基于贝克曼分布的星间激光通信链路性能优化

宛雄丰; 郝士琦; 张岱; 赵青松; 徐晨露; 唐进迎

doi:doi:10.3788/AOS201939.0206003

光学学报, 2019, 39 (2): 0206003, 网络出版: 2019-05-10

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Link Performance Optimization for Inter-Satellite Laser Communications Based on Beckmann Distribution

论文大纲

宛雄丰 ^**郝士琦 ^*张岱赵青松徐晨露唐进迎

作者单位

国防科技大学电子对抗学院脉冲功率激光技术国家重点实验室, 安徽合肥 230037

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摘要

针对星间激光通信系统易受瞄准误差影响的问题,在瞄准误差服从贝克曼分布的条件下,利用三阶中心矩法将其等效为修正后的Rayleigh分布,分别在中断概率一定和发射功率一定的假设下,建立了发射功率优化模型和中断概率优化模型,并计算出了两种假设条件下高斯光束经天线发射时的最优均方根宽度。通过数值仿真,给出了考虑瞄准误差时的系统中断概率、最小发射功率与最优均方根宽度之间的关系。根据该数值分析结果,在明确瞄准误差分布规律的基础上,选择最优的高斯光束均方根宽度,以实现最优星间激光通信链路性能。

Abstract

Aim

ing at the problem that the inter-satellite laser communication system is easily affected by the pointing errors, the method of third-order central moment is used to make the pointing error equivalent to the modified Rayleigh distribution under the condition that the pointing errors obey the Beckmann distribution. Under the assumptions that the outage probability and the transmission power are fixed, the optimal model of transmitter power and the optimal model of outage probability are established, respectively. The optimal root mean square width of the Gaussian beam emitted by the antenna under the above two assumptions is calculated. Through the numerical simulation, the numerical relationship of the outage probability and the minimum transmitting power with the optimal root mean square width is given. According to the numerical analysis results, the optimal root mean square width of a Gaussian beam can be selected based on the definite pointing error distributions, so that the optimal link performance for the inter-satellite laser communications is obtained.

1 引言

在星间激光通信过程中,必须确保发射端与接收端的光路对准,才能进行有效的数据传输。然而,受星上平台振动、星间相对运动和系统内部噪声等因素的影响,对准的光路发生了偏移,使得发射机和接收机之间存在一定的瞄准误差^[1]。在实际应用中,由于光束发散角极窄且通信距离通常非常远,因此造成系统性能恶化的主要因素是瞄准误差^[2]。

为了抑制瞄准误差对星间激光通信系统性能的影响,当前热门的解决方案是采用捕获、瞄准、跟踪(APT)技术。比如,郑燕红等^[3]提出采用控制混合灵敏度设计方法对控制器进行设计,以抑制干扰并解决受控对象不确定性问题;倪小龙等^[4]设计并构建了基于反射式液晶光调制器的星载平台振动补偿系统,满足了星际激光通信系统的高动态跟踪精度的要求。但以上方法所采用的技术复杂、成本过高,实现起来比较困难。为此,学者们希望通过优化设计系统参数以降低瞄准误差的影响。丁涛等^[5]提出通过控制接收端光斑的形状和大小来抑制振动的影响,但是该方法仅适用于短距离的通信环境;Toyoshima等^[6]在瞄准误差服从Rayleigh分布时,通过数值计算给出了系统最优光束发散角,但并没有给出闭合的表达式;Song等^[7]提出了采用动态束腰控制技术来抑制瞄准误差的影响,但需要在系统发射端增加高速束腰控制模块。在已有的研究中,均假设瞄准误差在方位向和俯仰向是理想同分布的,没有考虑静态偏置误差的影响,无法精确地描述实际卫星平台的随机振动特性,且没有给出解析形式的参数优化方法,系统实现比较困难。

本文在瞄准误差服从贝克曼分布的情况下,结合星间激光通信链路传输方程,给出了系统中断概率的闭合表达式,并分别在中断概率一定和发射功率一定的条件下,建立了发射功率优化模型和中断概率优化模型,通过模型求解,计算出了这两种条件下的高斯光束最优均方根宽度。最后通过数值仿真,给出了不同瞄准误差角分布情况下的最优高斯光束均方根宽度。

