基于稀疏表示的太赫兹时域光谱分层检测算法

刘猛; 李腾; 刘旭东; 孙怡雯

doi:doi:10.3788/LOP231372

激光与光电子学进展, 2023, 60 (18): 1811014, 网络出版: 2023-09-19

基于稀疏表示的太赫兹时域光谱分层检测算法特邀研究论文

Terahertz Time-Domain Spectral Hierarchical Detection Algorithm Based on Sparse Representation

论文大纲

刘猛李腾刘旭东孙怡雯 ^*

作者单位

深圳大学医学部生物医学工程学院，广东深圳 518000

太赫兹无损检测稀疏表示脉冲响应函数时间脉冲扩展 terahertz nondestructive testing sparse representation impulse response function time pulse expansion

摘要

太赫兹无损检测是一种非侵入、非接触性的新型检测技术，在无损检测领域极具潜力。但在实际探测中，对于复杂的太赫兹回波信号，如色散回波和重叠回波，仅利用传统的信号处理方法（如直接法、反卷积法）难以满足对飞行时间定位精度的要求。稀疏表示法作为一种太赫兹信号处理的新方法，具有良好的定位精度和抗噪性。提出基于最小绝对收缩和选择算子（LASSO）的稀疏表示法，从复杂的太赫兹回波信号中重建脉冲响应函数，并构建双过完备字典完成对太赫兹反射信号的色散补偿。针对重建脉冲响应函数幅值不准确的问题，提出幅值衰减系数，修正脉冲响应函数幅值，有效提升时域峰-峰值的成像质量。通过数值计算和实验分析，验证了所提方法的有效性。可以预期，基于LASSO的稀疏表示法能够为太赫兹无损检测中的信号处理提供新的解决思路。

Abstract

Terahertz nondestructive testing (THz-NDT) technology is a new noninvasive and noncontact detection technology with strong penetration capability for nonmetallic and nonpolar composite materials, and has a great potential in the field of NDT. In practical detection, for complex terahertz echo signals, such as dispersive echoes and overlapping echoes, it is difficult to meet the requirements of localization accuracy for the time-of-flight only via traditional signal processing methods, such as the direct and deconvolution methods. In this context, the sparse representation method, as a new method for THz signal processing, has good localization accuracy and noise immunity. In this study, we propose a sparse representation method based on the least absolute shrinkage and selection operator (LASSO) to reconstruct an impulse response function from the complex THz echo signal and construct a double-over-complete dictionary to complete the dispersion compensation for the THz reflection signal. An amplitude decay coefficient is proposed to address the problem of inaccurate amplitude of the reconstructed impulse response function. This correction can effectively improve the peak-to-peak imaging quality in the time domain. The effectiveness of the proposed method is verified through numerical calculations and experimental analysis. The proposed method is expected to provide a novel solution for signal processing in THz-NDT.

1　引言

太赫兹检测技术是近年来新兴的一种极具潜力的无损检测方法。太赫兹波拥有非侵入性、非接触性及非电离特性，能够克服传统检测技术需要耦合剂^［1］或者检测深度不够^［2-4］的局限，对非金属及非极性复合材料的单层或多层结构的厚度或内部缺陷信息展现出优异的检测能力^［5］，并已在先进泡沫材料^［6-7］、飞机热障涂层^［8］、船舶的防护涂层^［9］、纤维增强复合材料^［10-16］、陶瓷复合材料^［17-18］、塑料复合材料^［19-20］及氟橡胶^［21］等材料的缺陷检测领域突显出极具潜力的应用价值。但在实际检测过程中，除了环境噪声、系统振荡等因素的干扰，太赫兹波在材料内部传播时自身的频率相关衰减和材料色散损耗造成的太赫兹脉冲扩展和多层结构材料内部各层间的多次反射都会造成严重的回波重叠、峰值漂移、振幅衰减等问题，导致各反射界面之间飞行时间定位不准确，从而严重影响了太赫兹无损检测的灵敏度。因此，如何从太赫兹反射信号中准确地进行飞行时间（TOF）的定位是定量表征被测材料内部结构信息的关键。

