辐射状多子镜阵列结构的成像特性

刘肖尧; 梁忠诚; 郝未倩; 赵瑞; 孔梅梅; 陈陶; 张月

doi:doi:10.3788/AOS201939.0811003

光学学报, 2019, 39 (8): 0811003, 网络出版: 2019-08-07

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Imaging Characteristics of Radial Multi-Sub-Mirror Array

论文大纲

刘肖尧 ^1,**梁忠诚 ^1,*郝未倩 ¹赵瑞 ¹孔梅梅 ¹陈陶 ¹张月 ²

作者单位

¹ 南京邮电大学电子与光学工程学院、微电子学院, 江苏南京 210023

² 中国空间技术研究院北京空间机电研究所, 北京 100094

成像系统调制传递函数液体透镜阵列稀疏孔径光瞳函数 imaging system modulation transfer function liquid lens array sparse aperture pupil function

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摘要

根据液体透镜稀疏孔径成像的特点,提出一种辐射状多子镜阵列结构;给出稀疏孔径成像的简化模型,通过多子镜结构的光瞳函数,得出调制传递函数的解析表达式;给出此多子镜阵列结构的具体分布形式,采用无量纲方法对结构参数进行约化;讨论2种辐射状多子镜阵列的结构情况,计算填充因子、冗余度、调制传递函数和其他特性参数;讨论参数扫描所表现的物理现象,并对比这2种阵列的结构特征和成像特性;对辐射状多子镜阵列结构和复合环形结构的特性指标进行比较。结果表明:在2种结构的平均调制传递函数以及调制传递函数中频特性值相接近的情况下,选择具有更大实际等效口径和实际截止频率以及更低冗余度的Ⅱ型结构;Ⅱ型结构在成像方面具有一定优势;由于基于液体透镜的多子镜阵列结构采用无量纲约化参数,因此结论普适于任意的包围圆尺寸;与复合环形结构相比,当填充因子相同时,辐射状多子镜结构有更大的实际截止频率和实际等效口径。

Abstract

This study proposes a radial multi-sub-mirror array structure based on the sparse aperture imaging characteristics of a liquid lens. A simplified model of sparse aperture imaging is given, and the analytical expression of the modulation transfer function (MTF) is deduced according to the pupil function of the multi-sub-mirror structure. Subsequently, a concrete distribution of the multi-sub-mirror array structure is given and the structure parameters are simplified using a dimensionless method. The structures of two types of radial multi-sub-mirror arrays are discussed. The calculations of the fill factor, redundancy, MTF, and related characteristic parameters are completed. Moreover, the physical phenomena represented by the parameter scanning are discussed. The structural and imaging characteristics of these two arrays as well as the characteristics of the radial multi-sub-mirror array structure and the composite ring-shaped structure are then compared and analyzed. Results show that: when the average MTF of these two structures and the frequency characteristic values in MTF are similar, the type II structure with larger actual equivalent aperture, actual cut-off frequency, and lower redundancy should be chosen; the type II structure has some advantages in imaging; because the multi-sub-mirror array structure based on a liquid lens adopts dimensionless simplification parameters, the conclusion is generally suitable for arbitrary size of enclosing circle; compared with the composite ring-shaped structure, the radial multi-sub-mirror structure has larger actual cut-off frequency and equivalent aperture when the fill factors are the same.

1 引言

高分辨率成像在地物探测、城市测绘、农业森林监测、小型目标探测等方面应用广泛,在国家经济发展与**建设中起到了极其重要的辅助作用。在衍射极限下,光学系统的角分辨率为工作波长与入瞳口径之比,这表明,只有大口径光学系统才会有高的空间分辨率。但是,制造和检测大口径反射镜的难度较大,成本较高^[1],而且大口径反射镜将导致望远镜的体积和质量较大,这给望远镜的研制带来极大困难。稀疏孔径^[2]成像系统是解决上述困难的有效方案之一。所谓稀疏孔径就是将多个小口径子镜组成一定形式的阵列结构,构成一个大的光学孔径,以克服光学系统口径过大而造成的困扰。根据文献[ 3-7]报道,稀疏孔径的阵列结构有戈莱(Golay)结构、环形结构、三臂结构、复合三子镜结构、多圆周结构等。随着孔径个数增加到20以上,这些稀疏孔径结构的最大填充因子降至15%左右^[8]。Fiete等^[9]的研究表明,在考虑成本和体积的前提下,应尽量增大系统的填充因子。

