光强传输的部分相干场的非干涉相位复原方法,该类方法可分为空间域与空间频率域两大类,对应的代表方法分别是光强传输方程(TIE)法与弱物体传递函数(WOTF)法。虽然部分相干光场没有“相位”的定义,但从光强传输方程中重建的相位可以认为是与Wigner分布函数的条件频率矩相关的广义版本。傍轴近似下的光强传输由(49)式所定义的广义光强传输方程在相空间中描述^[128],在部分相干光场下,基于广义光强传输方程所得到部分相干光场下的广义相位[(50)式]是一个标量势函数,其梯度为Wigner分布函数的一阶空间频率条件矩。对于光学显微镜成像系统而言,只有像平面的光波场是可探测的。所以由光强传输方程恢复的相位是成像平面Wigner分布函数W_image(x,u)的广义相位,而不是物体本身的相位ϕ(x)。考虑一个相位缓变的物体被有限孔径的显微系统成像,W_image(x,u)可以表示为

\begin{array}{l} W_{image} (x, u) \approx I (x) {|S [u - \frac{1}{2 π} \nabla_{x} ϕ (x)]|}^{2} \times \\ {|P (u)|}^{2} 。 (72) \end{array}

从几何光学的角度来看,(72)式描绘了空间域中光强传输方程背后的物理意义,如图32(a1)所示,缓慢变化的样品的相位可以近似为分段线性函数(棱镜的组合)。样品引起的相位调制表现出角移不变性。在每个位置,每个入射光的方向因相位梯度不同而发生偏转,并且照明的入射展开角度没有改变。但被物镜收集后,只有瞳孔内的光线才能通过成像系统并对成像有贡献,如图32(a2)所示,导致相位梯度估计下降(瞳孔光源位移的重心与真实相位梯度不一致)。

图 32. 光强传输方程与弱物体传递函数对比^[207]。(a1)(b1) 光强传输方程和弱物体传递函数的物理含义;(a2)(b2)推导相位梯度传递函数和弱物体传递函数的几何图解;(a3)(b3) 相位梯度传递函数和弱物体传递函数在不同s下的相位成像

Fig. 32. Comparison between TIE and WOTF^[207]. (a1)(b1) Physical implications of TIE and WOTF; (a2)(b2) geometric illustrations for deriving the PGTF and WOTF; (a3)(b3) PGTF and WOTF for phase imaging under different s

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由于倾斜角度照明有助于提高成像的横向分辨率,当用部分相干光照射样品时,光强传输方程可以实现超出相干衍射极限的空间分辨率^[201]。但光强传输方程的有效性源于傍轴近似,这将其应用限制在低数值孔径成像和相位缓变的物体上。虽然采用较大的照明数值孔径可以提供更高的理论衍射极限分辨率,但从图32(a3)相位梯度传递函数(PGTF)与空间频率的响应曲线可知,随着相干参数s(照明强度和物镜数值孔径的比值)的增大,高频信息的损失更加显著,因此难以应用于高分辨率定量相位成像^[202-203]。2011年,Kou等^[204]利用反卷积光学传递函数法实现定量相位恢复,在部分相干照明下的精度高于光强传输方程法。由于相位梯度传递函数无需傍轴近似,这类方法适用于高数值孔径成像。但是弱物体传递函数是通过忽略双线性项(一阶Born近似)来线性化频域中的图像形成过程的,所以该类方法通常仅限于弱散射样本。另外,强度和相位之间的线性关系也可以通过一阶Rytov近似推导出来^{[202,205-206]},该近似要求样品相位缓慢变化,并可将弱物体传递函数的有效性扩展到较大相位的情况。但对于厚物体而言(相位延迟明显超过π/2),Born近似和Rytov近似都难以提供较高的相位重构精度。

对比图32两种不同的传递函数,可以发现这两种方法在适用范围上是互补的。光强传输方程是在傍轴近似下建立的,对相位缓变的样品有效,低频相位恢复精度较高;而弱物体传递函数假设待测样品为弱散射物体,在非傍轴条件下有效,高频特性较多。Lu等^[207]将这两种方法适当结合起来,提出了一种混合传递函数的方法来解决测量精度和成像分辨率之间的矛盾。通过在频域有效融合光强传输方程和弱物体传递函数重构的相位,可以保证重构出高精度的低频相位全局轮廓,并很好地保留了高分辨率的高频特征,为部分相干照明下的高精度、高分辨相位恢复提供了一条有效的途径。

5.3 非相干全息术

全息术^[208]最初是一种相干成像技术,只有在任意两物点间的光波是空间相干的情形下才能记录物体的全息图,应用极大地受到了光源的限制。将传统全息术结合相干测量的思想能够拓展到非相干光场的情形。由于全息图记录了物体的振幅和相位信息,利用van Cittert-Zernike定理(见2.2节),可以直接得到全息图的远场衍射互强度。2005年Takeda等^[209]首先提出了“相干全息(coherence holography)”的概念并进行实验验证,如图33所示,该技术的记录过程和传统全息一样,利用物光和参考光干涉形成全息图;重建过程则采用非相干光源照明全息图,通过van Cittert-Zernike定理将全息图的强度透射率与观测点Q和参考点R处的场之间的互强度联系起来。由于互强度和光场具有相同的分布,因此可以使用干涉仪检测光场的二阶相关,进而重建物体的复振幅信息^[210-212]。

图 33. 由相干全息图重建的相干图像的直接可视化^[209]

Fig. 33. Direct visualization of coherent images reconstructed from coherent holograms^[209]

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2011年,Naik等^[213]还提出另一种非传统的全息术,称为“光子相关全息术(photon correlation holography)”。光子相关全息术利用光场的四阶相关(或基于光强的光子相关)来重建三维物体。原理如图34(a)所示,相干照明下的三维物体被记录在全息图中,全息图经过随机相位的照明,在图像传感器中检测观测体斑点I(r,t)的瞬时强度分布。光子相关全息术的特点是通过散斑强度<ΔI(r,t)ΔI(r+Δr,t)>的去偏相关性来获取记录在全息图中并编码到随机相位分布光场中的三维物体信息。图34(b)为光强干涉仪的原理图,在空间光调制器上显示的全息图被成像到静态磨砂玻璃上,利用空间强度关联重建的光子相关全息。他们的研究结果表明,光场的四阶统计(强度相关)计算既可以是空间域的统计,也可以是时间域的统计。相干全息术与光子相关全息术是全息术和统计光学的完美结合。

图 34. 光子相关全息术^[213]。(a) 光子相关全息术的概念图;(b)光强干涉仪原理图

Fig. 34. Photon correlation holography^[213]. (a) Concept diagram of photon-dependent holography; (b) schematic diagram of intensity interferometer

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由于非相干光照明的物体或者自发光物体任意两点发出的光波之间不具有相干性,但同一点发出的光被分束后是空间自相干的。基于该原理,另一种非相干全息术通过某种光学方法将来源于非相干物体一点发出的光波分成两束进行干涉,实现点源全息图的记录,所有点源全息图的非相干叠加构成整个物体的全息图,对该全息图进行重建,可以恢复原始物体的三维信息。非相干全息术一般采用准单色的空间非相干光源,以尽量避免时间相干性的影响。为了充分利用成像探测器的空间带宽积,非相干全息术通常采用同轴的实验装置。图35是几种典型的非相干全息的光路图。图35(a)是三角全息干涉光路,使用两个透镜构成远焦系统,通过偏振分束镜(PBS)、线偏振片(LP)和波片(WP),得到了无偏像和无共轭像的复全息图。图35(b)是Rosen等^[214]提出的基于空间光调制器衍射分光的菲涅耳非相干关联全息术(FINCH)光路图,通过计算菲涅耳变换(卷积)的方法重构原始物体的三维信息。该技术将物点的深度信息通过菲涅耳波带片的条纹密度来体现,横向信息通过条纹图样的横向位置直接体现,在不使用任何的扫描装置和移动部件的条件下即可获取样品的三维信息。图35(c)是迈耳耳孙干涉仪^[119],能够获得非相干照明下物体的全彩色三维图像。图35(d)是Sagnac干涉仪^[215],将同一光源发出的一束光分解为两束,让它们在同一个环路内沿相反方向循行一周后会合,然后在屏幕上产生干涉,当在环路平面内有旋转角速度时,屏幕上的干涉条纹将会发生移动。图35(e)是Mach-Zehnder干涉仪^[216],一个反射镜安装在压电传感器上,并进行移位以得到所需的光程差。同轴全息的问题是零级像和共轭像对原始物体信息的干扰,所以图35的光路结构都结合了相移技术,如波片、空间光调制器和压电陶瓷均为了在参考光中引入一定相移,对同一物体多幅相移图全息图进行记录,多幅相移图叠加得到复全息图。

图 35. 典型的非相干全息光路图。 (a)改进的三角全息干涉光路^[217];(b)菲涅耳非相干关联全息术光路^[214];(c)迈克耳孙干涉仪^[119];(d)Sagnac干涉仪^[215];(e)Mach-Zehnder干涉仪^[216,218]

