1 引言

在现代天文探测中,基于多普勒频移的视向速度测量技术在系外行星搜索等研究领域发挥着极其重要的作用^[1]。对类地行星进行探索时要求视向速度的测量精度达到10 cm/s^[2],并且能够保持长期的稳定。虽然天文激光频率梳^[3-4]的应用使得视向速度理论定标精度可达到1 cm/s的量级,但是光谱仪照明不稳定等问题严重限制了视向速度探测精度的提高。望远镜与光谱仪之间一般使用多模光纤进行信号光传输,而由于光谱仪的点扩展函数对照明场稳定性非常敏感,要达到超高精度的视向速度测量,光纤的输出场需要保持长时间的稳定。受大气视宁度和望远镜跟踪误差等因素的影响,星光信号在光纤入射端面的耦合情况容易发生变化,而由于光纤的扰模性能不完美,其出射近场和远场随之发生变化。由于光纤输出近场和光谱仪焦平面存在物像关系,光纤输出近场质心的漂移会引起光谱谱线的漂移,进而对多普勒频移引起的谱线漂移的测量精度产生影响。光纤的输出远场是光线的角度分布,远场的变化会通过光学仪器产生不同的像差进而改变仪器的点扩展函数,最终带来的谱线漂移使得视向速度测量精度降低。提高扰模性能可减小入射时耦合变化对光纤输出场的影响,从而为光谱仪提供稳定的照明。

围绕提高光纤扰模性能的问题,国内外的研究者提出了一系列可行的方法,包括透镜法^[5-6]、机械振动法^[7]、积分球法^[8-9]等。这些方法虽然能够有效提高光纤传输系统的扰模性能,但还是不足以使得视向速度测量精度达到10 cm/s,并且存在能量损失大、结构不稳定等缺点。近年来新出现的多边形光纤由于其优秀的扰模特性已经成为研究提高光纤传输系统扰模性能的主要方向^[10-12]。多边形光纤是指光纤截面为多边形的光纤,例如八边形截面光纤。多边形光纤相较于圆形光纤有更稳定的输出场,这种改变光纤截面形状的扰模方式具有能量损失小,结构稳定等优点^[13-15]。为了进一步提高光纤传输系统的扰模性能,将多边形光纤与透镜、圆形光纤结合的扰模手段也被陆续提出^[2,16-17]。研究者进行了大量的实验测试,着重于通过出射场质心偏移来分析不同扰模器的扰模性能^[10-14]。通过一些理论研究和仿真模拟的手段对光纤输出场分布变化的分析是更加深入、透彻地研究光纤扰模特性的重要途经,有利于揭示光纤及光纤扰模器工作的本质,对光纤、光纤扰模器的设计、加工、测试及工程应用都具有重要的指导意义。Heacox^[18]利用光线追迹的原理对圆形截面的阶跃多模光纤的图像传输特性做了理论分析,提出光纤具有扰模作用,将其用于天文光谱仪可以提高光谱测量精度。Allington-Smith等^[19-20]基于光学追迹的模拟方法研究了光纤中焦比退化等复杂现象。叶慧琪等^[21]基于光线理论进行了分析,揭示了圆形光纤信号光耦合位置中心偏移带来的输出近场环形分布现象。然而,多边形光纤及更复杂的扰模器还需要更加系统的模拟研究来分析其输出远、近场在各种情况下的变化。

本文基于光线追迹的方法对圆形、八边形截面的两种光纤以及两种双光纤扰模器的光场传输情况进行了模拟,分别分析了这些扰模方案在远场和近场的扰模效果。

2 光纤中光线追迹模型

阶跃多模光纤中的模式数M可表示为

M≈2π2R2λ2(n12-n22),(1)

式中:R为纤芯半径;λ为波长;n₁为纤芯折射率;n₂为包层折射率。位于我国兴隆观测站的2.16 m望远镜高分辨率光谱仪中使用的光纤纤芯直径为100 μm,数值孔径NA为0.22,工作波长范围为360~1000 nm,若按λ=500 nm计算,共存在约9544个模式。模式数量如此巨大的情况下,难以通过模式分析的方法来对多模光纤中的光场传输情况进行模拟分析。由于天文常用多模光纤的纤芯直径远大于波长,基于光线追迹的方法则是一种行之有效的仿真途径。

