1 引言

超导量子电路^[1-6]、腔量子电动力学^[7-15]、量子点^[16-21]等应用推动了量子信息的快速发展。含有纳米尺度机械结构的混合量子系统受到了研究人员的关注^[22-24],机械谐振子一般具有较高的品质因子Q(通常为10⁵数量级),可与量子体系实现较好的相干耦合。电子自旋可以通过氮空位(NV)色心的方式实现^[25],具有很长的相干时间^[26],在实现量子信息处理方面有着较好的前景^[27-28]。纳米机械谐振子具有高品质因子、高谐振频率、小有效质量^[29-31]等优势。研究人员在实验上相继实现了单自旋与周围核自旋的信息传递、量子纠缠和量子算法^[32-36]。杨秀丽等^[37]对经典辅助场下的量子纠缠进行了研究;卢道明^[38]研究了基于光纤耦合腔模型的混合系统的纠缠效应。

本文以金刚石NV色心为基础,研究了两个电子自旋分别与量子化的纳米机械谐振子通过磁矩进行强耦合的过程,高概率性地制备了双自旋的两比特二维纠缠态。将谐振子的耗散转化为所需的资源,系统最终演变为目标态^[39-40],得到了高保真度的纠缠态。该模型为量子通信和量子信息处理提供了理论参考。

2 电子自旋与纳米机械谐振子耦合

双电子自旋与纳米机械谐振子耦合的方案如图1所示,xyz为坐标系,谐振子的长宽高分别为L、W、H。两个电子自旋以距离h对称分布于谐振子两侧,静态磁场B_z方向与z轴方向保持一致。高频谐振子带动附着的磁针振动产生时变的梯度磁场,强度与振动幅度有关。自旋与谐振子通过磁场相互作用发生强磁耦合现象。纳米机械谐振子的哈密顿量为

H^r=h-ωrb^†b^+12,(1)

式中 b^†为产生算符, b^为湮灭算符, h-为约化普朗克常数,ω_r为纳米机械谐振子的基本频率。磁场B_tip≈G_md^,其中G_m为磁场梯度, d^=a₀b^+b^†为位置算符,a₀为振子的零点振荡振幅。自旋内部的相互作用非常微弱,将其忽略,可得系统的哈密顿量为

图 1. 双电子自旋与纳米机械谐振子耦合示意图

Fig. 1. Schematic of coupling between double electric spins and nano-mechanical harmonic oscillator

下载图片 查看所有图片

H^S=∑i=1,2H^NVi+h-ωrb^†b^+12+λb^+b^†S^1z-S^2z,(2)

式中 S^iz为在z方向的自旋分量,i=1,2分别表示谐振子上方和下方的自旋,全文同; H^NV为电子自旋的哈密顿量;λ为耦合强度。

电子的自旋基态是三重态,记为|m_s=0,±1>。在无外部磁场的情况下,|m_s=±1>是简并的,零场分裂D_gs=2.87 GHz。静态磁场B_z使|m_s=±1>发生塞曼分裂,两个简并的能级被分开;微波场以频率ω_mw驱动电子自旋发生拉比振荡。能级图如图2所示,其中Ω为拉比振荡频率,μ_Bg_sB_z为塞曼分裂,δ为跃迁的失谐量,μ_B为玻尔磁子。因此NV色心中电子自旋的哈密顿量为

H^NV=∑i=±1-h-δi|i><i|+h-Ωi2|0><i|+|i><0|,(3)

式中Ω₁、Ω₂分别为上、下方自旋的拉比振荡频率,δ₁、δ₂分别为上、下方自旋的跃迁失谐量。

图 2. 自旋能级图

Fig. 2. Energy levels for spin

下载图片 查看所有图片

单自旋与纳米机械振子耦合的强度为λ=g_sμ_BG_ma₀/ h-,其中g_s≈2。为了便于计算,令上、下方自旋的微波驱动频率ω_mw1=ω_mw2=ω_mw,Ω₁=Ω₂=Ω,δ₁=δ₂=δ,引入缀饰态tan(2θ)=- 2Ω/δ,自旋算符 S^z为

S^z=h-2cosθσz+sinθσ++σ-,(4)

式中σ₊=|-1><0|,σ_-=|0><-1|,σ_z=|-1><-1|-|0><0|。对于该系统,引入缀饰态来表征系统的哈密度量,其表达式分别为

|Θ>=cosθ|0>-sinθ|Ξ>,(5)|Γ>=cosθ|Ξ>+sinθ|0>,(6)

式中|Ξ>= 22|-1>+|+1>为亮态,|Λ>= 22|-1>-|+1>为暗态。利用|Θ>、|Γ>和|Λ>将(2)式重新写为

H^S=h-ωrb^†b^+∑i=1,2h-δ2+2Ω2Γ>i<Γ|+h-2-δ+δ2+2Ω2Λ>i<Λ|+h-cos(ωmwit)(ΩiΘ>i<Λ|+2μBgsBzΛ>i<Γ|+h.c.)+h--λsinθ|Θ>i<Λ|+λcosθ|Λ>i<Γ|+h.c.b^+b^†,(7)

