1　引言

目前，人们对激光在大气传输过程中的湍流、跟踪抖动和热晕等已经有了较为成熟的处理方法和规律性认识^［1-6］。为了对激光经过大气传输后的光束质量退化情况进行快速预测和评估，国内外学者已针对激光大气传输特性评价参数、大气特征参量和激光参数之间的定量关系开展了大量的探索。Smith^［1］和Gebhardt^［7］分别给出了高能激光经过湍流、热晕相互作用后光束峰值强度的经验公式。黄印博等^［8］给出了含湍流和跟踪抖动的激光大气传输光束扩展的定标关系，并定性讨论了系统衍射角和湍流强度对含跟踪抖动的激光大气传输光束扩展规律的影响。随后，黄印博等^［9］在Smith^［1］工作的基础上定性地讨论了发射系统菲涅耳数对含热晕的高能激光大气传输光束扩展的影响。2007年，乔春红等^［10］给出了氟化氚激光经过含湍流和热晕的大气传输后光束扩展的定标关系，并在文献［11］中讨论了在不同强度湍流效应下含热晕的高能激光大气传输光束扩展的定标关系。

然而，实际大气传输环境较为复杂，激光经大气传输后的光束质量退化机理会由于大气特征参量和激光参数的变化而不尽相同^［12-18］。因此，在处理不同大气特征参量和激光参数条件下的光束质量退化问题时，使用现有的定标关系进行定量描述尚存在一定困难。目前，国内外关于描述大气特征参量、激光参数和激光大气传输特性评价参数之间的定量关系的公开报道并不多，且相关研究给出的也多为定性或半定量的结论^{［8，14-18］}。

本文基于高能激光大气传输数值仿真模型，对多种典型传输参数条件下高能激光大气传输特性进行数值模拟和比较分析，进而展开大气特征参量和激光参数等与光束扩展的定标规律研究。

2　理论分析

通常而言，高能激光通过大气聚焦传输后在远场的光束质量退化情况可以采用表征焦面上光束扩展倍数的光束质量因子等评价参数进行有效的描述。

对于焦面处的光束扩展情况，一般采用均方和半径的分析方法^［2，8］进行描述较为方便，激光经过大气传输后的光束质量因子β可以表示为

式中：βD为光束质量因子，表征衍射引起的光束扩展；βT为光束质量因子，表征湍流引起的光束扩展；βJ为光束质量因子，表征跟踪抖动引起的光束扩展；βW为光束质量因子，表征热晕引起的光束扩展。在假定湍流和热晕的作用是相互独立的基础上^［10］，式（1）可以进一步写成如下形式^［11］：

式中：σ_i是发射系统的单轴跟踪抖动误差，通常小于10 μrad^［9］；σ_d是在理想条件下发射系统的光束衍射角^［2］，满足

式中：β₀为初始光束质量因子；λ为激光波长；r_m=D/2为发射系统半径；m′=0.92^［2］。r₀为大气相干长度^［2］，其表达式为

式中：L为激光传输距离；Cn2为折射率结构常数；k=2π/λ为波数；Z为传输距离在0~L之间的积分变量。N_D为Bradley-Herrmann热畸变参数^［19］，通常用于度量热晕强度，热晕效应越强则N_D值越大，在不考虑光束旋转和扫描时，其表达式为

式中：C₀=1.66×10^-9 m³/J；λ为激光波长；L为激光传输距离；P为激光发射功率；α为大气吸收系数；ε为消光系数；v为风速；D（Z）为光束直径，在假定湍流与热晕的作用相互独立的基础上，D（Z）可近似看作是发射系统口径D^{［11，20］}。

值得注意的是，式（2）是在1.3~3.8 μm激光波长范围、初始光束质量因子小于4.3且不考虑发射系统菲涅耳数对光束扩展影响的条件下得出的平均值^［11］。然而，在实际激光大气传输中，光束扩展速率与激光波长、初始光束质量因子和发射系统菲涅耳数（N_F=D²/λL）等参数密切相关^［8，17］。因此，用以表征光束扩展速率的拟合系数应是与激光参数等相关的函数，而将其简单地视为一个常数并不十分合理。基于上述考虑，提出了含衍射、湍流、跟踪抖动和热晕的激光大气传输光束扩展规律的关系式：

