1 引言

在空间光学系统中，长焦距系统可以分为折射式、反射式、折反式，其中纯折射光学系统光学总长较长。单纯的经典反射式采用圆锥曲面2片反射镜，像差校正能力有限，相对孔径和视场都受到限制，体积无法做大^[1]。而折反射光学系统综合了反射式和透射式的优点，既充分利用了反射镜折叠光路，缩短光学系统总长，又能够利用透镜校正像差的能力，使光学系统的像差校正得更好^[2]。为此，采用前后两组校正系统，均利用球面镜校正像差，不仅解决了大孔径带来的像质较差问题，而且有效地缩短了系统总长，为此采用折反射光学系统。

在长焦距望远物镜领域，国内外相继研发了种类繁多的折反射摄远物镜。2012年，泰国国家天文台研发了一款RC结构的望远镜，采用了双曲面反射镜加后校正方案，焦距为3.6 m，F数为1.5，口径2.4 m，总长3 m，摄远比为0.83。我国建成的第一台反射式施密特望远镜，F数为2.0，摄远比为0.95。近两年，Orion公司和Celestron公司推出了全新的民用折反射摄远物镜，例如APEX9820，焦距在1 250 mm下，摄远比达到0.42，但孔径较小仅为90 mm，Nexstar8SE的焦距2 032 mm，摄远比为0.40，口径为203 mm。结合本设计，对于口径达到近500 mm的反射镜而言，考虑到工艺加工可能性，全系统不宜采用非球面镜，结合像差的校正，单一的前校正组不能满足设计要求，故采用Pan-Cassegrain系统，将前校正组高阶非球面校正板分裂为数片球面镜以替代。

目前，国内外主流摄远系统，相对孔径一般小于1∶3，系统总长往往在800 mm以上，相对孔径较大，为了平衡像差，往往要牺牲光学系统总长。根据折反系统设计原理和像差校正原理，本文设计了一个相对孔径1∶2.1，光学系统总长520 mm，成像清晰的长焦距大孔径系统，对于摄远系统的设计具有重要意义。

1 设计思路

本设计在于构造出一个大孔径，光学总长较短的紧凑型光学系统，考虑到结构特点，利用反射系统部分有效降低光学总长。而大孔径的结构特点必然导致系统具有较大的球差以及轴向色差^[3]，因此必须引进校正组消除像差。对于校正组，将其分为前后组别，这样的结构对于缩短系统总长有很大的帮助。本设计将遮拦比定为小于45%，遮拦比影响像面成像区域光强占比，不同遮拦比时，有遮拦与无遮拦的光强占比关系公式如下：

1$\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = {(1 - {\varepsilon ^2})^2}$

式中： ${I_1}$为有遮拦时的光强； ${I_{\rm{2}}}$为无遮拦时的光强； $\varepsilon $为遮拦比。对于45%遮拦比，透过光强占总光强的百分比是63.6%。

CCD芯片采用1 360 pixel×1 024 pixel ExView HAD，像素大小6.45 μm×6.45 μm，其特征频率为77.5 lp/mm，设计时空间频率按80 lp/mm评价，要求该光学系统在80 lp/mm处传递函数值大于0.3。

先利用双反射结构系统原理计算主、次反射镜的光学参数，原理图如图1所示。参数包括系统的焦距f'，次镜的横向放大倍率β₂，主镜与次镜的顶点曲率半径γ₁和γ₂，2个反射镜的间隔距离d^[4-5]，计算公式如下：

2$\left\{ \begin{array}{l} {\gamma _{\rm{1}}} = - \dfrac{{{\rm{2}}f'}}{{{\beta _2}}}\\ {\gamma _2} = - \dfrac{{2(b{\beta _2} + f')}}{{{\beta _2}^2 - 1}}\\ d = \dfrac{{f' - b}}{{1 + {\beta _2}}} \end{array} \right.$

图 1. Schematic diagram of double reflection structure

Fig. 1. Schematic diagram of double reflection structure

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值得注意的是，在保证相同的设计指标前提下，可以有很多个初始结构满足目标，对于β₂，如果取值过大，后截距会较大，如果取值较小，系统初始像差太大不利于后期校正，我们选取合适的参数，保证结构满足要求。

将f'=1 000 mm，d=320 mm，β₂=1.7，代入上述公式得出反射结构参数如表1所示。

对于校正透镜组的设计，可以根据像差理论求出所需透镜组的初始结构，然后根据实际光路计算出所得像差，进而改进系统；也可以从已有的专利文献中找到合适的结构，然后逐步修改校正像差。本设计采用后一种方法，先利用上述公式计算出一个合理的反射部分初始结构，再通过已有的专利文献找出一个相似的折反射结构^[6]。从已有的专利文献中找出合适的初始结构组成双反射结构，以此为基础，前校正组和后校正组分别有3片及2片镜片。之后通过像质评价逐步修改结构，直至达到设计指标要求，此系统需要后校正组校正像散，前后校正组共同消除球差和彗差。因为焦距较长，视场小，此设计不用于测量标定用途，故畸变不必校正，但校正组的加入引入了一定的色差，需要自行校正^[7]。

