太赫兹金属平行平板波导TE<sub>1</sub>模式有效折射率的近似表达式

李哲; 滕达; 白丽华; 曹清

doi:doi:10.3788/LOP57.192302

激光与光电子学进展, 2020, 57 (19): 192302, 网络出版: 2020-09-27

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Approximate Formula for Effective Refractive Index of TE₁ Mode in Terahertz Parallel-Plate Metal Waveguides

论文大纲

李哲 ¹滕达 ^2,*白丽华 ¹曹清 ¹

作者单位

¹ 上海大学理学院, 上海 200444

² 郑州师范学院物理与电子工程学院, 河南郑州 450044

光学器件波导太赫兹波金属光学远红外 optical devices waveguides terahertz waves metal optics far infrared

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摘要

对太赫兹金属平行平板波导的最低阶横电(TE1)模式进行理论研究,并且在真实金属参数的条件下,推导出一个适用于太赫兹金属平行平板波导TE1模式有效折射率的近似表达式。首先对TE1模式进行基于有限元方法的数值模拟,并且将模拟结果与近似表达式所得的数值进行对比,验证理论推导的可行性。接着由误差分析表明所推导的近似表达式在整个太赫兹波段具有很高的精确度,并且具有适用频率范围广的特点。模拟仿真结果表明,该近似表达式对TE1模式的分析具有高度的适用性,将对金属平行平板波导的研究和应用起到一定的促进作用。

Abstract

This paper describes a theoretical study of the lowest-order transverse electric (TE₁) mode of a terahertz parallel-plate metal waveguide, and an approximate expression for the effective refractive index of the TE₁ mode of the terahertz parallel-plate metal waveguide is derived under the condition of real metal parameters. First, the TE₁ mode is numerically simulated based on the finite element method, and the simulation results are compared with the values obtain from the approximate expressions to verify the feasibility of the theoretical derivation. The error analysis shows that the deduced approximate expression has high accuracy in the entire terahertz band and exhibits the characteristics of a wide range of applicable frequencies. Simulation results show that this approximate expression has a high degree of applicability to the analysis of the TE₁ mode and will promote the research and application of parallel-plate metal waveguides.

1 引言

太赫兹(THz)波是频率在0.1~10 THz之间的电磁波,在通信、成像和传感等领域得到了广泛的应用^[1-6]。为了满足上述各类应用的需求,科研人员提出和研究了多种THz波导结构,如金属线^[7-9]、石墨烯等离激元波导^[10-12]、光子晶体波导^[13-15]、空芯波导^[16-18]、金属矩形波导(RWG)^[4,19-20]和平行平板波导(PPWG)^[21-23]等。其中金属PPWG由于具有简单的结构和较低的模式损耗,吸引了大量研究人员的研究兴趣。在THz波段,金属PPWG中的两个主要模式为最低阶横磁模(TM₀)和最低阶横电模(TE₁)^[23]。TE₁模式因具有低欧姆损耗和腔共振现象等特性而得到了广泛的研究,并在传感和滤波等方面起到重要的作用^[24-27]。基于金属PPWG的漏波天线,研究人员建立了THz波段的多通道无线通讯,这表明TE₁模式在通信领域具有广泛的应用前景^[1,28]。

目前,关于THz PPWG的理论研究主要基于经典微波波导理论,即在模式理论分析中采用完美电导体(PEC)边界,并且采用不同的方法分别研究模式的传播常数和衰减常数^[22,29]。但是,由于THz波覆盖的频率范围较广,当研究的频率延伸到远红外波段时,基于微波理论的研究方法将不再适用,故采用真实金属参数来分析PPWG中的有效折射率。目前,研究人员对THz金属波导传输模式的有效折射率已有所研究,已建立一个简单有效的金属RWG的TE₀₁模式与金属PPWG的TE₁及TM₀模式的关系^[30]。另外,TM₀模式的有效折射率可以采用与金属狭缝中TM偏振性质类似的方法来计算获得^[31]。根据上述背景,TE₁模式有效折射率的研究对于完善PPWG和RWG低阶模式之间的关系起到一定的作用。考虑到金属PPWG中TE₁模式的重要应用价值,同时为了更深入地理解其物理机制,建立可用于描述THz PPWG中TE₁模式有效折射率的表达式具有一定的研究意义。