在传统的太赫兹反射信号中，可以通过直接观察相邻峰的延迟时间来确定飞行时间。然而当被检测材料很薄，或者太赫兹波的色散等因素导致反射界面的回波信息无法直接识别时，信号处理方法的选择至关重要。太赫兹反射信号通常可以表示为太赫兹参考信号和系统脉冲响应函数的卷积^［22］，利用反卷积方法在频域中进行脉冲响应函数的重构。但是直接进行逆运算会在时域-频域转换过程中引入高频噪声，导致脉冲响应函数出现严重的振铃效应，极大地影响了反卷积的性能。目前可以用来消除振铃效应的方法，例如频域-小波域反卷积（FWDD）^［23-25］，结合汉宁窗^［24］、高斯滤波器^［26］、双高斯滤波器^［27］、维纳滤波器^［28-29］等可以提取脉冲响应函数完成飞行时间定位，并可进一步实现介质层结构的计算。然而，基于FWDD的滤波器通常由于受到截止频率等参数的限制，对太赫兹时域光谱的最小飞行时间分辨能力降低，当样品介质层很薄时，介质层上下界面的反射回波重叠而导致上下界面的飞行时间无法分辨^［30］。此外，在频域加入滤波器虽然能够达到降噪的目的，但也可能因此造成过多的信号丢失。当被检测介质层中含有细微缺陷时，反射产生的微弱信号往往重叠在信号回波或者淹没在噪声中而无法分辨，严重影响了检测结果的可靠性。

近年来，时域类处理方法逐渐兴起，该类方法通过某些算法建立参考信号与被测样件信号之间的联系，进而提取脉冲响应函数，如多元线性回归分析^［31］、多变量分析的偏最小二乘法^［32］、机器学习^［33］等。稀疏表示法作为一种典型的时域信号处理方法，以高分辨率、时不变性和灵活性，广泛应用于参数估计、缺陷检测、信号去噪和数据压缩等无损检测领域。稀疏表示方法^［34］基于信号的稀疏先验信息，将原始信号分解为卷积字典和稀疏向量的乘积。对于只包含少量非零元素的稀疏向量，可以利用反问题的优化策略进行稀疏求解。2017年美国佐治亚理工学院的Dong等^［35］提出软阈值迭代收缩算法并设计了一种简单的描述太赫兹波时间脉冲扩展的时域卷积模型，完成了对太赫兹脉冲响应函数的重构。2021年西安交通大学的Xu等^［36-37］使用基追踪降噪（BPDN）算法并基于双高斯混合模型（DGMM）模拟太赫兹信号脉冲扩展，实现对脉冲响应函数的稀疏重构。然而目前利用稀疏表示方法进行系统脉冲响应函数重构的精度、稀疏度及算法的抗噪性方面还有待进一步提高。

本文提出一种基于最小绝对收缩和选择算子（LASSO）的稀疏表示方法，并将其用于多层结构反射太赫兹信号的处理运算。为提高数据采样周期限制的时间分辨率，建立了LASSO回归模型并使用双高斯混合模型描述其脉冲扩展，用以解决太赫兹波在材料内部传播过程中的频率相关衰减和色散引起的时间脉冲扩展问题。此外，在基于LASSO的稀疏表示方法中，通过双过完备字典实现对脉冲响应函数的稀疏重构及对太赫兹信号的色散补偿，提出了幅值衰减系数对重构信号进行修正，显著提升了缺陷成像的对比度。通过数值模拟和实验测量，验证了基于LASSO的稀疏表示方法的有效性，并与FWDD算法和BPDN算法对脉冲响应函数的重构结果进行比较。

