多缀饰四波混频Autler-Townes分裂的相干控制

桑苏玲

doi:doi:10.3788/LOP56.081901

激光与光电子学进展, 2019, 56 (8): 081901, 网络出版: 2019-07-26

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Coherent Control of Multi-Dressed Four-Wave Mixing Autler-Townes Splitting

论文大纲

桑苏玲 ^*

作者单位

宁夏师范学院物理与电子信息工程学院纳米结构及功能材料工程技术研究中心, 宁夏固原 756000

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摘要

主要研究了多缀饰四波混频Autler-Townes (AT)分裂的相干控制。通过控制外加缀饰场的数量使四波混频信号由单缀饰向级联双缀饰转变,其中单缀饰和双缀饰四波混频信号通过扫描探测场失谐可以观察到AT分裂现象,并且在双缀饰四波混频信号中观察到了二级AT分裂现象。最后分析了AT分裂位置和宽度的影响因素。研究结果表明,通过控制缀饰场Rabi频率和失谐可实现AT分裂位置和宽度的相干控制。

Abstract

The coherent control of multi-dressed four-wave mixing (FWM) Autler-Townes (AT) splitting is mainly investigated. It is shown that the transformation of the FWM signals from singly-dressing to cascade doubly-dressing is realized by controlling the quantity of the additional dressing fields. Moreover, the AT splitting phenomena of the singly-dressed or doubly-dressed FWM signals can be observed when the frequency detuning of probe field is scanned. The second-order AT splitting phenomena of the doubly-dressed FWM signal is also observed. The factors influencing the position and linewidth of AT splitting are finally analyzed. The research results show that the position and linewidth of AT splitting can be coherently controlled by Rabi frequency or frequency detuning of the dressing field.

1 引言

相干激光场诱导的电磁诱导透明(EIT)是光与物质相互作用时表现出来的非线性量子相干效应,这种现象已经引起了许多学者的关注^[1-2],因为此时弱信号场几乎可以无吸收地通过共振介质。而且EIT现象的研究也极大地推动无反转激光^[3]、光速减慢^[4]、光控制和信息存储^[5-6]、量子通信^[7]、非线性光学^[8]和四波混频(FWM)^[9-10]等物理现象的研究。欧特莱-汤斯(Autler-Townes,AT)分裂,也称作AC Stark效应,是指强激光场共振作用于原子或分子跃迁时产生的谱线分裂的现象,其物理实质是强控制场诱导的分离缀饰态出现的结果。当前,AT 分裂已经在原子分子系统^[11-12]、量子点^[13]、超导量子电路^[14]中得到了广泛的研究,其研究成果被用于超导量子比特^[11,15]、电偶极矩的测量^[16-17]、空间成像测量^[18]等方面。

本文通过改变缀饰场的数量实现了FWM信号从单缀饰向双缀饰的转变,同时扫描探测场失谐观察到了一级和二级AT分裂。计算结果表明,改变缀饰场参量可以实现对两级AT分裂的灵活控制。

2 基本理论

能级系统及空间配置如图1所示。跃迁于|0>能级到|1>能级的两束抽运场E₁(ω₁,k₁)、E'₁(ω₁,k'₁)和一束探测场E₃(ω₁,k₃)有相同的失谐Δ₁=Ω₁₀-ω₁,其中Ω₁₀为|0>能级到|1>能级的共振频率,k为波矢,ω为角频率。跃迁于|1>能级到|2>能级间的缀饰场E₂(ω₂,k₂)失谐为Δ₂=Ω₂₁-ω₂,其中Ω₂₁为|1>能级到|2>能级的共振频率。而另一个缀饰场E₄(ω₃,k₄)同样存在|0>能级和|1>能级之间的跃迁,失谐为Δ₃=Ω₁₀-ω₃。Rabi频率定义如下: G_i=μ_mnE_i/ $\begin{matrix} \bar{h} \end{matrix}$ (i=1, 2, 3,4),其中μ_mn为能级|m>和|n>之间的跃迁偶极矩,E_i为电场强度, $\begin{matrix} \bar{h} \end{matrix}$ 为归一化普朗克常数。抽运场E₁和E'₁及缀饰场E₂和E₄沿z轴方向传播,而探测场E₃的方向和它们是相反的。E₁和E'₁之间有很小的夹角,使得满足相位匹配条件k_F=k₁-k'₁+k₃的简并四波混频(DFWM)信号场E_F(ω₁,Δ₁=Ω₁₀-ω₁和G_F=μ₁₀E_F/ $\begin{matrix} \bar{h} \end{matrix}$ )沿与E'₁相反的方向传播。