本文对THz PPWG中TE₁模式进行理论分析,并理论推导得到一个TE₁模式复有效折射率的近似表达式。首先采用真实金属参数对表达式进行有限元方法(FEM)的数值仿真,然后对金属PPWG进行模式分析,从而测试该表达式的可行性和精确度,最后在不同的几何参数和频率下进行误差分析。仿真结果表明,该近似表达式可适用于整个THz波段,并且在中红外波段也具有良好的精确度。

2 理论分析

理论分析使用一个无限宽的金属PPWG,即金属板可视为在Y方向无限延伸,结构如图1所示。其中ε_m为金属的相对介电常数,坐标原点位于结构的几何中心,Z方向为THz波的传输方向,板间距为a,填充介质为空气,介质的相对介电常数ε_d=1。

图 1. 金属PPWG的结构示意图

Fig. 1. Schematic of metal PPWG structure

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对于金属PPWG中的TE₁模式,其模式场为与金属板平行的切向电场分量E_Y。具体情况下,PPWG中的切向电场在电介质中表现为余弦形式,在金属中的电场表现为指数衰减形式。因此,电介质和金属中的电场可分别表示为

\begin{array}{l} E_{Y, d} = A \cos (k_{x, d} x), 0 \leq |x| \leq a / 2, (1) \\ E_{Y, m} = B \exp [- k_{x, m} (|x| - a / 2)], |x| > a / 2, (2) \end{array}

式中:A和B均为待定系数; $k_{x, d} 和 k_{x, m}$ 分别为电介质和金属中的电场在Y方向的分离常数。另外,TE₁模式的场分量还包含纵向传输因子 $\exp (j n_{eff} k_{0} z),$ 其中n_eff为有效折射率, $k_{0} = 2 π / λ_{0}, λ_{0}$ 为真空波长,z为纵向传输距离。根据标量亥姆霍兹方程可得

\begin{array}{l} k_{x, d} = k_{0} \sqrt[]{1 - n_{eff}^{2}}, (3) \\ k_{x, m} = k_{0} \sqrt[]{n_{eff}^{2} - ε_{m}} 。 (4) \end{array}

考虑到在THz波段, $|{n_{eff}}^{2}| ≪ |ε_{m}|$ ,则可将(4)式改写为

k_{x, m} \approx k_{0} \sqrt[]{- ε_{m}} 。 (5)

设时间因子为 $\exp (- j ωt)$ ,其中ω为角频率,t为时间,并根据麦克斯韦方程组,磁场分量H_z_,_i可表示为

H_{z, i} = - \frac{1}{j ωμ} \frac{\partial E_{y, i}}{\partial x}, (6)

式中:i为d或m,分别对应电介质或金属中的场分量;μ为材料的磁导率。当考虑非磁性金属时,μ=μ₀,其中μ₀为真空磁导率。在无源的情况下,根据E_Y_,_i和H_z_,_i在空气介质和金属边界上的连续关系,当x=a/2时,可得

k_{x, d} \sin (k_{x, d} a / 2) = k_{x, m} \cos (k_{x, d} a / 2) 。 (7)

根据金属具有的特性, $E_{Y, d}$ 在空气介质-金属界面处接近于0。并且根据(1)式,可以假设 $k_{x, d} a / 2 \approx π / 2$ ,并对其进行展开,表达式为

\begin{array}{l} \sin \frac{k_{x, d} a}{2} \approx \sin \frac{π}{2} + (\frac{k_{x, d} a}{2} - \frac{π}{2}) \cos \frac{π}{2} = 1, (8) \\ \cos \frac{k_{x, d} a}{2} \approx \cos \frac{π}{2} - (\frac{k_{x, d} a}{2} - \frac{π}{2}) \sin \frac{π}{2} = \\ \frac{π}{2} - \frac{k_{x, d} a}{2} 。 (9) \end{array}

由(5)式和(7)~(9)式,可得

\begin{array}{l} k_{x, d} \approx \frac{π}{a} (1 - \frac{2}{2 + k_{0} a \sqrt[]{- ε_{m}}}) \approx \\ \frac{π}{a} (1 - \frac{2}{k_{0} a \sqrt[]{- ε_{m}}}) 。 (10) \end{array}