2 星间激光通信基本原理

2.1 星间激光通信信号模型

假定星间激光通信系统采用强度调制直接探测,调制样式为开关键控(OOK)调制,发射光束为高斯光束,此时的星间链路传输方程可以表示为^[8]

P_{R} = P_{T} G_{T} G_{R} {(\frac{λ}{4 π d})}^{2} η_{T} η_{R} L_{T} (G_{T}, θ), (1)

式中:P_R为接收到的光功率;P_T为发射功率;G_T为发射天线增益,当发射光束为高斯光束时,G_T=(2πW/λ)²,W为信号高斯光束经天线往外发射时的均方根宽度,λ为激光波长;G_R=(πD_R/λ)²为接收天线增益,D_R为接收天线的孔径直径,d为链路传输距离;η_T和η_R分别为发射天线效率和接收天线的效率;L_T(G_T,θ)=exp(-G_Tθ²)为瞄准误差损耗因子,θ为瞄准误差偏离角。

在系统接收端,探测器会将接收到的光功率转化为信号电流I,其表达式为

I = R P_{R}, (2)

式中:R为光电响应度, R=ηqλ/(hc),其中,h为普朗克常量,q为电子电荷,η为量子效率,c为光波频率。

综上,光电探测器输出的信号电流为

I = R P_{T} G_{T} G_{R} {(\frac{λ}{4 π d})}^{2} η_{T} η_{R} \exp (- G_{T} θ^{2}) 。 (3)

2.2 基于贝克曼分布的瞄准误差模型

卫星平台振动等因素将会导致星间激光通信发射机与接收机之间存在瞄准误差。假定指向光束的径向瞄准误差角向量θ=(θ_x,θ_y)^T,其中θ_x和θ_y分别表示方位向和俯仰向的瞄准误差角分量,分别用均值非零的高斯分布变量来描述,θ_x~N(μ_x, $σ_{x}^{2}$ ),θ_y~N(μ_y, $σ_{y}^{2}$ ),此时瞄准误差下探测区域与接收光束截面之间的关系如图1所示。图中μ= $\sqrt[]{μ_{x}^{2} + μ_{y}^{2}}$ 表示光通信终端的光学系统轴线和天线法向之间存在的一个夹角,称为静态偏差角。则此时径向的瞄准误差角θ=|θ|= $\sqrt[]{θ_{x}^{2} + θ_{y}^{2}}$ 服从贝克曼分布^[9],即

f_{θ} (θ) = \frac{θ}{2 π σ_{x} σ_{y}} \cdot \int_{0}^{2} \exp [- \frac{(θ \cos ϕ - μ_{x})^{2}}{2 σ_{x}^{2}} - \frac{(θ \sin ϕ - μ_{y})^{2}}{2 σ_{y}^{2}}] d ϕ, (4)

式中:μ_x和μ_y分别表示方位向和俯仰向的静态偏移误差;σ_x和σ_y分别表示方位向和俯仰向的瞄准误差抖动标准差。

图 1. 瞄准误差下探测区域与接收光束截面之间关系示意图

Fig. 1. Schematic of relationship between detection area and beam cross section of receiving beam under pointing errors

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假设将贝克曼分布近似等效成参数为σ_mod的修正Rayleigh分布,σ_mod的表达式可以通过三阶中心矩法给出。通过数值比较可以看出,利用三阶中心矩法可以比较准确地计算出σ_mod的值,使得修正后的Rayleigh分布与贝克曼分布基本保持一致^[10]。

随机变量χ的m阶中心矩可以表示为

Ω_{m}^{χ} = E {[χ - E {(χ)]}^{m}}, (5)

式中E(•)表示期望。

为了方便起见,令u=θ²,此时,当瞄准误差角 θ服从修正后的Rayleigh分布时, u的概率密度函数为

f (u) = \frac{1}{2 σ_{\mod}^{2}} \exp (- \frac{u}{2 σ_{\mod}^{2}}) 。 (6)

u的三阶中心矩 $Ω_{3}^{u}$ 可以表示为

Ω_{3}^{u} = 16 σ_{\mod}^{6} 。 (7)

