基于图像特征和奇异值分解的点云配准算法

赵夫群; 耿国华

doi:doi:10.3788/LOP57.101101

激光与光电子学进展, 2020, 57 (10): 101101, 网络出版: 2020-05-08

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Point Cloud Registration Algorithm Based on Image Feature and Singular Value Decomposition

论文大纲

赵夫群 ^1,*耿国华 ²

作者单位

¹ 西安财经大学信息学院, 陕西西安 710100

² 西北大学信息科学与技术学院, 陕西西安 710127

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摘要

针对点云配准中匹配精度低和算法收敛速度慢等问题,提出一种基于二维图像特征和奇异值分解(SVD)的点云配准算法。先将三维点云转换成二维方位角(BA)图像,利用基于内部距离的形状上下文(IDSC)算法对BA图像进行配准;再根据三维点和二维像素的一对一映像关系计算三维点云的刚体变换,从而实现两个点云的初始粗配准;最后采用基于SVD的迭代最近点(ICP)算法对点云进行进一步精配准,从而实现点云的最终精确配准。实验采用公共点云、颅骨点云和文物点云数据验证所提配准算法的配准性能,结果表明所提算法是一种快速和高精度的点云配准算法。

Abstract

To solve the problems of low matching accuracy and slow convergence speed in point cloud registration, a point cloud registration algorithm based on two-dimensional (2D) image features and singular value decomposition (SVD) is proposed. First, a three-dimensional (3D) point cloud was transformed into a 2D bearing angle (BA) image and the BA image was registered using the internal-distance shape context (IDSC) algorithm. Then, using the one-to-one mapping relationship between the 3D point cloud and the 2D pixel, the rigid body transformation of the 3D point cloud was calculated to achieve the rough registration of the two point clouds. Finally, the iterative closest point (ICP) algorithm based on SVD was used to accurately register the two point clouds. In the experiment, the proposed registration algorithm was validated using public point cloud, skull point cloud, and cultural relics point cloud data. Results show that the proposed algorithm is a fast and high-precision point cloud registration algorithm.

1 引言

三维激光扫描技术是近些年兴起的一种新型技术,能够快速采集物体表面的三维坐标信息,并建立物体的三维影像模型,即点云模型。由于受到视野、自遮挡及测量环境等因素的影响,三维激光扫描仪需对物体进行多次不同视角的扫描,并将多个视角下获取的点云数据整合到同一个坐标系下,通过点云配准来得到物体的完整数据信息^[1]。

根据采用的配准基元,点云配准算法分为基于特征的点云配准算法和基于无特征的点云配准算法两类。基于特征的点云配准算法利用物体表面的角点、轮廓线或特征区域等几何特征来计算变换参数,无需知道变换参数的初值即可实现点云配准。Persad等^[2]提出一种基于二维高度图的点云配准算法,利用多尺度小波关键点检测技术实现点云特征配准;张哲等^[3]提出一种基于特征点的快速点云配准算法,实现了散乱点云的鲁棒配准;Quan等^[4]提出一种基于局部特征的点云配准算法,可解决计算机视觉领域的配准问题;黄源等^[5]提出一种关键点特征的点云配准算法,实现了低重叠率点云的精确配准。基于特征的点云配准算法在特征提取和组织上的耗时较长,并且难以实现表面特征缺失点云的精确配准。

基于无特征的点云配准算法无需提取点云特征,直接利用原始数据即可实现配准,其中最经典的代表算法是由Besl等^[6]提出的迭代最近点(ICP)算法,该算法基于最小二乘法重复寻找对应点和最优刚体变换来实现点云配准。虽然ICP算法可取得较高的配准精度,但其对两个点云的初始位置要求较高,而且要求两个待配准点云间存在包含关系。鉴于此,国内外研究人员提出了多种改进的ICP算法。唐志荣等^[7]提出一种基于正交因子模型的ICP算法,提高了点云配准的精度和稳定性;Yu等^[8]提出一种基于最大可行子系统框架的点云配准算法,提高了点云配准的精度和鲁棒性;唐志荣等^[9]提出一种基于典型相关分析的ICP算法,对存在遮挡、缺损、缩放和噪声的无序点云具有良好的配准效果。

