接收端基矢旋转对星舰量子密钥分发的影响

在星舰量子密钥分发系统中，发送量子密钥的量子卫星是低轨道卫星，追踪量子卫星的接收设备安装在船舰上。接收设备需要追踪卫星的运动，接收端基矢不可避免地会发生旋转。分析了导致基矢旋转的原因，针对BB84协议，建立了基矢旋转角与量子误码率、获取信息量的定量关系。结果表明，当传输距离为200 km，基矢旋转角分别为2°和10°时，量子误码率和获取的信息量分别为8.255×10-5和0.99、2.044×10-3和0.91。基矢旋转角大于2°时，星舰量子密钥分发系统的性能有明显下降，这表明进行星舰量子密钥分发时，需根据基矢旋转角的大小提前进行自适应校正。

Abstract

In the satellite-to-ship quantum key distribution system， the quantum satellite that sends the quantum key is a low-orbiting satellite. The receiver equipment that tracks the quantum satellite is installed on the ship. Because the receiver equipment needs to track the movement of the satellite， the basis vectors of receiver equipment are inevitably rotated. In this work， the reason for the rotation of the basis vector is analyzed， and the quantitative relationship between the rotation angle of the basis vector， the quantum error rate， and the amount of information obtained， is established for the BB84 protocol. The results show that when the transmission distance is 200 km and the rotation angle of the basis vector is 2° and 10°， respectively， the quantum error rate and the amount of information acquired are 8.255×10-5 and 0.99， 2.044×10-3 and 0.91， respectively. When the rotation angle of the basis vector is greater than 2°， the performance of the satellite-to-ship quantum key distribution system is significantly reduced. This indicates that when the satellite-to-ship quantum key is distributed， it is necessary to perform an adaptive correction in advance according to the rotation angle of the basis vector.

1　引　　言

量子密钥分发（QKD）以其严格的安全性和实用性，成为量子信息领域的研究热点^［1-5］。人们在量子信息领域展开了深入研究，为QKD系统的民用化奠定了基础^［5-8］。Huang等^［9］提出了一种基于单个粒子和集体窃听检测策略的多用户QKD协议，可在服务中心的帮助下实现任意两个用户的QKD。Yin等^［10］实现了与测量设备无关的404 km光纤QKD，大大提升了QKD能达到的最远距离，为量子保密通信走向大规模应用奠定了坚实的基础。中国科学家自主研制的“墨子号”科学实验卫星在中国酒泉卫星发射中心成功发射，为未来覆盖全球的天地一体化量子通信网络建立了基础，量子通信网络的研究也得到了不断的完善。杨璐等^［11］研究了基于量子隐形传态的量子保密通信方案，Zhao等^［12］提出了一种基于相位编码和QKD的量子安全成像方案。

量子信号进入测量系统之前，会受到多种因素影响。焦海松等^［13］研究了相位编码QKD系统中存在的相位漂移和截获-重发攻击问题。张志永等^［14］分析了有偏振漂移量子保密系统中的截听-重发攻击问题。Liu等^［15］研究了基于连续随机选择的连续变量QKD。Ma等^［16］提出了一种具有离散调制的长距离连续变量测量且与设备无关的QKD协议。聂敏等^［17］分析了非均匀水流中涌浪运动对水下量子通信性能的影响。聂敏等^［18］提出了一种基于袋鼠纠缠跳跃模型的量子状态自适应跳变通信策略，可以有效提升自由空间量子通信在自然环境背景下的抗干扰能力。

在QKD系统的研究中，接收端主要集中在陆地上，而星舰QKD系统也是QKD的一个重要应用场合。因此，本文主要研究了基矢旋转下的星舰QKD性能。针对BB84协议，考虑接收望远镜方位轴和俯仰轴转动的问题，得到基矢旋转角与QKD系统相关参数的关系。仿真结果表明，系统的性能与光量子信号基矢旋转角密切相关，可为星舰QKD的实际应用提供一定的参考。

2　基矢旋转对接收端信号测量的影响

图1为基矢旋转下的星舰QKD模型，其中， $A$ 为量子卫星（密钥发送卫星）， $B$ 为船舰， $C D$ 为海平面，接收端是位于 $B$ 上的望远镜。设光量子信号发送时的基矢为 $x_{1} o_{1} y_{1}$ ，船舰上接收望远镜成功捕获光量子信号且不发生转动时的基矢为 $x_{2} o_{2} y_{2}$ 。由于量子卫星是低轨道运动的卫星，轨道高度约为500 $k m$ ，量子卫星的位置相对于船舰是不断变化的，因此船舰上的接收望远镜会继续跟踪量子卫星信号。望远镜在跟踪过程中，接收量子信号的基矢会随望远镜方位轴和俯仰轴的转动而旋转，在接收端基矢相对于发送端基矢发生了转动，旋转角度为 $α$ ，即由 $x_{2} o_{2} y_{2}$ 旋转为 $x_{2}^{'} o_{2} y_{2}^{'}$ 。