Fig. 35. Representative optical setup for incoherent holography. (a) Optical path of modified triangular interferometer^[217]; (b) optical path of FINCH^[214]; (c) Michelson interferometer^[119]; (d) Sagnac interferometer^[215]; (e) Mach-Zehnder interferometer^[216,218]

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2016年,Vijayakumar等^[115]提出了一种新的基于菲涅耳非相干关联全息术的非相干全息术——编码孔径相关全息(COACH),成像光路如图36(a)所示。物体上某一点发出的光波经编码相位掩模(CPM),与同源衍射的未调制光进行干涉,将双波束干涉产生的脉冲响应记作点扩展全息图(point spread hologram),作为重建函数。生成点扩展全息图后,将复杂物体放置在同样位置上,用相同的编码相位掩模记录该物体全息图,通过点扩展全息图和物体全息图之间的互相关来重建物体的像。菲涅耳非相干关联全息术等自参考全息技术需要将物体复制一份,两个物体在成像平面自干涉。而编码孔径相关全息并不需要复制物体,目标只成像一次,图像被传感器平面上的准随机分布波前干涉。编码孔径相关全息是传统自参考非相干全息记录的一种概念转变,具有更高的轴向分辨率,但牺牲了一定的横向分辨率。

图 36. 编码孔径相关全息的典型光路结构。(a)编码孔径相关全息结构^[115];(b)无干涉编码孔径相关全息结构^[117];(c)无透镜非干涉编码孔径相关全息结构^[116]

Fig. 36. Typical imaging optical path for COACH. (a) Structure of COACH^[115]; (b) structure of I-COACH^[117]; (c) structure of LI-COACH^[116]

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2017年,Vijayakumar等^[117]对编码孔径相关全息的光学结构进行了简化,去掉编码孔径相关全息系统中的第二个偏振片P₂,以消除双波干涉,并提出了无干涉编码孔径相关全息(I-COACH),这一进展打破了全息术一直以来对干涉的依赖,为全息术领域开辟了许多可能性,其光路结构如图36(b)所示。同年,Kumar等^[116]在无干涉编码孔径相关全息的光路上去掉了透镜L₂,提出了无透镜的无干涉编码孔径相关全息系统,称为无透镜非干涉编码孔径相关全息(LI-COACH),如图36(c)所示,其全息图的记录与重建过程与无干涉编码孔径相关全息相同,但无透镜系统消除了像差,并且增大了视场。

5.4 散斑相关穿透散射介质成像

光线在自由空间传输的成像过程较为简单。但是在很多实际的应用领域中,经常会涉及光线经过散射介质传输的情形。传统的光学成像通过提取弹道光的方式解决无散射或弱散射介质的成像问题^[219-224]。然而,光线在经过生物组织、烟尘、浓雾、白纸、纳米颗粒材料等强散射介质时,传统的光学成像规律不再适用。由于光在介质内发生多重散射,原本有序的波前发生了严重畸变,出射光场变成无序分布的散斑场,难以实现对物体的直接观测。在随机散射过程中,物体的信息并没有丢失,而是根据散射介质重新分布,即出射散斑场仍然携带有入射光场的信息,因此能够从散斑场重建原始物体信息。将计算成像技术与散射成像技术有机结合,涌现出了许多新型的光学成像技术,如相位共轭与时间反演^[225-227]、波前整形^[228-230]、光学传输矩阵^[231-232]、深度学习^[233-234]、调制光照明^[235]等,促进了散射成像技术在计算显微成像领域的应用。同时,随着对光学记忆效应^[236]的深入研究,散斑相关成像技术^[237-238]的提出为透过散射介质成像打开了新的局面。对散射成像技术感兴趣的读者可以参阅文献^[239-240],本文着重介绍基于散斑相关的散射成像技术。

2012年,Bertolotti等^[237]首次将记忆效应应用于散射成像,利用散斑相关技术实现非入侵式的透过散射介质成像,实验装置如图37所示。根据散射介质的记忆效应,激光器在空间中以不同角度θ扫描时,相机接收到的散斑I(θ)具有高度相关性,这一扫描过程可以描述为

I (θ) = \overset{\infty}{\int_{- \infty}} O (r) S (r - θd) d^{2} r = [O \otimes S] (θ), (73)

即散斑可以看成是原目标O(r)与成像系统点扩展函数S(r)卷积的结果,r表示空间位置,目标信息已经被编码至散斑中,d为散射介质与探测器之间的距离。对散斑进行自相关运算,并运用卷积定理,可以得到

< I * I > (Δ θ) = < O \otimes S > * < O \otimes S > = < O * O > \otimes < S * S > = [O * O] \otimes < S * S >, (74)

式中:<·>为均值运算,*为相关运算, $\otimes$ 为卷积运算。由于散斑的自相关近似为冲激函数,因此可以从散斑的自相关运算中直接得到目标物体的自相关,借助相位恢复算法即可实现目标物体的恢复。该方法开创性地利用了记忆效应进行散射成像,但是也有缺点,如散斑的获取依靠空间多角度的扫描,在扫描过程中要求物体和散射介质保持不变,该方法只能适用于静态散射介质,并且相位恢复算法只能概率性地给出恢复结果,存在不确定性。

图 37. 透过强散射层非入侵式散射成像示意图^[237]

Fig. 37. Schematic of non-invasive scattering imaging through strong scattering layers^[237]

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2014年,Katz等^[238]在Bertolotti等研究的基础上,结合了天体散斑干涉法和具有角度记忆效应的散斑相关性,提出了一种基于单帧散斑自相关的成像方法,成像模型和实验结果如图38所示。在非相干光照明条件下,物体在散射介质记忆效应范围内,每个点光源产生的散斑彼此高度相关,相机采集的图案是这些彼此相关的散斑图的强度叠加,不存在干涉。此时物体散斑图的自相关在本质上和物体强度的自相关是等价的。因此,从散斑场中重建物体与传统基于远场衍射的相位恢复问题(远场衍射图的模即对应物场的自相关函数)本质相一致,因此结合Gerchberg-Saxton或HIO等迭代相位恢复算法即可从散斑图中重建物体。该方法不仅完全避免了原有成像方法需要扫描的缺点,而且避免了成像系统像差带来的影响,真正实现了单帧被动散射成像。

图 38. 基于单帧散斑自相关的透过强散射层成像^[238]。 (a)实验装置模型;(b)相机原始图像;(c)自相关;(d)通过迭代相位恢复算法重建物体;(e)实验系统;(f)相机原始数据;(g)~(k)第一列为自相关,第二列为重建物体,第三列为真实的物体

Fig. 38. Single frame imaging based on speckle autocorrelation through strong scattering layer^[238]. (a) Experimental setup; (b) raw camera image; (c) autocorrelation; (d) image reconstructed by an iterative phase-retrieval algorithm; (e) photograph of the experiment; (f) raw camera image; (g)--(k) Left column is calculated autocorrelation, middle column is reconstructed object; right column is image of the real object

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5.5 非相干合成孔径

光学衍射极限是限制光学成像系统的成像分辨率一大因素。根据瑞利判据,传统非相干成像系统的极限角分辨率为Δθ=1.22λ/D,其中λ为系统的工作波长,D为系统的孔径直径。在系统光照确定的情况下,要通过减小系统的工作波长来提高成像分辨能力并不现实。因此,光学衍射极限对系统成像分辨能力的限制在本质上是系统孔径的限制,即有限的系统孔径限制了传统成像系统的成像分辨能力。然而,在传统成像体制下,系统的空间分辨率、成像视场等核心指标已经接近极限,难以满足更高的成像性能要求。合成孔径技术的基本思想在于在时间或者空间上进行多个小孔径排布以合成虚拟的大孔径,以达到大孔径系统相近的成像性能,为成像系统突破光学衍射极限提供了可能。如图39所示,传统的非相干合成孔径技术按照光束合成方式不同,主要分为瞳面干涉和像面干涉,瞳面干涉又叫迈克耳孙型干涉[如图39(a)所示],像面干涉也叫Fizeau干涉,分为中次镜结构[如图39(b)所示]和相控阵列结构[如图39(c)所示],需要利用多个子孔径从不同角度同时收集来自目标的入射光。不同孔径收集的入射光分别经复杂的光路后,在探测器平面干涉合成,进而实现超分辨成像。

图 39. 传统非相干合成孔径系统结构。(a)迈克耳孙型干涉仪;(b)中次镜结构;(c)相控阵列结构

Fig. 39. Conventional incoherent synthetic aperture structure. (a) Michelson interferometer; (b) common secondary structure; (c) multiple telescopes structure

