0 引　言

在大型激光系统的运行过程中，由于光学元件的加工误差、外界环境的振动、空气扰动等不可避免的客观因素的存在，对输出的激光光束产生明显的相位调制，形成光束波前的相位畸变^[1-3]。相位畸变最直接的影响是降低光束质量，使其聚焦特性受到影响。因此，为了在远场能够获得均匀的焦斑分布，必须在系统中采用束匀滑技术，尽量避免激光焦斑不均匀对物理应用的影响^[4-6]。目前，在光路中加入连续位相板（CPP）是实现束匀滑的一种行之有效的技术途径^[7]。如何评价CPP的束匀滑性能是指导元件设计、优化应用光路的前提，因此，有必要从CPP的工作机理出发，对其匀滑特性进行系统的分析。

众所周知，CPP元件设计的出发点，是要在激光系统中实现匀滑、散斑和整形等效果。其中的匀滑效果，是指能降低远场光强的中高频分量（散斑除外），使焦斑包络更均匀。为了得到更好的应用效果，束匀滑效应需要给出确切的理论解释。目前，国内外关于CPP的研究主要集中在束匀滑方案选择^[8-10]和束匀滑实验^{[11- 12]}方面，而关于其匀滑机理方面的理论分析方面则没有见到系统的分析。文中从统计的角度出发，利用几何光学理论对CPP的匀滑机理和特性分析进行详细讨论。

1 基本理论

1.1 光路及分析模型

研究CPP的匀滑特性，实际上就是分析畸变波前与CPP面形之间的相位叠加。如图1所示，在光路中，在聚焦透镜前放置CPP，从而实现改善焦斑质量的目的。

图 1. CPP应用光路

Fig. 1. Application light path of CPP

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在标量衍射理论下，相位叠加后的远场满足傅里叶变换关系。设畸变波前相位为 ${\phi _1}$，CPP面形相位为 ${\phi _2}$，叠加后的波前位相是 $\phi $，则有：

$\phi = {\phi _1} + {\phi _2}$ (1)

${E_\phi } = F\{ \exp [ - j\phi ]\} = {E_{\phi 1}}*{E_{\phi 2}}$ (2)

${I_\phi } = {\left| {{E_\phi }} \right|^2}$ (3)

式中：E为远场光振幅； ${I_\phi }$为远场光强；F{}为傅里叶变换；*为卷积。

从公式上看，复振幅的卷积看上去像是匀滑，实际上，干涉散斑也包含在公式（2）中，而散斑既不均匀也不平滑，所以不能根据卷积运算来解释CPP的匀滑机理。这里笔者利用梯度直方图来对这一现象进行解释，梯度直方图可以认为是几何光学描述下的角谱，CPP面型梯度方向对应角谱方向，直方图则对应角谱的相对强度^[13]：

${I_\phi } = hist(\nabla \phi )$ (4)

式中：hist( )为直方图计算； $\nabla $为梯度计算，在一维情况下实际上计算的是斜率； ${I_\phi }$为CPP的角谱，也可以认为是焦斑光强。注意到公式（4）中的焦斑光强 ${I_\phi }$与公式（3）中的不完全一致，实际上描述的是公式（3）的包络，或者说低通滤波结果。这是由于几何光学方法忽略了光学位相，因此，不含干涉效应。

1.2 束匀滑机理分析

根据大数定律可知，在足够多独立实验的情况下，概率密度函数等于实验直方图。由于CPP的孔径尺寸远大于随机面型的自相关长度，在物理上是满足大数定律的。可以将CPP面形函数的概率密度与其远场直方图之间的关系表示为：

$hist(\xi ) = PDF(\xi )$ (5)

式中： $\xi $为一个随机函数，表示了CPP的面形。另外两个独立随机变量 ${\xi _1}$与 ${\xi _2}$之和的概率密度等于各自概率密度的卷积，可以写为：

$PDF({\xi _1} + {\xi _2}) = PDF({\xi _1})*PDF({\xi _2})$ (6)

虽然CPP的面型具有随机分布的特性，但一个已经加工好的元件其表面数据是确定的，因此，可以将任意一个CPP看做随机函数的一个实例。

如果笔者把公式（4）中的 $\phi $及 $\nabla \phi $看作随机变量，可以令 $\nabla \phi = \xi $。此外， ${\phi _1}$和 ${\phi _2}$分别代表CPP和其他输入（比如加工误差）面型，注意到 ${\phi _1}$和 ${\phi _2}$是完全独立无关的随机量，满足公式（5）的条件，于是根据公式（1）、（4）~（6）可以推得：

$hist(\nabla \phi ) = hist(\nabla {\phi _1})*hist(\nabla {\phi _2})$ (7)

公式的物理意义是叠加后的焦斑包络等于叠加前焦斑包络的卷积。注意到卷积就是匀滑，就是低通滤波。这意味着通过CPP的畸变光束，其远场光强将被去掉很多中高频成分。这样，最终得到了CPP匀滑的数学解释。

与公式（2）的形式相比较，公式（7）描述的是光强包络的卷积而非振幅卷积。在大小相当的情况下，具有平顶焦斑的CPP和具有高斯焦斑的CPP比较，后者的匀滑能力要更强，因为前者对应到频谱空间是一个sinc函数的滤波器，有一些残留高频部分，而后者是高斯函数滤波器，基本没有残留的高频部分。

应用统计几何光学方法分析CPP，与常规的标量衍射方法相比，简化了焦斑计算，降低了波前叠加分析的困难，得到了关于CPP匀滑的数学公式。这对匀滑特性的物理图像有一个更清晰的描述和解释。