式中：A_t、B_t和N_0t分别为衍射及湍流、跟踪抖动和热晕引起的光束扩展速率的拟合系数，均是受激光参数影响的函数。式（6）等号右边第一、二项表征衍射及湍流引起的光束扩展^［12］，第三项表征跟踪抖动引起的光束扩展^［9］，第四、五项表征热晕引起的光束扩展^{［10，21］}。

针对所提出的定标关系［式（6）］，采用数值模拟的方法验证这一定标关系的可行性和准确性，并研究与拟合系数A_t、B_t和N_0t有关的主要参数及其定量关系。

3　数值模拟结果及讨论

在数值模拟中，选取多种典型的传输参数，主要包括：发射系统口径D分别为0.4 m、0.5 m、0.6 m、0.7 m和0.8 m；激光波长λ的取值范围为0.35~9.00 μm；激光传输距离L的取值范围为1~12 km；初始光束质量因子β₀的取值范围为l.0~20.0；发射系统的菲涅耳数N_F的取值范围为5~140；横向平均风速v分别为2 m/s和5 m/s；大气吸收系数α分别为3.3×10^-5 m^-1、1.0×10^-4 m^-1；折射率结构常数Cn2的取值范围为6.4×10^-17~5.0×10^-13 m^-2/3。为提高仿真计算的准确性，文中数值计算结果均为经过100次激光大气传输后在焦面处长曝光的统计结果。同时，以数值计算结果与所建立的光束扩展定标关系式得到的预测结果之间的相对误差小于15%^［22-23］为标准，评价所建立的定标关系式的适用性。

3.1　含衍射、湍流的激光大气传输光束扩展规律

在仅考虑衍射和大气湍流的条件下，采用最小二乘法^［9，11］得到了表征含衍射、湍流的激光大气传输光束扩展速率的拟合系数A_t与初始光束质量因子β₀、激光波长λ的关系，结果如图1所示。图1中，β_ta为光束质量因子，表征衍射和湍流等线性效应引起的光束扩展，D/r₀的变化是通过改变折射率结构常数Cn2和激光传输距离L而实现的^{［11，19］}。

图 1. 拟合系数A_t分别随初始光束质量因子β₀和激光波长λ的变化。（a）不同初始光束质量因子条件下光束扩展随D/r₀的变化；（b）拟合系数A_t随初始光束质量因子β₀的变化；（c）不同激光波长λ下光束扩展随D/r₀的变化；（d）初始光束质量因子分别为3.0、7.3和10.0时拟合系数A_t随激光波长λ的变化

Fig. 1. Variation of fitting coefficient A_t with initial beam quality factor β₀ and wavelength λ. (a) Beam spreading for different beam quality factor β₀ with D/r₀; (b) variation of fitting coefficient A_t with initial beam quality factor β₀; (c) beam spreading for different wavelength λ with D/r₀; (d) variation of fitting coefficient A_t with λ for initial beam quality factor β₀ of 3.0,7.3, and10.0

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在图1（a）中，激光波长为1.06 μm，发射系统口径为0.6 m。图1（a）表明，当激光的初始光束质量较差时，由湍流引起的光束扩展随发射系统口径与大气相干长度之比的增大而更快地增强。在图1（a）计算参数的基础上，只改变初始光束质量因子，进一步分析表征激光大气湍流传输光束扩展速率的拟合系数A_t与初始光束质量因子的关系，得到的结果如图1（b）所示。从图1（b）可以发现，光束扩展速率随着初始光束质量因子的增大而单调增加，这表明当激光的初始光束质量越差时，激光经过大气湍流传输后的光束质量退化情况越严重。在图1（c）中，激光传输距离为2 km，初始光束质量因子为3.0，进一步改变传输距离从而实现D/r₀的变化。图1（c）表明，当激光波长增大，由衍射及湍流引起的光束扩展随发射系统口径与大气相干长度之比的增大更快地增强。在图1（c）计算参数的基础上，分别取初始光束质量因子为3.0、7.3和10.0，通过改变激光波长进一步分析表征激光大气湍流传输光束扩展速率的拟合系数A_t与激光波长的关系，如图1（d）所示，其中插图为短波长范围（λ≤3.0 μm）内拟合系数A_t随波长的变化关系。分析图1（d）可知，当激光波长λ≤3.0 μm时，激光大气湍流传输光束扩展速率随着波长的变化并不明显，当激光波长范围为3.0 μm~7.5 μm时，光束扩展速率单调增大，特别是当激光波长超过5.0 μm时，激光大气湍流传输光束的扩展速率随着波长的增大而迅速增加。分析其原因在于：当λ≤3.0 μm时，短波长激光受湍流的影响较大，但同时短波长激光的衍射效应相对较弱，致使这一波长范围内存在二者的综合抗衡效应^［18］，光束扩展速率的变化随着波长的变化并不十分明显。然而，随着激光波长的继续增加（3.0 μm≤λ≤7.5 μm），这一抗衡效应逐渐减弱。同时，根据式（4），当D/r₀一定时，对于给定的折射率结构常数Cn2，激光波长越长，相应的激光传输距离L越大，而激光在更长距离的大气湍流传输时，其光束会表现出更快速地扩展，特别是当激光波长超过5.0 μm时，这一现象更为明显。

