结合非局部信息截集核可能性聚类的图像分割算法

范九伦; 闫阳; 于海燕; 梁丹; 高梦飞

doi:doi:10.3788/LOP57.181010

激光与光电子学进展, 2020, 57 (18): 181010, 网络出版: 2020-09-02

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Image Segmentation Algorithm Combining Non-Local Information Interception Kernel Possibilistic Clustering

论文大纲

范九伦 ^*闫阳 ^**于海燕 ^***梁丹高梦飞

作者单位

西安邮电大学通信与信息工程学院, 陕西西安 710121

核可能性C-均值聚类算法截集门限核空间非局部均值滤波 kernel possibilistic C-means clustering algorithm cut-set threshold kernel function non-local spatial information

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摘要

核可能性C-均值(KPCM)聚类算法将核方法引入可能性聚类中,使其对超球体、含噪声和奇异点的数据能进行有效聚类,但存在可能性聚类的中心重合问题。因此,将β-截集引入KPCM聚类算法中,通过产生聚类核修改部分样本数据的典型值,以改善类间关系。同时,提出了一种基于截集门限的核可能性C-均值(C-KPCM)聚类算法,克服了KPCM聚类算法一致性聚类的缺陷。结合图像的非局部空间信息,利用自适应中值滤波算法可自适应调节滤波半径的特性,产生新的模糊因子,并将其加入C-KPCM聚类算法的目标函数中,提出了基于非局部空间信息的核可能性C-均值聚类算法,增加了强噪声干扰下聚类算法的鲁棒性,仿真结果验证了本算法有效性。

Abstract

Kernel possibilistic C-means (KPCM) clustering algorithm introduces kernel method into possibilistic clustering, which can effectively cluster hypersphere, noisy, and singular point data, but it has the center coincidence problem of possibilistic clustering. Therefore, the β cut-set is introduced into the KPCM clustering algorithm, and the typical values of some sample data are modified by generating clustering kernel to improve the relationship between classes. At the same time, a Kernel possibilistic C-means clustering algorithm based on cut-set threshold (C-KPCM) is proposed to overcome the defect of consistency clustering of KPCM clustering algorithm. Combined with the non-local spatial information of the image, the adaptive median filtering algorithm is used to adaptively adjust the filtering radius to generate new fuzzy factors, which are added to the objective function of C-KPCM clustering algorithm. The kernel possibilistic C-means clustering algorithm based on non-local spatial information enhances the robustness of the clustering algorithm under strong noise interference. Simulation results verify the effectiveness of the proposed algorithm.

1 引言

图像分割技术是数字图像处理领域中一个重要的研究方向。目前,聚类算法在图像分割^[1-4]中的应用最为广泛,常用的聚类算法有硬聚类、模糊聚类和可能性聚类算法。模糊聚类算法引入模糊数学理论,使样本点对每个聚类中心的隶属度在[0,1]之间,约束条件为每个样本点到所有聚类中心的隶属度和为1,即每个样本点对聚类的影响是相同的,其中模糊C-均值(FCM)聚类算法^[5]是典型的模糊聚类算法。但FCM聚类算法要求每个样本对各个类的隶属度和为1,导致样本中的噪声点或奇异值点会被赋予较大的隶属度,从而造成错误划分。为了解决该问题,Krishnapuram等^[6]提出可能性C-均值(PCM)聚类算法,放弃了对隶属度归一化的限制,从而赋予噪声数据较小的隶属度,进而提高了算法的鲁棒性。

传统的模糊聚类算法很难对线性不可分的数据进行划分,因此将核方法引入聚类算法中,主要思想是利用特征映射将低维空间中的线性不可分数据映射到高维空间中。吕佳等^[7]提出了核可能性C-均值(KPCM)聚类算法,样本特征通过分辨、提取、放大处理后,可以得到更精确的聚类结果。但该算法会削弱类间关系,进而导致中心重合问题。因此,人们提出了多种改进的PCM聚类算法^[8-14]。Zhang等^[15]提出了改进的PCM聚类算法,将样本到类中心的隶属度和典型性相乘的方式结合在一起。Xenaki等^[16-18]对每一类隶属度添加了稀疏性约束,提出了一种基于稀疏理论的PCM聚类算法,通过判断优化方程是否有解确定噪声数据,从而排除噪声数据对结果的影响,但该算法对于远距离噪声没有效果。于海燕等^[19-20]提出了截集式可能性C-均值(C-PCM)聚类算法,将β-截集的概念引入PCM聚类算法中,为每一类产生聚类核,然后修改聚类核中样本的隶属度,将各类之间的关系引入可能性聚类中,改善了PCM聚类算法一致性聚类的缺点,同时克服了PCM聚类算法对初始化和参数设置的敏感性。