式中微波频率ω_mw≈D_gs-μ_Bg_sB_z/ h-;h.c.代表共轭项。对于自旋为-1的体系,在旋转波近似下,相互作用绘景的哈密顿量为

H^I=∑i=1,2h-Dgs+μBgsBz-ωmw|-1>i<-1|+h-λb^†0>1<-1|+b^†0>2<-1|+h.c.+h-Ω0>1<-1|+|0>2<-1|+h.c.。(8)

3 利用耗散过程制备量子纠缠

考虑外界环境下的耦合,在马尔科夫近似下,体系密度算符 ρ^的主方程为

dρ^dt=∑i=1,2γsDσziρ^+nth+1γmDb^ρ^+nthγmDb^†ρ^+-ih-HI,ρ^+2ρ^cosωmwt,(9)

式中t为时间; σ^zi=|-1>_i<-1|-|0>_i<0|;γ_s为自旋退相位,表示外界环境的影响和磁场变化对自旋本身的影响;γ_m= ωrQ为纳米机械谐振子自身的耗散,其中Q为品质因子;对于任一算符 o^,有D[ o^] ρ^=o^ρ^o^†- 12ρ^o^†o^- 1o^†o^ρ^;n_th为热声子数。忽略NV色心的内部耗散,在高频率的谐振子和低温环境下,热声子数n_th趋于零,相当于在真空条件下进行自旋与纳米机械谐振子的耦合。(9)式可简化为 dρ^dt=- ih-HIρ^-ρ^HI+γ_mDb^ρ^。

引入一种集合态来更准确地描述两个电子自旋,基态表示为|G>=|0>₁|0>₂,激发态表示为|U>=|-1>₁|-1>₂,对称态表示为|S>= 0>1|-1>2+|-1>10>2/ 2,反对称态表示为|E>= 0>1|-1>2-|-1>10>2/ 2,其中|S>和|E>互为最大纠缠态^[41]。

图 3. 能态转换图

Fig. 3. State transition

下载图片 查看所有图片

微波以ω_mw的频率引发|G>↔|S>、|S>↔|U>的跃迁;有效耗散γ_decay= 2γmλ/γ_m驱动|U>→|S>、|S>→|G>的跃迁。通过计算集合态的哈密顿量H_d和量子跃迁算符L'的本征值,得到有且仅有一个稳态为

|ΦS>=χ-1δ|G>+γdecay|E>,(10)

式中χ= γdecay2+δ2。系统在理想情况下将会有约33%的概率稳定在|G>态,67%左右的概率稳定在|E>态,|E>态为纠缠态。增大|E>的系数将增大Φ_S演化为|E>的概率。

4 数值模拟

在利用耗散过程制备纠缠态的过程中,被制备的纠缠态一般是系统的唯一稳态,这需要巧妙地设计系统能级、驱动光场、系统耦合的拉比频率和失谐量。为了证明和评估这个方案的可靠性和可行性,对主方程(9)式进行了数值模拟^[42]。模拟计算了系统随时间演化的占有数、纠缠度及保真度,对耗散过程的利用情况进行了梳理。

4.1 目标态占有数

忽略自旋相移时|G>、|U>、|S>、|E>随时间演化的概率,集合态的哈密顿量H_d和量子跃迁算符L使系统达到稳态|Φ_S>。对(10)式求解得到图4所示结果,相关参数取值为:热声子数n_th=0.01,谐振子耗散γ_m=15λ,自旋耗散γ_s=0。当系统到达稳态时,|G>和|E>的概率大致分别稳定在30%和70%,而|U>和|S>态的概率几乎为0,与(10)式理论分析的完全一致。考虑到激发态,进行了两种初态下的数值模拟,发现系统在两种初态|G>和|U>下均保持不变,即最终自旋到达两比特二维纠缠稳态与自旋的初态无关。

4.2 目标态纠缠度分析

稳态的纠缠度计算公式为C_s=2Ω²/ η243,可以通过增大Ω而增大自旋之间的纠缠度。考虑理想状态下忽略自旋的耗散即γ_s=0,如图5(a)所示,当Ω=0.15λ时,系统到达稳态所需的时间最少,纠缠度能达到0.82。当Ω持续增大时,纠缠度持续增大,其中Ω=0.3λ时纠缠度最大,这也验证了(10)式的分析和讨论结果,即理想状态下持续增大Ω可以增大系统演化到|E>的概率,从而获得更大的纠缠度。接下来考虑自旋耗散的情况,取γ_s=0.003λ,如图5(b)所示,与理想状态下相比,在相同的Ω值下纠缠度均有所降低;当Ω=0.25λ和Ω=0.3λ时,纠缠度比Ω=0.2λ和Ω=0.15λ的小。因此,一直增大Ω不会使纠缠度无休止增大。在Ω增大时,系统达到目标态的时间也会更长,由于需要制备纠缠态,系统到达稳态|Φ_S>所需的时间必须要小于自旋的相干时间,故选择合适的Ω值也是实现目标态的必要条件。当Ω=0.15λ时,纠缠度最大,到达目标态的时间最短。