最后根据(3)式,可得TE₁模式中n_eff的近似表达式为

n_{eff} \approx \sqrt[]{1 - \frac{π^{2}}{{k_{0}}^{2} a^{2}} {(1 - \frac{2}{k_{0} a \sqrt[]{- ε_{m}}})}^{2}} 。 (11)

3 模拟结果

为了验证理论推导的可行性和表达式的精确度,通过商业软件COMSOL对表达式进行FEM模拟仿真以求解PPWG的本征模式,得到TE₁模式场分布和有效折射率。模拟过程中使用的金属,其相对介电常数可通过拟合的Drude模型来获得^[32]。

首先,将(1)式和(2)式计算所得的电场分布与模拟结果进行对比,使用的频率为1 THz,模拟预设的光速c=2.99792458×10⁸ m/s,a=0.6λ₀≈179.88 μm。当频率为1 THz时,相对介电常数分别为ε_Cu=-5.49×10⁵+1.20×10⁶j和ε_Au=-1.20×10⁵+7.22×10⁵j。对铜和金分别进行模拟仿真,模拟的场分布如图2(a)和图2(d)所示,其中虚线表示空气-金属界面。根据PPWG结构和TE₁模式的对称性,选取x≥0一侧的空气介质中和金属内部的电场分布进行理论值和模拟结果的对比,空气和金属中的电场分布如图2(b)和图2(e)所示,其中虚线表示空气-金属界面。金属中的电场分布如图2(c)和图2(f)所示,分别对应图2(b)和图2(e)中虚线右侧的细节放大。由于理论值为代入(5)式和(10)式近似值计算的结果,从图2(c)和图2(f)可以看到理论值和模拟结果存在微小差别,但是两组结果整体相符,说明理论推导近似值的可行性。因为铜和金的相对介电常数的数量级相近,所以在进行模拟和计算的情况下,两种金属有相似的场分布。值得注意的是,模拟仿真使用的是真实的相对介电常数,电导率为有限值,所以在空气-金属界面上,切向电场分量不为零而是一个接近于零的场值,如图2(c)和图2(f)所示。在 $|ε_{Cu}| > |ε_{Au}|$ 的情况下,铜模拟金属边界上的归一化电场值小于金。从图2(c)和图2(f)可以看到,金属中电场的衰减曲线不同于一般指数衰减的形式,并且理论值与模拟值的变化规律相符。通过理论分析,其原因在于由(4)式求得的 $k_{x, m}$ 为复数,并且当频率为1 THz时,(2)式的指数部分中 $k_{x, m}$ 的实数和虚数部分数量级相当,均为10⁷,从而由(2)式描述的金属内电场总体呈现快速衰减的趋势,但由于受到 $k_{x, m}$ 虚部的影响,衰减曲线表现出一种类似“振荡”的变化趋势。

金属PPWG中TE1模式的归一化切向电场分布。(a)(d)模拟所得的归一化模式场分布;(b)(e)空气和金属中的电场分布;(c)(f)金属中的电场分布

图 2. 金属PPWG中TE₁模式的归一化切向电场分布。(a)(d)模拟所得的归一化模式场分布;(b)(e)空气和金属中的电场分布;(c)(f)金属中的电场分布

Fig. 2. Normalized tangential electric field distribution of TE₁ mode in metal PPWG. (a)(d) Normalized mode field distribution obtained by simulation; (b)(e) electric field distribution in air and metal; (c)(f) electric field distribution in metal