利用光线追迹的方法对光纤中光束传输情况进行模拟本质上是将传输的光束视为光纤中大量独立传输的光线。如图1所示,在圆形截面光纤中传输的光线可以分为两类:在经过光纤中轴线的子午面上传播的光线称为子午光线;其余总是不与光纤中轴线相交的光线称为偏斜光线。子午光线和偏斜光线在光纤中不停地进行着全反射,进而保持在纤芯中的持续传输。

图 1. 圆形光纤中的光线追迹

Fig. 1. Ray tracing in circular fiber

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基于Matlab 2016b编写程序,通过对光纤和光线轨迹进行数学建模实现对光纤中光束传输的光线追迹模拟。在程序中使用不同的光纤边界数学模型模拟不同截面的光纤。对于每一条进行追迹的光线,分别用一组初始的位置向量和方向向量来表征入射位置和入射方向。光线的入射位置需要在光纤入射端面范围内,而入射方向需要满足模拟光纤给定的NA。计算得到当前光线与光纤边界的交点,根据公式:

R=I-2INN,(2)

由反射前光线的方向向量R和交点处的法线方向向量N可以得到反射之后光线的方向向量I,完成一次全反射。全反射之后的光线方向可以通过加入一个大小服从高斯分布的随机波动模拟实际光纤不理想或是外界应力带来的微扰以及光纤弯曲带来的影响。在模拟程序中给定光纤的长度L,光纤中多次反射后的光线最终在光纤末端端面出射,计算得到光纤出射时的位置和方向即完成单条光线在光纤中的追迹。单条光线在光纤中的追迹流程如图2所示。

模拟程序中设置光纤长度L=1000R(R=50 μm,为纤芯的半径,对于八边形光纤,半径指其内切圆的半径),光纤NA取0.22。为了呈现输出光场分布情况,一次模拟需要计算数千条光线,追迹光线数目为6000。

要真实模拟星光入射情况太过复杂,不在研究范围。为了反映入射条件,通过不同的光瞳(孔径)和入射位置偏移d来模拟望远镜孔径遮挡和星光抖动带来的影响,如图3所示。出射光线位置向量分布表示出射近场分布,方向向量分布表示出射远场分布。

通过对比不同入射光瞳和位置的出射光场变化,即可简单有效地分析光纤的扰模特性。如果光纤的近场扰模性能非常好,出射近场分布将抹除入射光的位置信息,不随入射偏移发生改变;远场扰模性能好,出射远场分布将抹除光瞳信息,不随孔径分布发生改变。

图 2. 光纤中的单条光线追迹流程

Fig. 2. Flow chart of single ray tracing in fiber

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图 3. 模拟的几何结构

Fig. 3. Geometry of simulation

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3 模拟分析

3.1 近场

在视向速度测量系统中,光纤输出近场与光谱谱线为物像关系,近场质心移动会引起谱线的漂移。近场扰模的本质是要获得不随入射耦合情况变化的稳定输出场。通过分析圆形和八边形这两种截面的光纤在不同的入射耦合偏移下的近场分布图样可以了解它们的近场扰模特性。

入射耦合偏移d/R分别设为0, 0.4, 0.8时,圆形光纤和八边形光纤的输出近场如图4所示。可以看出,圆形光纤和八边形光纤的输出近场在角向始终是均匀的,这说明两种光纤的近场有着较为完美的角向扰模。但是圆形光纤的近场径向分布并不均匀,而且会随着入射偏移的改变而发生明显改变:当入射无偏移时,中心光场能量较强,呈现高斯分布;当入射位置开始偏移光纤中心时,输出光场开始变为环形分布,并逐渐接近光纤端面的边缘,这与文献[ 19]结果一致。而八边形光纤的输出近场径向分布始终保持十分均匀和稳定的状态。上述模拟结果表明,八边形光纤的近场扰模在径向上远远优于普通的圆形光纤。

图 4. 不同入射偏移d/R下的输出近场。(a)圆形光纤,d/R=0;(b)圆形光纤,d/R=0.4;(c)圆形光纤,d/R=0.8;(d)八边形光纤,d/R=0;(e)八边形光纤,d/R=0.4;(f)八边形光纤,d/R=0.8

Fig. 4. Near filed outputs under different input deviations d/R. (a) Circular fiber, d/R=0; (b) circular fiber, d/R=0.4; (c) circular fiber, d/R=0.8; (d) octagonal fiber, d/R=0; (e) octagonal fiber, d/R=0.4; (f) octagonal fiber, d/R=0.8