本课题组在液体透镜^[10-11]研究的基础上,提出了一种液体透镜稀疏孔径阵列结构。因为受到制作上的限制,液体透镜的尺寸不能太大,而稀疏孔径阵列结构设计要求具有较高的填充因子,所以此稀疏孔径阵列子镜的数目要多。当然,子镜数目的增多会对今后开展实验带来一系列技术问题,如液体透镜的制备、阵列机构、相位检测、中频补偿^[12]等,因此需要对阵列进行优化设计。本文提出了一种辐射状的多子镜阵列结构,并对此多子镜阵列的结构特征和成像性能进行了理论分析。

2 光学稀疏孔径成像的基本理论

2.1 成像系统简化模型

光学稀疏孔径成像系统的简化模型^[13]如图1所示。其中:准单色平面光源位于透镜L₁的前焦面x₀y₀上,用来模拟遥远物体的光强分布;观测区域位于透镜L₂的后焦面x_i'y_i'(i'为观测点的位置),用来模拟像平面上的光强分布;f₁和f₂分别为透镜L₁的前焦距和透镜L₂的后焦距;平面xy上任意形状的通光孔径为区域P,用来模拟成像系统的光瞳函数。

图 1. 光学稀疏孔径成像系统的简化模型

Fig. 1. Simplified model of optical sparse aperture imaging system

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假设遥远物平面光强分布为I₀(x₀,y₀)。在准单色非相干照明情况下,光学稀疏孔径成像系统像面上的光强分布为

I_{i'} (x_{i'}, y_{i'}) = I_{g} (x_{i'}, y_{i'}) * g_{PSF} (x_{i'}, y_{i'}), (1)

式中:I_g为成像目标的几何理想像;g_PSF为系统的点扩展函数(PSF)。(1)式表示系统所成的像等于成像目标的几何理想像与系统点扩展函数的卷积。

在频率域中,有

I_{i'} (f_{x}, f_{y}) = I_{g} (f_{x}, f_{y}) g_{OTF} (f_{x}, f_{y}), (2)

式中:f_x和f_y分别为沿x方向和y方向的空间频率;g_OTF为系统的光学传递函数(OTF)。(2)式表示系统成像的频谱等于成像目标理想像的频谱与系统光学传递函数的乘积。系统的g_OTF只在有限范围内非零,并在某一频率后单调减小直至零。

2.2 光瞳函数

根据傅里叶光学理论^[13],光学调制传递函数被用来描述光学系统在频域的成像性能。光学调制传递函数(MTF)是成像系统对目标所成实际像的频谱与理想像的频谱的比值,反映了成像系统将目标光强分布中所包含的各频率分量传递到像面上的能力。光瞳函数只有1或0这2个值。光学调制传递函数是对光瞳函数的自相关运算并取模得到。

具体计算方式为:对于N个直径为d、半径为a的圆形孔径组成的辐射状多子镜成像系统,以图2对应z=2时的三簇辐射状多子镜结构为例,其光瞳函数p(x,y)在数学上可以表示为一个子孔径光瞳函数与一个δ函数阵列的卷积,即

p (x, y) = circ (\frac{\sqrt[]{x^{2} + y^{2}}}{d / 2}) * \sum_{i, j, k} δ (x - r_{kj} c os θ_{ki}, y - r_{kj} \sin θ_{ki}), k = 1,2, 3, (3)

式中:circ(·)为圆域函数;*为卷积;r_kj为包围圆的圆心到每个子孔径中心的距离;θ_ki为每个分支的方位;i为分支数;j为每个分支上的子孔径数。当k=1,2,3时,分别有

\begin{array}{l} \{\begin{array}{l} r_{kj} = j Δ r, j = 1,2, \dots, n_{1} \\ θ_{ki} = \frac{2 π}{3} (i - 1) + \frac{π}{6}, i = 1,2, 3 \end{array}, (4) \\ \{\begin{array}{l} r_{kj} = (n_{1} - n_{2}) Δ r + j Δ r, j = 1,2, \dots, n_{2} \\ θ_{ki} = \frac{2 π}{3} (i - 1) + \frac{π}{2}, i = 1,2, 3 \end{array}, (5) \\ \{\begin{array}{l} r_{kj} = (n_{1} - n_{3}) Δ r + j Δ r, j = 1,2, \dots, n_{3} \\ θ_{ki} = \frac{π}{3} (i - 1), i = 1,2, \dots, 6 \end{array}, (6) \end{array}