此时,θ²的三阶中心矩 $Ω_{3}^{θ^{2}}$ 同样可以用两个正态随机变量平方和的三阶中心矩来表示,即

Ω_{3}^{θ^{2}} = 8 σ_{x}^{4} (3 μ_{x}^{2} + σ_{x}^{2}) + 8 σ_{y}^{4} (3 μ_{y}^{2} + σ_{y}^{2}) 。 (8)

利用(7)、(8)式,则可以给出 $σ_{\mod}^{2}$ 的表达式,即

σ_{\mod}^{2} = {(\frac{3 μ_{x}^{2} σ_{x}^{4} + 3 μ_{y}^{2} σ_{y}^{4} + σ_{x}^{6} + σ_{y}^{6}}{2})}^{1 / 3} 。 (9)

最终,可以将贝克曼分布等效为修正后的Rayleigh分布,θ的概率密度函数(PDF)可近似表示为

f_{θ} (θ) \approx \frac{θ}{σ_{\mod}^{2}} \exp (- \frac{θ^{2}}{2 σ_{\mod}^{2}}), θ \geq 0, (10)

其中,

σ_{\mod} = {(\frac{3 μ_{x}^{2} σ_{x}^{4} + 3 μ_{y}^{2} σ_{y}^{4} + σ_{x}^{6} + σ_{y}^{6}}{2})}^{1 / 6} 。 (11)

通过计算,θ的累计分布函数(CDF)为

F_{θ} (θ) \approx 1 - \exp (- \frac{θ^{2}}{2 σ_{\mod}^{2}}) 。 (12)

3 星间激光通信系统优化模型

3.1 中断概率分析

根据信息理论的相关知识,存在一定的概率使信道容量C不足以满足传输速率R₀的需求,通常称此时的情况为中断,可用中断概率^[11]P_out来衡量,即

P_{out} = P [C (S) \leq R_{0}], (13)

式中S为信噪比(SNR)。

由于C(·)是随SNR单调递增的,故中断概率可表示为

P_{out} = P (S \leq a), (14)

式中:a=C^-1(R₀)为预先设定好的阈值,C^-1(·)为C(·)的反函数。

在星间激光通信中,系统接收端经光电探测器后得到的信号w可以表示为w=RP_RX+n,其中X表示发送的信号,n表示加性高斯白噪声,噪声均值为0,方差为 $σ_{N}^{2}$ ,结合(3)式可得系统接收到的电信号的瞬时信噪比S为

S = \frac{I^{2}}{2 σ_{N}^{2}} = B \exp (- 2 G_{T} θ^{2}), 0 < S \leq B, (15)

其中

B = \frac{1}{2 σ_{N}^{2}} {(\frac{λ}{4 π d})}^{4} (R P_{T} G_{T} G_{R} η_{T} η_{R})^{2} 。 (16)

为了求出系统的中断概率,需要先求出瞬时信噪比S的CDF,其表达式为

F_{S} (s) = P (S \leq s) = P [B \exp (- 2 G_{T} θ^{2}) \leq s] = P [θ \geq \sqrt[]{\frac{1}{2 G_{T}} \ln \frac{B}{s}}] = 1 - F_{θ} [\sqrt[]{\frac{1}{2 G_{T}} \ln \frac{B}{s}}] = {(\frac{s}{B})}^{\frac{1}{4 G_{T} σ_{\mod}^{2}}} 。 (17)

在给定阈值a时,可得系统的中断概率为

P_{out} = P (S \leq a) = {(\frac{a}{B})}^{\frac{1}{4 G_{T} σ_{\mod}^{2}}} 。 (18)

3.2 星间激光通信链路优化模型

从(16)式中可以看出,在星间激光通信链路性能计算中涉及到的系统参数比较多,其中,发射功率和发射天线增益是其中相对比较重要的系统参数,为了综合考虑所有涉及到的系统参数,在此定义了两个新的变量^[12]:归一化发射功率(y=αP_T/ $σ_{\mod}^{2}$ )和归一化发射天线增益(x=G_T $σ_{\mod}^{2}$ ),其中α可以表示为

