电磁发射技术是一项利用电磁力推进负载达到高速或超高速的新概念**技术。它能够突破传统发射方式的速度和能量极限，在短距离内实现将g级至几十t的负载加速至高速^[1]。四轨电磁发射器是一种特殊结构的电磁发射器，它由两对轨道构成，能够在发射器中心形成区域性的电磁抵消，是缓解智能载体诸如导弹、无人机等在轨道发射过程中受到强电磁干扰影响的有效思路^[2-3]。同时，四轨电磁发射器存在邻近电流效应严重、电枢电流分布不均以及枢-轨滑动电接触难控制等亟待解决的问题，严重影响了发射威力与发射可靠性^[4-6]。而基于背场增强的四轨电磁发射器是在普通四轨电磁发射器的基础上采用一套或多套附轨道对发射器内的磁场起增强作用，可以在保留四轨电磁发射器优势性能的同时，为推进负载提供更强的电磁推力^[7]。

在四轨电磁发射器背场增强结构的设计中，电感梯度是一个重要的参数，其直接关系到电磁发射器的电磁推力，对发射器的发射效率至关重要^[8-9]。国内外学者对电磁发射器的电感梯度进行了大量的研究^[10-11]，文献[12]建立了简单的双轨电磁发射器仿真模型，研究了轨道的宽度、高度、间距、内径、角度等几何参数与其电感梯度之间的关系；文献[13]针对增强型双轨电磁发射器建立了计算电感梯度的二维有限元模型，讨论了电感梯度受时谐分析频率和外轨道尺寸影响的规律。然而以上的研究并不适用于四轨电磁发射器，目前分析四轨电磁发射器电感梯度的研究成果较少，文献[14]分析了普通四轨电磁发射器的电枢位置、电流频率与主轨道尺寸对电感梯度的影响，文献[15]提出了长度方向上的分段轨道式背场的能量转换效率较整段式背场高，但电磁推力并无明显提升。本文推导了背场下的四轨电磁发射器电感梯度公式，建立了三维有限元仿真模型，分析了不同主、附轨道参数下电感梯度的变化规律。

1 理论计算与仿真建模

1.1 电感梯度计算方法

基于背场增强的四轨电磁发射器工作原理如图1所示，即在普通四轨电磁发射器的基础上对称布置一套附轨道，是一种串联增强型结构。其通过主附轨道产生的叠加磁场与流经电枢的电流产生洛伦兹力，以推动电枢高速前进。

图 1. 背场下四轨电磁发射器的工作原理图

Fig. 1. Working principle diagram of a four-rail electromagnetic launcher in the background field

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根据虚功原理，在四轨电磁发射器发射过程中，电枢仅受到 ${\textit{z}}$方向的电磁推力 ${F_{\textit{z}}}$，其虚位移为 ${d_{\textit{z}}}$，而场域中的磁场能量增量为

式中： ${L'}$表示主轨道自感梯度， ${M'}$表示主附轨道互感梯度， $I$为回路电流。

则电枢所受电磁推力可以表示为

又有

式中： $L_{\rm{b}}'$为四轨电磁发射器的系统电感梯度。

最终系统电感梯度可表示为

式中： $L$表示主轨道自感， $M$表示主附轨道互感，l表示轨道长度。

在实际发射过程中，背场增强下四轨电磁发射器的整体有效电感梯度由主轨道的自感梯度和主、附轨道间的互感梯度两部分构成^[16-17]。设主轨道的电流为 $i$，附轨道的电流为 $j$，主轨道的自感梯度为 $L_{ii}'(i = 1,2,3,4)$，主附轨道间互感梯度为 $M_{ij}'(i = 1,2,3,4;j = 5,6,7,8)$，电枢受到的电磁推力可表示为

式中： $\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^4 {L_{ii}'} $为主轨道的自感梯度之和； $\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^4 {\displaystyle\sum\limits_{j = i + 1}^4 {M_{ij}'} } $为主轨道间互感梯度之和， $\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^4 {\displaystyle\sum\limits_{j = 5}^8 {M_{ij}'} } $为主轨道和附轨道间互感梯度之和。