式中:Δr为子镜之间的间距;n₁、n₂和n₃分别为第0簇、第1簇和第2簇每个分支上的子镜数。

图 2. 辐射状多子镜阵列结构

Fig. 2. Schematic of radial multi-sub-mirror array structure

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2.3 调制传递函数表达式

对(3)式进行傅里叶变换,取模得到调制传递函数α_MTF为

α_{MTF} = α_{MTF, d} + \frac{1}{N} α_{MTF, d} * \overset{N - 1}{\sum_{m = 1}} \overset{N}{\sum_{n = m + 1}} δ (f_{x} \pm \frac{x_{n} - x_{m}}{λf}, f_{y} \pm \frac{y_{n} - y_{m}}{λf}), (7)

式中:α_MTF,_d为单个子孔径的调制传递函数;m、n是对子孔径的求和指标;λ为波长;f为光瞳到像平面的距离;N=3n₁+3n₂+6n₃;δ(·)为狄拉克函数;坐标(x_m,y_m)和(x_n,y_n)包含辐射状多子镜的全部圆心坐标。

单个子孔径的调制传递函数α_MTF,_d为

α_{MTF, d} = \{\begin{array}{l} \frac{2}{π} \{\arccos \frac{ρ}{ρ_{d}} - \frac{ρ}{ρ_{d}} {[1 - {(\frac{ρ}{ρ_{d}})}^{2}]}^{\frac{1}{2}}\}, & 0 \leq ρ \leq ρ_{d} \\ 0, & ρ > ρ_{d} \end{array}, (8)

式中:ρ_d为直径是d的子孔径的截止频率,ρ_d=d/(λf);ρ为空间频率。

由以上计算可知,多子镜的调制传递函数由子镜的调制传递函数组合而成。通过调整子镜之间的相对位置(x_n-x_m,y_m-y_n),使之达到对调制传递函数的要求,则可实现优化的目的。

3 辐射状多子镜阵列结构

辐射状多子镜阵列结构由多个直径为d的子镜组成,可将该结构分为z(z=0,1,2,…)簇。第0簇有3个分支,每个分支上的子镜数为n₁,每个分支的方位为ϕ_i=2π(i-1)/3+π/6,i=1,2,3。第1簇有3个分支,每个分支上的子镜数为n₂,每个分支的方位为ϕ_i=2π(i-1)/3+π/2,i=1,2,3。第2簇有6个分支,每个分支上的子镜数为n₃,每个分支的方位为ϕ_i=π(i-1)/3,i=1,2,…,6。第z簇有3·2^z^-1(z≥3)个分支,每个分支上的子镜数为n_z₊₁,每个分支的方位为ϕ_i=π/(3·2^z^-1)+π(i-1)/(3·2^z^-2),i=1,2,…,3·2^z^-1。

图2对应z=2时的三簇辐射状多子镜结构。本文以此种情况下的多子镜结构为例进行讨论分析。

对于辐射状多子镜结构,当z=2时,此结构有d、n₁、n₂、n₃、Δr共5个独立参数。为了给出该多子镜结构的普适规律,对基本的结构参数以Δr为单位进行约化,即d₀=d/Δr,D=(2n₁+d₀)Δr,约化后的结构有d₀、n₁、n₂、n₃共4个独立参数。无量纲子孔径约化直径d₀的取值范围为0<d₀≤1。通过分析可知,辐射状多子镜结构各方向的子镜数限定关系如下:n₁≥n₂,n₁>n₃,n₂≠n₃。在n₁确定的情况下,由于该辐射状多子镜结构第1簇与第2簇的子镜数n₂、n₃不同,因此可将该结构分为I型和II型2种不同的形式:n₂>n₃的Ⅰ型结构和n₂<n₃的Ⅱ型结构。表1所示为当n₁=3时Ⅰ型与Ⅱ型辐射状多子镜结构参数,其中F_max为最大填充因子。

表 1. 当n1=3时I型与II型辐射状多子镜结构参数

Table 1. Parameters of type I and type II radial multi-sub-mirror structures when n1=3