α = \frac{1}{2 \sqrt[]{2} σ_{N}} {(\frac{λ}{4 π d})}^{2} R G_{R} η_{T} η_{R}, (19)

将B=4x²y²代入 (18)式中可得

P_{out} = {(\frac{a}{4})}^{\frac{1}{4 x}} {(\frac{1}{xy})}^{\frac{1}{2 x}} 。 (20)

1) 发射功率优化模型。

为了使系统中断概率一定时所需的发射功率最小,建立了发射功率优化模型,可以表示为

\min y = f (x), (21)

可以通过选取适当的x值使得y最小。由于y=αP_T/ $σ_{\mod}^{2}$ 中,α和σ_mod都可以看作是定值,此时所求的最小发射光功率即可转化为使中断概率满足P_out=b时最小的y值。

此时,将P_out=b代入(20)式中可得

{(\frac{a}{4})}^{\frac{1}{4 x}} {(\frac{1}{xy})}^{\frac{1}{2 x}} = b, (22)

利用y对x进行求导可得

\frac{d y}{d x} = \sqrt[]{\frac{a}{4}} [\frac{2 x \ln (1 / b) - 1}{x^{2} b^{2 x}}], (23)

令 $\frac{d y}{d x}$ =0,可得此时的极值点为

x = \frac{1}{2 \ln (1 / b)} 。 (24)

为了确定这个极值点是否为极小值点,可以通过求y对x的二阶导数来确认,y对x的二阶导数为

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \sqrt[]{\frac{a}{4}} \{\frac{4 x^{2} \ln (1 / b) [x \ln (1 / b) - 1] + 2 x}{x^{4} b^{2 x}}\} 。 (25)

将(24)式代入到(25)式中可得

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \sqrt[]{\frac{a}{4}} [2 \ln {(1 / b)]}^{3} b^{- \frac{1}{\ln (1 / b)}}, 0 < b < 1 。 (26)

因此,(24)式中的极值点即为所求的极小值点。当中断概率满足P_out=b时,最小的y值为

y_{\min} = \sqrt[]{a} \ln (1 / b) b^{(1 / \ln b)} 。 (27)

由y=αP_T/ $σ_{\mod}^{2}$ 可得,此时最小的发射功率为

P_{Tmin} = \frac{2 \sqrt[]{2 a} σ_{N} \ln (1 / b) b^{(1 / \ln b)} σ_{\mod}^{2}}{R G_{R} η_{T} η_{R}} {(\frac{4 π d}{λ})}^{2} 。 (28)

由于x=G_T $σ_{\mod}^{2}$ =(2πW/λ)² $σ_{\mod}^{2}$ ,此时高斯光束发射时的最优均方根宽度W为

W = \frac{λ}{2 π σ_{\mod}} \sqrt[]{\frac{1}{2 \ln (1 / b)}} 。 (29)

2) 中断概率优化模型

为使在给定发射功率条件下系统的中断概率最小,建立了系统中断概率优化模型,可以表示为

\min P_{out} = g (x), (30)

可以通过选取适当的x值使得P_out最小。

在发射功率一定的情况下,令y=k,将其代入(20)式中可得

P_{out} = {(\frac{a}{4})}^{\frac{1}{4 x}} {(\frac{1}{xk})}^{\frac{1}{2 x}}, (31)

将P_out对x进行求导可得

\frac{d P_{out}}{d x} = - {(\frac{a}{4 x^{2} k^{2}})}^{\frac{1}{4 x}} \frac{2 + \ln \frac{a}{4 x^{2} k^{2}}}{4 x^{2}}, (32)

令 $\frac{d P_{out}}{d x}$ =0,可得此时的极值点为

x = \frac{\sqrt[]{a} e}{2 k}, (33)