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传统的非相干合成孔径技术为了得到更大的孔径,成像系统的体积往往非常庞大,高分辨率、超轻的光学望远镜一直是天文观测和空间目标光学监视领域所追求的目标。2013年美国洛克希德·马丁公司基于van Cittert-Zernike定理提出了一种分段式平面干涉成像(SPIDER)技术^[241-242]。SPIDER技术的核心思想在于通过干涉的方式,测量探测面上两点间的互强度,以填充目标的空间频谱,进而利用傅里叶逆变换重建目标图像。如图40(a)、(b)所示,SPIDER主要由多块呈辐射状排列的光子集成电路(PIC)及对应排布的透镜阵列组成。PIC上集成有延迟线、阵列波导光栅、光耦合器、光电探测器等器件,以实现入射光的片上分光、干涉与测量。这一技术利用透镜阵列代替庞大的传统成像镜头,利用片上干涉代替系统内部的自由传播干涉,能够在保证成像分辨率的同时,大幅减小系统的尺寸、质量与功耗。但是由于SPIDER技术的成像过程需要对目标频谱进行逐点采样,频谱采样密度在很大程度上受限于透镜阵列规模,因此频谱采样密度低,容易发生空域混叠;同时受限于当下光子集成电路技术的发展情况,目前高密度采样、高集成度的平面干涉系统实现起来仍然充满了挑战。

图 40. 初代SPIDER成像概念系统设计模型。(a)SPIDER设计模型和爆炸图;(b)两个物理基线和三个光谱波段的PIC示意图;(c)SPIDER微透镜排列方式;(d)对应排列方式下频谱覆盖

Fig. 40. Design model of the initial generation of SPIDER imaging conceptual system. (a) Explosive view of SPIDER; (b) PIC schematics of the two physical baselines and three spectral bands; (c) arrangement of SPIDER microlens; (d) corresponding frequency-spectrum coverage

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2010年,菲涅耳相关联全息技术的提出者Katz等^[243]将这一技术与合成孔径技术相结合,提出了一种基于菲涅耳相关联全息的合成孔径(SAFE)技术。如图41所示,SAFE技术旨在利用单孔径的菲涅耳相关联全息系统分别从不同角度对目标进行记录,通过相移算法计算各子孔径下的复振幅全息图,并在后期的数字重建过程中进行子孔径的干涉合成,模拟大孔径菲涅耳相关联全息系统的成像情况,以实现成像分辨能力的提升。SAFE技术改变了传统非相干合成孔径技术先干涉后记录的成像过程,可以利用单孔径系统对不同的子孔径单独拍摄,并在后期重建过程中完成各孔径的干涉合成,避免了多孔径排列带来的系统体积庞大、结构复杂、调试困难等问题。但是,SAFE技术在实现过程中需要对空间光调制器进行区域划分,对划分的区域分别加载不同的局部相位调制函数,以实现对不同区域全息图的记录,并在后期合成。其本质上利用空间光调制器对单孔径的全息图进行分区域记录与拼接,无法实现合成孔径技术中的多孔径的合成成像。同时,这一技术中用于目标合成重建的各子孔径复振幅全息图需要借助于相移算法,即利用多帧不同初始相位下的干涉强度图像计算得到。因此单帧孔径合成重建图像拍摄时间较长,不适用于快速运动目标成像。

图 41. 基于FINCH的非相干合成孔径技术^[243]

Fig. 41. Incoherent synthetic aperture technology based on FINCH^[243]

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5.6 非相干断层成像

传统断层成像技术通常需借助特定的主动照明机制,通过旋转样片或改变照明角度拍摄待测物体在不同照明角度下的投影^[244-247],并结合滤波反投影的算法重建三维物体。非相干断层成像技术可以从光场的相干函数分析中直接重建任意环境照明下可见的或者自发光物体的三维结构。Marks等^[79]对光场的互强度进行傅里叶分析发现,互强度傅里叶变换产生的投影在数学上与X射线锥束层析(X-ray cone-beam tomography)成像^[248-249]的投影相同。互强度可以用图42所示的旋转剪切干涉仪(RSI)测量,再利用类似于X射线锥束层析的原理重建三维物体。在传感器阵列平面上测得的互强度在傍轴近似下可以写成

J (Δ x, Δ y) = \int \frac{I_{s}}{z_{s}^{2}} \exp [- \frac{j 2 π}{λ z_{s}} (x_{s} Δx + y_{s} Δy)] d^{3} r_{s}, (75)

式中:物体的坐标系对应于r_s=(x_s,y_s,z_s);传感器阵列平面坐标对应于(Δx,Δy);I_s为光源的强度。对(75)式进行傅里叶逆变换,得到

\hat{J} (u, v) = \int J (Δ x, Δ y) \exp [j 2 π (u Δ x + v Δ y)] dΔ x dΔ y = \int \frac{I_{s}}{z_{s}^{2}} δ (u - \frac{x_{s}}{λ z_{s}}, v - \frac{y_{s}}{λ z_{s}}) d^{3} r_{s}, (76)

$\hat{J}$ (u,v)是沿着经点(x_s=λz_su,y_s=λz_sv,z_s)的光线通过I_s/ $z_{s}^{2}$ 的线积分。(76)式表明,通过测量以等效(但现在是虚拟)点源为中心的平面上的互强度,可以获得数学上等效的自发光物体或环境照明下可见的物体的锥束层析投影。数字计算与旋转剪切干涉仪相结合的系统可以获得无限的景深。这种特性使得锥束层析成像能够从光场的相干信息中直接重建物体的三维结构。

图 42. 可见锥束层析的旋转剪切干涉仪实验装置^[79]

Fig. 42. RSI of visible cone-beam tomography^[79]

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6 相干测量的典型应用

6.1 生物显微成像

在生物医学成像领域,Prevedel等^[250]用光场显微镜对生物体进行神经元活动的三维成像。神经活动的高速、大规模三维成像是神经科学的一大挑战。他们运用光场显微镜实现了在单个神经元分辨率下,对秀丽隐杆线虫和斑马鱼幼虫的整个大脑神经活动功能的成像。Pégard等^[251]运用压缩光场显微术记录三维神经活动,提出了一种新的压缩光场显微镜方法来解决传统光场显微空间分辨率较低的问题,为测量大体积组织中单个神经元的活动提供了一条途径。这项技术依赖荧光信号的时空稀疏性,使人能够识别和定位三维体积中的每个神经元,而无需重建体积图像。Skocek等^[252]制作了一种头戴式微型光场显微镜(MiniLFM),能够捕捉自由运动小鼠的海马体中的神经网络活动,如图43(a)所示。Li等^[74]使用高分辨率光场显微镜(HR-LFM)进行快速的体细胞成像,光场显微镜作为一种无扫描的三维成像方法,可以实现脑组织的快速、三维体成像,还可以应用于细胞动力学结构成像以及单个分子跟踪,如图43(b)所示。Wu等^[73]使用数字自适应光学扫描光场互迭代层析(DAOSLIMIT)方法,横向和轴向分辨率都达到了物镜平面附近的阿贝衍射极限,但是牺牲了一定的时间分辨率,如图43(c)所示。Zhang等^[75]将光场显微与共聚焦技术结合,选择性地从聚焦体中收集荧光信号,赋予光场显微光学切片能力,以提高厚组织的成像分辨率和灵敏度,记录了自由游动的斑马鱼幼虫的全脑钙瞬变,并观察了捕获猎物过程中单个神经元的行为相关活动,如图43(d)所示,此外可以探测小鼠大脑中的神经活动。

图 43. 光场显微在生物科学中的应用。(a)小鼠头戴MiniLFM^[252];(b)使用HR-LFM成像COS-7活细胞中的高尔基源膜泡^[74]; (c)DAOSLIMIT观测小鼠肝脏中中性粒细胞迁移过程^[73];(d)共聚焦光场显微镜观测斑马鱼的捕猎活动和小鼠大脑的神经活动^[75]

Fig. 43. Application of light field microscopy in bioscience.(a) Mouse with a head-mounted MiniLFM^[252]; (b) imaging Golgi-derived membrane vesicles in living COS-7 cells using HR-LFM ^[74]; (c) dynamics during neutrophil migration in mouse liver using DAOSLIMIT^[73]; (d) hunting activity of zebrafish and the neural activity of mouse brain observed by confocal light field microscope^[75]

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另一种在生物显微成像领域应用广泛的是菲涅耳非相干关联全息术。全息术能够从一幅图像重建完整的三维体积。然而,由于荧光的非相干性及全息成像需要相干干涉仪系统,传统全息技术在三维荧光显微领域的应用并不广泛。2008年,Rosen等^[118]基于菲涅耳非相干关联全息术发展了非扫描的荧光显微成像系统FINCHSCOPE,如图44(a)所示,并将该系统用于荧光生物样本的三维成像,如图44(b)所示。FINCHSCOPE无需进行扫描即可重建三维荧光样本。Brooker等^[253]用偏振敏感透射液晶梯度折射率衍射透镜(TLCGRIN)产生高效率、高质量菲涅耳非相干全息图,图44(c)显示了中花粉粒的重建结果,并对其与相同显微镜的宽视野图像进行了对比。然而,基于菲涅耳全息的显微有轴向分辨率低的问题,Siegel等^[254]使用旋转圆盘共焦系统克服了轴向分辨率低的问题后,使用菲涅耳非相干关联全息显微镜对多个平面进行成像。不久之后,Siegel等^[255]将高图像放大倍率双折射晶体应用于基于菲涅耳非相干关联全息的高倍率超分辨率显微镜,如图44(d)所示。Kelner等^[256-257]将菲涅耳非相干关联全息术的基本原理与共聚焦显微技术结合,提出了一种基于菲涅耳非相干关联全息术的共聚焦显微技术。该技术能够有效抑制全息图中的离焦信号,从而将菲涅耳非相干关联全息术的超分辨能力与共聚焦显微技术的切片能力相结合,但牺牲了一定的时间分辨率。