传统的聚类算法对无噪声图像的分割效果较好,但忽略了图像的空间位置信息,受噪声、异常值和其他人为因素的影响较大。考虑到同一邻域内的像素彼此间存在一定的相关性,Ahmed等^[21]将空间邻域项引入初始FCM目标函数中,提出结合邻域空间信息的模糊C-均值(FCM_S)聚类算法,使算法的抗噪声能力有了一定提升。Chen等^[22]引入邻域均值和邻域中值空间信息,降低了FCM_S聚类算法的复杂度,提出了FCM_S1和FCM_S2两种改进的聚类算法,不仅加强了抗噪声能力,且计算复杂度低,但不能很好地保留图像细节,对微小区域的分割效果不理想。Krinidis等^[23]提出了一种基于局部信息的模糊C-均值(FLICM)聚类算法,该算法考虑了图像的空间信息和灰度信息,引入了一种包含图像局部信息的模糊因子,提高了算法的鲁棒性,能有效保持图像细节。传统的均值滤波算法也被称为局部滤波算法,原因是只考虑了图像的邻域信息,而非局部均值滤波算法在利用局部信息的同时也充分利用了图像中的冗余信息,但两种算法都要对滤波窗口中的所有像素取平均值。Buades等^[24]对像素的局部相关性进行了扩充,提出了一种新的非局部均值(NL-means)滤波算法,相比均值滤波算法,能最大程度地保持图像细节特征,像素的真实值由与其具有相似性的像素值来估计。在此基础上,何晶等^[25]讨论了核空间上结合非局部均值滤波信息的图像分割。

本文将截集思想引入KPCM聚类算法中,提出了基于截集门限的核可能性C-均值(C-KPCM)聚类算法,针对特定数据点的典型性值引入类间关系,改善了KPCM聚类算法的中心重合问题。将C-KPCM聚类算法应用于噪声图像分割,利用图像的非局部均值滤波信息,产生了新的模糊因子,更好地利用了图像的空间信息,进一步提出了一种核空间与非局部均值滤波相结合的KPCM(C-KPCM-NLS)聚类算法,改善了噪声图像的分割效果。

2 基本原理

2.1 可能性C-均值聚类

PCM聚类算法^[6]为FCM聚类算法的一种改进算法,不再对隶属度进行归一化,使隶属度表示数据点到聚类中心的典型值,即数据点到相应聚类中心的绝对距离。从而放松了类间关系,使数据集中的噪声点远离数据集中心,得到较低的隶属度,减弱了其对计算准确性的影响,增强了算法的鲁棒性。设数据集X由n个p维数据组成,可表示为X={x₁,x₂,…,x_n}∈Rⁿ^×^p,采用迭代方法求取目标函数J_PCM的最小值,对样本数据集进行聚类,可表示为

\begin{array}{l} J_{PCM} (T, V) = \overset{n}{\sum_{i = 1}} \overset{c}{\sum_{k = 1}} t_{ki}^{m} ‖ x_{i} - v_{k} ‖^{2} + \\ \overset{c}{\sum_{k = 1}} η_{k} \overset{n}{\sum_{i = 1}} (1 - t_{ki})^{m}, (1) \\ \overset{n}{\sum_{i = 1}} t_{ki} > 0, k = 1,2, \dots, c, 0 \leq t_{ki} \leq 1, (2) \end{array}

式中,x_i为样本集中第i个样本, $‖ x_{i} - v_{k} ‖^{2}$ 为样本点x_i到聚类中心v_k的欧氏距离,n为样本个数,c为聚类个数(2≤c<n),T=[t_ki]ⁿ^×^c,i=1,2,…,n为隶属度矩阵,表示第i个样本x_i对第k个聚类中心v_k的隶属度,V=[v_k]^1×^c为聚类中心集合,η_k为惩罚参数,可表示为

η_{k} = K \frac{\overset{n}{\sum_{i = 1}} t_{ki}^{m} ‖ x_{i} - v_{k} ‖^{2}}{\overset{n}{\sum_{i = 1}} t_{ki}^{m}}, (3)

式中,K为整数,通常取K=1。典型值t_ki和聚类中心v_k的迭代公式为

\begin{array}{l} t_{ki} = {[1 + {(\frac{‖ x_{i} - v_{k} ‖^{2}}{η_{k}})}^{\frac{1}{m - 1}}]}^{- 1}, (4) \\ v_{k} = \frac{\overset{n}{\sum_{i = 1}} t_{ki}^{m} x_{i}}{\overset{n}{\sum_{i = 1}} t_{ki}^{m}} 。 (5) \end{array}

PCM聚类算法的步骤如下。

1) 依次设置典型值的加权指数m,聚类类别c,迭代误差门限ε,最大迭代次数T。同时对聚类中心v_k进行初始化,初始迭代次数t=1。

2) 通过(4)式,计算并更新典型值t_ki。

3) 通过(3)式,计算并更新η_k。

4) 通过(5)式,更新聚类中心v_k。

5) 当‖v_k(t)-v_k(t+1)‖<ε或t>T时停止迭代,输出典型值t_ki和聚类中心v_k;否则,返回步骤2)进行下一次迭代。

2.2 核可能性C-均值聚类

PCM聚类算法改善了数据集中噪声点和奇异值点对聚类结果的影响,但传统的PCM聚类算法仅适用于团状凸数据,处理非凸数据时效果不理想。吕佳等^[7]提出的KPCM聚类算法,将样本数据从低维空间非线性映射至高维特征空间,使有限的样本在高维空间中线性可分,对非凸数据也能取得理想的聚类结果,提高了算法的聚类性能。KPCM聚类算法是一种迭代聚类算法,通过最小化目标函数对样本数据进行分类,将PCM聚类算法的目标函数映射至高斯核空间中,其目标函数J_KPCM可表示为