图 1. 能级系统及空间配置。(a)级联三级系统能级图;(b)相位配置

Fig. 1. Related energy-level system and geometric configuration. (a) Energy-level of cascade three-level system; (b) phase-matching configuration

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对DFWM 信号场E_F来说,它的产生过程可以分解为四步跃迁过程:第一步是|0>能级到|1>能级的跃迁过程,此过程吸收一个抽运场E₁的光子;第二步是|1>能级到|0>能级的跃迁过程;第三步又是一个|0>能级到|1>能级的跃迁过程,此时吸收一个探测场E₃的光子,最后一个是|1>能级到|0>能级的跃迁过程,发出一个频率为ω₁的FWM光子。在偶极近似的条件下,此系统的相互作用哈密顿算符^[19]为

\begin{matrix} \begin{matrix} H_{1} = \bar{h} Δ_{1} | 1 > < 1 | - \bar{h} \{G_{3} \exp (i k_{3} \cdot r) | 1 > < 0 | + \\ [G_{1} \exp (i k_{1} \cdot r) | 1 > < 0 | + G'_{1} \exp (ik'_{1} \cdot r) \times \\ | 1 > < 0 |] + H . c .\}, (1) \end{matrix} \end{matrix}

式中:r为空间某点的位置矢量;H.c.为前面所有量的厄米共轭量。结合密度矩阵方程(∂ρ/∂t)=(1/ $\begin{matrix} \bar{i h} \end{matrix}$ )[H₁,ρ]-Γρ及DFWM信号场的Liouville路径 $\begin{matrix} ρ_{00}^{(0)} \end{matrix} \begin{matrix} \overset{G_{1}}{\to} \end{matrix} \begin{matrix} ρ_{10}^{(1)} \end{matrix} \begin{matrix} \overset{(G'_{1})^{*}}{\to} \end{matrix} \begin{matrix} ρ_{00}^{(2)} \end{matrix} \begin{matrix} \overset{G_{3}}{\to} \end{matrix} \begin{matrix} ρ_{10}^{(3)} \end{matrix}$ ,可得三阶密度矩阵元为

\begin{matrix} ρ_{10}^{(3)} = \frac{g}{Γ_{00} d_{1}^{2}}, (2) \end{matrix}

其中:ρ为密度矩阵;H₁为哈密顿量;Г为弛豫系数矩阵;g=-iG₃G₁ $\begin{matrix} (G'_{1})^{*} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} (G'_{1})^{*} \end{matrix}$ 为G'₁的共轭;d₁=iΔ₁+Γ₁₀,为信号产生项,Γ_ij为|i>能级与|j>能级之间的横向弛豫系数。

当缀饰场E₂场缀饰DFWM信号,对应的DFWM信号Liouville路径为 $\begin{matrix} ρ_{00}^{(0)} \end{matrix} \begin{matrix} \overset{G_{1}}{\to} \end{matrix} \begin{matrix} ρ_{G 2 \pm 0}^{(1)} \end{matrix} \begin{matrix} \overset{(G'_{1})^{*}}{\to} \end{matrix} \begin{matrix} ρ_{00}^{(2)} \end{matrix} \begin{matrix} \overset{G_{3}}{\to} \end{matrix} \begin{matrix} ρ_{G 2 \pm 0}^{(3)} \end{matrix}$ ,可以求得单缀饰FWM信号密度矩阵元表达式为

\begin{matrix} ρ_{10}^{(3)} = \frac{g}{Γ_{00} {(d_{1} + {|G_{2}|}^{2} / d_{2})}^{2}}, (3) \end{matrix}