则系统电感梯度为

1.2 两种有限元仿真方法

有限元仿真在现阶段电磁发射器的设计、优化中得以广泛应用，其可以计算考虑趋肤效应情况下的电感梯度，适合计算较为复杂的四轨电磁发射器电感梯度^[18]。在此介绍两种计算方法：一是Maxwell阻抗矩阵法，二是COMSOL磁通法。

对于第一种仿真计算方法，求解系统电感梯度采用阻抗矩阵法。在ANSYS Electronics中求解得出阻抗矩阵，以三阶节点阻抗矩阵的表达式为例

式中： $\Delta {V_p}$为电压分量； ${I_q}$为电流分量； ${R_{kt}}$为电阻； ${L_{kt}}$为电感； $p,q,k,t = 1,2,3$。根据阻抗矩阵中的自感与互感，结合式（6）可以得出四轨电磁发射器的系统电感梯度。

对于第二种仿真计算方法，在COMSOL中将轨道等效为线圈，添加线圈电感。根据自感定义，自感等于线圈的线圈级通量除以流过线圈的电流值，即

式中： ${\psi _L}$为自感磁链， ${\Phi _c}$为磁通。自感仅与回路的几何形状、尺寸及媒质的分布有关，而与电流及磁链的大小无关。

同理，互感可表示为

式中： ${\psi _M}$为互感磁链。互感不仅与轨道的几何形状、尺寸及周围媒质和轨道材料的磁导率有关，还与两回路的相互位置有关。根据COMSOL计算的自感与互感，结合式（6）可以得出四轨电磁发射器的系统电感梯度。

对比Maxwell与COMSOL的计算原理，COMSOL运用磁通计算，只对一根轨道通入电流，其它轨道感生电流，且设置边界磁绝缘，计算结果比较精确；Maxwell虽然计算结果存在一定误差，但其在电流趋肤效应和邻近效应的体现上较为突出，能够比较好地反映发射中通流轨道电流密度分布变化引起的电感梯度变化，可以用于对电感梯度影响因素的对比研究。

1.3 背场仿真模型

建立背场下的四轨电磁发射器仿真模型，其四分之一截面视图及几何参数表示如图2所示。如图2所示，在该模型中，轨道材料为铜，相对电导率为 ${\rm{5}}{\rm{.8}} \times {\rm{1}}{{\rm{0}}^{\rm{7}}}\;{\rm{ S/m}}$。采用的激励正弦电流幅值为50 kA，时谐分析频率为2 kHz。主轨道厚度为10 mm，高度为20 mm，长度为1000 mm，口径 $s$为25 mm；附轨道长度与主轨道相同，两者的间距 $l$＝10 mm，附轨道厚度 $d$＝10 mm，附轨道高度 $h$＝20 mm。

图 2. 模型四分之一截面示意图

Fig. 2. Schematic diagram of model’s quarter section

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2 仿真结果对比分析

2.1 背场增强下电磁场分布对比

图3为原型四轨电磁发射器、背场增强下四轨电磁发射器的电流密度分布图。图3（a）中原型四轨电磁发射器的电流主要分布在轨道表面，最大电流密度出现在主轨道内侧的拐角处，数值为 $1.553\;2 \times {10^9}$${\rm{A}}/{{\rm{m}}^2}$，最小电流密度出现在轨道外侧中部位置，数值为 $8.847\;1 \times {10^5}$${\rm{A}}/{{\rm{m}}^2}$。图3（b）中背场增强下四轨电磁发射器的最大电流密度同样出现在主轨道内侧的拐角处，为 $2.028\;6 \times {10^9}$${\rm{A}}/{{\rm{m}}^2}$；因同侧主附轨道的电流互相排斥，主轨道上最小电流密度为 $4.908\;1 \times {10^5}$${\rm{A}}/{{\rm{m}}^2}$。可见，四轨电磁发射器的主轨道上始终存在电流邻近效应，限制发射性能。添加背场后，主轨道拐角处的电流密度进一步增大，电流邻近效应加剧。