J_{KPCM} (T, V) = \overset{n}{\sum_{i = 1}} \overset{c}{\sum_{k = 1}} t_{ki}^{m} ‖Φ (x_{i}) - Φ (v_{k}) ‖^{2} + \overset{c}{\sum_{k = 1}} η_{k} \overset{n}{\sum_{i = 1}} (1 - t_{ki})^{m}, (6)

式中,t_ki满足(2)式,η_k为一正数,可表示为

η_{k} = K \frac{\overset{n}{\sum_{i = 1}} t_{ki}^{m} ‖Φ (x_{i}) - Φ (v_{k}) ‖^{2}}{\overset{n}{\sum_{i = 1}} t_{ki}^{m}}, (7)

式中,Φ(·)为非线性映射,表示将x∈R^p映射为Φ(x)∈R^q,q≫p。其中, $‖Φ (x_{i}) - Φ (v_{k}) ‖^{2}$ 可表示为

\begin{array}{l} ‖Φ (x_{i}) - Φ (v_{k}) ‖^{2} = [Φ (x_{i}) - Φ (v_{k} {)]}^{T} [Φ (x_{i}) - Φ (v_{k})] = Φ (x_{i})^{T} Φ (x_{i}) + \\ Φ (v_{i}) Φ (v_{i})^{T} - Φ (x_{i})^{T} Φ (v_{i}) - Φ (x_{i})^{T} Φ (v_{i}) = K (x_{i}, x_{i}) + K (v_{i}, v_{i}) - 2 K (x_{i}, v_{i}), (8) \end{array}

当取高斯核函数时,

K (x, x) = 1, K (x, y) = ex p (\frac{- ‖ x - y ‖^{2}}{σ^{2}}), (9)

式中,σ为高斯核函数的标准差,影响核函数作用范围。高斯核空间中第i个样本到第k个聚类中心的距离为

‖Φ (x_{i}) - Φ (v_{k}) ‖^{2} = K (x_{i}, x_{i}) + K (v_{k}, v_{k}) - 2 K (x_{i}, v_{k}) = 2 [1 - K (x_{i}, v_{k})] 。 (10)

可将KPCM的目标函数简化为

J_{KPCM} (T, V) = 2 \overset{n}{\sum_{i = 1}} \overset{c}{\sum_{k = 1}} t_{ki}^{m} [1 - K (x_{i}, v_{k})] + \overset{c}{\sum_{k = 1}} η_{k} \overset{n}{\sum_{i = 1}} (1 - t_{ki})^{m} 。 (11)

在目标函数中引入Lagrange因子,通过计算偏导求出典型值t_ki和聚类中心v_k

\begin{array}{l} t_{ki} = {\{1 + \{\frac{2 [1 - K (x_{i}, v_{k})]}{η_{k}}\}\}}^{- \frac{1}{m - 1}}, (12) \\ v_{k} = \frac{\overset{n}{\sum_{i = 1}} t_{ki}^{m} K (x_{i}, v_{k}) x_{i}}{\overset{n}{\sum_{i = 1}} t_{ki}^{m} K (x_{i}, v_{k})} 。 (13) \end{array}

KPCM聚类算法的步骤如下。

1) 依次确定聚类个数c,加权指数m,最小迭代误差门限ε,最大迭代次数T。用FCM算法的聚类结果作为其初始聚类中心。

2) 根据(8)式计算高斯核空间中样本到中心点的高斯核距离。

3) 根据(7)式计算η_k。

4) 根据(12)式,更新典型值t_ki。

5) 根据(13)式,更新聚类中心v_k。

6) 当‖v_k(t)-v_k(t+1)‖<ε或t>T时停止迭代,输出典型值t_ki和聚类中心v_k;否则,返回步骤2)继续下一次迭代。

在高斯核空间采用模糊聚类算法对图像I(含‖I‖个像元)进行分割时,高斯核σ可表示为

σ = {[\frac{1}{‖ I ‖ - 1} \overset{‖ I ‖}{\sum_{i = 1}} (d_{i} - \bar{d})]}^{\frac{1}{2}}, (14)

式中,d_i=‖x_i- $\bar{x}$ ‖为像素x_i和图像像素均值 $\bar{x}$ 的距离, $\bar{d}$ 可表示为

\bar{d} = \frac{\overset{‖ I ‖}{\sum_{i = 1}} d_{i}}{‖ I ‖} 。 (15)

2.3 截集式可能性C-均值聚类

将类间关系加入PCM聚类算法中,可以解决PCM聚类算法中心重合的问题。利用β-截集为每一个类产生聚类核,然后选出位于聚类核内的数据点。将聚类核内的样本作为获胜样本,其典型值保持不变,非获胜样本的典型值置为0。C-PCM聚类算法的目标函数为

J_{C ⁃ PCM} (T, V) = \overset{n}{\sum_{i = 1}} \overset{c}{\sum_{k = 1}} t_{ki}^{m} ‖ x_{i} - v_{k} ‖^{2} + η \overset{n}{\sum_{i = 1}} (1 - t_{ki})^{m}, (16)