图 4. 占有数演化图。(a)初态为|G>;(b)初态为|U>

Fig. 4. Evolution of occupation. (a) Initial state |G>; (b) initial state |U>

下载图片 查看所有图片

图 5. 目标态|ΦS>关于Ω的纠缠度。(a) γs=0;(b) γs=0.003λ

Fig. 5. Concurrence of target state |ΦS> versus Ω. (a) γs=0; (b) γs=0.003λ

下载图片 查看所有图片

4.3 目标态保真度分析

目标态|Φ_S>的保真度F的定义为F=<Φ_S|ρ_NVt→∞|Φ_S>,其中ρ_NV为NV色心的密度矩阵。图6所示为在两种初态|G>和|U>下,NV色心在不同耗散条件下的保真度。可以看出,当γ_s=0时,即理想状态下|Φ_S>的保真度大于99.9%。这也表明双电子自旋能态随着时间演化逐渐达到了所需的目标态|Φ_S>。当耗散增大到非常接近实验环境下的0.005λ时,保真度仍可达到90%以上;在两种不同初态下,保真度也一致。因此,在实验上可行的参数条件下,对于两种态|G>和|U>,本方案都能演化至目标态。

图 6. 目标态|ΦS>关于γs的保真度。(a)初态为|G>;(b)初态为|U>

Fig. 6. Fidelity of target state |ΦS> versus γs. (a) Initial state |G>; (b) initial state |U>

下载图片 查看所有图片

4.4 验证耗散过程的利用情况

基于前文分析和后续进行实验验证的客观需要,在系统中加入自旋的耗散,取γ_s=0.003λ,其他参数与图4的保持一致,得到的保真度如图7(a)所示。当γ_m=0时,保真度下降至35%以下;保真度随着谐振子耗散的增大逐渐增大,这进一步证明了方案中谐振子的耗散可为系统演化提供帮助,它对目标态的实现必不可少。但是谐振子的耗散从15λ继续增大至25λ及以上时,保真度开始减小,因此不宜过度增大谐振子的耗散,应选择合适的耗散参数。谐振子耗散的最优值为γ_m=15λ,此时保真度达到最高为94%。所提方案基于幺正动力学和耗散过程的合作机制,当耗散过程不存在时方案的保真度为零;耗散过程太大则会影响幺正动力学过程,影响方案最终的保真度。

图7(b)所示为在系统中加入自旋耗散后得到的纠缠度,可以看出,其表现趋势和保真度的一致。当γ_m=0即系统中未加入任何谐振子的耗散时,无纠缠现象发生;纠缠度随着γ_m的增大而增大。虽然方案利用了谐振子的耗散来制备纠缠态,但并不意味着γ_m越大越好。当γ_m=25λ,35λ时,纠缠度反而减小,故只有合适的耗散才能达成目标态的纠缠。

图 7. 加入谐振子耗散γm后目标态|ΦS>的保真度和纠缠度

Fig. 7. Fidelity and concurrence of target state |ΦS> when the introduction of damping rate γm of harmonic oscillator

下载图片 查看所有图片

5 可靠性分析

谐振子的零点振荡的振幅为a₀≈3.5×10^-13 m,双电子自旋与纳米机械谐振子之间的耦合强度为λ=2π×97.93 kHz。谐振子的频率ω_r/2π≈3.75 GHz,谐振子的耗散最优值为γ_m=15λ,γ_m/2π≈1.46 MHz(其中Q=ω_r/γ_m=2.56×10³,远低于10⁵量级^[44])。当δ=0.1λ,Ω=0.1λ时,到达目标态|Φ_S>的时间约为0.163 ms,小于相干时间(约6 ms)^[35]。若选择合适的Ω值,双电子自旋之间的纠缠会更好。当耗散过程不存在时,方案的保真度为零;耗散过程太大则会影响幺正动力学过程,进而影响得到目标态的概率和保真度。

6 结论

从理论上提出了一种双电子自旋与纳米机械谐振子耦合的方案,自旋与谐振子通过磁矩发生强耦合。通过可靠性分析可知,耦合强度大于200 kHz。通过幺正动力学的方法和耗散过程,高概率地制备了两比特二维纠缠态。理想情况下目标态的保真度在99%以上,纠缠度可达95%;在有环境因素的影响下保真度达到90%以上,纠缠度仍能达到约70%。通过数值模拟,验证了耗散过程对系统演化所起的积极作用,得到了耗散的最优值。所提方案不需要高品质因子及指定的初态,降低了实验门槛和难度,在量子信息处理和量子通信方面具有很高的可行性。