基于菲涅耳非相干关联全息术的显微成像。(a)FINCHSCOPE原理图;(b) FINCHSCOPE对花粉成像[118];(c) TLCGRIN对花粉粒的重建结果,并与相同显微镜的宽视野图像进行对比,利用20× (0.75 NA)物镜[253];(d)用宽视场(左)和FINCH(右)比较HeLa细胞中三种不同高尔基体蛋白的成像[255]

图 44. 基于菲涅耳非相干关联全息术的显微成像。(a)FINCHSCOPE原理图;(b) FINCHSCOPE对花粉成像^[118];(c) TLCGRIN对花粉粒的重建结果,并与相同显微镜的宽视野图像进行对比,利用20× (0.75 NA)物镜^[253];(d)用宽视场(左)和FINCH(右)比较HeLa细胞中三种不同高尔基体蛋白的成像^[255]

Fig. 44. Microscopy imaging based on FINCH. (a) FINCHSCOPE schematic; (b) FINCHSCOPE fluorescence sections of pollen grains^[118]; (c) wide-field image and reconstructed FINCH image of pollen grains captured using a 20×(0.75 NA) objective^[253]; (d) comparative imaging of three different Golgi apparatus proteins in HeLa cells using wide-field (left) and FINCH(right)^[255]

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6.2 计算摄影

传统相机拍摄的图像只有二维强度信息,对应高维光场的采样子集,丢失了角度等其他维度信息。光场成像作为一种新型的多维计算成像技术,具有广阔的应用前景。在摄影成像领域,光场相机可以对单次曝光后获得的图像进行数字重聚焦,实现“先拍照、后聚焦”^[101],并且在一定程度上克服了光圈与景深之间的矛盾,如图45(a)所示。在航天光电测量领域,光场成像原理还可以实现非合作目标测距,不依赖目标表面几何特征的光标信息,在**上具有重要的应用价值^[258]。光场成像的另一大优势在于可以实现多视角图像的合成孔径。不同于光场渲染(LFR)理论^[126],合成孔径成像技术能够实现动态光场“再参量化”^[188]。相机阵列整体可看作一个具有大孔径的“虚拟相机”,当合成孔径相比于目标前障碍物的空间尺寸大时,在像面上可以虚化障碍物,从而探测到目标物体。斯坦福大学还设计出动态实时聚焦的合成孔径系统^[259],通过计算得到遮挡物后的目标信息,如图45(b)所示。该穿透遮障的“透视”特性展示了光场合成孔径技术在监控安防、监视侦察领域的重要潜在应用。

图 45. 光场成像在计算摄像的应用。(a) 光场重聚焦^[101]; (b) 基于光场的合成孔径成像^[259]

Fig. 45. Light field imaging in computational photography. (a) Light field refocusing^[101]; (b) synthetic aperture imaging based on light field^[259]

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另一种可以对计算摄像进行数字重聚焦的技术是菲涅耳非相干关联全息术。2007年Rosen等^[214]提出的菲涅耳非相干关联全息术采用单臂复用结构,记录结构更加快速稳定,物体上的每一物点发出的空间相干光经衍射光学元件后被相机记录,经过数字计算可以得到包含复振幅信息的菲涅耳全息图,如图46(a)所示,O、S、A三个物体分别放置在不同聚焦深度处,通过数字计算能够恢复物体的复振幅,并且分别重聚焦在三个物平面。同年Rosen等^[260]在传统菲涅耳非相干关联全息技术的基础上,将单一的窄带滤色片分别替换为红、绿、蓝三种波段的滤色片,实现了彩色全息图的记录,图46(b)为骰子红色和绿色点面的绿色荧光全息图经菲涅耳衍射传播重建的结果。2013年,Kim^[119]采用迈克耳孙双臂干涉结构代替空间光调制器的单臂复用结构,构建了自然光照明下的彩色全息系统,实现了对外场日光照明场景的彩色全息图记录,图46(c)为非相干彩色全息外场实验重聚焦结果。

图 46. 基于菲涅耳非相干关联全息术的计算摄影重聚焦。(a)菲涅耳非相干关联全息术对物体数字的重聚焦结果^[214];(b)彩色全息图数字重聚焦^[260];(c)自然光照明下全彩全息数字重聚焦^[119]

Fig. 46. Computational photography refocusing based on FINCH. (a) Digital refocusing based on FINCH^[214]; (b) colorful digital holography refocusing^[260]; (c) full color holographic digital refocusing under natural light illumination^[119]

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6.3 光束表征

1994年,Raymer等^[85-86]提出了相空间断层扫描技术,然而由于该方法需要大量测量数据,往往难以付诸于实践,最初相空间断层扫描的实验结果往往还局限在一维光场(Wigner分布函数为二维)^[90]或者如旋转对称光束^[91-92]及少量非相干模式^[93]组成的简单二维光束。由于Wigner分布函数能够表征任意空间相干性的光场,相空间断层扫描技术可以应用于光束的表征和测量。X射线由于波长短、穿透力强的特性,在X射线激光、医学影像等领域有着重要的应用,对X射线进行表征与相干性分析的重要性因此凸显。Tran等^[90,261-262]首次用相空间断层扫描方法,如图47(a)、(b)所示,通过测量X射线沿传播方向的强度重建一维光束。后来Tran等^[263]测量了光束的完整四维相干函数,发现四维复相干度可以描述为一个仅依赖空间坐标差异的真实高斯函数,如图47(c)、(d)所示。

图 47. 相空间层析成像的X射线表征。(a) 测量X射线的强度分布,作为横向位置和沿传播方向的函数;(b)由图47(a)中的数据重构的相空间密度^[263];(c)(d)在两种情况下测量的光束的复相干度^[263]

Fig. 47. X-ray characterization via phase space tomography. (a) Measured intensity distribution of the X rays as a function of lateral position and along the direction of propagation^[263]; (b) phase space density reconstructed from the data in Fig.47(a); (c)(d) measured complex degree of coherence for the beams in the two conditions^[263]

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除了对X射线的表征,对可见光光束的表征也具有重要的意义。Cámara等^[264-267]提出相空间断层扫描技术及其相关光学系统,表征光束的空间结构和相干态。基于Radon-Wigner变换的相空间层析方法可以恢复任意相干性的一维信号及其二维Wigner分布函数^[265],如图48(a)所示。对于笛卡儿坐标系下可分离[如图48(b)所示]^[264]或二维旋转对称[如图48(c)所示]^[266]的光场,可以重建完整的二维信号及其四维Wigner分布函数。后来Cámara等^[267]提出了相空间层析相干成像(PSTC)技术,该技术提供了一种更一般的光束相干性测量方法,利用Wigner分布函数投影的多样性,在数据采集、处理和分析方面提供了重要的优势。

图 48. 相空间断层扫描表征光束。(a)一维信号^[265];(b)笛卡儿坐标系可分离光束^[264];(c)旋转对称光束^[266];(d) 不同相干度光束的强度分布(第一行),光束Wigner分布函数呈现出与其相干态相关的隐藏差异(第二行)^[267]

Fig. 48. Optical beam characterization via phase space tomography. (a) 1D signal^[265]; (b) optical beams separable in Cartesian coordinates^[264]; (c) rotationally symmetric beams^[266]; (d) intensity distributions of the test beams with different degrees of coherence (first row), the Wigner distribution function of the beams exhibits hidden differences associated with their coherence state (second row)^[267]

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除了对光束进行表征以外,相干测量还可应用于光束质量检测,如测量光束的质量因子M²。2017年,Pan等^[268]利用光强传输方程重建激光束的复振幅分布,然后利用角谱衍射理论获得光场沿传播方向任意截面位置的光束强度分布,并以此计算出光束的质量因子M²,如图49所示。He-Ne激光器和高功率光纤激光源的实验结果表明,该方法可以获得较为准确的质量因子M²,测量数值与光束传播分析仪(beam propagation analyzer)的结果吻合良好。

相位恢复和因子M2计算示意图[268]。(a)(b)两个不同纵向位置的轴向强度图像;(c)TIE相位恢复;(d)任何选定平面上的重建强度分布;(e)对光束宽度进行双曲线拟合,并计算M2

图 49. 相位恢复和因子M²计算示意图^[268]。(a)(b)两个不同纵向位置的轴向强度图像;(c)TIE相位恢复;(d)任何选定平面上的重建强度分布;(e)对光束宽度进行双曲线拟合,并计算M²

Fig. 49. Schematic diagram of phase retrieval and factor M² calculation^[268]. (a)(b) Axial intensity images at two different longitudinal positions; (c) phase retrieval by TIE; (d) reconstructed intensity distribution at any selected plane; (e) performing a hyperbolic fit to the beam widths and calculating the M²