2　方法原理

2.1　太赫兹卷积模型

在时域中，测量的太赫兹反射信号 $y (t)$ 可以表示为参考信号 $x (t)$ 与脉冲响应函数 $h (t)$ 的卷积，脉冲响应函数 $h (t)$ 取决于被检测物体的结构特性。通过加入噪声 $e (t)$ 建立太赫兹反射信号的卷积模型，表达式为

\begin{matrix} y (t) = x (t) \otimes h (t) + e (t) = \\ \int_{- \infty}^{+ \infty} x (t - τ) h (τ) d τ + e (t) \end{matrix}

，（1）

参考信号 $x (t)$ 可以通过金属反射镜的太赫兹回波信号获得。根据香农-奈奎斯特采样定理（Shannon-Nyquist sampling theorem），将式（1）改写成采样时间为 $T_{s}$ 的离散化形式，有

y [n] = \sum_{p = 0}^{N - 1} x [n - p] h [p] + e [n]

，（2）

式中： $y [n] = y (n T_{s})$ ， $h [p] = h (p T_{s})$ ；n=1，2，3，…，N，p=0，1，2，…，N $-$ 1； $N$ 为测量信号数据点的长度。

由于实际检测中单层或多层结构待测样件的反射界面是有限的，接收到的反射信号只有有限个回波脉冲，所以脉冲响应函数 $h [p]$ 是稀疏的，只包含少数的非零向量，其余向量均为零或接近零，因此 $h [p]$ 可假设为

h [p] = \sum_{m = 1}^{I} β_{m} δ [n - τ_{m}]

，（3）

式中： $I$ 是太赫兹回波信号峰的个数； $β_{m}$ 代表峰的幅值； $δ [n]$ 是狄拉克函数（Dirac delta function）^［38］； $τ_{m}$ 表示延迟时间。

2.2　太赫兹信号的LASSO回归模型

为了准确而稀疏地重构脉冲响应函数，找到表征被测物体分层结构反射峰延迟时间 $τ_{m}$ 的最优估计，假设列向量 $Y$ 、 $x$ 、 $h$ 、 $e$ 分别收集 $y [n]$ 、 $x [n]$ 、 $h [n]$ 、 $e [n]$ 的样本，则式（2）可表示为

Y = A h + e

，（4）

式中： $A$ 为根据特普利茨（Toeplitz）矩阵形式构建的矩阵（ $N \times M$ ），矩阵 $A$ 中每一个列向量都是参考信号 $x$ 的延时变换。对于重构的反射信号，由于 $x$ 与 $h$ 的卷积转换为 $A$ 与 $h$ 的乘积，因此称 $A$ 为卷积字典，字典中的每一个列向量被称为一个原子。则式（4）将包含被测物体结构信息的脉冲响应函数 $h$ 的求解过程转变为：在给定太赫兹反射信号 $Y$ 和卷积字典 $A$ 的前提下，根据脉冲响应函数 $h$ 稀疏的先验性质，求方程唯一解。式（4）是稀疏表示理论中信号处理的典型问题，可将其转换为求解向量最小 $l_{0}$ 范数的优化问题：

\hat{h} = a r g m i n_{h} \{{‖Y - A h‖}_{2} + λ {‖h‖}_{0}\}

，（5）

其中，向量的 $l_{0}$ 范数的定义是该向量中非零元素的个数。关于 $l_{0}$ 范数的求解问题，理论上可以精确恢复出 $k$ 阶稀疏信号，但是由于需要计算 $h$ 中所有非零值的位置，其解有 $C_{N}^{K}$ 种可能。对于该类NP-hard问题，为了简便计算，可将其转换为 $l_{1}$ 范数正则化约束下的LASSO回归模型：