式中e为自然常数,约为2.71828。

为了确定所求的极值点是否为所需的极小值点,求P_out对x二阶导数为

\frac{d^{2} P_{out}}{d x^{2}} = {(\frac{a}{4 x^{2} k^{2}})}^{\frac{1}{4 x}} \frac{{(2 + \ln \frac{a}{4 x^{2} k^{2}})}^{2} + 8 x (2 + \ln \frac{a}{4 x^{2} k^{2}}) + 8 x}{16 x^{4}} 。 (34)

从(34)式中可以看出,当x= $\sqrt[]{a}$ e/2k时,{2+ln[a/(4x²k²)]}=0,此时有d²P_out/dx²>0,x= $\sqrt[]{a}$ e/(2k)即为所求的极小值点。

此时的最小中断概率为

P_{O, \min} = {(1 / e)}^{\frac{k}{\sqrt[]{a} e}} 。 (35)

同样,由x=G_T $σ_{\mod}^{2}$ =(2πW/λ)² $σ_{\mod}^{2}$ ,可得此时高斯光束经天线往外发射时的最优均方根宽度W为

W = \frac{λ}{2 π} \sqrt[]{\frac{\sqrt[]{a} e}{2 k σ_{\mod}^{2}}} 。 (36)

4 数值仿真

为了分析星间激光通信系统中各个参数对链路性能的影响,利用(28)、(29)、(35)、(36)式进行了数值仿真。仿真参数^[13]设置如下:传输距离d=20000 km,接收天线的直径D_R=0.3 m,激光波长λ=1064 nm,发射天线效率η_T=0.5,接收天线效率η_R=0.35,量子效率η=0.7,电子电荷q=1.602176×10^-19 C,普朗克常量h=6.626069×10^-34 J·s,光波频率c=3×10⁸ m/s,高斯白噪声的方差 $σ_{N}^{2}$ =4.27×10^-12 A²,设定阈值a=1×10^-7。瞄准误差角θ服从贝克曼分布,分别在μ_x=μ_y=0和μ_x=1 μrad, μ_y=0.5 μrad这两种情况下,当σ_x=1 μrad,σ_y/σ_x分别取1, 2, 3/2 μrad时进行了仿真分析实验。

图2所示为所需的最小发射功率随中断概率的变化情况,从图中可以看出,当系统需要满足的中断概率越大时,所需的发射功率越小,且随着中断概率的减小,所需的发射功率将迅速增大。从瞄准误差角的分布情况不同时的对比可以看出,静态偏差角为0 (μ_x=μ_y=0)时所需的最小发射功率要明显小于静态偏差角不为0(μ_x=1 μrad, μ_y=0.5 μrad)时的,并且当σ_x/σ_y的取值不同时,一定的中断概率下,系统所需的发射功率相差较大,如当系统中断概率为0.01,μ_x=μ_y=0,σ_y/σ_x=1时,所需的发射功率要比σ_y/σ_x=3/2和σ_y/σ_x=2时分别小12.13 mW和34.38 mW。

图3所示为系统所需发射功率最小时的高斯光束最优均方根宽度随中断概率的变化规律。从图中可以看出,随着中断概率的增大,高斯光束的最优均方根宽度也随着增大,且当瞄准误差角的分布情况不同时,最优均方根宽度的取值差异较大;从图中还可以看出,当静态偏差角为0时的最优均方根宽度要明显大于静态偏差角不为0时的,并且当系统中断概率为0.01,μ_x=μ_y=0,σ_y/σ_x分别为1, 3/2,2时的最优均方根宽度依次为55.8,41.1,31.2 mm。结果表明,瞄准误差角的分布情况对星间激光通信系统参数的选取影响很大,在中断概率一定时,为了使系统所需的发射功率最小,必须要在明确瞄准误差角的分布规律下,选择合适的高斯光束均方根宽度。