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6.4 光学测量

2015年,Zuo等^[128]基于Wigner分布函数所遵循的Liouville传输方程,推导出广义光强传输方程,将其作为传统光强传输方程在部分相干光波场下的拓展形式,并定义部分相干光场下的广义相位是一个梯度为Wigner分布函数的一阶条件频率矩的标量势[(49)式],其代表了光波场中某一个空间位置的平均频率。从第4章中知道,通过微透镜阵列(夏克-哈特曼传感器或光场相机中的核心部件)可以对四维Wigner分布函数进行直接近似采集。采用几何光学近似L(x,θ)≈W(x,λu),这意味着相位梯度可以简单地通过对原始光场图像中的每个子孔径图像进行重心检测得到,这与夏克-哈特曼传感器中的标准处理步骤别无二致。图50为4组光场图像的相位恢复结果,其中聚光镜光阑的数值孔径为0.05~0.25。得到每个子孔径图像光强的重心,这就得到了相位的梯度信息,然后再对梯度进行积分最终得到相位分布。实验结果表明,即使照明光并不是完全相干的,二维相位也可以通过对四维相空间进行测量、四维光场进行直接重建得到。

图 50. 在不同数值孔径下,通过光场重心直接恢复相位^[128]。(a) 0.05;(b) 0.15;(c) 0.2;(d) 0.25

Fig. 50. Under different numerical apertures, the phase is recovered directly through the gravity of the light field^[128]. (a) 0.05; (b) 0.15; (c) 0.2; (d) 0.25

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在相干衍射成像中,基于相干模式分解的思想在相位复原中得到了大量应用(原理见3.3节)。最先发现相干衍射成像实验中部分相干照明问题的是Whitebead等^[269],他们在实验过程中发现,如图51(a)所示,在高相干度下,使用多个模式得到的结果比单个模式得到的结果更为均匀。当X射线出口狭缝变大时,其相干度相应降低,使用传统算法得到的恢复结果将发生畸变,如图51(b)所示。因此,他们提出了一种对光源信息进行模式分解的方法,原理为(51)式,对复杂的部分相干照明传输方程的处理采用完全相干的处理方式,并结合迭代算法,就可实现部分相干光场中相位的准确恢复。

图 51. 部分相干照明下,有无模式分解法恢复的相位^[269]

Fig. 51. Reconstructed phases with and without mode decomposition method under partially coherent illumination^[269]

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近年来,相干模式分解的思想在傅里叶叠层成像技术中同样得到了广泛应用。如图52(a)所示,2013年,Thibault等^[270]给出了相干性退化可能发生的更多情形,提出了普适的相干衍射成像多态混合模型并应用于叠层成像中。2014年,Dong等^[271]将空域叠层成像技术中的信息复用的思想移植到了傅里叶叠层成像中,通过同时点亮几个LED单元,用非相干的照明光照射样品,之后利用迭代重构过程将非相干态分解成多个相干态的组合,进而使用单色相机实现了白光照明下的彩色傅里叶叠层成像,如图52(b)所示。同年,Tian等^[272]提出了照明角度随机复用的傅里叶叠层成像技术,该技术对LED照明单元进行了随机复用编码,即随机同时点亮N个LED,利用相干模态分解的思想,非相干混合态照明条件下拍摄到的图像同样可以在迭代重构过程中分解成N个相干态的叠加,然后再随着迭代更新,将一幅图像中的N个相干态准确分解开来,最终重构出物体大视场高分辨率图像。该技术能够将图像采集的数量减少至1/8~1/4。2016年,Sun等^[273]分析了其中必须满足的信息冗余度和空频域采样率要求,提出了空频域最优采样率标准,并指出实现相干模式解耦必须以更高的数据冗余性为代价。基于此思想,可基于更直接的照明角度稀疏采样来取代多角度并行照明复用,以降低原始图像数量的需求,提高傅里叶叠层相位复原的成像效率。

图 52. 基于相干模式分解的叠层成像。(a)散射成像中的相干退化^[270];(b)单模式和多模式复用的傅里叶叠层成像实验方案^[271]

Fig. 52. Stack imaging based on coherent mode decomposition. (a) Decoherence in scattering imaging^[270];(b) experimental scheme of Fourier stack imaging with single-mode and multi-mode multiplexing^[271]

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6.5 远场被动探测

远场成像系统空间分辨率的提升主要受限于成像系统孔径的衍射极限,基于传统非相干成像体制下的光学相机的口径不可能无限增大,随着科学技术的发展,各种提高分辨率的成像技术不断涌现,其中光学合成孔径技术是一种远场被动探测中有效的提升空间分辨率的方法。如图53所示,2010年,Katz等^[243]提出菲涅耳合成孔径,将合成孔径的相关理论应用到含有空间光调制器的全息成像系统中,通过将多个菲涅耳全息子图数字化拼接成被观测物体的完整菲涅耳全息图,获得了超过系统瑞利极限的空间分辨率。每个菲涅耳子全息图通过有限物理孔径的系统从不同视点获得,在每个视点上,在空间光调制器上相对于系统的位置显示不同的掩模,并且记录菲涅耳全息图的单个子图。不同的子图被拼接在一起形成一个最终的全息图,这可以看作是一个比物理孔径宽得多的合成孔径中获得的图像。2011年,Katz等^[274]将菲涅耳合成孔径引入望远镜中(T-SAFE),望远菲涅耳合成孔径改进了菲涅耳合成孔径的结构,通过合成孔径宽度和物理孔径宽度的比值提高超越瑞利极限的空间分辨率。SAFE和T-SAFE技术的干涉发生在平面波和球面波之间,因此光程差较长,并且子全息图的合成较为复杂。2014年,Kashter等^[275]受到SAFE和T-SAFE技术的启发,改进了基于菲涅耳非相干关联全息术原理的合成孔径技术,缩短了干涉所需的光程差,降低了光程差过长导致的空间分辨率,简化了全息图的合成过程。2016年,Kashter等^[276]提出了一种基于结构光照明的菲涅耳非相干关联全息术成像技术,通过结构光照明进一步增强了空间分辨率。

基于菲涅耳非相干关联全息术的合成孔径技术。(a)~(c) SLM加载的三种相位函数;(d)单孔径重建结果;(e)多孔径合成重建结果[243];(f)传统成像系统获得的图像;(g)360×360菲涅耳非相干关联全息术系统产生的全息图对应的重建像;(h)双透镜菲涅耳非相干关联全息术合成孔径产生的全息图对应的重建像;(i)1080×1080菲涅耳非相干关联全息术系统产生的全息图对应的重建像[275]

图 53. 基于菲涅耳非相干关联全息术的合成孔径技术。(a)~(c) SLM加载的三种相位函数;(d)单孔径重建结果;(e)多孔径合成重建结果^[243];(f)传统成像系统获得的图像;(g)360×360菲涅耳非相干关联全息术系统产生的全息图对应的重建像;(h)双透镜菲涅耳非相干关联全息术合成孔径产生的全息图对应的重建像;(i)1080×1080菲涅耳非相干关联全息术系统产生的全息图对应的重建像^[275]

Fig. 53. Synthetic aperture technique based on FINCH. (a)--(c) Three phase functions loaded on SLM; (d) single aperture reconstruction result; (e) synthetic multi aperture reconstruction result^[243]; (f) image obtained by the conventional imaging system; (g) reconstructed image corresponding to the hologram produced by the 360×360 FINCH system; (h) reconstructed image corresponding to the hologram produced by synthetic aperture of double lens FINCH; (i) reconstructed image corresponding to the hologram produced by the 1080×1080 FINCH system^[275]

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另一种远场探测合成孔径超分辨的技术基于分段式平面干涉成像SPIDER的结构。2018年,洛克希德马丁公司与加州大学戴维斯分校^[277]合作完成了PIC的设计,并搭建了第一个图像实验台,利用设计的PIC进行图像信息采集与重建成像,如图54所示。该系统包括许多放置在不同角度的PIC,以便在没有任何机械旋转的情况下,可以同时测量傅里叶平面的各种角度分量。未来的PIC设计还将包括更长的基线以获得更高的成像分辨率、更多的基线用于u-v平面的密集傅里叶采样、更高速的成像。大孔径、高分辨率、超轻的光学望远镜在天文观测和空间目标光学监视领域极具潜在应用价值。

图 54. SPIDER成像实验结果^[277]。(a)搭建的PIC图像实验台;(b)迭代算法得到的关于图54(g)的重建结果;(c)(g)用于实验的两个目标图像;(d)(h)对应目标图像的原理仿真结果;(e)(i)傅里叶逆变换重建得到的成像结果;(f)(j)矫正转台摆动误差后,傅里叶逆变换重建得到的成像结果

Fig. 54. Experimental results of SPIDER imaging^[277]. (a) PIC image experimental platform; (b) iterative image reconstruction result of Fig.54(g); (c)(g) two images of the target; (d)(h) corresponding principle simulation results of target image; (e)(i) imaging results obtained by inverse Fourier transform reconstruction; (f)(j) after correcting the swing error of the turntable, the imaging results are reconstructed by inverse Fourier transform