图 3. 电流密度分布

Fig. 3. Current density distribution

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2.2 主轨道间距影响分析

背场增强的四轨电磁发射器主轨道在发射过程中起着承载电枢的重要作用，其通流能力和机械强度相对固定，但主轨道的间距（即发射器口径）对于整个系统的电感梯度，尤其是添加背场后的性能提升效率有着不可忽视的影响。

通过控制变量法，采用尺寸相同的主附轨道（尺寸与1.3节相同），改变主轨道间距 $s$，探究其对背场增强效率的影响。令主轨道间距 $s$分别为25，30，35，40，45 mm，可以得到添加背场前后不同主轨道间距下的系统电感梯度值如表1所示。可知，系统电感梯度随着主轨道间距的增大而增大，相比于原型四轨电磁发射器的系统电感梯度有着较大的提升。

图4为不同主轨道间距下，主轨道拐角处最大电流密度变化。可见，当主轨道间距大于等于30 mm（主轨道高度小于口径的65%）时，无背场时的主轨道拐角最大电流密度明显减小，电流邻近效应减弱，这与文献[19]指出的当主轨道高度达到口径的65%时邻近效应变得明显的现象相吻合。而有背场时的主轨道拐角最大电流密度在主轨道间距35 mm时，就已经出现了明显的邻近效应（主轨道高度等于口径的57%）。可见，背场增强下在主轨道高度达到口径的57%时，邻近效应已变得明显，比无背场时出现得更早。这也解释了当主轨道间距大于30～35 mm时，Maxwell解开始大于COMSOL解，因为Maxwell求解对邻近效应比较敏感。

图 4. 不同主轨道间距下最大电流密度

Fig. 4. Maximum current density at different main orbital spacing

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2.3 附轨道尺寸参数影响分析

在主附轨道同时通入高频电流的情况下，电流趋肤效应受到主附轨道间距的影响，是影响系统电感梯度的重要因素，因此在研究附轨道尺寸参数对电感梯度影响时，主附轨道的间距与附轨道的尺寸参数同样具备实际意义。

保持主轨道的尺寸固定不变，轨道厚度为10 mm，高度为20 mm，长度为1000 mm，口径为25 mm；附轨道长度与主轨道相同，两者的间距为 $l$，附轨道厚度为 $d$，附轨道高度为 $h$，通过控制变量法探究这三个参数对背场增强下四轨电磁发射器电感梯度的影响规律。计算得到的电感梯度值如表2、表3、表4所示。从表2可知，系统电感梯度随着主附轨道间距的减小而增大。这是因为主附轨道间距越小，磁链互相穿越越明显。从表3、表4可知，附轨道厚度和高度越小，系统电感梯度均越大。

为对比附轨道厚度和高度对系统电感梯度以及最大电流密度的影响，分别作出不同附轨道厚度和高度下对应的附轨道截面积对系统电感梯度以及最大电流密度的影响趋势图，如图5所示。由图5（a）可知，在附轨道截面积随着附轨道厚度和高度减小而减小时，系统电感梯度会随之增大。两种情况下，系统电感梯度随附轨道截面积的变化趋势是相同的，但减小附轨道厚度情况下系统电感梯度曲线的斜率明显较大，可见附轨道厚度对系统电感梯度的影响程度比附轨道高度更大。在相同截面积下，更小附轨道厚度的系统电感梯度更大。

图 5. 附轨道截面积对电感梯度和最大电流密度的影响

Fig. 5. Influence of the cross-sectional area of the additional rail on the inductance gradient and maximum current density