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图5展示了一条入射位置偏移中心的光线在两种光纤中的传输轨迹在入射端面的投影。由于圆形截面光纤的中心对称性,一条偏移中心入射的光线总是会以相同的角度入射到全反射面。这种传输方式使得这条光线始终在一个环形区域传输,如图5(a)所示。光线入射位置偏移中心的距离为d,入射方向与入射位置和中心的连线成θ角,则光线传输的环形区域内径D应满足

D=2dcosθ。(3)

入射耦合偏移中心越大,圆形光纤的输出近场能量就越向边缘集中。

在八边形截面的光纤中传输的光线传播轨迹在光纤入射端面的投影如图5(b)所示。不同于圆形光纤,八边形光纤中传输的偏斜光线的传输模式不停地变化,可以传输到光纤截面任意的区域。这种传输特性使得八边形光纤的输出近场十分均匀和稳定。

图 5. 单条偏斜光线传播轨迹在端面的投影。(a)圆形光纤;(b)八边形光纤

Fig. 5. Projection of single skew ray propagation trajectory at end face. (a) Circular fiber; (b) octagonal fiber

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3.2 远场

在视向速度测量系统中,由于光谱仪光学元件像差的存在,光纤输出远场变化也会造成谱线的漂移。反射式系统已普遍应用于天文望远镜中,大口径望远镜都采用反射式。反射式望远镜中次镜造成的入射光瞳遮挡对高精度视向速度测量的影响不容忽视。

在分析圆形光纤和八边形光纤远场扰模特性的模拟中,通过限定追迹光线初始方向可以模拟出不同入射光瞳下的耦合情况。

图6展示了在不同的远场耦合情况下,八边形光纤和圆形光纤的输出远场图样。可以看出,即便入射光瞳是一个半环形,两种光纤的输出远场在角向上也始终是均匀分布的,这表明八边形光纤和圆形光纤都有良好的角向扰模。而在径向分布上,两种光纤的输出远场都与输入的情况明显相关,这表明光纤径向的远场扰模性能不佳。针对上述模拟结果,八边形光纤与圆形光纤并无明显的远场扰模差异。

图 6. 远场图样。(a)(d)(g)输入;(b)(e)(h) 八边形光纤输出;(c)(f)(i)圆形光纤输出

Fig. 6. Far field patterns. (a)(d)(g) Input; (b)(e)(h) output of octagonal fiber; (c)(f)(i) output of circular fiber

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3.3 双光纤扰模器

双光纤扰模器通过光学系统在两段光纤之间交换远/近光场,可以提升扰模性能^[6]。高折射率球透镜是一种紧凑、高效的双光纤扰模器结构^[2],如图7所示。

图 7. 基于球透镜的双光纤扰模器。(a)双光纤扰模器结构;(b)用于交换远/近场的球透镜

Fig. 7. Double-fiber scrambler based on ball lens. (a) Structure of double-fiber scrambler; (b) ball lens used for exchanging far and near fields

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模拟研究的双光纤扰模器结构选择高折射率球透镜。在双光纤扰模器的模拟中,第一段光纤的出射端面和第二段光纤的入射端面分别在球透镜的前后焦点处,光纤与球透镜共轴。当光线从第一段光纤出射后,通过几何交点的求解找出光线在透镜入射面上的入射点。随后,依据折射定律可以计算出光线通过球透镜的轨迹。除去极少数由于透镜像差等原因不能进入第二段光纤的光线,大部分从透镜出射的光线将继续入射进第二段光纤,通过再一次地在光纤中光线追迹即可完成双光纤扰模器的光线追迹过程。

为使光场耦合效率最高,D与R需满足

D=2R(n-1)n1(NA)2-1≈2R(n-1)n×NA,(4)

式中:R=50 μm;n为球透镜材料折射率,取n=2;入射光的NA由入射焦比决定,取入射焦比为f/4。由(4)式可得,理想的球透镜直径D≈0.8 mm。

在双光纤扰模器中分别使用圆形光纤和八边形光纤,在不同入射光瞳和入射耦合偏移情况下,输出近场图样如图8所示。由圆形光纤与球透镜组成的双光纤扰模器的输出近场同时受到入射耦合偏移和入射光瞳的影响,在径向分布上有明显变化。由八边形光纤与球透镜组成的双光纤扰模器则表现出始终均匀的近场分布。上述结果表明,在双光纤扰模器中使用八边形光纤代替圆形光纤可以获得更好的近场扰模效果。