为了提高点云配准的精度和速度,本文综合利用基于特征的点云配准算法和基于无特征的点云配准算法的优点,提出一种基于二维方位角(BA)图像特征和奇异值分解(SVD)的点云配准算法。该算法粗配准采用基于特征的点云配准算法实现,先将三维点云转换成二维BA图像,再利用基于内部距离的形状上下文(IDSC)算法提取BA图像的局部特征,并利用该局部特征实现点云的粗配准;精配准采用基于SVD的ICP算法实现,该算法通过矩阵分解可降低特征空间维数,得到唯一且稳定的特征描述,同时提高算法的抗噪性。

2 基于BA图像的点云粗配准

基于二维图像特征和SVD的点云配准算法的整体框架如图1所示,该算法是一种由粗到精的配准算法。先实现基于二维图像特征的点云粗配准。

图 1. 配准算法框架

Fig. 1. Framework of registration algorithm

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2.1 点云到BA图像的转换

对于一个三维点云P,假设p_ij是P中任意一点,定义p_ij对应BA图像的像素灰度水平^[10]:从点p_ij到其一个连续点p_i_-1,_j_-1的激光束矢量间的夹角为θ_BA_ij,如图2所示。

图 2. BA图像的像素灰度水平

Fig. 2. Pixel gray level of BA image

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假设点o为点云的源点,则θ_BA_ij为

\begin{matrix} θ_{BAij} = \arccos \frac{ρ_{i, j} - ρ_{i - 1, j - 1} \cos d_{φ}}{ρ_{i, j}^{2} + ρ_{i - 1, j - 1}^{2} - 2 ρ_{i, j} ρ_{i - 1, j - 1} \cos d_{φ}}, (1) \end{matrix}

式中:ρ_i_,_j为第i个扫描层的第j个扫描点的测量值;ρ_i_-1,_j_-1为第i-1个扫描层的第j-1个扫描点的测量值;d_φ为相应的角度增量。

由BA图像的定义可知,其不同于深度图像,不是通过简单投影变换得到二维图像。BA图像的像素点与原始点云的数据点是一一对应关系,不存在像素点的缺失。同时,BA图像还可突出由角度形成的边缘,有效表示三维点云中的点及其邻域点间的关系,其比深度图像提取的信息更多。因此,将三维点云降维成二维BA图像,利用BA图像的配准实现三维点云的配准,在不影响配准精度的情况下,可有效提高点云配准速度。

2.2 基于IDSC的BA图像配准

对于2.1节获取的BA图像,采用基于IDSC算法对其进行配准^[11]。IDSC算法是基于形状上下文(SC)算法,也是基于形状轮廓的局部特征描述算法,将BA图像轮廓边界采样点中的任意一点相对于其他特征点的角度和距离的统计直方图作为该点的形状上下文信息。不同的是,IDSC算法利用采样点间的内部距离代替欧氏距离,定义内部距离为两点间的最短距离,若两点的连接线段位于图像特征形状的内部,该内部距离就等于欧氏距离;否则两点间的内部距离就是各采样点间欧氏距离的代数和,这里采用Bellman-Ford算法计算两点间的最短距离。

对于一幅BA图像轮廓边界上的任意一个采样点,计算该点到其余所有轮廓边界点的内部距离和角度,从而得到一个基于距离和角度分割的二维统计直方图,该统计直方图即为每个采样点的IDSC局部特征描述子。对于BA图像轮廓边界上不同的采样点,其IDSC特征直方图也不相同,如图3所示。

图 3. 不同采样点的IDSC特征直方图。(a)头部轮廓的三个采样点;(b)三个采样点的IDSC直方图

Fig. 3. Histogram of IDSC features at different sampling points. (a) Three sampling points for head contour; (b) IDSC histogram at three sampling points

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采用卡方检验C(p_ik,q_jl)作为两幅BA图像IDSC局部特征描述子的相似性判断准则,定义式为

\begin{matrix} C (p_{ik}, q_{jl}) = \frac{1}{2} \overset{S}{\sum_{s = 1}} \frac{[H_{p, ik} (s) - H_{q, jl} {(s)]}^{2}}{H_{p, ik} (s) + H_{q, jl} (s)}, (2) \end{matrix}