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6.6 无透镜成像

传统的透镜式成像结构采用点对点强度探测,因此难以对弱吸收样品进行直接成像,并且透镜不可避免地会对成像系统引入像差。无透镜成像抛弃了传统成像系统中的透镜,用计算成像的方式实现成像,具有无像差、等效数值孔径大、系统轻薄且易于构建等优点。芯片上无透镜全息显微成像技术受限于相干照明,近年来基于非相干全息的无透镜成像技术由于光源成本低、图像分辨率高等优点逐渐得到关注。非相干无透镜成像总的来说分为非干涉编码孔径相关全息术和基于菲涅耳区域光阑的技术。无透镜非干涉编码孔径相关全息术由Kumar等^[116]提出,原理已经在5.3小节阐述,实验结果如图55所示,分别为相距15 mm的两颗LEDs以及相距15 mm的两个硬币分别重聚焦在两个平面的结果。

图 55. 无透镜非干涉编码孔径相关全息^[116]。(a)两颗LEDs;(b)两个硬币

Fig. 55. Lensless noninterference coded aperture dependent holography^[116]. (a) Two LEDs; (b) two one-dime coins

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另一种非相干全息无透镜成像技术是基于菲涅耳区域光阑(FZA)的。Mertz等^[278]最早利用一个菲涅耳波带片作编码孔,构成物体的所有点通过这个编码孔投影在记录平面,再通过适当的解码方式就可以通过全息图重建将原始物体的强度和位置信息再现出来。基于菲涅耳区域光阑的非相干无透镜成像^[279-281]需要至少4个不同相位的菲涅耳区域光阑从拍摄到的图像中重建原始信号,还可以通过时间分割或者空间分割的方式改变掩模,图56(a)是一个无透镜相机实时进行图像捕获和重建的示意图。Wu等^[282]改进了基于菲涅耳区域光阑的无透镜成像,结合压缩感知算法去除自然场景中稀疏的孪生图像伪影,可以从单帧恢复原始信号,如图56(b)所示。

图 56. 基于菲涅耳区域光阑的非相干无透镜成像。 (a) 无镜头相机的实时图像捕获和重建^[279];(b) 利用菲涅耳区域光阑单帧无透镜相机对二值、灰度和彩色图像进行重建^[282]

Fig. 56. Incoherent lensless imaging based on Fresnel region aperture. (a) Real time image capture and reconstruction of lens less camera^[279]; (b) binary, gray, and color images are reconstructed by Fresnel region aperture single frame lensless camera^[282]

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7 相干测量技术所面临的问题与挑战

7.1 时空相干性耦合情况下问题的复杂性

所涉及的相干测量理论和技术大多数仅考虑准单色光场的空间相干性,而忽略了时间相干性。然而在计算光学成像的很多领域,通常需要借助窄带滤光片才能使照明光源近似满足准单色条件,然而窄带滤光片既显著地降低了光通量,又损失了光场的颜色信息,这在很多应用领域是不能够被接受的(如计算摄像)。对于一些需要满足时间相干性的计算光学成像技术,时间相干性不足会导致成像质量或性能下降。例如,对于干涉测量技术,时间相干性会影响干涉条纹的生成质量,再者,干涉光程不匹配会导致一些光学测量技术无法获得应用;对于相位测量技术,时间相干性不足会导致相位模糊化,一般需要满足一定的时间和空间相干性才能获得符合需求的相位测量结果。1986年,Wolf^[283]从理论上证明,若不满足定标率(scaling law),光场即使在自由空间中传播,其光谱也将随传播而变化(红移或者蓝移),当部分相干光经过光阑衍射后,光场的光谱也会发生变化^[284]。目前大多数测量技术假定每个波长下的空间相干性保持不变,但在实际情况中,不同波长的空间相干性可能存在差异。在时空相干性耦合情况下对相干测量进行分析,所运用的数学计算和物理模型会更加复杂,充满了挑战。

7.2 重要科学意义与有限实用价值间的矛盾性

虽然光场相干测量这一研究领域已经取得了诸多重要的研究进展,相干性理论和相应的测量技术已经构成体系,但是对完整的四维相干函数或是Wigner分布函数/模糊函数的探测与处理仍是一个极具挑战的复杂问题。相干函数和Wigner分布函数能够描述部分相干场的时空相干性和传播规律等,因此相干函数的测量极具科学意义。然而,高维光信息的应用场景并非十分明确,在一些简单的情况下并不需要使用四维函数来表征光场的相干性。例如,在激光技术领域,高斯谢尔模光束的束腰宽度、空间相关长度和衡量激光光束的M²因子在大部分情况下足以评价低功率激光光束^[285];对于部分相干照明的相位复原,仅需要使用四维Wigner分布函数的一阶矩;在光场成像领域,四维光场尽管可以得到物体各个视角下的信息,但更关注的往往是物体的三维体信息,而且四维光场的测量要比三维体重建多采集一维数据,达到相同采样分辨率所需的原始数据量也就越大。四维相干函数的完整测量所耗费的时间和资源往往与其实际应用价值不相匹配,这意味着需要更深入地分析和发掘四维相干函数的应用场景与实际需求。

7.3 从低维数据采样到高维相干函数重建的病态性

常规成像传感器只能捕获二维信号,由低维采样重建高维相干函数是充满挑战性的逆问题,通常需要大量繁琐的数据采集和复杂的数据处理,采样密度必须足够高,以避免采样不足所导致的重建质量下降。基于杨氏干涉仪原理对空间点对进行测量的效率非常低,需要大量采样,实现困难。剪切干涉仪需要二维扫描,操作复杂繁琐。相空间断层扫描技术一次采集四维函数在特定角度下的二维投影,但在实际测量过程中无法采集所有角度的投影数据,导致原始采集数据缺失,重建本身变成一个病态性的逆问题。相空间断层扫描一般测量二维光束简化的情况,即测量一维光束所对应的二维Wigner分布函数,或是测量具有先验信息(如笛卡儿坐标系下可分离或二维旋转对称)的二维光束,通过减少测量数据量重建四维Wigner分布函数。此外由于数据维度的缺失,由三维离焦光强重建四维Wigner分布函数时可能出现歧义^[286],例如,高斯谢尔模光束和带有轨道角动量的扭曲高斯谢尔模光束二者具有十分类似的三维光强分布,仅仅从有限传输距离上的三维光强分布中难以分辨二者的差异性。

7.4 高维海量数据采集运算及其存储的挑战性

相干函数是一个四维函数,原始二维图像的分辨率一般在千万像素级,倘若四维相干函数与原始图像的采样率保持一致,则数据量将会达到十兆数量级。在实际测量过程中,二维采样密度足够大时,需要获取大量原始图像进行高维重建,这可能需要消耗大量时间并占用海量运行内存。而目前的存储架构在满足高维海量数据的存储和运算需求上往往十分吃力,在分析和处理高维海量数据时更是力不从心,常常伴随较长的时间延迟,一次运算可能需要耗费数以天计的时间。此外测量数据和运算结果的存储、管理和传输也存在困难。这些问题为光学相干测量技术未来的发展带来了极大的挑战。虽然计算机硬件性能与存储技术的进一步发展有助于改善这一问题,如何从数据采集和运算重建角度去减少高维数据的冗余,从而以更少的测量次数、更小的数据量(例如优化数据结构、采用数据压缩、引入压缩感知算法等)获得精准的重构结果是今后解决该问题的关键所在。

8 总结与展望

光场相干测量技术与计算光学成像二者间的交融是光学成像技术面向更多复杂应用场景下(如自然光条件下被动成像探测)发展的“必须”,也是采用部分相干照明所带来的更高成像分辨率、成像质量、调控自由度等优势下发展的“必然”。因此,伴随着计算光学成像领域的发展,部分相干光场的“表征”与“重建”二者的重要性日益凸显。本综述系统总结了从相干到部分相干的光场表征和传输模型、从相干光场的相位测量拓展到部分相干光场的相干测量方法,并且阐述了基于相干测量的计算成像新体制,及相干测量技术在生物显微、计算摄像、光束表征、光学测量、远场被动探测以及无透镜成像等领域的典型应用。同时本综述也指出了相干测量理论与技术发展目前所存在的一些问题。虽然这些问题在短时间内可能还没有行之有效的解决方案,但随着相干测量理论与技术的进一步发展、计算机硬件水平与性能的不断提高、光学调控机制与手段的不断革新、光学信息处理技术与方法的不断改进,相信在不远的将来这些问题定将会迎来突破并逐步得到解决。