Type	n₂	n₃	N	F_max /%
	2	1	21	43
Type I	3	1	24	49
	3	2	30	61
Type II	1	2	24	49

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当n₁一定时,共有(n₁-1)(n₁-1)种阵列结构。以n₁=3为例,为了研究Ⅰ型结构和Ⅱ型结构的成像特性,选取相同子孔径数的辐射状多子镜结构进行比较,即n₁=3,n₂=3,n₃=1(简称I-331型)与n₃=3,n₂=1,n₃=2(简称II-312型)。

4 辐射状多子镜的特性

4.1 填充因子

填充因子F为稀疏孔径通光面积(子镜通光面积之和)与包围孔径面积的比值。对于辐射状多子镜结构,其填充因子F为

F = \frac{N d^{2}}{D^{2}} = \frac{3 n_{1} + 3 n_{2} + 6 n_{3}}{(2 n_{1} / d_{0} {+ 1)}^{2}} 。 (9)

图3所示为当n₁=3时,填充因子F与无量纲子孔径约化直径d₀的关系。可知:当子孔径总数N一定时,随着d₀增大,(9)式的分母减小,因此填充因子增大。在d₀=1处取到最大填充因子F_max:

F_{\max} = \frac{3 n_{1} + 3 n_{2} + 6 n_{3}}{(2 n_{1} {+ 1)}^{2}} 。 (10)

此时,各个多子镜彼此相切。由(9)式可以得出,要使填充因子增大,n₃的贡献比n₂大。

图 3. 不同结构下填充因子F随无量纲子孔径约化直径d0的变化

Fig. 3. Fill factor F as a function of dimensionless sub-aperture simplification diameter d0 in different structures

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4.2 冗余度

在相同口径的情况下,冗余度越低越好。冗余度定义为频域中子调制传递函数重叠的个数(频率中心重叠的个数除外)与N(N-1)的比值。定量计算得到II-312型结构的冗余度为1.33%,I-331型结构的冗余度为7.33%。图4所示为2种不同结构下的光瞳图和调制传递函数轮廓图,图中x、y为光瞳面坐标;u、v为频谱面坐标。对比图4(a)、(c)与图4(b)、(d)可知,I-331型结构的子调制传递函数的对称性明显高于I-312型结构,表明I-331型结构的冗余度较高,这与定量计算所得结果相符。因为II-312型结构从内向外的第1个圆周是无冗余的Golay3型结构,并且II-312型从内向外的第2个圆周是非均匀圆周的九孔径无冗余结构,所以会降低冗余度。I-331型结构从内向外的第1个圆周是六孔径的均匀圆周冗余结构,在频率域内特定方向上有多于一对的子孔径,对特定的空间频率重复采样,会导致I-331型结构的冗余度较高。在填充因子相同的情况下,孔径阵列冗余度的增大能使调制传递函数对某些空间频率方向的响应被削弱,调制传递函数值为0的概率增大,导致II-312型结构比I-331型结构的实际截止频率较高。为了降低冗余度,在第0簇每个分支上的子镜数n₁确定的情况下,可选择n₂<n₃的Ⅱ型结构。

4.3 调制传递函数

图5所示为II-312、I-331型阵列结构在填充因子为14%、26%和49%时的调制传递函数俯视图,可以看出,随着填充因子增大,系统的实际截止频率增大,调制传递函数中的“孔洞”越来越少。多子镜在入瞳面平面上呈对称分布,因此通过(3)式可以得出α_MTF,_d在频率域上不同方向的排列也将会呈现对称分布。多子镜阵列结构的排布多方向性导致最大、最小截止频率趋向均匀且呈现一定的规律。当填充因子为14%时,中央主瓣和旁瓣之间出现调制传递函数值为0的区域。当填充因子为26%、49%时,II-312型结构的调制传递函数分布均匀,而低频范围内I-331型结构不同长度的基线数量较多,导致频率信息过多地通过低频区域,调制传递函数集中分布于低频处。II-312型结构具有更大的频率覆盖面积和较高的实际截止频率,而且中频也较平缓。