2 大孔径长焦距摄远物镜的设计

2.1 设计指标

大孔径长焦距摄远物镜主要设计指标如表2所示。

2.2 初始结构的选取

根据表1所得的反射结构参数，我们从现有的专利文献中找出与设计指标相近的初始结构，结构二维图如图2所示，其相对孔径为1∶2，焦距1 000 mm，光学系统总长为832 mm。其中，光学系统总长太长，次反射镜在前校正组第2片和第3片透镜之间，会造成安装定位困难^[8]。将初始结构输入光学设计软件Zemax中可以看出，全视场光斑校正情况较好，但是引入的色差并没有得到很好的消除，存在一定彗差。综上所述，初始结构需要进一步优化。

图 2. 2D diagram of initial structure

Fig. 2. 2D diagram of initial structure

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2.3 优化设计

优化时，着重控制系统总长，重点在于不能牺牲像质的要求，尝试在后校正组添加一片透镜，用于平衡减小光学总长带来的像差，建立一套复合评价操作数，控制后截距的大小以及各个镜片中心厚度、边缘厚度、镜片间的空气间隔，使其在合理范围^[9]。前校正组后表面与次镜重合，最大程度减少镜片的数量。由于前校正组占用空间较大，为了保证光学总长满足设计要求，不方便增加镜片，而后校正组占用空间小，从系统像差特点分析出发，球差较大，在光学总长较短的情况下，需要额外增加镜片数量以添加变量以至消除球差。利用LACL，AXCL控制自引入色差，利用LONA和OSCD控制轴向球差和正弦差，而像散和畸变对于主光线角度较敏感，考虑到系统的视场角较小，不必控制^[10]。在优化过程中，观察像差的变化情况，修改其各个种类的目标值和权重，控制像差向好的方向发展，使其满足设计要求^[11-12]。

2.4 设计结果分析

最终优化后的系统结构图如图3所示，结构参数表表3所示。

图 3. 2D diagram of optimized structure

Fig. 3. 2D diagram of optimized structure

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最终设计结果为焦距1 000 mm，光学系统总长520 mm，摄远比0.52，光学总长远小于焦距。后截距20.181 mm，F数2.1，遮拦比0.45，满足设计指标，第3片镜片后表面与次镜重合，减少了一片反射镜，降低了空间要求。值得注意的是，在给出初始结构的反射镜参数后，优化过程中并不是一定要保证反射镜的结构参数不变，而是以光学系统的设计指标为基础，以保证像质达标为前提进行优化变动。

3 像质评价

光学传递函数MTF作为一种客观、定量评价光学系统成像清晰度性能的综合性指标，在国际上已被广泛认可和应用。当所有视场的的传递函数曲线相对集中、平滑，镜头的对比度和锐度都比较好，可认为系统的成像质量较好^[13]。点列图的分布可以近似像点的能量分布，利用这些点的密集程度能够评价成像质量的好坏。此系统的结构特点致使球差占主导要素，由于球差的存在，使得在高斯像面上得到的不是点像，而是一个弥散半径较大的弥散斑。球差越大，高斯像面上的弥散斑也越大，使得所成的像变得模糊不清^[14]。

对经过优化设计得到的最终结构进行评价，图4为轴向像差曲线图，图5为传递函数曲线图，图6为点列图。

图 4. Curve diagram of longitudinal aberration

Fig. 4. Curve diagram of longitudinal aberration

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图 5. Curve diagram of MTF

Fig. 5. Curve diagram of MTF

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图 6. Spot diagram

Fig. 6. Spot diagram

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由图4可以看出，球差小于0.015 mm，轴向色差小于0.1 mm。由图5可以看出，所有视场的传递函数曲线集中且平滑，因为0.7视场以内对成像质量影响较大，其以外边缘视场对成像质量影响较小，在全视场内，MTF在80 lp/mm处均大于0.35，所以可认为系统成像质量较好，满足系统对传递函数的要求，可以与CCD匹配。由图6可以看出，各视场点列图均方根半径小于0.01 mm。光学总长在优化后达到520 mm，小于设计指标（≤600 mm）要求，具有光学系统总长短、结构紧凑、像质优良的特点。

4 公差分析

在光学设计中，评判一款设计是否有开模可生产性，主要看其设计的各个元件是否敏感，若元件在加工允许的公差范围内能有很好的成像表现，可视为是一个好的设计。若设计中元件过于敏感，在实际加工中就非常困难，其中一个重要的因素是各个透镜尺寸、偏心的公差影响。若太敏感，会给生产、装配带来不利的影响，透镜加工和镜头装配成品率低，因此有必要进行公差分析。运用Zemax光学设计软件，采用MTF的平均值作为评价函数标准，标准值为0.35，在MTF为80 lp/mm处进行敏感度分析。公差要求如表4所示。分析80 lp/mm处的MTF变化情况。进行200次蒙特卡罗分析，蒙特卡罗公差分析结果如表5所示。由表5可知，运行200次蒙特卡罗模拟实验后，90%以上蒙特卡罗样本MTF大于0.213 788。所给的公差范围都是较为宽松的数值，可见该设计的公差较好，在生产过程中能保证镜片的合格率，减少材料成本及人力成本^[15-16]。

5 结论

本文在经典折反摄远物镜结构改进的基础上结合折反结构的设计原理，设计了一款焦距为1 000 mm，F数2.1，光学系统总长520 mm的大孔径长焦距摄远物镜。优化过程中最大程度地减小了各种像差，获得了较好的成像质量，且结构简单紧凑，满足了大孔径、光学系统总长短的技术要求。公差分析结果表明，公差宽松，易于加工生产，对于此类物镜设计具有重要的参考意义。