式中, 典型值的约束方式为 \overset{n}{\sum_{i = 1}} t_{ki} > 0, k = 1, \dots, c, 典型值 t_{ki} 和聚类中心 v_{k} 的更新公式与 PCM 聚类算法一致, 惩罚参数 η 为一常数。 C ⁃ PCM 聚类算法在每次迭代过程中对典型值进行修改, 修改方法与 PCM 聚类算法相同。数据点 x_{i} 到所有类典型值的最大值, 即获胜的最大隶属度 t_{qi}, 可表示为

t_{qi} = \frac{1}{1 + (‖ x_{i} - v_{q} ‖^{2} {/ η)}^{1 / (m - 1)}} > β 。 (17)

可将(17)式等价为 $‖ x_{i} - v_{q} ‖^{2}$ <η ${(\frac{1}{β} - 1)}^{m - 1}$ =r。如果数据点x_i到第q类中心v_q的距离小于阈值r,则该数据点位于第q类中心,属于第q类。将样本点到其他类的典型值置为0,t_qi=max t_ki保持不变。其中,β为截集门限,C-PCM聚类算法典型值的修改方式如下。

1) 如果max t_ki>β,则

\{\begin{array}{l} t_{ki} = 0, k = 1, \dots, ck \neq q \\ t_{ki} = t_{ki}, k = q \end{array} 。 (18)

2) 如果max t_ki≤β,则

t_{ki} = t_{ki}, k = 1, \dots, c 。 (19)

根据(18)式、(19)式的约束条件,可将聚类核理解为每一个类多增加了一个超球体,对应边界的半径r可表示为

r = η {(\frac{1}{β} - 1)}^{m - 1} 。 (20)

当数据点在聚类核内,对应典型值的范围为(β,1),其中0≤β≤1,数据点对其他类的隶属度置为0。当β=1时,C-PCM聚类算法就退化为PCM聚类算法。C-PCM聚类算法的具体步骤如下。

1) 依次给定聚类个数c,加权指数m,惩罚参数η,截集门限β,最小迭代误差门限ε,最大循环次数T。

2) 初始化聚类中心v_k,初始迭代次数t=0。

3) 用(4)式更新典型值t_ki。

4) 修正典型值t_ki(t):如果t_qi=max t_ki>β,根据(18)式修正;如果t_qi=max t_ki≤β,根据(19)式修正。

5) 通过(5)式,更新聚类中心v_k。

6) 如果‖v_k(t)-v_k(t+1)‖<ε或t>T则停止;否则,返回步骤3)。

3 本文算法

3.1 截集式核可能性聚类算法

C-PCM聚类算法利用截集的概念为每一类产生聚类核,保留位于聚类核中样本点对应的最大典型值,并将这些样本点对其他类的典型值置为0,将类间关系引入可能性聚类算法中,解决可能性聚类算法一致性聚类的缺点。但C-PCM聚类算法采用欧氏距离计算样本点到聚类中心的距离,只适用于球形数据。因此,借鉴KPCM聚类算法的策略改变距离测度,提出了截集式核可能性(C-KPCM)聚类算法。利用核距离替代欧氏距离,其目标函数J_C-KPCM可表示为

J_{C ⁃ KPCM} (T, V) = \overset{n}{\sum_{i = 1}} \overset{c}{\sum_{k = 1}} t_{ki}^{m} ‖Φ (x_{i}) - Φ (v_{k}) ‖^{2} + η \overset{n}{\sum_{i = 1}} (1 - t_{ki})^{m} 。 (21)

C-KPCM算法在每次迭代过程中对典型值进行更新,利用截集门限β判定典型值的大小并产生聚类核。当核函数为高斯核函数时,最大隶属度t_qi可表示为

t_{qi} = {\{1 + \frac{2 [1 - K (x_{i}, v_{q})]}{η}\}}^{- \frac{1}{m - 1}} > β 。 (22)

可将(22)式等价为r=K(x_i,v_q)<1- $\frac{(β^{1 - m} - 1) η}{2}$ ,其中,K(x_i,v_q)为聚类核半径。如果数据点x_i到第q类聚类中心v_q的距离小于阈值r,则该数据点属于第q类,其对应的典型值t_qi不变,对其他类的典型值置为0,判断方法与(18)式、(19)式一致。

C-KPCM算法的步骤如下。

1) 依次给定聚类个数c,加权指数m,最小迭代误差门限ε,最大迭代次数T,惩罚参数η,截集门限β,用FCM聚类算法的聚类结果作为其初始聚类中心。

2) 根据(8)式计算高斯核空间中样本到中心点的高斯核距离。

3) 根据(7)式计算η_k。

4) 根据(12)式,更新典型值t_ki。

5) 修正典型值t_ki(t):当max t_ki>β时,根据(18)式修正;当max t_ki≤β时,根据(19)式修正。

6) 根据(13)式更新聚类中心v_k。

7) 当‖v_k(t)-v_k(t+1)‖<ε或t>T时停止迭代,否则返回步骤2)继续迭代。

3.2 结合非局部空间信息的截集式核可能性聚类图像分割算法

3.2.1 非局部均值滤波算法

NL-means算法的基本思想:目标像素不仅与其周围的像素有某种联系,还与图像中的其他像素有关联,目的在于获得整幅图像的像素与目标像素所在分块之间的相似度。NL-means算法需在整个图像中计算像素间的相似度,即每计算一个像素点的相似度,都要计算该像素和整幅图像中其他像素点的相似度,图像较大时会导致计算量过大。NL-means算法的基本原理:根据图像的噪声大小确定搜索窗口和邻域窗口。邻域窗口在搜索窗口中滑动,通过线性计算得到邻域间的相似度以确定权值,相似度越高,权值越大。