2 数值模拟与验证

为了直观地给出公式（7）所表述的结论，利用数值运算对CPP的束匀滑特性进行了模拟。

首先计算一维CPP的特性，利用随机函数生成一个短相关长度的一维CPP面型 $\phi $，如图2(a)所示，另外，再生成两个长相关长度的随机波前畸变，图3(a)是一个畸变深度较大的波前A，将其标识为 ${\phi _A}$，图4(a)则给出了一个畸变深度较小的波前B，将其标识为 ${\phi _B}$。对应图2(b)，图3(b)，图4(b)，则是利用公式（4）计算的3个面型的远场焦斑分布，也就是光强角谱。其中符号 $\nabla \phi $是面型梯度，它刚好对应角谱的方向。CPP的焦斑非常接近高斯函数，这是由面型的统计特性决定的。

图 2. 一维CPP面型及焦斑

Fig. 2. Surface figure and focus of a 1D CPP

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图 3. 大深度畸变波前A及其焦斑

Fig. 3. A big deep aberration wavefront A and its focal spot

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图 4. 小深度畸变波前B及其焦斑

Fig. 4. A small aberration wavefront B and its focal spot

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由图可见，畸变波前对应的焦斑其分布非常不稳定的，而且随着畸变深度的增大，焦斑的畸变也越严重，因此需要加入CPP对其进行束匀滑处理。

利用公式（4）可以计算得到畸变波前经过CPP后的焦斑分布。首先将CPP面型与畸变A直接叠加，然后计算其远场，结果如图5(a)所示；另外分别对CPP和畸变波前A的焦斑进行计算，然后再将两个焦斑进行卷积，计算结果如图5(b)所示。

图 5.

Fig. 5. Focal spot of distortion A passing through CPP. (a) Calculation result of ; (b) Calculation result of 畸变A通过CPP的焦斑。(a) 计算结果；(b) 计算结果

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同样，畸变B经过CPP匀滑后的远场焦斑计算结果如图6所示。从计算结果可看出，两者的确非常相似，包括形状相似，宽度相当。这就验证了公式（7）的正确性。

图 6.

Fig. 6. Focal spot of distortion B passing through CPP. (a) Calculation result of ; (b) Calculation result of 畸变B通过CPP的焦斑。(a) 计算结果；(b) 计算结果

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由于畸变A的深度比较大，其原始焦斑也紊乱程度也更为严重，焦斑的实际分布范围更大，通过CPP后虽然也实现了焦斑的匀滑，但相比畸变B的匀滑效果，其焦斑中仍保留了较多低频畸变成份。而畸变B的深度较小，原始焦斑的大小与CPP焦斑大小相当，这种情况下，CPP实现了较为明显的匀滑效果，非常接近高斯分布。比较图5与图6可知，随着入射畸变波前的深度增加，同一个CPP的匀滑效果会变差。如果CPP的相关长度越短，其面形的随机性就越突出，这样在位相叠加过程中，对畸变波前的处理能力就会越强^[14]。因此，在设计CPP时，可以通过减小空间尺度的方法来扩大入射畸变深度的适用范围。

利用一维CPP对公式（7）进行验证后，用一个实际的二维CPP和畸变波前做一个数值模拟。

图7给出了一个典型的二维CPP的面型，图8则是一个随机二维波前畸变。从图中可以看出，两个位相分布都具有明显的随机特性，但是CPP的相关长度远远小于波前畸变。长相干长度的波前畸变对应的焦斑具有相当混乱的光强分布，因此实际应用中必须对其进行匀滑处理。当畸变波前经过CPP后，在远场获得的焦斑分布如图9所示。

图 7.

Fig. 7. 2D CPP and its focal spot 二维CPP面型 及其焦斑

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图 8.

Fig. 8. 2D distortion wavefront and its focal spot 二维畸变波前 及其焦斑

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图 9.

Fig. 9. Focal spot of 2D distortion passing through CPP. (a) Calculation result of ; (b) Calculation result of ( ) 二维畸变通过CPP的焦斑。(a) 计算结果；(b) 计算结果

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对比图8中的焦斑分布，畸变波前经过CPP后，焦斑光强分布得到了显著的匀滑。两种计算方法得到的结果从形状、尺寸上是相似的。但图9的计算及结果含有更多细碎成份，也就是高频分量，这一点与前面一维情况是相同，但是二维情况由于显示的原因更突出。这种差别也体现了公式（7）的近似程度，因此，直接使用直方图这种几何统计方法得到的结果还是存在近似性。虽然用直方图统计在CPP匀滑过程分析中是一种近似的方法，但是其理论模型更直接，分析过程明晰，能够对CPP的束匀滑机理、特性进行更加直观和简洁的说明。

3 结　论

文中在几何光学基础上，应用统计方法（即直方图）分析了CPP的束匀滑特性。与常规的标量衍射方法相比，简化了焦斑计算，降低了波前叠加分析的困难。使用梯度直方图进行统计，可以直接描述面型或者波前的远场角谱。由于这种方法并不考虑光的相干性，而CPP实际应用又恰好是其去相干作用，因此，该方法在分析CPP的束匀滑机理时是非常适合的，同时又避免了衍射积分过程的复杂推导和计算。

根据物理图像和数学推导，得到了CPP束匀滑分析的统计解析表达式。CPP的面型作用与畸变波前后，两个相位叠加后的远场光强包络等于各自远场光强包络的卷积。而卷积在数学上的意义就是匀滑性，在物理上对应着低通滤波的能力，这就对CPP的匀滑机理进行了解释。数值计算还表明，针对相关长度确定的CPP，如果畸变和它对应的焦斑都非常大，其匀滑性能将会下降。