式中:d₂=Γ₂₀+i(Δ₁+Δ₂);双光子项 $\begin{matrix} {|G_{2}|}^{2} \end{matrix}$ / $\begin{matrix} [Γ_{20} + i (Δ_{1} + Δ_{2})] \end{matrix}$ 为E₂起缀饰作用的单缀饰项。

当E₂和E₄同时作用于DFWM信号场时,可以得到级联双缀饰的DFWM信号,此信号的Liouville路径为 $\begin{matrix} ρ_{00}^{(0)} \end{matrix} \begin{matrix} \overset{G_{1}}{\to} \end{matrix} \begin{matrix} ρ_{(G 2 \pm G 4 \pm) 0}^{(1)} \end{matrix} \begin{matrix} \overset{(G'_{1})^{*}}{\to} \end{matrix} \begin{matrix} ρ_{00}^{(2)} \end{matrix} \begin{matrix} \overset{G_{3}}{\to} \end{matrix} \begin{matrix} ρ_{(G 2 \pm G 4 \pm) 0}^{(3)} \end{matrix}$ ,求得的三阶密度矩阵元的形式为

\begin{matrix} ρ_{10}^{(3)} = \frac{g}{Γ_{00} {(d_{1} + {|G_{2}|}^{2} / d_{2} + {|G_{4}|}^{2} / d_{3})}^{2}}, (4) \end{matrix}

式中:d₃=Γ₀₀+i(Δ₁-Δ₃);双光子项 $\begin{matrix} {|G_{4}|}^{2} \end{matrix}$ /[Γ₀₀+i(Δ₁-Δ₃)]为对E₄起缀饰作用的缀饰项。FWM信号的强度I_F正比于| $\begin{matrix} ρ_{10}^{(3)} \end{matrix}$ |₂。

3 数值分析与讨论

3.1 简并四波混频

在建立了上述理论模型后,研究了不同缀饰作用的DFWM信号。首先研究无缀饰作用的DFWM信号。此时,信号强度由(2)式给出。计算使用的参数为G₁=G'₁=5 MHz,G₃=1 MHz,G₂=0 MHz,Γ₀₀=2π×3 MHz,Γ₁₀=2π×3 MHz,Δ₁与DFWM信号强度的关系曲线如图2(a)可知,图中DFWM信号强度的最大值归一为1。由图2(a)可知,扫描探测场失谐Δ₁时,在Δ₁<0的区域,随着Δ₁的增大,DFWM的信号强度急剧增大;而在Δ₁>0的区域,随着Δ₁的增大,DFWM的信号强度急剧减小;在Δ₁=0处,当探测场与|1>能级实现单光子共振即满足单光子共振条件Δ₁=0时[如图2(b)所示],DFWM的信号强度达到其最大值。这种单光子共振现象同时也可体现在(2)式中的单光子项(iΔ₁+Γ₁₀)中。

图 2. DFWM信号的模拟结果。(a) Δ1与DFWM信号强度的关系曲线;(b) DFWM信号系统能级图

Fig. 2. Simulation results of DFWM signal. (a) Δ1versus DFWM signal intensity; (b) energy-level diagram of DFWM signal system