对于一幅含有噪声的离散图像X={x_i $|i \in$ ‖I‖},所有像素点i的灰度邻域加权平均值 ${\bar{x}}_{i}$ 可表示为

{\bar{x}}_{i} = \sum_{j \in N_{i}} w (i, j) x_{j}, (23)

式中,N_i为像素点i的方形邻域,w(i,j)为权值,满足0≤w(i,j)≤1和 $\sum_{j \in N_{i}} w (i, j) = 1$ ,与像素点i和像素点j有关。像素点i和像素点j的相似性可由灰度值向量x(N_i)和x(N_j)之间的邻域加权欧氏距离衡量,即

d_{ij} = ‖ x (N_{i}) - x (N_{j}) ‖_{2, σ}^{2}, (24)

权值w(i,j)可表示为

w (i, j) = \frac{1}{Z (i)} \exp [- \frac{‖ x (N_{i}) - x (N_{j}) ‖_{2, σ}^{2}}{h^{2}}], (25)

式中,h为控制滤波程度的参数,表示指数衰减的快慢,Z(i)为归一化常数,可表示为

Z (i) = \sum_{j} \exp [- \frac{‖ x (N_{i}) - x (N_{j}) ‖_{2, σ}^{2}}{h^{2}}] 。 (26)

参数h与(25)式中欧氏距离函数的权重相关。h越大,表示高斯函数的变化越平缓,对噪声的处理水平越高,但会影响图像的清晰度。h越小,表示边缘细节保留的越完整,但去噪能力较差。因此,实际应用中,应根据图像中噪声大小选择适合的h。

3.2.2 结合非局部空间信息的截集式核可能性聚类图像分割算法

在一幅图像中像素不仅与其邻域像素具有相似性质,有时也会和其非邻域像素具有相似的性质,因此,对图像进行分割时可以利用图像的非局部信息。为了提高C-KPCM聚类算法对噪声图像的分割效果,在C-KPCM聚类算法的目标函数中添加非局部邻域空间信息,即引入无参数模糊因子G'_ki,以平衡抑制噪声和保留细节信息。基于非局部均值滤波图像像素值产生的模糊因子,提出了结合非局部空间信息的截集式核可能性(C-KPCM-NLS)聚类图像分割算法,其目标函数为

J (T, V) = \overset{n}{\sum_{i = 1}} \overset{c}{\sum_{k = 1}} t_{ki}^{m} [‖Φ (x_{i}) - Φ (v_{k}) ‖^{2} + G'_{ki}] + η \overset{n}{\sum_{i = 1}} (1 - t_{ki})^{m}, (27)

式中,t_ki满足(2)式,G'_ki的更新可表示为

G'_{ki} = \sum_{\begin{array}{l} j \in N_{i} \\ i \neq j \end{array}} \frac{1}{1 + d_{ij}} (1 - t_{kj})^{m} ‖Φ ({\bar{x}}_{j}) - Φ (v_{k}) ‖^{2}, (28)

式中, ${\bar{x}}_{j}$ 为经过非局部均值滤波平滑处理后的像素灰度值。

在高斯核空间,目标函数可表示为

\begin{array}{l} J (T, V) = \overset{n}{\sum_{i = 1}} \overset{c}{\sum_{k = 1}} t_{ki}^{m} {2 [1 - K (x_{i}, v_{k})] + G'_{ki}} + η \overset{n}{\sum_{i = 1}} (1 - t_{ki})^{m}, (29) \\ G'_{ki} = \sum_{\begin{array}{l} j \in N_{i} \\ i \neq j \end{array}} \frac{1}{1 + d_{ij}} (1 - t_{kj})^{m} [1 - K ({\bar{x}}_{j}, v_{k})], (30) \\ t_{ki} = {\{1 + \frac{2 [1 - K (x_{i}, v_{k})] + G'_{ki}}{η}\}}^{- \frac{1}{m - 1}}, (31) \\ v_{k} = \frac{\overset{n}{\sum_{i = 1}} t_{ki}^{m} [K (x_{i}, v_{k})] x_{i} + A_{1}}{\overset{n}{\sum_{i = 1}} t_{ki}^{m} [K (x_{i}, v_{k})] + A_{2}}, (32) \end{array}

式中,

\begin{array}{l} A_{1} = \overset{n}{\sum_{i = 1}} t_{ki}^{m} \sum_{\begin{array}{l} j \in N_{i} \\ i \neq j \end{array}} (1 - t_{kj})^{m} [K ({\bar{x}}_{j}, v_{k})] {\bar{x}}_{j} \frac{1}{1 + d_{ij}}, (33) \\ A_{2} = \overset{n}{\sum_{i = 1}} t_{ki}^{m} \sum_{\begin{array}{l} j \in N_{i} \\ i \neq j \end{array}} (1 - t_{kj})^{m} [K ({\bar{x}}_{j}, v_{k})] \frac{1}{1 + d_{ij}} 。 (34) \end{array}