图 1. 基矢旋转下的星舰QKD模型

Fig. 1. QKD model of the satellite-to-ship under the rotation of the basis vector

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光子进入接收机后的测量过程可由半正定算子值测量（POVM）描述，设进入望远镜的光子偏振角为零，则此时光量子的状态为

|ϕ〉 = |0〉

，（1）

式中， $|ϕ〉$ 为量子态初态。接收端望远镜方位轴和俯仰轴的转动，导致基矢角旋转了 $α$ ，即偏振角的变化量为 $α$ ，进入测量子系统的状态为

|ϕ^{'}〉 = c o s α |0〉 + s i n α |1〉

。（2）

用水平、垂直基测得原量子比特为 $|0〉$ 的概率为

p (0) = 〈ϕ^{'}| E |ϕ^{'}〉 = c o s^{2} α

，（3）

式中， $E = |0〉〈0|$ 为半正定算子，满足完备性关系。同理，测得原量子比特为 $|1〉$ 的概率，即基矢旋转引起的误判概率为

p (1) = s i n^{2} α

。（4）

假设时间窗口为 $τ$ ，则接收端探测器每个时间窗口出现误码的概率为

P_{b} = τ s i n^{2} α

。（5）

3　基矢旋转对量子误码率的影响

针对BB84协议，海洋上方星舰QKD的量子误码率可表示为^［19］

Q_{e} = R_{b a s} / R_{s i f t}

，（6）

表 1. 参量的取值

Table 1. Values of parameters

Parameter
Value		0.5	1	0.65	1

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式中， $Q_{e}$ 为海洋上方星舰QKD误码率， $R_{b a s}$ 为基矢旋转引起误码的量子比特率， $R_{s i f t}$ 为经过数据筛选的量子比特率，可表示为

R_{s i f t} = F_{s} R_{r} [1 - e x p (- μ T_{0} P_{a} T_{a} η_{d} F_{m})]

，（7）

式中， $F_{s}$ 为筛选因子， $R_{r}$ 为发射机的脉冲重复率， $μ$ 为每脉冲平均光子数， $T_{0}$ 为海洋大气信道的传输率， $P_{a}$ 为单光子的捕获概率， $T_{a}$ 为系统装置的传输率， $η_{d}$ 为单光子探测器的量子效率， $F_{m}$ 为测量因子。

T_{0} = e x p (- a_{e} \cdot L)

，（8）

式中， $a_{e}$ 为海洋大气的消光系数， $L$ 为传输距离。根据Mie散射理论，海洋大气消光系数 $a_{e}$ 与消光效率因子、气溶胶粒子谱分布之间的关系可表示为^［20］

a_{e} = π \int r^{2} Q_{e x t} (r, λ, m) n (r) d r

，（9）

式中， $r$ 为气溶胶粒子的半径， $λ$ 为入射光波长， $m$ 为折射率， $n (r)$ 为气溶胶的粒子谱分布， $Q_{e x t}$ 为气溶胶粒子消光效率因子，可表示为

Q_{e x t} (r, λ, m) = \frac{2}{x^{2}} \sum_{n = 1}^{\infty} (2 n + 1) R e (a_{n} + b_{n})

，（10）

式中， $a_{n}$ 、 $b_{n}$ 为Mie系数， $x$ 为尺度参数，可表示为

x = 2 π r / λ

。（11）

海洋大气气溶胶粒子谱分布可看成粒子半径小于0.8 $μ m$ 的细粒模和粒子半径为1 $μ m$ 左右中间膜的叠加^［21］。细粒模和中间膜均可用对数正态分布拟合，细粒模态的几何平均半径、几何标准偏差分别为0.2 $μ m$ 、0.38；中间膜态的几何平均半径、几何标准偏差分别为1 $μ m$ 、0.45，其余各参量的取值如表1所示。