图6所示为II-312、I-331型阵列结构归一化的调制传递函数在水平和竖直方向的截面,其中f_MTF为截止频率内的调制传递函数。图6(a)、(c)所示为II-312、I-331型结构在水平方向的截止频率,可知:当填充因子为14%时,在归一化频率为1.0处,II-312型结构的调制传递函数值为0,而在归一化频率为0.09处,I-331型结构的调制传递函数值减为0。即当填充因子为14%时,在水平方向上II-312型结构比I-331型结构有较大的实际截止频率。当填充因子为26%时,I-331型结构的调制传递函数极大值比II-312型结构的大0.02。当填充因子为49%时,II-312型结构在低、中、高频区域的调制传递函数值大于I-331型结构。II-312、I-331型结构的调制传递函数极大值为0.4。在低频区域,II-312型结构的调制传递函数值小于I-331型结构,而在中、高频区域,II-312型结构的调制传递函数值大于I-331型结构。II-312型结构在水平方向的归一化频率表现出了良好的中、高频特性。

图 4. 不同填充因子下2种不同结构的光瞳图和调制传递函数轮廓图。(a) F=26%,II-312型结构;(b) F=49%,II-312型结构;(c) F=26%,I-331型结构;(d) F=49%,I-331型结构

Fig. 4. Optical pupil diagrams and MTF profiles of two different structures with different fill factors. (a) Type II-312 structure when F=26%; (b) type II-312 structure when F=49%; (c) type I-331 structure when F=26%; (d) type I-331 structure when F=49%

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图 5. 不同填充因子下2种阵列结构的调制传递函数俯视图。(a) F=14%,II-312型结构;(b) F=26%,II-312型结构;(c) F=49%,II-312型结构;(d) F=14%,I-331型结构;(e) F=26%,I-331型结构;(f) F=49%,I-331型结构

Fig. 5. Top views of MTF of two array structures with different fill factors. (a) Type II-312 structure when F=14%; (b) type II-312 structure when F=26%; (c) type II-312 structure when F=49%; (d) type I-331 structure when F=14%; (e) type I-331 structure when F=26%; (f) type I-331 structure when F=49%

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图 6. 2种不同结构的调制传递函数与填充因子F的关系。(a) II-312型结构,水平方向;(b) II-312型结构;垂直方向;(c) I-331型结构,水平方向;(d) I-331型结构;垂直方向

Fig. 6. MTF as a function of fill factor F for two different structures. (a) Type II-312 structure in horizontal direction; (b) type II-312 structure in vertical direction; (c) type I-331 structure in horizontal direction; (d) type I-331 structure in vertical direction

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图6(b)、(d)所示为II-312、I-331型结构在竖直方向的截止频率,当填充因子分别为14%、26%、49%时,在低、中、高频区域,I-331型结构的调制传递函数值均大于II-312型结构。可见,竖直方向上I-331型结构的子调制传递函数重叠的个数明显多于II-312型结构。当填充因子不同时,II-312型结构的调制传递函数曲线在中频区域的波动趋于平坦。从2种结构在不同方向上的调制传递函数曲线可以看出,孔径阵列冗余度的提高虽然能使调制传递函数对某些空间频率方向的响应得以加强,但也能使其他频率处的响应值降低,甚至更早出现零点。此外,从图5中也可以看出,这2种结构的调制传递函数并不是圆对称的。

4.4 其他特性参数

表2和表3所示分别为II-312型和I-331型结构的特征指标计算结果,其中:D_r为实际等效口径;ρ_r为实际空间的截止频率;ρ_D为包围口径的截止频率;α_MTF,mid为表征调制传递函数的中频特性^[14],其为子孔径截止频率与包围圆孔径截止频率范围内调制传递函数的平均值。由表2和表3可知:对于这2种结构,随着填充因子增大,D_r/D与ρ_r/ρ_D逐渐增大。在填充因子相同的情况下,I-331型结构的高冗余性导致其光学传递函数的不均匀性增加,出现零频的概率增大。通过数值计算,II-312型结构的实际截止空间频率以及实际等效口径值均大于I-331型阵列结构的。2种结构的最大基线长度相同,最大截止空间归一化频率为1。当这2种结构在填充因子相同时,平均调制传递函数以及调制传递函数中频特性的值相接近。随着填充因子逐渐减小,I-331型结构的实际截止频率在填充因子超过41%后迅速减小,这反映了其调制传递函数的迅速退化,而II-312型结构实际截止频率的变化表现为逐步减小的过程。由4.2节可知,I-331结构的冗余度约为II-312结构的6倍。I-331型结构的高冗余性是其调制传递函数在填充因子减小时退化的主要原因。因此,在保证成像质量的前提下,应降低孔径阵列的冗余度。当填充因子达到最大时,无论是I-331型结构,还是II-312型结构,平均调制传递函数以及调制传递函数中频特性的值都不是最佳的。通过这2种结构的对比可以得出,当d₀的增大超过一定阈值时,成像质量变差。因此,要达到最佳的成像质量,选取合适的d₀至关重要。