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3.2 单缀饰四波混频

研究不同缀饰场失谐Δ₂、扫描探测场失谐Δ₁下单缀饰DFWM信号的变化规律。此时,信号强度由(3) 式给出。计算使用的参数分别为G₁=G'₁=5 MHz,G₃=1 MHz,G₂=55 MHz,Γ₀₀=2π×3 MHz,Γ₁₀=2π×3 MHz,Γ₂₀=2π×0.535 MHz。单缀饰DFWM信号的模拟结果如图3所示。首先研究了单缀饰DFWM信号随探测场失谐Δ₁和缀饰场失谐Δ₂的变化规律,模拟结果如图3(a)所示。图3(b)给出了改变缀饰场失谐Δ₂、扫描探测场失谐Δ₁时,Δ₁与DFWM信号强度的关系曲线。扫描探测场失谐Δ₁时,单缀饰DFWM信号表现出一级AT分裂现象。在图3(b)中,改变缀饰场失谐时,可以观察到AT分裂的位置和宽度发生变化。AT分裂及其变化,可利用(3)式中的双光子缀饰项 $\begin{matrix} {|G_{2}|}^{2} \end{matrix}$ / $\begin{matrix} [Γ_{20} + i (Δ_{1} + Δ_{2})] \end{matrix}$ 进行说明。由双光子缀饰项可看出,AT分裂的中心位置需满足双光子共振条件Δ₁+Δ₂=0,所以,当改变缀饰场失谐Δ₂时,AT分裂的中心位置也会发生变化。

图 3. 单缀饰DFWM信号的模拟结果。(a) Δ1、Δ2 与DFWM信号强度的关系曲线;(b)不同的Δ2处,Δ1与DFWM信号强度的关系曲线;(c) DFWM信号系统能级图,(c1) Δ2=-150 MHz;(c2) Δ2=0 MHz;(c3) Δ2=150 MHz

Fig. 3. Simulation results of singly-dressed DFWM signal. (a) Δ1, Δ2 versus DFWM signal intensity; (b) Δ1 versus DFWM signal intensity at different Δ2; (c) energy-level diagrams of DFWM signal system for (c1) Δ2=-150 MHz, (c2) Δ2=0 MHz and (c3) Δ2=150 MHz

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上述的扫描结果也可以通过缀饰态模型得到解释。如图3(c)所示,缀饰场E₂作用在|1>能级上,将|1>能级分裂为缀饰能级|±>,可以用本征方程H'|±>=λ_±|±>进行描述,其中H'= $\begin{matrix} \bar{h} \end{matrix}$ × $\begin{matrix} [Δ_{2} | 2 > < 2 | - (G_{2} | 2 > < 1 | + H . c .)] \end{matrix}$ 为|1>-|2>子能级系统的相互作用哈密顿算符,由此便可以得到缀饰态的本征态和本征值(从|1>能级开始测量)为

\begin{matrix} | \pm > = \sin θ_{\pm} | 1 > + \cos θ_{\pm} | 2 >, λ_{\pm} = \frac{Δ_{2}}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt[]{Δ_{2}^{2} + 4 G_{2}^{2}}, (5) \end{matrix}

式中:sinθ_±/cosθ_±=(Δ₂-λ_±)/G₂。由(5)式可以看出,缀饰能级|+>及|->的位置会随着缀饰场失谐Δ₂发生变化。当探测场与缀饰能级|+>及|->发生单光子共振时,即满足条件Δ₁+λ₊=0或Δ₁+λ_-=0时,就可以观察到AT分裂的两个峰值位置,其中左峰是与|+>共振形成的,此时满足条件Δ₁+λ₊=0;右峰是与|->共振形成的,满足条件Δ₁+λ_-=0。而AT分裂宽度应等于缀饰能级|+>及|->之间的距离 $\begin{matrix} \sqrt[]{Δ_{2}^{2} + 4 G_{2}^{2}} \end{matrix}$ ,这也说明AT分裂宽度随Δ₂和G₂的变化而变化[如图3(b)所示]。当缀饰场失谐Δ₂为小失谐时,AT的分裂宽度约等于2G₂。