展望光学相干测量技术的未来,预计在今后光场相干性理论及其相关测量技术将会更全面地渗透进计算光学成像这一蓬勃发展的新领域。这将使计算成像领域的研究人员不再局限于传统相干光场的标量衍射理论及非相干光场几何光学描述,而逐步开始接纳光场相干函数及相空间光学这种更高维度、更精确且更具普适性的表征工具。这将促使计算成像从“相干成像”与“非相干成像”二者的极端逐步步入到“部分相干成像”这一更广阔的范畴,也必将为计算成像领域注入新的活力。可以预计在不远的将来,计算成像领域定将会因为“相干测量”技术的渗透而发展出更多新颖的光场调控手段和光场测量技术,如:采用时/空间相干结构更为灵活的照明调控机制;使用对部分相干光场的物理内涵更完备的表征方法;光场测量的维度从目前的二维平面、三维体成像逐步提升到四维相干性甚至更高维关联函数的测量与表征,从而为复杂光场分析、表征、传输、合成,复杂物体的多维度、全方位、高分辨、宽视场带来更多可能性,突破传统光学成像机理与系统的限制。

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7.2 重要科学意义与有限实用价值间的矛盾性

7.3 从低维数据采样到高维相干函数重建的病态性

7.4 高维海量数据采集运算及其存储的挑战性

8 总结与展望

张润南, 蔡泽伟, 孙佳嵩, 卢林芃, 管海涛, 胡岩, 王博文, 周宁, 陈钱, 左超. 光场相干测量及其在计算成像中的应用[J]. 激光与光电子学进展, 2021, 58(18): 1811003. Runnan Zhang, Zewei Cai, Jiasong Sun, Linpeng Lu, Haitao Guan, Yan Hu, Bowen Wang, Ning Zhou, Qian Chen, Chao Zuo. Optical-Field Coherence Measurement and Its Applications in Computational Imaging[J]. Laser & Optoelectronics Progress, 2021, 58(18): 1811003.

光场相干测量及其在计算成像中的应用 下载： 5940次内封面文章特邀综述

1 引言

2 光场表征:从相干到部分相干

图 1. 光源的时间相干性与空间相干性的若干典型实例

Fig. 1. Several typical examples of light sources with different degrees of temporal coherence and spatial coherence

2.1 相干光场的复振幅表征

2.2 部分相干光场的表征

表 1. 光学相干性量度:经典相干理论与相空间光学理论

Table 1. Coherence measurement: classical coherence theory and phase space optics theory

图 2. 光信号在时间与空间上的表示形式。(a)光信号是空间上确定一点的关于时间的函数;(b)光信号是时间上确定一点的关于空间的函数

Fig. 2. Representation of optical signal in time and space. (a) Optical signal is a function of time at a certain point in space; (b) optical signal is a function of space at a certain point in time

图 3. 不同频率光波的叠加。(a)不同频率的光波相干叠加为一个脉冲波包;(b)不同频率的光波非相干叠加为一个连续波(非周期无限宽),其相位与振幅都是随机变化的

图 4. 傅里叶变换光谱仪的基本原理

Fig. 4. Basic principle of Fourier transform spectrometer

图 5. 迈克耳孙恒星干涉仪通过干涉法来测量准单色光场的空间相干度,反推出光源的尺寸。(a) 光路示意图;(b) 系统实物图

Fig. 5. Michelson stellar interferometer measures the spatial coherence of a quasi-monochromatic wave field by interferometry to infer the size of the light source. (a) Optical configuration; (b) photograph of a real system

图 6. 经典相干理论与相空间光学的关联

Fig. 6. Relationship between classical coherence theory and phase space optics

表 2. Wigner分布函数的性质

Table 2. Properties of Wigner distribution function

表 3. Wigner分布函数的常见光学变换

Table 3. Common optical transformation of Wigner distribution function

图 7. 常见信号变换在相空间的表征。(a)菲涅耳传播;(b) Chirp调制(透镜);(c)傅里叶变换;(d)分数阶傅里叶变换;(e) 光束放大器

Fig. 7. Characterization of common signal transformations in phase space. (a) Fresnel propagation; (b) Chirp modulation (lens); (c) Fourier transform; (d) fractional Fourier transform; (e) magnifier

表 4. 常见光信号的空域和相空间表征

Table 4. Spatial and phase space characterization of common optical signals

图 8. 特殊信号的Wigner分布示意图。(a)点光源;(b)平面波;(c)球面波;(d)相位缓变波;(e)高斯信号

Fig. 8. Wigner distribution function of special signals. (a) Point source; (b) plane wave; (c) spherical wave; (d) phase slow-varying wave; (e) Gaussian signal

2.3 几何光学近似下的光场表征

图 9. 光场的参数化表征。(a)七维全光函数;(b)双平行平面四维光场;(c)位置角度式四维光场

Fig. 9. Parameterization of the light field. (a) Seven-dimensional plenoptic function; (b) two planes parameterization of four-dimensional light field; (c) position-angular parameterization of four-dimensional light field

图 10. 光滑相干波前的Wigner分布函数和光场的关系[128]。相位对应Wigner分布函数中的局部空间频率(瞬时频率),光线垂直于波前方向传播(相位的法线方向)。(a)空域中的波前;(b)相空间中的Wigner分布函数;(c)在位置-角度空间的光场

3 光场传输:从相干到部分相干

表 5. 光场传输:从相干到部分相干

Table 5. Optical field transmission: from coherent to partially coherent

3.1 相干光场的传输

3.2 部分相干光场的传输

3.3 部分相干光场的相干模式分解

4 光场测量:从相位测量到相干测量

4.1 相位测量与相位恢复

图 11. 相位成像技术的分类

Fig. 11. Classification of phase imaging techniques

4.2 相干测量与相干恢复

图 12. 相干测量技术分类

Fig. 12. Classification of the coherence measurement techniques

图 13. 杨氏双孔干涉法[22]

Fig. 13. Young’s interferometry with two holes[22]

图 14. 逆波前杨氏干涉法[77]

Fig. 14. Reversed-wavefront Young’ interferometry[77]

图 15. 非冗余孔径阵列布局和实验装置示意图[78]。 (a1)轴上点占优;(a2)点中心分布;(a3)轴外点占优;(b)非冗余孔径实验示意图

Fig. 15. Distributions of nonredundant array method and experimental scheme[78]. (a1) Superior in points on axes; (a2) central distribution of points; (a3) superior in points out of axes; (b) experimental scheme of nonredundant array method

图 16. 自参考干涉法实验示意图[80]

Fig. 16. Experimental scheme of self-referencing interferometry[80]

图 17. Wigner分布函数和模糊函数的对应关系

Fig. 17. Correspondence between Wigner distribution function and ambiguity function

图 18. 相空间断层扫描原理示意图。(a)垂直投影;(b)旋转四分之一投影;(c)旋转90°投影;(d)各角度投影叠加

Fig. 18. Basic principle of phase space tomography. (a) Vertical projection; (b) quarter rotation projection; (c) rotation by 90° projection; (d) superposition of all projections from different angles

图 19. 实现相空间断层扫描的两种Wigner分布函数(WDF)变换。(a) 复信号的WDF;(b) 菲涅耳衍射后的WDF表示;(c) 分数阶傅里叶变换后的相空间WDF表示;(d) 菲涅耳衍射与分数阶傅里叶变换的对应关系

Fig. 19. Two different transformations of WDF for phase space tomography. (a) WDF of complex signal; (b) WDF after Fresnel diffraction; (c) phase space WDF after fractional Fourier transform; (d) correspondence between Fresnel diffraction and fractional Fourier transform

图 20. 相空间断层扫描的光路结构[85]

Fig. 20. Optical path structure of phase space tomography[85]

图 21. 基于边缘衍射测量空间相干性的实验装置[84]

Fig. 21. Experimental device for measuring spatial coherence based on edge diffraction[84]

图 22. 相空间的直接测量。(a) 基于小孔扫描的相空间直接测量; (b)基于微透镜阵列的相空间直接测量

Fig. 22. Direct phase space measurement. (a) Direct phase space measurement based on pinhole scanning; (b) direct phase space measurement based on microlens array

4.3 光场成像与计算光场成像

图 25. 光场成像技术分类

Fig. 25. Classification of light field imaging techniques

图 26. 基于相机阵列的光场采集。(a)搭建的光场龙门架[126]; (b)大规模相机阵列[110];(c)5×5相机阵列实现显微光场采集[189]

Fig. 26. Light field capture based on camera arrays. (a) Light field gantry[126]; (b) large camera arrays[110]; (c) micro light field acquisition acquired by the 5×5 camera array system[189]

图 27. 各种基于微透镜阵列的光场相机系统

Fig. 27. Various light field cameras based on microlens array

图 28. 基于编码掩模的计算光场成像。 (a)掩模增强相机光场采集[191];(b)压缩光场采集[192]

Fig. 28. Computational light field imaging based on coded mask. (a) Light field acquisition of mask enhanced camera[191]; (b) light field acquisition of compressive photography[192]

图 29. 基于可编程孔径的光场成像。 (a)可编程孔径光场相机[104];(b)可编程孔径光场显微镜[106]

Fig. 29. Light field imaging based on programmable aperture. (a) Programmable aperture light field camera[104]; (b) programmable aperture light field microscope[106]

图 30. 缓变物体在空域平稳照明下的光场表示[128]

Fig. 30. Light field representation of a slowly varying object under spatially stationary illumination[128]

