1 引言

艾里光束是一种无衍射光束,并且具有独特的自弯曲特性,有关艾里光束的研究大多只是针对单个一维艾里光束或者单个二维艾里光束的特性及应用。单个光束经远距离传输后,受光束衍射与大气湍流的影响,光束界面将出现光束弯曲、漂移与扩展、强度起伏及相干性退化等现象^[1-3],光束强度变低,密度变小,导致接收端的光电转换器由于接收的光信号较弱而使通信质量变差,所以单个光束的光束强度、光束密度以及对大气湍流的抑制优势并不大^[4]。因此,使用无衍射、具有更高光束强度及更大密度的光束对于抵御大气湍流、提高通信效率,将更具有优势^[5]。

通过透镜或多光束合成的方式可提高光束功率和密度^[6]。利用透镜提高光束功率时,因透镜焦距固定不变,所以整个系统聚焦位置和功率密度基本确定,若改变聚焦位置需进行机械移动,这极大地降低了光束聚焦的灵敏度和精度,而且由于透镜材料的限制,其接受的功率阈值也将收到限制,系统能够承受的功率强度降低。多光束合成是通过合成多个光束、生成阵列光束来提高光束功率和功率密度,该方法不受材料限制,可最大限度地提高系统的承受功率强度,且阵列光束具有更高的光束强度与更大的光束密度,所以很有必要研究阵列艾里光束^[7]。

张泽等^[8]在实验和仿真中通过计算全息图生成了具有自聚焦特性的阵列艾里光束,此阵列中的光束均为一维艾里光束。王晓章^[9]将Dammann光栅与产生艾里光束的立方相位膜片相结合,生成的复合灰度图在实验上实现了阵列艾里光束。分析对比这两种方法可知,基于计算全息图产生的阵列艾里光束具有自聚焦性,但每个光束都是一维艾里光束,而同样具有无衍射、自弯曲传输特性的二维艾里光束具有更高的光束强度和更大的光束密度,且二维艾里光束在两个横向维度上,可提高自聚焦光束的总功率,具有良好的功率可扩展性,因此二维艾里光束更具有实际应用性。另外,利用Dammann光栅产生的阵列艾里光束中,虽然每个光束都是二维艾里光束,但光束主瓣都指向同一方向,所以并无自聚焦性。

本文利用多个二维艾里光束生成了具有自聚焦性的阵列二维艾里光束,通过增加或减少光束个数,来调节阵列光束的总功率。将各光束的主瓣中心都指向阵列中心,由于艾里光束的自弯曲性,阵列艾里光束还可实现自聚焦。通过调节相位膜片参数,控制艾里光束的自弯曲轨迹,可有效调节阵列艾里光束的自聚焦位置。

2 理论基础

利用多个二维艾里光束可实现具有自聚焦特性的阵列二维艾里光束,所以首先对二维艾里光束的理论基础进行分析。

(1+1)维情况下的旁轴衍射方程为^[10]

i∂ϕ∂ξ+12∂2ϕ∂s2=0,(1)

式中:s=x/x₀为一维无量纲横向坐标,x₀为横向尺度,即主瓣的束腰半径;ξ=z/k₀x02为归一化传播距离,k₀=2π/λ₀为波数。由(1)式可得艾里函数的非色散解^[10]:

ϕ(ξ,s)=Ais-ξ22expisξ2-iξ312,(2)

式中:A_i(*)为无限能量艾里函数,该函数包含无穷大能量,现实中无法产生,无实际意义,是理想情况下的光束。因此对无限能量艾里函数乘以指数函数,使其能量得到限制,如^[11]

ϕ(s,ξ=0)=Ai(s)exp(as),(3)

式中:指数函数的系数a为衰减因子,a>0且a≪1,指数函数使艾里函数的尾部被快速削弱,从而保证艾里函数的能量是有限的。

将(3)式代入(1)式可得有限能量艾里函数的解^[11]:

ϕ(s,ξ)=Ais-ξ22+iaξ×expas-aξ22-iξ312+ia2ξ2+isξ2,4

式中:一维无量纲横向坐标s代表变量x或y,且x和y在(1+1)维旁轴衍射方程即(1)式中的地位平等,所以通过一维艾里函数可构建二维艾里函数,二维艾里函数的数学表达式是两个分别以x和y为变量的一维艾里函数相乘得到,即^[11]