图 4. 双缀饰DFWM信号的模拟结果。(a)固定Δ2=0 MHz,改变的Δ3,Δ1与FWM信号强度关系曲线;(b) FWM信号系统能级图,Δ2=0 MHz;(b1) Δ3=-100 MHz;(b2) Δ3=0 MHz;(b3) Δ3=100 MHz

Fig. 4. Simulation results of doubly-dressed DFWM signal. (a) Δ1versus FWM signal intensity under different Δ3 at Δ2=0 MHz; (b) energy-level diagrams of FWM signal system at Δ2=0 MHz for (b1) Δ3=-100 MHz, (b2) Δ3=0 MHz and (b3) Δ3=100 MHz

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3.3 双缀饰简并四波混频

接着研究不同缀饰场失谐Δ₂及Δ₃处,扫描探测场失谐Δ₁时,E₂和E₄级联双缀饰DFWM信号的变化规律。此时,信号强度由(4) 式给出。计算使用的参数分别为G₁=G'₁=5 MHz,G₃=1 MHz,G₂=55 MHz,G₄=40 MHz,Γ₀₀=2π×3 MHz,Γ₁₀=2π×3 MHz,Γ₂₀=2π×0.535 MHz。为了简化,研究E₂和E₄级联双缀饰DFWM信号时,令E₂缀饰场失谐Δ₂=0。双缀饰DFWM信号的模拟结果如图4所示。在Δ₂=0时,E₄缀饰场Δ₃取不同值,扫描探测场失谐Δ₁时,Δ₁与FWM信号强度的关系曲线如图4(a)所示。在图4(a)中,可以观察到一级[(a1)、(a2)、(a3)的右峰和(a5)、(a6) 及(a7)中的左峰]和二级AT分裂[ (a1)、(a2)、(a3)的左侧双峰和(a5)、(a6)及(a7)的右侧双峰],其中一级AT分裂由E₂缀饰场产生,而二级AT分裂由E₄缀饰场产生。在图4(a)中,可以观察到两级AT分裂的位置和宽度会随着E₄缀饰场失谐发生变化。这可由(4)式级联双缀饰DFWM信号密度矩阵元表达式中的双光子缀饰项 $\begin{matrix} {|G_{2}|}^{2} \end{matrix}$ / $\begin{matrix} [Γ_{20} + i (Δ_{1} + Δ_{2})] \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} {|G_{4}|}^{2} \end{matrix}$ / $\begin{matrix} [Γ_{00} + i (Δ_{1} - Δ_{3})] \end{matrix}$ 体现出来。

4 结论

通过改变外加缀饰场的数量使得FWM信号由无缀饰FWM信号、单缀饰FWM信号向级联双缀饰FWM信号转变。单缀饰FWM信号和双缀饰FWM信号在扫描探测场失谐可以观察到AT分裂现象,并且在双缀饰FWM信号中观察到了二级AT分裂现象。通过计算,发现AT分裂的位置和宽度取决于缀饰场Rabi频率和失谐。另外,理论计算使用的参数是铷85原子的真实参数,可以预见所有研究结论都可以在实验中观测到。这种对FWM信号进行灵活控制的方法,可以构成全光开关的与门和或门,用于制作光通信及光计算的单元器件。

参考文献

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桑苏玲. 多缀饰四波混频Autler-Townes分裂的相干控制[J]. 激光与光电子学进展, 2019, 56(8): 081901. Suling Sang. Coherent Control of Multi-Dressed Four-Wave Mixing Autler-Townes Splitting[J]. Laser & Optoelectronics Progress, 2019, 56(8): 081901.