表 2. II-312型结构的特性指标

Table 2. Characteristic indexes of type II-312 structure

F /%	Ratio of practical effective diameters D_r/D	Ratio of average f_MTF	ρ_r/ρ_D	α_MTF,mid
20	0.8902	0.0973	0.7925	0.0465
26	0.8988	0.1080	0.8079	0.0519
33	0.9107	0.1195	0.8294	0.0566
41	0.9586	0.1254	0.9190	0.0598
49	0.9623	0.1232	0.9259	0.0578

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表 3. I-331型结构的特性指标

Table 3. Characteristic indexes of type I-331 structure

F /%	Ratio of practical effective diameters D_r/D	Ratio of average f_MTF	ρ_r/ρ_D	α_MTF,mid
20	0.7938	0.0834	0.6322	0.0395
26	0.8221	0.0961	0.6758	0.0459
33	0.8683	0.1136	0.7539	0.0537
41	0.9545	0.1258	0.9108	0.0599
49	0.9588	0.1234	0.9194	0.0582

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实际等效口径D_r为与稀疏孔径系统在实际截止频率之内具有相等调制传递函数面积的圆孔直径,计算公式如下:

D_{r} = {[\frac{4}{π} \int_{0}^{2} \int_{0}^{ρ_{D}} α_{MTF, th} (ρ, θ) d ρ d θ]}^{\frac{1}{2}}, (11)

其中,

α_{MTF, th} (ρ, θ) = \{\begin{array}{l} 1, & α_{MTF} (ρ, θ) > 0, ρ < (ρ_{r})_{θ} \\ 0, & α_{MTF} (ρ, θ) = 0 \end{array}, (12)

式中:α_MTF,th为实际截止频率内的调制传递函数;θ为频谱面内子调制传递函数分布的角度方向;(ρ_r)_θ为θ方向的实际空间截止频率。平均调制传递函数为在包围孔径截止频率内调制传递函数的平均值。令

g (ρ, θ) = \{\begin{array}{l} f_{MTF} (ρ, θ), & ρ < (ρ_{r})_{θ} \\ 0, & ρ \geq (ρ_{r})_{θ} \end{array}, (13)

式中:g为包围口径截止频率内的调制传递函数。则

A_{MTF} = \frac{\int_{0}^{2} \int_{0}^{ρ_{D}} g (ρ, θ) ρ d ρ d θ}{π ρ_{d}^{2}}, (14)

式中:A_MTF为包围孔径截止频率内调制传递函数的平均值;α_MTF,mid用以表征综合孔径系统在中、高频区域内的响应能力,其表达式为

\begin{array}{r} α_{MTF, mid} = & \frac{\int_{0}^{2} \int_{ρ_{d}}^{ρ_{D}} g (ρ, θ) ρ d ρ d θ}{\int_{0}^{2} \int_{ρ_{d}}^{ρ_{D}} ρ d ρ d θ} = \frac{\int_{0}^{2} \int_{ρ_{d}}^{ρ_{D}} g (ρ, θ) ρ d ρ d θ}{2 π (ρ_{D}^{2} - ρ_{d}^{2})}, (15) \end{array}

式中:ρ_d为子孔径的截止频率。

4.5 辐射状多子镜与复合环形结构的比较

复合阵列结构是一种建立在典型光学稀疏孔径阵型基础上的结构。赵娟等^[15]提出了以Golay3为基本单元的复合环形结构、复合Goaly6结构和复合三臂结构。当N=24时,只有复合环型结构符合子镜数的要求,而复合环形结构中的子阵列旋转对称型结构最优。本文选取辐射状多子镜(II-312型)与复合环形结构进行比较。通过计算可以得出,复合环形结构的最大填充因子F_max=39.6%。图7所示为不同填充因子时,辐射状多子镜结构(II-312型)与复合环形结构沿水平方向的调制传递函数曲线,可知,在不同的填充因子下,复合环形结构在水平方向的实际截止频率小于II-312型结构的,II-312型结构在中频区域的调制传递函数值大于复合环形结构。