ϕ(x,y,z)=ϕ(x,z)×ϕ(y,z)=Aixx0-z2z02+iazz0×Aiyy0-z2z02+iazz0×expaxx0-a2z2z02-i112zz03+ia22zz0+i12xx0z2z0×expayy0-a2z2z02-i112zz03+ia22zz0+i12yy0z2z0。(5)

对(5)式进行模拟仿真,仿真参数设定为:波长λ=632.8 nm、横向尺度x₀=10 mm、衰减因子a=0.05,可得到二维艾里光束的光强分布图,如图1所示。

图 1. 二维艾里光束图像

Fig. 1. Two-dimensional Airy beam image

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阵列艾里光束由4个艾里光束组成,通过改变4个艾里函数相位可使每个光束的主瓣指向阵列中心,得到阵列艾里函数为

ψ(x,y,z)=ϕ(x,y,z)+ϕ(-x,y,z)+ϕ(x,-y,z)+ϕ(-x,-y,z)=Ai(x,z)×Ai(y,z)+Ai(-x,z)×Ai(y,z)+Ai(x,z)×Ai(-y,z)+Ai(-x,z)×Ai(-y,z)。(6)

对(6)式进行仿真,仿真参数设定为:波长λ=632.8 nm、横向尺度x₀=10 mm、衰减因子a=0.05,可得到如图2所示的阵列艾里光束。

图 2. 阵列艾里光束的仿真图

Fig. 2. Simulation chart of array Airy beam

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从图2可以看出,图中的阵列艾里光束由4个二维艾里光束组成,且4个艾里光束的主瓣都指向

阵列中心,每个艾里光束的参数相同,所以这4个光束到阵列中心的距离相同,并且这4个艾里光束相互独立,可单独设置每个光束的参数。

3 阵列二维艾里光束自焦距性的模拟仿真

3.1 阵列二维艾里光束的自聚焦性

通过观察阵列艾里光束的传播过程来验证阵列二维艾里光束是否具有自聚焦性。图3为阵列二维艾里光束自聚焦过程的光强分布图。图3(a)为阵列艾里光束在传播距离z=0 m处,即初始面处的光强分布图,可以看出,阵列艾里光束的主瓣都指向阵列中心,且每束光的主瓣中心到阵列中心的距离相同;阵列光束继续向前传播,当z=300 m时,如图3(b)所示,这4束二维艾里光束的主瓣和旁瓣已经相互接触但未融合;当z=700 m时,阵列光束的光强分布如图3(c)所示,这4束二维艾里光已经开始融合,但其光束主瓣未完全融合;当z=1000 m时,如图3(d)所示,这4束二维艾里光已完全融合,表明阵列艾里光束已完成自聚焦。

图 3. 阵列二维艾里光束自聚焦性的模拟验证。(a) z=0 m;(b) z=300 m;(c) z=700 m;(d) z=1000 m

Fig. 3. Simulation of self-focusing of two-dimensional array Airy beam. (a) z=0 m; (b) z=300 m; (c) z=700 m; (d) z=1000 m

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阵列艾里光束具有自聚焦特性是因为阵列二维艾里光束初始界面处的光强分布是4个相互独立的二维艾里光束,且主瓣方向都朝向中心。艾里光束具有自弯曲特性,其自弯曲偏移轨迹如图4所示。

图4为艾里光束在传播距离0 m、1000 m处的光强分布图。由图4可知,当艾里光束向z方向传输时,其光束主瓣在x-y平面沿45°方向偏移,在阵列艾里光束中,由于这4束艾里光束参数相同,每个艾里光束自弯曲的偏移量相同,所以当阵列光束传输一段距离之后,这4束艾里光束将慢慢向中心偏

图 4. 二维艾里光束主瓣偏移轨迹

Fig. 4. 2D Airy beam main lobe migration trajectory

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移,最终达到自聚焦的目的。

3.2 横向尺度x0对自焦距的影响

阵列艾里光束是由4个独立二维艾里光束组成,且自聚焦的聚焦位置是由每个艾里光束的自弯曲程度决定,可见聚焦位置是可控的。单个艾里光束的自弯曲轨迹受横向尺度x₀的影响,但不受衰减因子a的影响,所以通过改变x₀可控制阵列艾里光束的自聚焦位置。