5 基于相干测量的计算成像新体制

5.1 光场成像与显微

光场相干测量及其在计算成像中的应用下载： 5940次内封面文章特邀综述

图 10. 光滑相干波前的Wigner分布函数和光场的关系^[128]。相位对应Wigner分布函数中的局部空间频率(瞬时频率),光线垂直于波前方向传播(相位的法线方向)。(a)空域中的波前;(b)相空间中的Wigner分布函数;(c)在位置-角度空间的光场

图 13. 杨氏双孔干涉法^[22]

Fig. 13. Young’s interferometry with two holes^[22]

图 14. 逆波前杨氏干涉法^[77]

Fig. 14. Reversed-wavefront Young’ interferometry^[77]

图 15. 非冗余孔径阵列布局和实验装置示意图^[78]。 (a1)轴上点占优;(a2)点中心分布;(a3)轴外点占优;(b)非冗余孔径实验示意图

Fig. 15. Distributions of nonredundant array method and experimental scheme^[78]. (a1) Superior in points on axes; (a2) central distribution of points; (a3) superior in points out of axes; (b) experimental scheme of nonredundant array method

图 16. 自参考干涉法实验示意图^[80]

Fig. 16. Experimental scheme of self-referencing interferometry^[80]

图 20. 相空间断层扫描的光路结构^[85]

Fig. 20. Optical path structure of phase space tomography^[85]

图 21. 基于边缘衍射测量空间相干性的实验装置^[84]

Fig. 21. Experimental device for measuring spatial coherence based on edge diffraction^[84]

图 26. 基于相机阵列的光场采集。(a)搭建的光场龙门架^[126]; (b)大规模相机阵列^[110];(c)5×5相机阵列实现显微光场采集^[189]

Fig. 26. Light field capture based on camera arrays. (a) Light field gantry^[126]; (b) large camera arrays^[110]; (c) micro light field acquisition acquired by the 5×5 camera array system^[189]

图 28. 基于编码掩模的计算光场成像。 (a)掩模增强相机光场采集^[191];(b)压缩光场采集^[192]

Fig. 28. Computational light field imaging based on coded mask. (a) Light field acquisition of mask enhanced camera^[191]; (b) light field acquisition of compressive photography^[192]

图 29. 基于可编程孔径的光场成像。 (a)可编程孔径光场相机^[104];(b)可编程孔径光场显微镜^[106]

Fig. 29. Light field imaging based on programmable aperture. (a) Programmable aperture light field camera^[104]; (b) programmable aperture light field microscope^[106]

图 30. 缓变物体在空域平稳照明下的光场表示^[128]

Fig. 30. Light field representation of a slowly varying object under spatially stationary illumination^[128]

图 31. 光场显微镜模型。(a)传统明场显微镜;(b)光场显微镜^[111];(c)基于波动光学的光场显微模型^[112];(d)傅里叶光场显微镜模型^[113]

Fig. 31. Light field microscope model. (a) Traditional bright field microscope; (b) light field microscope^[111]; (c) light field microscopic model based on wave optics theory^[112]; (d) Fourier light field microscope^[113]

图 32. 光强传输方程与弱物体传递函数对比^[207]。(a1)(b1) 光强传输方程和弱物体传递函数的物理含义;(a2)(b2)推导相位梯度传递函数和弱物体传递函数的几何图解;(a3)(b3) 相位梯度传递函数和弱物体传递函数在不同s下的相位成像

Fig. 32. Comparison between TIE and WOTF^[207]. (a1)(b1) Physical implications of TIE and WOTF; (a2)(b2) geometric illustrations for deriving the PGTF and WOTF; (a3)(b3) PGTF and WOTF for phase imaging under different s

图 33. 由相干全息图重建的相干图像的直接可视化^[209]

Fig. 33. Direct visualization of coherent images reconstructed from coherent holograms^[209]

图 34. 光子相关全息术^[213]。(a) 光子相关全息术的概念图;(b)光强干涉仪原理图

Fig. 34. Photon correlation holography^[213]. (a) Concept diagram of photon-dependent holography; (b) schematic diagram of intensity interferometer

图 35. 典型的非相干全息光路图。 (a)改进的三角全息干涉光路^[217];(b)菲涅耳非相干关联全息术光路^[214];(c)迈克耳孙干涉仪^[119];(d)Sagnac干涉仪^[215];(e)Mach-Zehnder干涉仪^[216,218]

Fig. 35. Representative optical setup for incoherent holography. (a) Optical path of modified triangular interferometer^[217]; (b) optical path of FINCH^[214]; (c) Michelson interferometer^[119]; (d) Sagnac interferometer^[215]; (e) Mach-Zehnder interferometer^[216,218]

图 36. 编码孔径相关全息的典型光路结构。(a)编码孔径相关全息结构^[115];(b)无干涉编码孔径相关全息结构^[117];(c)无透镜非干涉编码孔径相关全息结构^[116]

Fig. 36. Typical imaging optical path for COACH. (a) Structure of COACH^[115]; (b) structure of I-COACH^[117]; (c) structure of LI-COACH^[116]

图 37. 透过强散射层非入侵式散射成像示意图^[237]

Fig. 37. Schematic of non-invasive scattering imaging through strong scattering layers^[237]

图 38. 基于单帧散斑自相关的透过强散射层成像^[238]。 (a)实验装置模型;(b)相机原始图像;(c)自相关;(d)通过迭代相位恢复算法重建物体;(e)实验系统;(f)相机原始数据;(g)~(k)第一列为自相关,第二列为重建物体,第三列为真实的物体

图 41. 基于FINCH的非相干合成孔径技术^[243]

Fig. 41. Incoherent synthetic aperture technology based on FINCH^[243]

图 42. 可见锥束层析的旋转剪切干涉仪实验装置^[79]

Fig. 42. RSI of visible cone-beam tomography^[79]

图 45. 光场成像在计算摄像的应用。(a) 光场重聚焦^[101]; (b) 基于光场的合成孔径成像^[259]

Fig. 45. Light field imaging in computational photography. (a) Light field refocusing^[101]; (b) synthetic aperture imaging based on light field^[259]

图 46. 基于菲涅耳非相干关联全息术的计算摄影重聚焦。(a)菲涅耳非相干关联全息术对物体数字的重聚焦结果^[214];(b)彩色全息图数字重聚焦^[260];(c)自然光照明下全彩全息数字重聚焦^[119]

Fig. 46. Computational photography refocusing based on FINCH. (a) Digital refocusing based on FINCH^[214]; (b) colorful digital holography refocusing^[260]; (c) full color holographic digital refocusing under natural light illumination^[119]

图 47. 相空间层析成像的X射线表征。(a) 测量X射线的强度分布,作为横向位置和沿传播方向的函数;(b)由图47(a)中的数据重构的相空间密度^[263];(c)(d)在两种情况下测量的光束的复相干度^[263]

图 48. 相空间断层扫描表征光束。(a)一维信号^[265];(b)笛卡儿坐标系可分离光束^[264];(c)旋转对称光束^[266];(d) 不同相干度光束的强度分布(第一行),光束Wigner分布函数呈现出与其相干态相关的隐藏差异(第二行)^[267]

图 49. 相位恢复和因子M²计算示意图^[268]。(a)(b)两个不同纵向位置的轴向强度图像;(c)TIE相位恢复;(d)任何选定平面上的重建强度分布;(e)对光束宽度进行双曲线拟合,并计算M²

图 50. 在不同数值孔径下,通过光场重心直接恢复相位^[128]。(a) 0.05;(b) 0.15;(c) 0.2;(d) 0.25

Fig. 50. Under different numerical apertures, the phase is recovered directly through the gravity of the light field^[128]. (a) 0.05; (b) 0.15; (c) 0.2; (d) 0.25

图 51. 部分相干照明下,有无模式分解法恢复的相位^[269]

Fig. 51. Reconstructed phases with and without mode decomposition method under partially coherent illumination^[269]

图 52. 基于相干模式分解的叠层成像。(a)散射成像中的相干退化^[270];(b)单模式和多模式复用的傅里叶叠层成像实验方案^[271]

Fig. 52. Stack imaging based on coherent mode decomposition. (a) Decoherence in scattering imaging^[270];(b) experimental scheme of Fourier stack imaging with single-mode and multi-mode multiplexing^[271]

图 55. 无透镜非干涉编码孔径相关全息^[116]。(a)两颗LEDs;(b)两个硬币

Fig. 55. Lensless noninterference coded aperture dependent holography^[116]. (a) Two LEDs; (b) two one-dime coins

图 56. 基于菲涅耳区域光阑的非相干无透镜成像。 (a) 无镜头相机的实时图像捕获和重建^[279];(b) 利用菲涅耳区域光阑单帧无透镜相机对二值、灰度和彩色图像进行重建^[282]

Fig. 56. Incoherent lensless imaging based on Fresnel region aperture. (a) Real time image capture and reconstruction of lens less camera^[279]; (b) binary, gray, and color images are reconstructed by Fresnel region aperture single frame lensless camera^[282]