式中:p、q为两幅待配准图像对应的原始点云模型中的点;S为特征直方图分割的区间数量;H_p_,_ik(s)为模板BA图像中点p_ik对应的IDSC直方图,p_ik为第一个点云中的第i个扫描层的第k个扫描点;H_q_,_jl(s)为目标BA图像中点q_jl对应的IDSC直方图,q_jl为第二个点云中的第j个扫描层的第l个扫描点。C(p_ik,q_jl)值越小,表示点p_ik和q_jl在形状或结构上的特征越相似;C(p_ik,q_jl)小于一定阈值时,认为点p_ik和q_jl是BA图像中的可匹配点。通过判断C(p_ik,q_jl)值即可找到两幅BA图像的匹配像素点。

BA图像中,任意一个像素点的θ_BA_ij对应初始三维点云的第i个扫描层的第j个扫描点。由于三维点云中的点和BA图像的二维像素点是一对一的映像关系,因此BA图像像素θ_BA_ij对应初始三维点云的点就是p_ij。

假设两个待配准的初始三维点云为P={p_i}和Q={q_j},满足简单的刚体变换。若P和Q可正确配准,至少有三对相关点,因此求解P和Q的旋转矩阵R的问题就是一个正交Procrustes问题。

假设从P的质心平移到Q的质心,在不考虑平移变换的情况下,P和Q可写为

\begin{matrix} \begin{matrix} p_{ic} = p_{i} - \bar{p}, (3) \\ q_{jc} = q_{j} - \bar{q}, (4) \end{matrix} \end{matrix}

式中:p_i_c和q_j_c分别为点p_i和q_j平移后得到的点; $\begin{matrix} \bar{p} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} \bar{q} \end{matrix}$ 分别为P和Q的质心,则

\begin{matrix} \begin{matrix} \bar{p} = \sum p_{i} / m, (5) \\ \bar{q} = \sum q_{i} / n, (6) \end{matrix} \end{matrix}

式中:m和n分别为点云P和Q中点的数目。

令新的相关点云分别为P_c和Q_c,那么R定义为

\begin{matrix} R = \underset{R}{argmin} ‖ Q_{c} - P_{c} R ‖_{F}^{2}, (7) \end{matrix}

式中:‖·‖_F为Frobenius范数,定义为

\begin{matrix} ‖A ‖_{F} = \sqrt[]{tr (A^{T} A)} = \sqrt[]{\overset{m}{\sum_{i = 1}} \overset{n}{\sum_{j = 1}} a_{ij}^{2}}, (8) \end{matrix}

式中:A为某一待求解范数的矩阵;a_ij为矩阵A中的元素。求解(7)式即可得到点云的刚体变换,由此实现基于BA图像的点云粗配准。

3 基于SVD的点云精配准

SVD是重要的矩阵分解算法,可降低特征空间维数,得到唯一且稳定的特征描述,同时提高算法的抗噪性,在点云配准、信号处理及统计学等领域具有重要的应用价值^[12]。基于第2节点云的粗配准结果,采用基于SVD的改进ICP算法对点云数据进行进一步的精配准。

假设粗配准后的两个三维点云分别为P'={p'_i,i=1,2,…,N_P}和Q'={q'_j,j=1,2,…,N_Q},其中N_P和N_Q分别为P'和Q'中所包含的点数。点p'_i和q'_j的相关性可表示为

\begin{matrix} q'_{j} = Rp'_{i} + t, (9) \end{matrix}

式中:t为平移矢量。刚体变换(R,t)的求解式为

\begin{matrix} (R, t) = \min_{(R, t) \in SE (3)} ‖ Q'_{b} - (RP'_{a} {+ tE)}^{T} ‖_{F}, (10) \end{matrix}

式中:集合SE(3)是一个Euclid训练组;E为单位矩阵;P'_a和Q'_b分别为P'和Q'经过刚体变换后的点云集合。

对于平移矢量t,可通过P'和Q'的质心移动来求解。因此可将(10)式转换成仅依赖于R的形式,即

\begin{matrix} (R, t) = \min_{R \in so (3)} ‖ Q'_{b} - RP'_{a} ‖_{F}, (11) \end{matrix}