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1 引言

2 基本理论

图 1. 能级系统及空间配置。(a)级联三级系统能级图;(b)相位配置

Fig. 1. Related energy-level system and geometric configuration. (a) Energy-level of cascade three-level system; (b) phase-matching configuration

3 数值分析与讨论

3.1 简并四波混频

图 2. DFWM信号的模拟结果。(a) Δ1与DFWM信号强度的关系曲线;(b) DFWM信号系统能级图

Fig. 2. Simulation results of DFWM signal. (a) Δ1versus DFWM signal intensity; (b) energy-level diagram of DFWM signal system

3.2 单缀饰四波混频

图 3. 单缀饰DFWM信号的模拟结果。(a) Δ1、Δ2 与DFWM信号强度的关系曲线;(b)不同的Δ2处,Δ1与DFWM信号强度的关系曲线;(c) DFWM信号系统能级图,(c1) Δ2=-150 MHz;(c2) Δ2=0 MHz;(c3) Δ2=150 MHz

Fig. 3. Simulation results of singly-dressed DFWM signal. (a) Δ1, Δ2 versus DFWM signal intensity; (b) Δ1 versus DFWM signal intensity at different Δ2; (c) energy-level diagrams of DFWM signal system for (c1) Δ2=-150 MHz, (c2) Δ2=0 MHz and (c3) Δ2=150 MHz

图 4. 双缀饰DFWM信号的模拟结果。(a)固定Δ2=0 MHz,改变的Δ3,Δ1与FWM信号强度关系曲线;(b) FWM信号系统能级图,Δ2=0 MHz;(b1) Δ3=-100 MHz;(b2) Δ3=0 MHz;(b3) Δ3=100 MHz

Fig. 4. Simulation results of doubly-dressed DFWM signal. (a) Δ1versus FWM signal intensity under different Δ3 at Δ2=0 MHz; (b) energy-level diagrams of FWM signal system at Δ2=0 MHz for (b1) Δ3=-100 MHz, (b2) Δ3=0 MHz and (b3) Δ3=100 MHz

3.3 双缀饰简并四波混频

4 结论

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1 引言

2 基本理论

图 1. 能级系统及空间配置。(a)级联三级系统能级图;(b)相位配置

Fig. 1. Related energy-level system and geometric configuration. (a) Energy-level of cascade three-level system; (b) phase-matching configuration

3 数值分析与讨论

3.1 简并四波混频

图 2. DFWM信号的模拟结果。(a) Δ1与DFWM信号强度的关系曲线;(b) DFWM信号系统能级图

Fig. 2. Simulation results of DFWM signal. (a) Δ1versus DFWM signal intensity; (b) energy-level diagram of DFWM signal system

3.2 单缀饰四波混频

图 3. 单缀饰DFWM信号的模拟结果。(a) Δ1、Δ2 与DFWM信号强度的关系曲线;(b)不同的Δ2处,Δ1与DFWM信号强度的关系曲线;(c) DFWM信号系统能级图,(c1) Δ2=-150 MHz;(c2) Δ2=0 MHz;(c3) Δ2=150 MHz

Fig. 3. Simulation results of singly-dressed DFWM signal. (a) Δ1, Δ2 versus DFWM signal intensity; (b) Δ1 versus DFWM signal intensity at different Δ2; (c) energy-level diagrams of DFWM signal system for (c1) Δ2=-150 MHz, (c2) Δ2=0 MHz and (c3) Δ2=150 MHz

图 4. 双缀饰DFWM信号的模拟结果。(a)固定Δ2=0 MHz,改变的Δ3,Δ1与FWM信号强度关系曲线;(b) FWM信号系统能级图,Δ2=0 MHz;(b1) Δ3=-100 MHz;(b2) Δ3=0 MHz;(b3) Δ3=100 MHz

Fig. 4. Simulation results of doubly-dressed DFWM signal. (a) Δ1versus FWM signal intensity under different Δ3 at Δ2=0 MHz; (b) energy-level diagrams of FWM signal system at Δ2=0 MHz for (b1) Δ3=-100 MHz, (b2) Δ3=0 MHz and (b3) Δ3=100 MHz

3.3 双缀饰简并四波混频

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