图 7. 不同填充因子下多子镜结构(II-312型)和复合环形结构调制传递函数的比较(水平方向)。(a) F=20%;(b) F=26%;(c) F=33%;(d) F=39.6%

Fig. 7. Comparison of MTFs between multi-sub-mirror structure (type II-312) and composite ring-shaped structure with different fill factors (in horizontal direction). (a) F=20%; (b) F=26%; (c) F=33%; (d) F=39.6%

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通过计算可知,复合环形结构较多子镜结构的冗余度大,导致复合环形结构的频率覆盖率减小,峰与峰之间过早地出现零频区域,因此复合环形结构的实际截止频率较低。表4所示为复合环型结构的特性指标。比较表4与表2中的特征指标,可以进一步精确得出多子镜结构(II-312型)的实际等效口径、实际截止频率、平均调制传递函数、中频特性均优于复合环形结构。

表 4. 不同填充因子下复合环型结构的特性指标

Table 4. Characteristic indexes of composite ring-shaped structure with different fill factors

F /%	Ratio of practical effective diameters D_r/D	Ratio of average f_MTF	ρ_r/ρ_dc	α_MTF,mid
20.0	0.7123	0.0798	0.6109	0.0364
26.0	0.7816	0.0912	0.6678	0.0412
33.0	0.8441	0.1091	0.7489	0.0512
39.6	0.8913	0.1201	0.8596	0.0521

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5 结论

辐射状多子镜阵列结构是一种不同于多圆周结构、Golay结构和三臂形结构的稀疏孔径结构。本文分析了辐射状多子镜的分布特点,并在限定参数的情况下,将该多子镜阵列分为2种类型结构。运用MATLAB软件计算2种不同结构调制传递函数的轮廓图和俯视图、二维调制传递函数曲线以及各种特性指标,并对比多子镜阵列与复合环形结构的结构特征和成像特性。结果表明:当2种结构的平均调制传递函数以及调制传递函数中频特性值相接近时,选择具有更大实际等效口径和实际截止频率以及更低冗余度的Ⅱ型结构。Ⅱ型结构在成像方面具有一定优势。基于液体透镜的多子镜阵列结构采用无量纲约化参数,因此结论普适于任意的包围圆尺寸。与复合环形结构相比,当填充因子相同时,辐射状多子镜结构的实际截止频率和实际等效口径更大,这对多子镜的成像以及阵列优化具有一定的实用价值。

参考文献

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1 引言

2 光学稀疏孔径成像的基本理论

2.1 成像系统简化模型

图 1. 光学稀疏孔径成像系统的简化模型

Fig. 1. Simplified model of optical sparse aperture imaging system

2.2 光瞳函数

图 2. 辐射状多子镜阵列结构

Fig. 2. Schematic of radial multi-sub-mirror array structure

2.3 调制传递函数表达式

3 辐射状多子镜阵列结构

表 1. 当n1=3时I型与II型辐射状多子镜结构参数

Table 1. Parameters of type I and type II radial multi-sub-mirror structures when n1=3

4 辐射状多子镜的特性

4.1 填充因子

图 3. 不同结构下填充因子F随无量纲子孔径约化直径d0的变化

Fig. 3. Fill factor F as a function of dimensionless sub-aperture simplification diameter d0 in different structures

4.2 冗余度

4.3 调制传递函数

图 4. 不同填充因子下2种不同结构的光瞳图和调制传递函数轮廓图。(a) F=26%,II-312型结构;(b) F=49%,II-312型结构;(c) F=26%,I-331型结构;(d) F=49%,I-331型结构

Fig. 4. Optical pupil diagrams and MTF profiles of two different structures with different fill factors. (a) Type II-312 structure when F=26%; (b) type II-312 structure when F=49%; (c) type I-331 structure when F=26%; (d) type I-331 structure when F=49%

图 5. 不同填充因子下2种阵列结构的调制传递函数俯视图。(a) F=14%,II-312型结构;(b) F=26%,II-312型结构;(c) F=49%,II-312型结构;(d) F=14%,I-331型结构;(e) F=26%,I-331型结构;(f) F=49%,I-331型结构