进一步分析图1可知，当激光波长≤7.5 μm时，采用最小二乘法得到的拟合关系式均能与数值模拟结果很好地吻合。当激光波长λ>7.5 μm时，数值计算结果与由所构建的定量关系得到的预测值之间的相对误差均大于15%，使用该定标关系式描述含衍射、湍流的激光大气传输光束扩展速率随激光参数的变化规律将不再准确。于是，表征含衍射、湍流的激光大气传输光束扩展速率的拟合系数A_t与激光波长及初始光束质量因子的定量关系可以表示为

式（7）的激光波长单位是μm,适用波长范围是λ≤7.5 μm。

3.2　含跟踪抖动的激光大气传输光束扩展规律

在实际发射系统中，通常不可避免地会存在跟踪抖动的影响^［9，24］。分别取单轴跟踪抖动误差σ_i为1.0 μrad、2.0 μrad、3.0 μrad、5.0 μrad、7.0 μrad、9.0 μrad和10.0 μrad^［9］，模拟得到不同激光波长和初始光束质量因子对应的拟合系数B的均值，如表1所示。

分析表1可以发现，由跟踪抖动引起的光束扩展项系数B在激光波长范围为0.44~3.80 μm和初始光束质量因子范围为1.0~5.3条件下的变化并不明显。随着激光波长的继续增加，系统衍射角σ_d也在持续增大，因此，在其他传输条件不变的情况下，由跟踪抖动引起的光束扩展B（σ_i/σ_d）²对焦平面处总的光束扩展的贡献相对减小。例如，当σ_i=10.0 μrad、D=0.6 m、D/r₀=10时，激光波长由0.44 μm增加到3.80 μm，所对应的光束扩展（σ_i/σ_d）²分别从11.1²下降到1.3²，其对焦平面处光束扩展的贡献占比从57.3%下降到1.8%。随着激光波长的增加，由于系数B的选取而造成的误差也减小。同理，随着初始光束质量因子的增加，由跟踪抖动引起的光束扩展占总体光束扩展的比值也越来越小，相应系数B的取值误差的影响也相对越来越小。

基于上述考虑，系数B受传输参数的影响并不十分明显，可以近似为一个常数。因此，对表1中数据再次求平均值，得B_t=6.93。

3.3　含热晕的激光大气传输光束扩展规律

高能激光在大气中传输时，不仅会受到大气湍流的影响，还会由于激光加热大气而出现非线性热晕效应^［8，21］。进一步开展了含热晕的激光大气传输光束扩展的规律分析，得到了表征含热晕的激光大气传输光束扩展速率的拟合系数N_0t与发射系统菲涅耳数N_F的定量关系，如图2所示。

图 2. 光束扩展随热畸变参数N_D的变化和拟合系数N_0t随发射系统菲涅耳数N_F的变化。（a）不同菲涅耳数N_F条件下光束扩展随热畸变参数N_D的变化；（b）拟合系数N_0t与发射系统菲涅耳数N_F的定量关系