C-KPCM-NLS聚类算法的具体步骤如下。

1) 依次给定聚类个数c,加权指数m,惩罚参数η,截集门限β,最小迭代误差门限ε,最大迭代次数T。

2) 噪声图像I通过自适应中值滤波算法进行平滑处理,得到图像I₁。

3) 初始化聚类中心v_k。

4) 根据(31)式,更新典型值t_ki。

5) 修正典型值t_ki(t):当max t_ki>β时,根据(18)式更新;当max t_ki≤β时,根据(19)式更新。

6) 根据(32)式,更新聚类中心v_k。

7) 当‖v_k(t)-v_k(t+1)‖<ε或t>T时停止迭代,输出典型值t_ki和聚类中心v_k;否则,返回步骤4)进行下一次迭代。

8) 根据最终得到的典型值t_ki和聚类中心v_k,得到分割结果图I₂。

4 实验结果及分析

4.1 分割质量评价方法

实验采用分割准确率(SA)^[23]和峰值信噪比(PSNR)^[25]评价图像的分割质量。SA以手工分割结果作为标准进行评价,可表示为

X_{SA} = \frac{‖ I_{correct} ‖}{‖ I ‖} \times 100 %, (35)

式中,‖I_correct‖为正确归类的像素数量。

PSNR可客观定量评价算法的鲁棒性能,单位为dB,PSNR越大,表示算法的抗噪性能越好,可表示为

X_{PSNR} = 10 \cdot lo g_{10} (\frac{X_{MAX}^{2}}{X_{MSE}}), (36)

式中,X_MAX为颜色灰度最大值,X_MSE为原图像与分割处理后图像的灰度均方值,对于X_MAX=255的灰度图像,可表示为

X_{MSE} = \frac{1}{‖ I ‖} \sum_{i \in I} (M_{i} - M'_{i})^{2}, (37)

式中,M_i为原图像中对应像素的灰度值,M'_i为分割处理后图像对应像素的灰度值。

4.2 人工合成图像测试

对人工合成图像(尺寸为200 pixel×200 pixel)分别添加三种类型的噪声:噪声为0.2的椒盐噪声(0.2)、均值为0,方差为0.2的高斯噪声(0,0.2)、椒盐噪声(0.1)和高斯噪声(0,0.1)的混合噪声,其中,截集门限β均为0.2。噪声图像如图1所示,选取PCM、FCM、FLICM、KFCM_S1、KFCM_S2、KGFCM_S1(kernel generalized fuzzy C-means _S1)、KGFCM_S2与本算法对噪声图像进行分割,结果如图2所示。

图 1. 添加不同噪声的图像。(a)原始图像;(b)椒盐噪声;(c)高斯噪声;(d)混合噪声

Fig. 1. Images of add different noises. (a) Original image; (b) salt and pepper noise; (c) Gaussian noise; (d) mixed noise

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图 2. 不同算法的分割结果。(a)椒盐噪声;(b)高斯噪声;(c)混合噪声

Fig. 2. Segmentation results of different algorithms. (a) Salt and pepper noise; (b) Gaussian noise; (c) mixed noise

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从图2中可以发现,本算法对含噪声的人工合成图像分割效果较好,噪声点被完全滤除的同时具有清晰的边界信息,这表明本算法鲁棒性较好。由于PCM和PFCM算法中不包含图像的空间信息,因此对含有噪声的图像无法得到理想的分割结果。FLICM算法中包含空间信息的模糊因子,考虑了图像的空间信息,分割结果中的噪声点较少,但图像边界不清晰;KFCM_S1、KFCM_S2、KGFCM_S1、KGFCM_S2算法相比PCM和PFCM算法的分割效果有所改善,但没有完全滤除噪声。表1为不同噪声等级下8种算法的分割准确率,可以发现,本算法对噪声图像的抗噪性和鲁棒性更好。

表 1. 8种算法对噪声图像的SA

Table 1. SA of noisy images by 8 algorithmsunit: %

Algorithm		PCM	PFCM	FLICM	KFCM_S1	KFCM_S2	KGFCM_S1	KGFCM_S2	Ourproposed
	(0.1)	94.98	95.02	99.71	98.12	96.05	96.65	95.23	99.87
Salt andpepper noise	(0.2)	89.87	90.17	99.69	97.11	94.59	93.67	94.99	99.78
	(0.3)	84.97	84.84	99.62	96.24	91.37	92.92	89.02	99.72
	(0,0.1)	74.13	81.06	99.63	99.02	99.54	96.74	99.54	99.93
Gaussiannoise	(0,0.15)	72.36	76.57	99.07	97.21	99.22	95.21	99.21	99.91
	(0,0.2)	70.44	73.49	99.41	97.98	99.20	93.72	99.17	99.78
	(0.05)and (0, 0.05)	76.74	89.80	99.66	99.12	98.74	97.89	98.19	99.99
Mixednoise	(0.1) and (0, 0.06)	75.77	87.68	99.57	97.11	98.01	96.71	95.37	99.96
	(0.1)and (0, 0.1)	74.30	81.01	99.43	97.39	96.23	95.01	93.64	99.91

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4.3 Berkeley图像测试

对Berkeley图像#42049(尺寸为312 pixel×481 pixel)分别添加上述三种类型的噪声,噪声图像如图3所示,选取7种对比算法与本算法对噪声图像进行分割,结果如图4所示。

图 3. 图像#42049。(a)原始图像;(b)椒盐噪声;(c)高斯噪声;(d)混合噪声

Fig. 3. Image #42049. (a) Original image; (b) salt and pepper noise; (c) Gaussian noise; (d) mixed noise