\hat{h} = a r g m i n_{h} {‖Y - A h‖}_{2}^{2}

s . t . {‖h‖}_{1} \leq τ

，（6）

式中： $τ$ 是非负的正则化参数，用于平衡 ${‖Y - A h‖}_{2}^{2}$ 项的拟合误差和 ${‖h‖}_{1}$ 项的稀疏度。

LASSO算法是用于求解LASSO回归模型的一种迭代算法。具体来说，LASSO算法通过交替地对模型参数和正则化系数进行更新来求解LASSO问题，这个过程使用谱投影梯度（SPG）算法^［39］实现。每次迭代只对一个参数进行更新，而将其他参数保持不变。通过调节 $τ$ 的值，不断改变正则化的强度，使某些权重变为零，理论上可以获得更加稀疏的回归系数向量，具体流程如图1所示。

基于稀疏表示的太赫兹时域光谱分层检测算法特邀研究论文

1 引言

2 方法原理

2.1 太赫兹卷积模型

2.2 太赫兹信号的LASSO回归模型

图 1. 基于LASSO的稀疏表示方法

Fig. 1. Sparse representation method based on LASSO

2.3 考虑脉冲扩展的稀疏表示

图 2. 字典中的部分原子示意图。（a）非色散字典A中的部分原子；（b）色散字典D中的部分原子

Fig. 2. Schematic of some atoms in the dictionary. (a) Some atoms in non-dispersive dictionary A; (b) some atoms in dispersion dictionary D

2.4 幅值衰减系数

图 3. 太赫兹波反射模型

Fig. 3. Terahertz wave reflection model

3 数值模拟

图 4. DGMM生成的采样周期为0.0333 ps的3000个数据点的太赫兹参考信号

Fig. 4. THz reference signal generated by DGMM for 3000 data points with a sampling period of 0.0333 ps

3.1 单层结构信号的稀疏重构

图 5. 不同噪声水平下的正则化问题的L曲线及其取值。（a）LASSO问题；（b）BPDN问题

Fig. 5. L-curve diagrams and their values for regularization problems under different noise levels. (a) LASSO; (b) BPDN

图 6. 3种方法对不重叠回波信号的脉冲响应函数重建结果。（a）无噪声情况；（b）RSN=40 dB情况；（c）RSN=20 dB情况；（d）RSN=10 dB情况

Fig. 6. Reconstruction results of pulse response function for non overlapping echo signals using three methods. (a) Absence of noise; (b) RSN=40 dB; (c) RSN=20 dB; (d) RSN=10 dB

图 7. 3种方法对重叠回波信号的脉冲响应函数重建结果。（a）无噪声情况；（b）RSN=40 dB情况；（c）RSN=20 dB情况；（d）RSN=10 dB情况

Fig. 7. Reconstruction results of pulse response function for overlapping echo signals using three methods. (a) Absence of noise; (b) RSN=40 dB; (c) RSN=20 dB; (d) RSN=10 dB

图 8. 不同算法可分辨的最小TOF随噪声水平的变化

Fig. 8. Variation of the minimum TOF with noise level distinguishable by different algorithms

3.2 多层结构信号的稀疏重构

表 1. 太赫兹信号中不同回波的DGMM预设值

Table 1. DGMM preset values for different echoes in THz signals

图 9. 色散对太赫兹反射回波信号的影响

Fig. 9. Effect of dispersion on the reflected THz echo signal

图 10. 3种方法的重建结果与预设值的对比。（a）无噪声情况；（b）RSN=40 dB情况；（c）RSN=20 dB情况；（d）RSN=10 dB情况

Fig. 10. Comparison between the reconstruction results of three methods and the preset value. (a) Absence of noise; (b) RSN=40 dB; (c) RSN=20 dB; (d) RSN=10 dB

4 样本和实验

4.1 单层结构的层厚检测

图 12. 实验光谱图以及3种算法重构的脉冲响应函数。（a）不同厚度PTFE薄膜的太赫兹时域光谱；（b）PTFE200；（c）PTFE100；（d）PTFE50

Fig. 12. Experimental spectrograms and pulse response functions reconstructed using three algorithms. (a) THz time-domain spectra of PTFE films with different thicknesses; (b) PTFE200; (c) PTFE100; (d) PTFE50

表 2. 3种算法对不同厚度PTFE薄膜的飞行时间的定位

Table 2. Localization of TOF of PTFE films with different thicknesses by three algorithms