为了验证x₀对阵列艾里光束自聚焦焦距的影响,设定阵列艾里光束的其他参数不变,通过改变x₀值来分析阵列光束完成聚焦需要的传播距离,如图5所示。

图 5. 不同横向尺度x0下的阵列艾里光束的初始光强分布。(a) x0=5 mm;(b) x0=7 mm;(c) x0=10 mm;(d) x0=12 mm;(e) x0=15 mm;(f) x0=20 mm

Fig. 5. Initial light intensity distribution of the array Airy beam at different lateral scales.(a) x0=5 mm; (b) x0=7 mm; (c) x0=10 mm; (d) x0=12 mm; (e) x0=15 mm; (f) x0=20 mm

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由图5可见,随着x₀的增大,阵列艾里光束中每个光束的光斑逐渐变大,光束的光场强度增大。通过模拟仿真可知,当x₀取不同值时,阵列艾里光束分别继续向前传播820,1580,3150,4590,6940,13890 m后可实现自聚焦,4束光束的主瓣合成一束。根据上述结果拟合出x₀与自聚焦所需传播距离的关系如图6所示。

图 6. 横向尺度x0对自聚焦的影响

Fig. 6. Effect of transverse scale x0 on self-focusing

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由图6可知,随着x₀的增大,阵列艾里光束自聚焦所需传播距离z也不断增大,这可用艾里光束自弯曲的轨迹函数解释^[12],如

x=λ2z216π2x03,7

y=λ2z216π2y03。(8)

(7)式和(8)式为横向尺度、横向自弯曲偏移及传播距离的关系式。由于二维艾里光束中横向尺度x₀和y₀的意义相同,所以只针对x₀进行讨论。由(7)式可以看出,随着传播距离z的增加,艾里光束主瓣偏移坐标x与横向尺度x₀成反比,在自弯曲偏移量x不变的情况下,即主瓣中心离阵列中心的距离不变,随着x₀变大,z也变大,而且由于横向尺度x₀是3次方,所以当x₀增大时,z增大得更快。

4 基于相位膜片的阵列艾里光束的实验产生

利用多相位膜片在实验中产生阵列艾里光束,多相位膜片是利用多个参数相同的二维艾里光束的立方相位膜片叠加而成。图7展示了实验产生阵列艾里光束的方法。

图7(a)为实验装置图,图7(b)为阵列艾里光束的相位膜片图,将其加载到图7(a)中的液晶空间光调制器上便可产生如图7(c)所示的阵列艾里光束。从图7(c)可以看出,此阵列二维艾里光束光强分布是4个主瓣方向都指向阵列中心的二维艾里光束,而且4个艾里光束的光强分布、光束强度相同,且和仿真结果一致。

图 7. 实验产生阵列艾里光束。(a)实验装置图;(b)多相位膜片;(c)阵列艾里光束

Fig. 7. Experiment generation of array Airy beam. (a) Experimental setup; (b) multiphase diaphragm; (c) array Airy beam

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4.1 实验验证艾里光束自聚焦性

文中的阵列艾里光束是由4个相互独立且参数相同的二维艾里光束组合生成的,每个光束具有自弯曲特性,所以当艾里光束向z方向传输时,其光束主瓣在x-y平面沿45°方向偏移且偏移量相同。因此,当阵列光束向前传输一段距离之后,这4束艾里光束将慢慢向阵列中心融合,最终达到自聚焦的目的。前文已通过仿真验证了阵列二维艾里光束的自聚焦性,下面将通过实验对其自聚焦性进行验证。图8为阵列艾里光束的自聚焦过程的实验图。

图 8. 阵列二维艾里光束的自聚焦过程实验图。(a) z=0 mm;(b) z=100 mm;(c) z=180 mm;(d) z=250 mm

Fig. 8. Experimental diagram of self-focusing of two-dimensional array Airy beam. (a) z=0 mm; (b) z=100 mm; (c) z=180 mm; (d) z=250 mm