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同理，由图5（b）可得，附轨道厚度对最大电流密度的影响较小，而在相同截面积下，更小附轨道高度的拐角最大电流密度更小，邻近效应得以缓解。尤其是在大附轨道截面积的情况下，最大电流密度随附轨道高度的减小非常明显。

2.4 附轨道截面形状影响分析

根据上一节的分析可知，附轨道尺寸参数对系统电感梯度的影响较为明显，因此在研究附轨道截面形状对背场增强效果的影响时，保持不同截面形状的厚度和高度相同是有必要的。提出的三种不同的附轨道截面形状如图6所示，分别为矩形、凸形、凹形。

图 6. 三种不同的附轨道截面形状

Fig. 6. Three different additional rail section shapes

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通过仿真计算得到不同截面形状附轨道下的电感梯度和最大电流密度如表5所示。由表5可知，改变附轨道的截面形状后，四轨电磁发射器的系统电感梯度变化不大，略有增强，其主要是受到主附轨道平均间距的影响。但是，从最大电流密度来看，凹形截面附轨道对应的最大电流密度为1.8741×10⁹（A·m⁻²），明显小于另两种截面形状，从Maxwell解的自感梯度也可以看出，此时电流的邻近效应得到了明显改善。

2.5 附轨道分段方式影响分析

对于背场中附轨道的分段方式而言，有三种类型，分别是从附轨道长度方向、厚度方向、高度方向进行分段。文献[15]分析了长度分段的背场增强效果并无明显提升，因此本文主要对厚度分层方式和高度分段方式进行分析。

为讨论厚度分层对系统电感梯度的影响，可以在保持截面积不变的情况下，在厚度方向上将单层附轨道分为二层乃至多层，层与层之间保持2 mm的绝缘距离，图7（a）为二层式附轨道的四分之一截面示意图。同理，为讨论高度分段对系统电感梯度的影响，在高度方向上进行分段，图7（b）为二段式附轨道的四分之一截面示意图。

图 7. 不同分段方式下附轨道的四分之一截面示意图

Fig. 7. Schematic diagram of a quarter section of the additional rail under different segmental modes

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本小节采用的主轨道厚度为10 mm，主轨道高度为20 mm，主轨道长度为1000 mm，口径为25 mm；附轨道长度与主轨道相同，两者的间距为10 mm，附轨道厚度之和与高度之和的取值如图8所示，保持总电流不变，按上述方法对附轨道进行重新建模计算。图8（a）为不同高度下分段方式对电感梯度的影响，图8（b）为不同厚度下分段方式对电感梯度的影响。由图8可知，四轨电磁发射器的系统电感梯度随着附轨道层（段）数的增加而增加，不同附轨道高（厚）度下的变化趋势较为一致。同时，高度分段方式受附轨道厚度变化影响大，而厚度分层方式受附轨道高度变化影响大。层（段）数越多，高度分段方式相比于厚度分层方式的效果越好。

图 8. 分段方式对电感梯度的影响

Fig. 8. Effect of segmented mode on inductance gradient

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3 结　论

本文基于背场增强的四轨电磁发射器建立了计算电感梯度的有限元模型并对其影响因素进行对比分析。得到以下结论：（1）四轨电磁发射器在添加背场后，通过增大发射器口径、减小主附轨间距和附轨道截面积均可使电感梯度明显提升。对于本文的仿真模型来说，背场增强下在主轨道高度达到口径的57%时，邻近效应已变得明显，比无背场时（65%）出现得更早。说明背场增强更适合大口径的四轨电磁发射器；（2）相同附轨道截面积下，更小附轨道厚度的系统电感梯度更大，但其对电流邻近效应的影响很小；更小附轨道高度的拐角最大电流密度更小，邻近效应减弱。因此，在设计附轨道尺寸时，为增大系统电感梯度则优先减小附轨道厚度，为缓解邻近效应则优先减小附轨道高度；（3）保持截面积不变，改变附轨道的截面形状后，系统电感梯度变化不大，但凹形截面附轨道能够明显改善电流邻近效应。