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图 4. 不同算法的分割结果(#42049)。(a)椒盐噪声;(b)高斯噪声;(c)混合噪声

Fig. 4. Segmentation results of different algorithms (#42049). (a) Salt and pepper noise; (b) Gaussian noise; (c) mixed noise

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从图4中可以发现,本算法得到的分割结果中噪声少,可以明显区分目标与背景。这表明在不同类型噪声污染情况下,本算法能够得到较好的分割结果。表2为8种算法分割#42049图像的PSNR和SA,可发现,本算法分割后得到的图像具有较高的PSNR和SA,这表明本算法的鲁棒性更好。

表 2. 不同算法分割结果(#42049)

Table 2. Segmentation results of different algorithms (#42049)

Algorithm	Salt and pepper noise (0.1)		Gaussian noise (0,0.04)		Mixed noise (0.1) and (0,0.1)
Algorithm	PSNR /dB	SA /%	PSNR /dB	SA /%	PSNR /dB	SA /%
PCM	16.3468	80.90	14.4989	77.82	16.3637	81.20
PFCM	16.3578	80.95	14.3299	77.69	16.9145	80.10
FLICM	21.3922	94.32	21.3847	94.95	21.7668	95.80
KFCM_S1	19.5020	89.37	17.4382	86.20	19.4648	93.59
KFCM_S2	21.8313	95.26	15.9287	79.35	21.5821	95.83
KGFCM_S1	15.3854	80.09	14.1942	78.10	14.9007	78.39
KGFCM_S2	21.3392	95.12	14.0853	78.95	21.3243	95.37
Our proposed	22.5352	95.89	23.1778	96.70	22.6325	96.35

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4.4 自然图像测试

对自然图像Cameraman(尺寸为256 pixel×256 pixel)分别添加三种类型的噪声:噪声为0.2的椒盐噪声(0.2)、均值为0,方差为0.08的高斯噪声(0,0.08)、椒盐噪声(0.05)和高斯噪声(0,0.05)的混合噪声,其中,截集门限β均为0.5,结果如图5所示,选取8种算法对噪声图像进行分割,结果如图6所示。

图 5. 图像Cameraman。(a)原始图像;(b)椒盐噪声;(c)高斯噪声;(d)混合噪声

Fig. 5. Image Cameraman. (a) Original image; (b) salt and pepper noise; (c) Gaussian noise; (d) mixed noise

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图 6. 不同算法的分割结果(Cameraman)。(a)椒盐噪声;(b)高斯噪声;(c)混合噪声

Fig. 6. Segmentation results of different algorithms (Cameraman). (a) Salt and pepper noise; (b) Gaussian noise; (c) mixed noise

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由图6可以发现,PCM和PFCM算法中含有的噪声点最多,虽然KFCM_S1、KFCM_S2、KGFCM_S1和KGFCM_S2算法中加入了局部空间信息,但未能滤除所有噪声点;FLICM算法中的模糊因子同样包含了图像的局部空间信息,所得结果中噪声点很少,但模糊了目标与背景的边界;本算法结合了图像的局部信息与非局部信息,在滤除噪声的同时目标与背景的边界比较清晰,分割结果较好。表3为8种算法分割Cameraman图像的PSNR,可以发现,本算法相比其他算法的PSNR较高,这表明本算法的鲁棒性较好。

表 3. 不同算法分割结果的PSNR(Cameraman图像)

Table 3. PSNR of segmentation results by differentalgorithms (Cameraman image)unit: dB

Algorithm	Salt andpeppernoise (0.2)	Gaussiannoise(0,0.08)	Mixed noise(0.05) and(0,0.05)
PCM	13.6961	11.9940	12.7491
PFCM	13.8442	11.8895	12.7477
FLICM	18.4335	18.0542	18.3297
KFCM_S1	15.5389	15.0475	15.2110
KFCM_S2	14.9181	14.3703	14.6770
KGFCM_S1	17.8045	17.0568	17.6063
KGFCM_S2	18.0942	16.0394	16.8166
Our proposed	18.5441	18.5010	18.5122

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5 结论

针对KPCM聚类算法中心重合的问题,提出了C-KPCM聚类算法,利用β-截集为每一个类产生聚类核,通过修正典型值,引入类间关系,解决了核可能性聚类算法中一致性聚类的问题。为了提高C-KPCM聚类算法的抗噪声性能,利用图像的非局部信息代替图像的局部信息,生成一种新的模糊因子,提出了C-KPCM-NLS聚类算法,增强了算法的抗噪性能。实验结果表明,本算法对含有椒盐噪声、高斯噪声以及混合噪声的图像分割效果较好,且算法的鲁棒性更好。

参考文献

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LanR, Zhao Q. Suppressed fuzzy C-means clustering image segmentation algorithm based on combined iteration with double centers[J/OL]. Control and Decision. [2019-12-27].http:∥gb.oversea.cnki.net/KCMS/detail/21. 1124. TP. 20190401.1626.014.html.

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He J, Wu C M. Kernel space adaptive non-local means robust segmentation algorithm[J]. Journal of Optoelectronics·Laser, 2017, 28(8): 910-917.