结合（5）式，得到 $R_{b a s}$ 为

R_{b a s} = F_{s} R_{r} τ s i n^{2} α

。（12）

海洋上方星舰QKD的量子误码率可表示为

Q_{e} = \frac{τ s i n^{2} α}{1 - e x p (- μ T_{0} P_{a} T_{a} η_{d} F_{m})}

。（13）

量子误码率与传输距离、基矢旋转角之间的关系如图2所示，其中， $x$ 轴为基矢旋转角， $y$ 轴为传输距离， $z$ 轴为量子误码率。可以发现，当基矢旋转角增大，传输距离增加时，量子误码率呈上升趋势；当传输距离不变时，量子误码率随基矢旋转角的增加而增加。传输距离为200 $k m$ ，基矢旋转角为10°时，量子误码率为2.044×10^-3；传输距离为200 $k m$ ，基矢旋转角由0°增加到2°时，量子误码率由0增加为8.255×10^-5。这表明当基矢旋转角小于2°时，基矢旋转对QKD误码率的影响较小。

图 2. 量子误码率与基矢旋转角、传输距离的关系

Fig. 2. Relationship between quantum error rate and rotation angle of basis vector and transmission distance

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4　基矢旋转对信息量的影响

以一组正交偏振态为例，量子卫星上以等概率制备量子态 $|0〉 = {[\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]}^{T}$ 和 $|1〉 = {[\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}]}^{T}$ ，记发送端序列集合为 $X$ ，在船舰上对 $X$ 进行测量，测量结果为 $Y$ 。正确测量基获取的最大信息量 $I (X; Y)$ 满足^［22］

I (X; Y) \leq S (ρ) - \sum_{i} p_{i} S (ρ_{i})

，（14）

式中， $ρ$ 为密度矩阵， $S (ρ)$ 为冯·诺依曼熵，可表示为

S (ρ) = - T r (ρ l o g ρ)

。（15）

假设进入测量子系统的两个量子态都发生了基矢旋转，角度为 $α$ ，则基矢旋转后的两个量子态可表示为

|0^{'}〉 = {[\begin{matrix} c o s α & s i n α \end{matrix}]}^{T}

，（16）

|1^{'}〉 = {[\begin{matrix} s i n α & c o s α \end{matrix}]}^{T}

。（17）

两个量子态的密度矩阵可表示为

ρ^{'} = \frac{1}{2} |0^{'}〉 〈0^{'}| + \frac{1}{2} |1^{'}〉 〈1^{'}| = \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 & 2 c o s α s i n α \\ 2 c o s α s i n α & 1 \end{matrix}]

。（18）

（18）式的本征值可表示为

λ_{1} = \frac{1 + \sqrt[]{s i n^{2} (2 α)}}{2}

，（19）

λ_{2} = \frac{1 - \sqrt[]{s i n^{2} (2 α)}}{2}

。（20）

冯·诺依曼熵为

S (ρ^{'}) = - \frac{1 + \sqrt[]{s i n^{2} (2 α)}}{2} l o g_{2} \frac{1 + \sqrt[]{s i n^{2} (2 α)}}{2} - \frac{1 - \sqrt[]{s i n^{2} (2 α)}}{2} l o g_{2} \frac{1 - \sqrt[]{s i n^{2} (2 α)}}{2}

。（21）

由于

S (|0^{'}〉 〈0^{'}|) = S (|1^{'}〉 〈1^{'}|) = 0

，（22）

则测量端可获取的最大信息量为

I (X; Y) = - \frac{1 + \sqrt[]{s i n^{2} (2 α)}}{2} l o g_{2} \frac{1 + \sqrt[]{s i n^{2} (2 α)}}{2} - \frac{1 - \sqrt[]{s i n^{2} (2 α)}}{2} l o g_{2} \frac{1 - \sqrt[]{s i n^{2} (2 α)}}{2}

。（23）

信息量与基矢旋转角之间的关系如图3所示，其中， $x$ 轴为基矢旋转角， $y$ 轴为接收端可获取的信息量。可以发现，接收端可获取的信息量随基矢旋转角的增加呈先上升后下降趋势。基矢旋转角由0°增加到45°时，信息量由1 bit减少为0 bit，这表明基矢旋转会干扰接收端获取信息。

图 3. 信息量与基矢旋转角的关系

Fig. 3. Relationship between the amount of information and the rotation angle of the basis vector

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5　结　　论

为了探讨接收端基矢旋转对星舰QKD的影响，针对BB84协议，分析了基矢旋转的原因，研究了基矢旋转角与量子误码率、信息量的定量关系。仿真结果表明，量子误码率随舰载望远镜基矢旋转角的增大而增大。接收端获取的信息会受到基矢旋转角的干扰，QKD的性能也会受到基矢旋转的影响。因此，可根据舰载望远镜基矢旋转角的大小，提前进行补偿，以保证QKD系统的性能。

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