表 3. 3组PTFE薄膜的实际厚度与不同算法求出的厚度

Table 3. Actual thickness of three sets of PTFE films and detected thicknesses obtained by different algorithms respectively

4.2 多层结构目标层的层厚检测

图 13. GFRP模型的实物图及太赫兹检测原理示意图。（a）实物图；（b）检测原理示意图

Fig. 13. Physical diagram of GFRP model and schematic of THz detection principle. (a) Physical image; (b) schematic of detection principle

图 14. 实验光谱图以及3种算法重构的脉冲响应函数。（a）三组模型的太赫兹时域光谱；（b）GFRP1；（c）GFRP2；（d）GFRP3

Fig. 14. Experimental spectrograms and pulse response functions reconstructed using three algorithms. (a) THz time-domain spectrograms of three sets of models; (b) GFRP1; (c) GFRP2; (d) GFRP3

表 4. 3种算法对检测层PTFE薄膜的飞行时间的定位

Table 4. Localization of TOF of PTFE thin film in detection layer by three algorithms

表 5. 3组GFRP模型的实际厚度与不同算法分别求出的厚度

Table 5. Actual thickness of three sets of GFRP models and detected thicknesses obtained by different algorithms respectively

4.3 多层结构模型的缺陷检测成像

图 15. 复合材料模型实物图、成像区域示意图及太赫兹检测原理图。（a）实物图；（b）成像区域示意图，三角点表示无缺陷区域的随机采样点，圆点表示缺陷区域的随机采样点；（c）太赫兹检测原理

图 16. 两组采样点处理前后的原始数据图和模型的B-scan成像图。（a）处理前的太赫兹时域光谱图；（b）处理后的太赫兹时域光谱图；（c）处理前的B-scan成像图；（d）处理后的B-scan成像图

图 17. 夹杂缺陷的GFRP样件处理前后的成像伪彩图像。（a）原始成像结果；（b）未经幅值修正的成像结果；（c）缺陷区域采样点幅值修正前后的太赫兹时域光谱图；（d）幅值修正后的成像结果

表 6. 图像的韦伯对比度

Table 6. Weber contrast of images

5 结论

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1　引言

2　方法原理

2.1　太赫兹卷积模型

2.2　太赫兹信号的LASSO回归模型

2.3　考虑脉冲扩展的稀疏表示

2.4　幅值衰减系数

3　数值模拟

3.1　单层结构信号的稀疏重构

图 6. 3种方法对不重叠回波信号的脉冲响应函数重建结果。（a）无噪声情况；（b）R_SN=40 dB情况；（c）R_SN=20 dB情况；（d）R_SN=10 dB情况

Fig. 6. Reconstruction results of pulse response function for non overlapping echo signals using three methods. (a) Absence of noise; (b) R_SN=40 dB; (c) R_SN=20 dB; (d) R_SN=10 dB

图 7. 3种方法对重叠回波信号的脉冲响应函数重建结果。（a）无噪声情况；（b）R_SN=40 dB情况；（c）R_SN=20 dB情况；（d）R_SN=10 dB情况

Fig. 7. Reconstruction results of pulse response function for overlapping echo signals using three methods. (a) Absence of noise; (b) R_SN=40 dB; (c) R_SN=20 dB; (d) R_SN=10 dB

3.2　多层结构信号的稀疏重构

图 10. 3种方法的重建结果与预设值的对比。（a）无噪声情况；（b）R_SN=40 dB情况；（c）R_SN=20 dB情况；（d）R_SN=10 dB情况

Fig. 10. Comparison between the reconstruction results of three methods and the preset value. (a) Absence of noise; (b) R_SN=40 dB; (c) R_SN=20 dB; (d) R_SN=10 dB

4　样本和实验

4.1　单层结构的层厚检测

4.2　多层结构目标层的层厚检测

4.3　多层结构模型的缺陷检测成像

5　结论