3.2 结合非局部空间信息的截集式核可能性聚类图像分割算法

范九伦, 闫阳, 于海燕, 梁丹, 高梦飞. 结合非局部信息截集核可能性聚类的图像分割算法[J]. 激光与光电子学进展, 2020, 57(18): 181010. Jiulun Fan, Yang Yan, Haiyan Yu, Dan Liang, Mengfei Gao. Image Segmentation Algorithm Combining Non-Local Information Interception Kernel Possibilistic Clustering[J]. Laser & Optoelectronics Progress, 2020, 57(18): 181010.

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1 引言

2 基本原理

2.1 可能性C-均值聚类

2.2 核可能性C-均值聚类

2.3 截集式可能性C-均值聚类

3 本文算法

3.1 截集式核可能性聚类算法

3.2 结合非局部空间信息的截集式核可能性聚类图像分割算法

4 实验结果及分析

4.1 分割质量评价方法

4.2 人工合成图像测试

图 1. 添加不同噪声的图像。(a)原始图像;(b)椒盐噪声;(c)高斯噪声;(d)混合噪声

Fig. 1. Images of add different noises. (a) Original image; (b) salt and pepper noise; (c) Gaussian noise; (d) mixed noise

图 2. 不同算法的分割结果。(a)椒盐噪声;(b)高斯噪声;(c)混合噪声

Fig. 2. Segmentation results of different algorithms. (a) Salt and pepper noise; (b) Gaussian noise; (c) mixed noise

表 1. 8种算法对噪声图像的SA

Table 1. SA of noisy images by 8 algorithmsunit: %

4.3 Berkeley图像测试

图 3. 图像#42049。(a)原始图像;(b)椒盐噪声;(c)高斯噪声;(d)混合噪声

Fig. 3. Image #42049. (a) Original image; (b) salt and pepper noise; (c) Gaussian noise; (d) mixed noise

图 4. 不同算法的分割结果(#42049)。(a)椒盐噪声;(b)高斯噪声;(c)混合噪声

Fig. 4. Segmentation results of different algorithms (#42049). (a) Salt and pepper noise; (b) Gaussian noise; (c) mixed noise

表 2. 不同算法分割结果(#42049)

Table 2. Segmentation results of different algorithms (#42049)

4.4 自然图像测试

图 5. 图像Cameraman。(a)原始图像;(b)椒盐噪声;(c)高斯噪声;(d)混合噪声

Fig. 5. Image Cameraman. (a) Original image; (b) salt and pepper noise; (c) Gaussian noise; (d) mixed noise

图 6. 不同算法的分割结果(Cameraman)。(a)椒盐噪声;(b)高斯噪声;(c)混合噪声

Fig. 6. Segmentation results of different algorithms (Cameraman). (a) Salt and pepper noise; (b) Gaussian noise; (c) mixed noise

表 3. 不同算法分割结果的PSNR(Cameraman图像)

Table 3. PSNR of segmentation results by differentalgorithms (Cameraman image)unit: dB

5 结论

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1 引言

2 基本原理

2.1 可能性C-均值聚类

2.2 核可能性C-均值聚类

2.3 截集式可能性C-均值聚类

3 本文算法

3.1 截集式核可能性聚类算法

3.2 结合非局部空间信息的截集式核可能性聚类图像分割算法

4 实验结果及分析

4.1 分割质量评价方法

4.2 人工合成图像测试

图 1. 添加不同噪声的图像。(a)原始图像;(b)椒盐噪声;(c)高斯噪声;(d)混合噪声

Fig. 1. Images of add different noises. (a) Original image; (b) salt and pepper noise; (c) Gaussian noise; (d) mixed noise

图 2. 不同算法的分割结果。(a)椒盐噪声;(b)高斯噪声;(c)混合噪声

Fig. 2. Segmentation results of different algorithms. (a) Salt and pepper noise; (b) Gaussian noise; (c) mixed noise

表 1. 8种算法对噪声图像的SA

Table 1. SA of noisy images by 8 algorithmsunit: %

4.3 Berkeley图像测试

图 3. 图像#42049。(a)原始图像;(b)椒盐噪声;(c)高斯噪声;(d)混合噪声

Fig. 3. Image #42049. (a) Original image; (b) salt and pepper noise; (c) Gaussian noise; (d) mixed noise

图 4. 不同算法的分割结果(#42049)。(a)椒盐噪声;(b)高斯噪声;(c)混合噪声

Fig. 4. Segmentation results of different algorithms (#42049). (a) Salt and pepper noise; (b) Gaussian noise; (c) mixed noise

表 2. 不同算法分割结果(#42049)

Table 2. Segmentation results of different algorithms (#42049)

4.4 自然图像测试

图 5. 图像Cameraman。(a)原始图像;(b)椒盐噪声;(c)高斯噪声;(d)混合噪声

Fig. 5. Image Cameraman. (a) Original image; (b) salt and pepper noise; (c) Gaussian noise; (d) mixed noise

图 6. 不同算法的分割结果(Cameraman)。(a)椒盐噪声;(b)高斯噪声;(c)混合噪声

Fig. 6. Segmentation results of different algorithms (Cameraman). (a) Salt and pepper noise; (b) Gaussian noise; (c) mixed noise

表 3. 不同算法分割结果的PSNR(Cameraman图像)

Table 3. PSNR of segmentation results by differentalgorithms (Cameraman image)unit: dB

5 结论

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