式中:R∈so(3)是一个三维旋转组。P'_a和Q'_b分别定义为

\begin{matrix} \begin{matrix} P'_{a} = [p'_{a 1}, \dots, p'_{aNP}] = P'_{a} [I_{aNP} - (1 / N_{P}) E E^{T}], (12) \\ Q'_{b} = [q'_{b 1}, \dots, q'_{bNQ}] = Q'_{b} [I_{bNQ} - (1 / N_{Q}) E E^{T}], (13) \end{matrix} \end{matrix}

式中:I_a_NP和I_b_NQ均为单元矩阵。

对于目标函数(11)式,采用SVD法进行分解,于是有

\begin{matrix} Q'_{b} P'^{T}_{a} = UΣ V^{T} \in R^{3 \times 3}, (14) \end{matrix}

式中:U为左奇异矩阵;V为右奇异矩阵;Σ为包含奇异值的对角矩阵。

定义一个避免噪声点云中微小图像匹配矩阵S,并求解R,S和R分别为

\begin{matrix} \begin{matrix} S = diag (11 | V U^{T} |), (15) \\ R = VS U^{T} 。 (16) \end{matrix} \end{matrix}

基于上述刚体变换求解过程,点云精配准算法(即基于SVD的ICP配准算法)的具体实现步骤如下。

1) 采用2.2节的基于BA图像的粗配准算法对点云进行初步对齐,假设粗配准后的两个点云分别为P'={p'_i,i=1,2,…,N_P}和Q'={q'_j,j=1,2,…,N_Q}。

2) 构建测量模式矩阵P'_a=[p'_a1,…,p'_a_NP]。

3) 通过平移操作对齐P'和Q'的质心。

4) SVD算法应用于P'_a,即P'_a=U_P_aΣ_P_a $\begin{matrix} V_{Pa}^{T} \end{matrix}$ ,并计算R= $\begin{matrix} V_{p'_{a}} \end{matrix} \begin{matrix} U_{P'}^{T} \end{matrix}$ 。

5) 利用(12)式和(13)式构建旋转模式 $\begin{matrix} \bar{P} \end{matrix}$ '_a和 $\begin{matrix} \bar{Q} \end{matrix}$ '_b, $\begin{matrix} \bar{P} \end{matrix}$ '_a=P^TP'_a=[ $\begin{matrix} \bar{p} \end{matrix}$ '_a1,…, $\begin{matrix} \bar{p} \end{matrix}$ '_a_NP],若 $\begin{matrix} \bar{p} \end{matrix}$ '_a_i对应的Q'_b的最近点为 $\begin{matrix} \bar{q} \end{matrix}$ '_b_j,则旋转模式 $\begin{matrix} \bar{Q} \end{matrix}$ '_b=[ $\begin{matrix} \bar{q} \end{matrix}$ '₁,…, $\begin{matrix} \bar{q} \end{matrix}$ '_b_NQ]。

6) 计算配准误差ε⁽^j⁾=‖ $\begin{matrix} \bar{P} \end{matrix}$ '_b- $\begin{matrix} \bar{Q} \end{matrix}$ '_a‖_F/N_P。若ε⁽^j⁾值小于给定阈值则说明P'和Q'配准成功,反之配准失败。

4 实验结果与分析

算法在Visual Studio 2010环境下,Intel Core i7 3.33 GHz的CPU、16 GB内存的Windows 7 64位PC上进行实验。实验对4组不同类型的点云数据模型进行配准,分别为斯坦福大学在网络上公开的Bunny点云和Dragon点云的数据模型,以及采用三维扫描仪实地采集的原始颅骨点云和文物点云的数据模型,4组点云如图4所示。第1组Bunny点云和第2组Dragon点云为部分重叠点云,点数据分布均匀,不含噪声点;第3组颅骨点云和第4组文物点云也是部分重叠点云,点数据分布不均匀,噪声点含量较多。

图 4. 4组待配准点云。(a) Bunny;(b) Dragon;(c)颅骨;(d)文物

Fig. 4. Four groups of point clouds to be registered. (a) Bunny; (b) Dragon; (c) skull; (d) cultural relic