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由图8可以看出,图8(a)是初始界面处即z=0 mm的光强分布,4束二维艾里光束主瓣都指向阵列中心;当z=100 mm时,图8(b)中的4束二维艾里光束逐渐向中心靠拢,但没有融合;当z=180 mm时,图8(c)中的4束二维艾里光束已经慢慢融合,但其旁瓣之间还有间距,未完全融合;当z=250 mm时,图8(d)中的4束二维艾里光束已经完全融合,表明阵列二维艾里光束已经完成自聚焦。图8所示实验中的自聚焦过程很好地验证了图3中模拟仿真的自聚焦过程,证明利用多相位膜片产生的阵列二维艾里光束具有自聚焦性。

4.2 实验验证光斑尺寸对艾里光束自聚焦性的影响

前文通过模拟仿真分析了横向尺度x₀对阵列艾里光束自聚焦性的影响,且已说明x₀影响光斑尺寸,以下将通过实验研究阵列艾里光束的光斑大小对自聚焦性的影响。实验中艾里光束的光斑大小是由立方相位膜片中圆形部分占整个相位屏的比例决定的,圆形部分的面积越大,实验产生艾里光束的光斑面积也越大。文中的立方相位膜片通过Matlab产生,圆形部分大小通过改变程序中比例系数η实现。图9为不同比例系数下多相位膜片图。

从图9可以看出,随着η变大,多相位膜片中的圆形部分逐渐变小,表明用此相位膜片生成的阵列艾里光束的光斑尺寸逐渐缩小。实验中为了验证不同光斑尺寸对阵列艾里光束自聚焦性的影响,将图9中的多相位膜片分别加载到实验系统中产生不

图 9. 不同比例系数下的多相位膜片。(a) η=8 μm;(b) η =10 μm;(c) η=13 μm;(d) η=15 μm

Fig. 9. Multiphase diaphragms with different scale factors. (a) η=8 μm; (b) η=10 μm; (c) η =13 μm; (d) η=15 μm

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同大小光斑的阵列艾里光束,最后对比分析不同光斑尺寸的阵列艾里光束的自聚焦性。图10为不同相位膜片下的阵列艾里光束的自聚焦过程。

图 10. 不同相位膜片下的阵列艾里光束的自聚焦过程。(a1)~(a4) η=8 μm;(b1)~(b4) η=10 μm;(c1)~(c4) η=13 μm;(d1)~(d4) η=15 μm

Fig. 10. Self-focusing process of the array Airy beam under different phase diaphragms. (a1)-(a4) η=8 μm; (b1) -(b4) η=10 μm; (c1)-(c4) η=13 μm; (d1)-(d4) η=15 μm

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由图10可知,随着η的增大,阵列艾里光束的光斑尺寸越来越小,光束的强度也越来越低,由此可知,比例系数影响艾里光束的光斑尺寸,即相位膜片中圆形区域的大小决定艾里光束的光斑尺寸。

图10中每组图的前3幅图都是传播距离分别为0 mm、100 mm和180 mm时阵列艾里光束的光强分布图,第4幅图是阵列艾里光束完成自聚焦时的光强分布图,而且每组图完成聚焦的传播距离不同。分析比较每组图中的前3幅图可知,随着光斑尺寸的变小,经过相同传播距离后的阵列艾里光束中每个光束离阵列中心越近,表明其能更快地完成自聚焦。分析图10可知,光斑尺寸越小,阵列艾里光束完成自聚焦的距离越小。比例系数值为8 μm时,阵列艾里光束在z=270 mm处完成聚焦;而比例系数值为15 μm时,阵列艾里光束在z=200 mm处完成自聚焦。可以得出,自聚焦阵列艾里光束的聚焦位置是可以控制的,通过改变不同比例系数的相位膜片便可控制阵列艾里光束的自聚焦位置,而且这种控制方式是非机械的,也不用改变实验装置,仅通过计算机变换相位膜片即可。

5 结论

利用多个二维艾里光束合成了阵列艾里光束,并利用艾里光束的自弯曲性,使阵列艾里光束中每个光束的弯曲轨迹都朝向阵列中心,从而使其具有自聚焦性。通过数值模拟和实验对阵列艾里光束的自聚焦性进行了验证,结果表明,基于二维艾里光束生成的阵列光束具有自聚焦性。由于艾里光束的自弯曲轨迹受横向尺度x₀,即光斑尺寸的影响,笔者通过改变阵列艾里光束的光斑尺寸来改变阵列艾里光束的聚焦位置,随着光斑尺寸的变大,阵列艾里光束聚焦位置越远。