图 6. 2种不同结构的调制传递函数与填充因子F的关系。(a) II-312型结构,水平方向;(b) II-312型结构;垂直方向;(c) I-331型结构,水平方向;(d) I-331型结构;垂直方向

Fig. 6. MTF as a function of fill factor F for two different structures. (a) Type II-312 structure in horizontal direction; (b) type II-312 structure in vertical direction; (c) type I-331 structure in horizontal direction; (d) type I-331 structure in vertical direction

4.4 其他特性参数

表 2. II-312型结构的特性指标

Table 2. Characteristic indexes of type II-312 structure

表 3. I-331型结构的特性指标

Table 3. Characteristic indexes of type I-331 structure

4.5 辐射状多子镜与复合环形结构的比较

图 7. 不同填充因子下多子镜结构(II-312型)和复合环形结构调制传递函数的比较(水平方向)。(a) F=20%;(b) F=26%;(c) F=33%;(d) F=39.6%

Fig. 7. Comparison of MTFs between multi-sub-mirror structure (type II-312) and composite ring-shaped structure with different fill factors (in horizontal direction). (a) F=20%; (b) F=26%; (c) F=33%; (d) F=39.6%

表 4. 不同填充因子下复合环型结构的特性指标

Table 4. Characteristic indexes of composite ring-shaped structure with different fill factors

5 结论

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1 引言

2 光学稀疏孔径成像的基本理论

2.1 成像系统简化模型

图 1. 光学稀疏孔径成像系统的简化模型

Fig. 1. Simplified model of optical sparse aperture imaging system

2.2 光瞳函数

图 2. 辐射状多子镜阵列结构

Fig. 2. Schematic of radial multi-sub-mirror array structure

2.3 调制传递函数表达式

3 辐射状多子镜阵列结构

表 1. 当n1=3时I型与II型辐射状多子镜结构参数

Table 1. Parameters of type I and type II radial multi-sub-mirror structures when n1=3

4 辐射状多子镜的特性

4.1 填充因子

图 3. 不同结构下填充因子F随无量纲子孔径约化直径d0的变化

Fig. 3. Fill factor F as a function of dimensionless sub-aperture simplification diameter d0 in different structures

4.2 冗余度

4.3 调制传递函数

图 4. 不同填充因子下2种不同结构的光瞳图和调制传递函数轮廓图。(a) F=26%,II-312型结构;(b) F=49%,II-312型结构;(c) F=26%,I-331型结构;(d) F=49%,I-331型结构

Fig. 4. Optical pupil diagrams and MTF profiles of two different structures with different fill factors. (a) Type II-312 structure when F=26%; (b) type II-312 structure when F=49%; (c) type I-331 structure when F=26%; (d) type I-331 structure when F=49%

图 5. 不同填充因子下2种阵列结构的调制传递函数俯视图。(a) F=14%,II-312型结构;(b) F=26%,II-312型结构;(c) F=49%,II-312型结构;(d) F=14%,I-331型结构;(e) F=26%,I-331型结构;(f) F=49%,I-331型结构

图 6. 2种不同结构的调制传递函数与填充因子F的关系。(a) II-312型结构,水平方向;(b) II-312型结构;垂直方向;(c) I-331型结构,水平方向;(d) I-331型结构;垂直方向

Fig. 6. MTF as a function of fill factor F for two different structures. (a) Type II-312 structure in horizontal direction; (b) type II-312 structure in vertical direction; (c) type I-331 structure in horizontal direction; (d) type I-331 structure in vertical direction

4.4 其他特性参数

表 2. II-312型结构的特性指标

Table 2. Characteristic indexes of type II-312 structure

表 3. I-331型结构的特性指标

Table 3. Characteristic indexes of type I-331 structure

4.5 辐射状多子镜与复合环形结构的比较

图 7. 不同填充因子下多子镜结构(II-312型)和复合环形结构调制传递函数的比较(水平方向)。(a) F=20%;(b) F=26%;(c) F=33%;(d) F=39.6%

Fig. 7. Comparison of MTFs between multi-sub-mirror structure (type II-312) and composite ring-shaped structure with different fill factors (in horizontal direction). (a) F=20%; (b) F=26%; (c) F=33%; (d) F=39.6%

表 4. 不同填充因子下复合环型结构的特性指标

Table 4. Characteristic indexes of composite ring-shaped structure with different fill factors

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