图 8. 双光纤扰模器输出的近场图样。(a)圆形光纤,圆形入射光瞳,d/R=0.4;(b)圆形光纤,圆形入射光瞳,d/R=0.8;(c)圆形光纤,环形入射光瞳,d/R=0.4;(d)圆形光纤,环形入射光瞳,d/R=0.8;(e)八边形光纤,圆形入射光瞳,d/R=0.4;(f)八边形光纤,圆形入射光瞳,d/R=0.8;(g)八边形光纤,环形入射光瞳,d/R=0.4;(h)八边形光纤,环形入射光瞳,d/R=0.8

Fig. 8. Near field patterns outputted by double-fiber scrambler. (a) Circular fiber, circular input pupil, d/R=0.4; (b) circular fiber, circular input pupil, d/R=0.8; (c) circular fiber, ring input pupil, d/R=0.4; (d) circular fiber, ring input pupil, d/R=0.8; (e) octagonal fiber, circular input pupil, d/R=0.4; (f) octagonal fiber, circular input pupil, d/R=0.8; (g) octagonal fiber, ring input pupil, d/R=0.4; (h) octagonal fiber, ring input pupil, d/R=0.8

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在双光纤扰模器中分别使用圆形光纤和八边形光纤,在不同入射光瞳和入射耦合偏移情况下,输出远场图样如图9所示。由圆形光纤与球透镜组成的双光纤扰模器的输出远场受入射耦合偏移的影响较明显,在径向分布上有明显变化。由八边形光纤与球透镜组成的双光纤扰模器则表现出始终均匀的远场分布。上述结果表明,双光纤扰模器的远场扰模性能远优于单根光纤,在双光纤扰模器中使用八边形光纤代替圆形光纤可以获得更好的远场扰模效果。

图 9. 双光纤扰模器输出的远场图样。(a)圆形光纤,圆形入射光瞳,d/R=0.4;(b)圆形光纤,圆形入射光瞳,d/R=0.8;(c)圆形光纤,环形入射光瞳,d/R=0.4;(d)圆形光纤,环形入射光瞳,d/R=0.8;(e)八边形光纤,圆形入射光瞳,d/R=0.4;(f)八边形光纤,圆形入射光瞳,d/R=0.8;(g)八边形光纤,环形入射光瞳,d/R=0.4;(h)八边形光纤,环形入射光瞳,d/R=0.8

Fig. 9. Far field patterns outputted by double-fiber scrambler. (a) Circular fiber, circular input pupil, d/R=0.4; (b) circular fiber, circular input pupil, d/R=0.8; (c) circular fiber, ring input pupil, d/R=0.4; (d) circular fiber, ring input pupil, d/R=0.8; (e) octagonal fiber, circular input pupil, d/R=0.4; (f) octagonal fiber, circular input pupil, d/R=0.8; (g) octagonal fiber, ring input pupil, d/R=0.4; (h) octagonal fiber, ring input pupil, d/R=0.8

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4 结论

通过光线追迹的方法对圆形、八边形截面的两种光纤以及基于这两种光纤的双光纤扰模器的光场传输情况进行了模拟,分析了其输出近场、远场的扰模性能。圆形光纤的近场有着较为完美的角向扰模,但是径向扰模较差,随着输入光入射位置向边缘偏移,其能量分布逐渐由中心强的高斯型分布变为环形分布。八边形光纤由于打破了光线在传输过程中的旋转对称性,其输出近场在径向和角向上的分布都十分均匀和稳定。然而, 圆形光纤和八边形光纤的远场扰模均不佳。在两段光纤中使用球透镜中继的双光纤扰模器相较单根光纤进一步提高了扰模性能。双光纤扰模器使用八边形截面光纤代替普通的圆形光纤,可以获得更好的扰模效果。揭示了光纤及双光纤扰模器的基本工作原理,这对后续的实验测试及其在视向速度测量中的应用具有重要的理论指导作用。然而,模拟的条件相对理想,实际光纤相对复杂,其扰模特性还受到诸如光纤制作工艺、光纤长度、光纤弯曲、焦比退化机制、光纤端面和接口制作工艺等因素的影响。因此实际使用光纤的扰模性能,必须经过大量实验测试验证。