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采用基于二维图像特征和奇异值分解的点云配准算法对4组点云分别进行配准,先将三维点云转换成二维BA图像,利用IDSC算法对BA图像进行配准;再根据三维点和二维像素的一对一映像关系计算三维点云的刚体变换,从而实现两个点云的粗配准;最后采用基于SVD的ICP算法对点云进行进一步精配准。

实验中选取的算法参数:特征直方图分割的区间数量S为10~50,ε⁽^j⁾的阈值为0.1 mm,特征直方图分割的区间数量根据具体实验数据情况而定。4组点云的粗配准结果如图5所示,精配准结果如图6所示。由图5和图6的配准结果可以看到,所提的配准算法可实现点云模型由粗到精的有效配准。

表 1. 4种算法的配准结果比较

Table 1. Comparison of registration results of four algorithms

Point cloud	Number of points	Registration algorithm	Registration error /mm	Running time /s
Bunny	40256, 40096	ICP	0.0289	5.2
		Ref. [13]	0.0247	4.5
		Ref. [14]	0.0201	3.7
		Proposed	0.0185	2.8
Dragon	41841, 22092	ICP	0.0318	6.3
		Ref. [13]	0.0274	5.3
		Ref. [14]	0.0229	4.1
		Proposed	0.0201	3.5
Skull	46842, 39787	ICP	0.0320	7.8
		Ref. [13]	0.0274	6.6
		Ref. [14]	0.0224	5.2
		Proposed	0.0199	4.6
Cultural relic	44731, 39629	ICP	0.0326	8.5
		Ref. [13]	0.0281	7.4
		Ref. [14]	0.0235	6.0
		Proposed	0.0206	5.4

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图 5. 4组点云的粗配准结果。(a) Bunny;(b) Dragon;(c)颅骨;(d)文物

Fig. 5. Rough registration results of four groups of point clouds. (a) Bunny; (b) Dragon; (c) skull; (d) cultural relic

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图 6. 4组点云的精配准结果。(a) Bunny;(b) Dragon;(c)颅骨;(d)文物

Fig. 6. Fine registration results of four groups of point clouds. (a) Bunny; (b) Dragon;(c) skull; (d) cultural relic

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为了进一步验证基于二维图像特征和奇异值分解的点云配准算法的配准性能,对图4中的4组点云分别采用ICP算法^[6]、文献[ 13]算法和文献[ 14]算法进行配准,3种配准算法和所提算法的配准对比结果如表1所示。

由表1可以看到,所提算法的配准精度最高,耗时最短。与ICP算法相比,所提算法的配准精度提高了约35%,耗时降低了约45%;与文献[ 13]算法相比,所提算法的配准精度提高了约25%,耗时降低了约35%;与文献[ 14]算法相比,所提算法的配准精度提高了约10%,耗时降低了约25%。

由于ICP算法是一种基于无特征的点云配准算法,其要求两个待配准点云的初始位置相对比较接近,且存在包含关系,因此对旋转和平移较大的低覆盖率点云的配准效果不佳。ICP算法在配准过程中需不断迭代得以实现,因此算法运行时仅需存储两个待配准点云,耗时与待配准点云的点数目N_P和N_Q及迭代次数K有关,其空间复杂度为O(N_P+N_Q),时间复杂度为O[K max (N_P,N_Q)]。文献[ 13]算法是一种基于特征点的点云配准算法,利用点云模型上的内部形态描述子(ISS)实现迭代配准,但所选特征相对简单,对复杂模型的配准精度还有待提高。由于特征点数量较少,假设为N'_P和N'_Q,迭代次数为K',文献[ 13]算法的空间复杂度和时间复杂度比ICP算法相对要小,空间复杂度为O(N'_P+N'_Q),时间复杂度为O[K' max (N'_P,N'_Q)]。文献[ 14]算法是一种基于距离误差评价的ICP算法,可实现高密度点云的有效配准,但对于采样均匀的公共点云数据模型的配准并无明显优势。由于文献[ 14]算法是基于ICP算法引入距离误差评价函数来实现的,因此其迭代次数远低于ICP算法,其空间复杂度为O(N_P+N_Q),时间复杂度为O[max (N_P,N_Q)log₂K max (N_P,N_Q)]。所提算法通过降维的方式实现特征点的无迭代精确配准,配准精度和速度明显优于已有配准算法,其空间复杂度为O(N'_P+N'_Q),时间复杂度为O[max (N'_P,N'_Q)]。