图 2. 最小发射功率与中断概率间的关系

Fig. 2. Minimum transmitter power versus outage probability

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图 3. 最优均方根宽度与中断概率间的关系

Fig. 3. Optimal RMS width versus outage probability

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图4、5所示为当发射功率固定时,系统可以达到的最小中断概率以及此时高斯光束的最优均方根宽度随发射功率的变化情况。从图4、5可以看出,随着发射功率的增大,系统的中断概率性能逐渐提升,此时最优均方根宽度也随之减小。从图5可以看出,当瞄准误差角的分布情况不同时,最优均方根宽度的取值分布产生差别,此时静态偏差角为0时的最优均方根宽度要明显大于静态偏差角不为0时的,并且当系统发射功率为10 mW,μ_x=μ_y=0,σ_y/σ_x分别为1, 3/2,2时的最优均方根宽度依次为35.1,25.9,19.7 mm。结果表明发射功率固定时,为达到最小的中断概率,必须要结合瞄准误差角分布情况,选择最优的高斯光束均方根宽度。

图 4. 最小中断概率与发射功率间的关系

Fig. 4. Minimum outage probability versus transmitter power

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图 5. 最优均方根宽度与发射功率间的关系

Fig. 5. Optimal RMS width versus transmitter power

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5 结论

针对瞄准误差影响下的星间激光通信系统,结合星间链路传输方程,给出了当瞄准误差服从贝克曼分布时的中断概率表达式,并分别在固定中断概率和发射功率的条件下建立了发射功率优化模型和中断概率优化模型,通过模型求解,分别给出了这两种假设条件下高斯光束发射时的最优均方根宽度。通过数值仿真,给出了当中断概率一定时,系统所需的最小发射功率和最优均方根宽度随中断概率的变化规律,以及当发射功率一定时,系统所能达到的最小中断概率和最优均方根宽度随发射功率的变化规律。从数值仿真结果可以看出,当瞄准误差角的分布情况不同时,最优均方根宽度的取值相差较大,比如当系统中断概率为0.01,μ_x=μ_y=0,σ_y/σ_x分别为1,3/2,2时的最优均方根宽度依次为55.8,41.1,31.2 mm;当系统发射功率为10 mW,μ_x=μ_y=0时,σ_y/σ_x分别为1,3/2,2时的最优均方根宽度分别为35.1,25.9,19.7 mm。因此,为了使系统性能最优,必须要结合瞄准误差角分布,选择最优的高斯光束均方根宽度。本研究可为星间激光通信系统的研究和设计提供理论依据,具有一定的参考价值。

参考文献

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1 引言

2 星间激光通信基本原理

2.1 星间激光通信信号模型

2.2 基于贝克曼分布的瞄准误差模型

图 1. 瞄准误差下探测区域与接收光束截面之间关系示意图

Fig. 1. Schematic of relationship between detection area and beam cross section of receiving beam under pointing errors

3 星间激光通信系统优化模型

3.1 中断概率分析

3.2 星间激光通信链路优化模型

4 数值仿真

图 2. 最小发射功率与中断概率间的关系

Fig. 2. Minimum transmitter power versus outage probability

图 3. 最优均方根宽度与中断概率间的关系

Fig. 3. Optimal RMS width versus outage probability

图 4. 最小中断概率与发射功率间的关系

Fig. 4. Minimum outage probability versus transmitter power

图 5. 最优均方根宽度与发射功率间的关系

Fig. 5. Optimal RMS width versus transmitter power

5 结论

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1 引言

2 星间激光通信基本原理

2.1 星间激光通信信号模型

2.2 基于贝克曼分布的瞄准误差模型

图 1. 瞄准误差下探测区域与接收光束截面之间关系示意图

Fig. 1. Schematic of relationship between detection area and beam cross section of receiving beam under pointing errors

3 星间激光通信系统优化模型

3.1 中断概率分析

3.2 星间激光通信链路优化模型

4 数值仿真

图 2. 最小发射功率与中断概率间的关系

Fig. 2. Minimum transmitter power versus outage probability

图 3. 最优均方根宽度与中断概率间的关系

Fig. 3. Optimal RMS width versus outage probability

图 4. 最小中断概率与发射功率间的关系

Fig. 4. Minimum outage probability versus transmitter power

图 5. 最优均方根宽度与发射功率间的关系

Fig. 5. Optimal RMS width versus transmitter power

5 结论

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