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接着,在不同参数和频率的情况下,对近似表达式和模拟结果进行对比。考虑到金属铜和金具有相似的模拟结果,此时模拟和计算只选用金属铜。首先在频率为5 THz的情况下,对比有效折射率随板间距与波长之比a/λ₀变化的关系,有效折射率的实部和虚部分别记为Re(n_eff)和Im(n_eff),结果如图3(a)和图3(b)所示。从图3(a)和图3(b)可以看到,通过推导得到(11)式的理论值与FEM模拟的结果符合得很好。随着a/λ₀值的增大,Re(n_eff)值逐渐增大并趋近于1,Im(n_eff)值逐渐减小。当a/λ₀=0.5时,TE₁模式已经接近于截止,因此将a/λ₀设置为0.6用来研究TE₁单模的情况,频率对有效折射率的影响情况,如图3(c)和图3(d)所示。从图3(c)和图3(d)可以看到,理论计算值与模拟结果依然相符,随着频率的增大,金属的相对介电常数逐渐减小,更多的电场可以进入金属,从而使得损耗逐渐增大,所以Im(n_eff)值逐渐增大。PEC边界是一种无耗表面,其介电常数可视为无穷大,因此当对PEC进行模拟时,有效折射率为实数。此外还分别对比PEC的模拟结果随a/λ₀和频率的变化情况,结果如图3(a)和图3(c)所示。从图3(a)可以看到,当a/λ₀=0.5时,PEC的有效折射率为0,根据经典波导理论,此时位于截止条件的临界状态。由于真实金属参数中具有有限的相对介电常数,金属中存在电场分布,所以当a/λ₀=0.5时,PEC与金属的模拟值差异明显。当a/λ₀增加时,板间介质中的电场分布在模式场分布中起到主要作用,所以PEC的模拟结果与真实金属参数的模拟值的差别有所减小。从图3(c)可以看到,由于a/λ₀值固定为0.6,PEC的模拟结果始终保持在0.5528左右,随着频率的增加,PEC的模拟结果与真实金属参数差异增大。主要原因在于铜的相对介电常数的绝对值随着频率的增加而减小,因此在研究过程中,不能继续将铜视为理想金属,所以在低频段,二者的模拟结果差异较小,在频率较高的范围内,相比(11)式的计算值,PEC的模拟结果与真实金属参数差异显著。这一结果说明相比于采用理想金属的假设,(11)式能够更好地描述金属的有效折射率。

近似表达式和模拟结果的对比。(a) neff的实部随a/λ0的变化;(b) neff的虚部随a/λ0的变化;(c) neff的实部随频率的变化;(d) neff的虚部随频率的变化

图 3. 近似表达式和模拟结果的对比。(a) n_eff的实部随a/λ₀的变化;(b) n_eff的虚部随a/λ₀的变化;(c) n_eff的实部随频率的变化;(d) n_eff的虚部随频率的变化

Fig. 3. Comparison of approximate expressions and simulation results. (a) Real part of n_eff changes with a/λ₀; (b) imaginary part of n_eff changes with a/λ₀; (c) real part of n_eff changes with frequency; (d) imaginary part of n_eff changes with frequency

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为了对近似表达式的精确度进行详细评估,所以对不同的因素进行误差分析。此时选用对金属铜进行FEM模拟所得的有效折射率n_sim,可以利用近似表达式求得n_eff实部和虚部的相对误差,分别记为 $Δ_{R} = |Re (n_{eff}) - Re (n_{sim})| / |Re (n_{sim})| 和 Δ_{I} = |Im (n_{eff}) - Im (n_{sim})| / |Im (n_{sim})| 。$ 当a=0.6λ₀时,计算所得的相对误差随频率的变化如图4(a)所示。从图4(a)可以看到,随着频率的增加,n_eff实部和虚部的相对误差均有所增加。这一现象可以由金属相对介电常数ε_m的变化来理解。理论推导过程中,近似表达式利用电场在空气介质-金属界面的场值接近于零的特点。当ε_m随着频率的增加而减小时,界面上的场值会略微增加,从而减小近似结果的精度。但值得注意的是,当频率达到100 THz时,Δ_R=1.37×10^-3,Δ_I=5.41×10^-2,这说明(11)式依旧具有较好的精确度,在中红外波段仍然可行。

随后,当频率为5 THz时,近似表达式在不同板间距的误差变化情况,如图4(b)所示。模拟仿真中,a值的变化范围设置为0.6λ₀~2.0λ₀。随着a/λ₀值的增大,Δ_R和Δ_I值均逐渐减小。通过模拟发现,当a/λ₀值接近于截止模式的条件时,相对误差会显著增大,这是因为板间介质中的电场分布会偏离(1)式的表现形式,使得近似处理的误差增大。从图4(b)可以看到,当频率为5 THz,a/λ₀=0.6时,(11)式的相对误差Δ_R=4.97×10^-6,Δ_I=3.00×10^-3。当a/λ₀=2.0时,实部的误差已经显著地减小到Δ_R=1.34×10^-8,这表明该近似表达式对于描述TE₁模式的有效折射率具有高度的实用性。