Fig. 2. Beam spreading varying with thermal distortion parameter N_D and variation of fitting coefficient N_0t with Fresnel number N_F of transmission system. (a) Beam spreading for different Fresnel number N_F varying with thermal distortion parameter N_D; (b) quantitative relation between fitting coefficient N_0t and Fresnel number N_F of transmission system

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当发射系统菲涅耳数<8或>110时，数值计算结果与式（8）得到的预测值之间的相对误差均大于15%，因此，使用式（8）描述含热晕的激光大气传输光束扩展速率随发射系统菲涅耳数的变化规律将不再准确。

式（8）表明，随着发射系统菲涅耳数的增大，光束聚焦能力随之增强，激光在大气中传输时受热晕的影响也随之加重，尤其是在强热晕条件下，不同发射系统菲涅耳数对应的这种传输效果差异性更为明显。

3.4　光束扩展定标关系式及其验证

综上所述，本文所提出的含衍射、湍流、跟踪抖动和热晕的激光大气传输在焦平面处63.2%环围功率半径内的光束扩展定标关系式为

为进一步验证所建立激光大气传输的光束扩展定标关系式［式（9）］的有效性，选取多种典型传输参数进行数值模拟，并将模拟结果分别与本文定标关系式和文献［11］结果进行了分析和对比，典型结果如图3所示。图3（a）、（b）为单独考虑衍射及湍流时光束扩展的结果，图3（c）、（d）分别为含湍流和热晕时在弱湍流和强湍流环境下光束扩展的结果。

图 3. 多组典型传输条件下本文所建立的定标关系式与文献结果拟合效果对比。（a）λ=0.65 μm，β₀=3.0；（b）λ=1.31 μm，β₀=10.0；（c）N_F=48.5，D/r₀=1.7；（d）N_F=84.7，D/r₀=8.6

Fig. 3. Comparison of fitting effects between this paper and the literature under multiple typical transmission conditions.(a) λ=0.65 μm, β₀=3.0; (b) λ=1.31 μm, β₀=10.0; (c) N_F=48.5, D/r₀=1.7; (d) N_F=84.7, D/r₀=8.6

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由图3（a）、（b）可以看出，在弱湍流环境下，本文建立的光束扩展定标关系式和文献结果均能与数值模拟结果较好地吻合。然而，随着湍流效应的增强，本文所建立的定标关系式依然与数值模拟结果保持较好地吻合，而文献结果却与数值模拟结果的偏差逐渐增大。

分析图3（c）、（d）可以发现，在弱湍流环境下，随着热晕效应的增强，文献结果与数值计算结果的偏差逐渐增大。在强湍流环境下，文献结果与数值计算结果的偏差先减小，N_D≥100.0时逐渐增大，且与弱湍流环境相比，强湍流环境下文献结果与数值模拟结果的偏差更大，尤其是在热晕效应较强（N_D≥100.0）时这种偏差更为明显。然而，所提出的定标关系式在不同湍流强度下均能与数值模拟结果较好地吻合。具体来说，在强湍流环境下，当N_D≥100.0时，文献结果与数值模拟结果的相对平均偏差达7.0%，而对于本文所建立的定标关系式，这一偏差下降到了1.5%。由此可见，本文提出的定标关系式对激光大气传输的光束扩展预测和评估效果有了较为明显的提升。

进一步分析图3可知，在多种典型传输参数条件下，所建立的激光大气传输光束扩展定标关系式均可以对激光大气综合效应产生的光束扩展情况进行快速、准确的描述。

4　结论

基于Kolmogorov湍流理论，针对多种典型大气传输参数条件，通过大量的高能激光大气传输数值模拟及分析比较，明确了影响高能激光大气传输光束扩展规律的主要因素。结果发现，含湍流、热晕等的激光大气传输光束扩展规律受激光波长、初始光束质量因子和发射系统菲涅耳数的影响较为明显。激光的初始光束质量因子越大，由衍射和湍流引起的光束扩展速率越快。发射系统的菲涅耳数越大，光束聚焦能力越强，激光在大气中传输时受热晕的影响也更加严重。在此基础上，提出了含湍流和热晕的激光大气传输光束扩展的定标关系式，用于在多种典型传输参数条件下对高能激光大气传输综合效应及其引起的光束扩展的快速、准确的预测和评估，从而可为高能激光系统的设计及优化提供有用参考。