由此可见,基于二维图像特征和奇异值分解的点云配准算法可对不同类型的点云模型实现精确配准,算法空间复杂度和时间复杂度都较小,是一种精度高、速度快和鲁棒性好的点云配准算法。

5 结论

点云配准是三维重建的关键技术之一,目前已在各个领域得到了广泛关注。随着应用需求的不断提高,对点云配准算法的精度、抗噪性、速度和普适性的要求也越来越高。为了提高点云配准的性能,提出一种基于BA图像和SVD的点云配准算法。先将三维点云转换成二维BA图像,实现了三维点和二维像素的一对一映像关系,并利用IDSC算法对BA图像的轮廓进行配准,从而实现点云的粗配准;再采用基于SVD的ICP算法,通过矩阵分解降低特征空间维数,实现了点云的精配准。所提算法充分考虑了局部特征和噪声对配准结果的影响,可实现点云的快速精确配准。今后的研究中,要进一步研究重叠率在50%以下的低覆盖率点云的配准问题,并将其应用于非薄壁缺损文物断裂面的匹配中,进一步扩大点云配准算法的应用范围。

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1 引言

2 基于BA图像的点云粗配准

图 1. 配准算法框架

Fig. 1. Framework of registration algorithm

2.1 点云到BA图像的转换

图 2. BA图像的像素灰度水平

Fig. 2. Pixel gray level of BA image

2.2 基于IDSC的BA图像配准

图 3. 不同采样点的IDSC特征直方图。(a)头部轮廓的三个采样点;(b)三个采样点的IDSC直方图

Fig. 3. Histogram of IDSC features at different sampling points. (a) Three sampling points for head contour; (b) IDSC histogram at three sampling points

3 基于SVD的点云精配准

4 实验结果与分析

图 4. 4组待配准点云。(a) Bunny;(b) Dragon;(c)颅骨;(d)文物

Fig. 4. Four groups of point clouds to be registered. (a) Bunny; (b) Dragon; (c) skull; (d) cultural relic

表 1. 4种算法的配准结果比较

Table 1. Comparison of registration results of four algorithms

图 5. 4组点云的粗配准结果。(a) Bunny;(b) Dragon;(c)颅骨;(d)文物

Fig. 5. Rough registration results of four groups of point clouds. (a) Bunny; (b) Dragon; (c) skull; (d) cultural relic

图 6. 4组点云的精配准结果。(a) Bunny;(b) Dragon;(c)颅骨;(d)文物

Fig. 6. Fine registration results of four groups of point clouds. (a) Bunny; (b) Dragon;(c) skull; (d) cultural relic

5 结论

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基于图像特征和奇异值分解的点云配准算法 下载： 1585次

1 引言

2 基于BA图像的点云粗配准

图 1. 配准算法框架

Fig. 1. Framework of registration algorithm

2.1 点云到BA图像的转换

图 2. BA图像的像素灰度水平

Fig. 2. Pixel gray level of BA image

2.2 基于IDSC的BA图像配准

图 3. 不同采样点的IDSC特征直方图。(a)头部轮廓的三个采样点;(b)三个采样点的IDSC直方图

Fig. 3. Histogram of IDSC features at different sampling points. (a) Three sampling points for head contour; (b) IDSC histogram at three sampling points

3 基于SVD的点云精配准

4 实验结果与分析

图 4. 4组待配准点云。(a) Bunny;(b) Dragon;(c)颅骨;(d)文物

Fig. 4. Four groups of point clouds to be registered. (a) Bunny; (b) Dragon; (c) skull; (d) cultural relic

表 1. 4种算法的配准结果比较

Table 1. Comparison of registration results of four algorithms

图 5. 4组点云的粗配准结果。(a) Bunny;(b) Dragon;(c)颅骨;(d)文物

Fig. 5. Rough registration results of four groups of point clouds. (a) Bunny; (b) Dragon; (c) skull; (d) cultural relic

图 6. 4组点云的精配准结果。(a) Bunny;(b) Dragon;(c)颅骨;(d)文物

Fig. 6. Fine registration results of four groups of point clouds. (a) Bunny; (b) Dragon;(c) skull; (d) cultural relic

5 结论

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