近似表达式的相对误差。(a)相对误差随频率的变化;(b)相对误差随a/λ0的变化

图 4. 近似表达式的相对误差。(a)相对误差随频率的变化;(b)相对误差随a/λ₀的变化

Fig. 4. Relative error of approximate expression. (a) Relative error changes with frequency; (b) relative error changes with a/λ₀

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4 讨论

在第3节中验证(11)式计算有效折射率时的精确度,此外利用(11)式可对PPWG中的群速度色散(GVD)进行描述。此时考虑一个板间距为1.5 mm的金属铜PPWG,填充介质为空气,GVD可通过∂²β/∂ ${ω^{2}}^{[33]}$ 来获得,其中 $β = k_{0} Re (n_{eff})$ 。频率的取值范围为0.1~5.0 THz,PPWG中TE₁模式的GVD和有效折射率实部的变化情况如图5所示。当a=1.5 mm时,频率为0.1 THz的TE₁模式已非常接近截止状态,此时GVD的绝对值较大,且 $Re (n_{eff})$ 值较小。随着频率的增大且远离截止频率,GVD的绝对值迅速减小并接近于0,如图5插图所示,并且 $Re (n_{eff})$ 值增大至接近于1。这一结果与文献[ 22]所描述的金属PPWG由模式截止引起的高色散性质和远离截止频率的低色散性质相符。

图 5. TE₁模式的群速度色散和有效折射率实部随频率变化情况及局部放大图

Fig. 5. Variation of group velocity dispersion and real part of effective refractive index with frequency and partial enlarged view of TE₁ mode

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(11)式除了适用于金属铜外,对于其他常见的非磁性金属,如金、银和铝等也是可行的。表1为几种金属在频率为1 THz计算所得的n_eff和相对误差。根据文献[ 32],这些金属在太赫兹波段都具有较大的相对介电常数,满足理论推导过程中的假设,因此在使用类似金属的情况下,结果具有相似的误差表现。

表 1. 不同金属的计算结果

Table 1. Calculation results of different metals

Metal	n_eff	Δ_R	Δ_I
Copper	0.5532577949+0.0003129769633j	1.99×10^-7	7.63×10^-4
Silver	0.5532759638+0.0004017180656j	1.32×10^-7	7.99×10^-4
Gold	0.5533629323+0.0005066739629j	1.33×10^-7	9.41×10^-4
Aluminum	0.5533733957+0.0005720576528j	4.99×10^-8	9.59×10^-4

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在(7)式之后的推导中,采用的一阶泰勒展开会在一定程度上增加最终理论结果的误差。考虑更多的阶次可能会减小近似的误差,但推导得到的(11)式具有比较简洁的形式,式中包含的相关参数及其物理意义也更明显。另外,值得说明的是,虽然理论推导过程中的近似是基于金属相对介电常数在THz范围内的特点,但(11)式在中红外波段也表现出良好的精确度,表明推导公式具有比较广泛的适用频率范围。

5 结论

在使用真实金属参数的情况下,推导出一个形式简单、可用于描述金属PPWG中TE₁模式有效折射率的近似表达式。通过对比理论推导和模拟仿真的结果,表明该近似表达式在THz范围内可以准确地描述有效折射率的变化情况。进一步对误差进行分析,验证该表达式在THz和中红外范围,以及不同的几何条件下都具有良好的精度。该近似表达式对THz和中红外波段中金属PPWG的研究和应用或有帮助。

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李哲, 滕达, 白丽华, 曹清. 太赫兹金属平行平板波导TE₁模式有效折射率的近似表达式[J]. 激光与光电子学进展, 2020, 57(19): 192302. Zhe Li, Da Teng, Lihua Bai, Qing Cao. Approximate Formula for Effective Refractive Index of TE₁ Mode in Terahertz Parallel-Plate Metal Waveguides[J]. Laser & Optoelectronics Progress, 2020, 57(19): 192302.

太赫兹金属平行平板波导TE₁模式有效折射率的近似表达式下载： 1121次

1 引言

2 理论分析

图 1. 金属PPWG的结构示意图

Fig. 1. Schematic of metal PPWG structure

3 模拟结果

图 2. 金属PPWG中TE₁模式的归一化切向电场分布。(a)(d)模拟所得的归一化模式场分布;(b)(e)空气和金属中的电场分布;(c)(f)金属中的电场分布

Fig. 2. Normalized tangential electric field distribution of TE₁ mode in metal PPWG. (a)(d) Normalized mode field distribution obtained by simulation; (b)(e) electric field distribution in air and metal; (c)(f) electric field distribution in metal

图 3. 近似表达式和模拟结果的对比。(a) n_eff的实部随a/λ₀的变化;(b) n_eff的虚部随a/λ₀的变化;(c) n_eff的实部随频率的变化;(d) n_eff的虚部随频率的变化

Fig. 3. Comparison of approximate expressions and simulation results. (a) Real part of n_eff changes with a/λ₀; (b) imaginary part of n_eff changes with a/λ₀; (c) real part of n_eff changes with frequency; (d) imaginary part of n_eff changes with frequency

图 4. 近似表达式的相对误差。(a)相对误差随频率的变化;(b)相对误差随a/λ₀的变化

Fig. 4. Relative error of approximate expression. (a) Relative error changes with frequency; (b) relative error changes with a/λ₀

4 讨论

图 5. TE₁模式的群速度色散和有效折射率实部随频率变化情况及局部放大图

Fig. 5. Variation of group velocity dispersion and real part of effective refractive index with frequency and partial enlarged view of TE₁ mode

表 1. 不同金属的计算结果

Table 1. Calculation results of different metals

5 结论

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1 引言

2 理论分析

图 1. 金属PPWG的结构示意图

Fig. 1. Schematic of metal PPWG structure

3 模拟结果

图 2. 金属PPWG中TE1模式的归一化切向电场分布。(a)(d)模拟所得的归一化模式场分布;(b)(e)空气和金属中的电场分布;(c)(f)金属中的电场分布

Fig. 2. Normalized tangential electric field distribution of TE1 mode in metal PPWG. (a)(d) Normalized mode field distribution obtained by simulation; (b)(e) electric field distribution in air and metal; (c)(f) electric field distribution in metal

图 3. 近似表达式和模拟结果的对比。(a) neff的实部随a/λ0的变化;(b) neff的虚部随a/λ0的变化;(c) neff的实部随频率的变化;(d) neff的虚部随频率的变化

Fig. 3. Comparison of approximate expressions and simulation results. (a) Real part of neff changes with a/λ0; (b) imaginary part of neff changes with a/λ0; (c) real part of neff changes with frequency; (d) imaginary part of neff changes with frequency

图 4. 近似表达式的相对误差。(a)相对误差随频率的变化;(b)相对误差随a/λ0的变化

Fig. 4. Relative error of approximate expression. (a) Relative error changes with frequency; (b) relative error changes with a/λ0

4 讨论

图 5. TE1模式的群速度色散和有效折射率实部随频率变化情况及局部放大图

Fig. 5. Variation of group velocity dispersion and real part of effective refractive index with frequency and partial enlarged view of TE1 mode

表 1. 不同金属的计算结果

Table 1. Calculation results of different metals

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图 2. 金属PPWG中TE₁模式的归一化切向电场分布。(a)(d)模拟所得的归一化模式场分布;(b)(e)空气和金属中的电场分布;(c)(f)金属中的电场分布

Fig. 2. Normalized tangential electric field distribution of TE₁ mode in metal PPWG. (a)(d) Normalized mode field distribution obtained by simulation; (b)(e) electric field distribution in air and metal; (c)(f) electric field distribution in metal

图 3. 近似表达式和模拟结果的对比。(a) n_eff的实部随a/λ₀的变化;(b) n_eff的虚部随a/λ₀的变化;(c) n_eff的实部随频率的变化;(d) n_eff的虚部随频率的变化

Fig. 3. Comparison of approximate expressions and simulation results. (a) Real part of n_eff changes with a/λ₀; (b) imaginary part of n_eff changes with a/λ₀; (c) real part of n_eff changes with frequency; (d) imaginary part of n_eff changes with frequency

图 4. 近似表达式的相对误差。(a)相对误差随频率的变化;(b)相对误差随a/λ₀的变化

Fig. 4. Relative error of approximate expression. (a) Relative error changes with frequency; (b) relative error changes with a/λ₀

图 5. TE₁模式的群速度色散和有效折射率实部随频率变化情况及局部放大图

Fig. 5. Variation of group velocity dispersion and real part of effective refractive index with frequency and partial enlarged view of TE₁ mode