1 引言

自适应光学系统能够实时测量并补偿由非理想光源、光学元件、非均匀介质、外大气环境引起的波前畸变,广泛应用于天文观测^[1]、强激光传输^[2]、生物成像^[3]、惯性约束聚变^[4]等领域。作为自适应光学系统的核心部件,变形镜能够根据输入电压信号控制各镜面驱动器以校正激光波面像差,其主要分为分立促动器连续镜面变形镜^[5]、分块拼接式变形镜^[6]、双压电变形镜^[7]、薄膜变形镜^[8]、微机电系统(MEMS)变形镜^[9]等。通常,变形镜驱动器数量越多,系统校正光学像差的能力越强。为满足输出光束的质量要求,提高成像清晰度,技术人员研究和制造了多种不同单元数的变形镜。林旭东等^[10]自制了137单元分立促动器的连续镜面式变形镜,静态展平面形均方根(RMS)值优于λ/50(波长λ=632.8 nm),峰-谷(PV)值优于0.18 λ能够对前7项泽尼克(Zernike)多项式进行较好地校正,改善了系统成像能力。为满足天文望远镜的高分辨率成像需求,林旭东等^[11]研制了961单元变形镜,其展平后面形RMS值优于λ/70(λ=632.8 nm),相邻驱动器间的耦合量为23%,相对先前的137单元变形镜,拟合能力有了较大提高。陈凯等^[12]提出了带边缘驱动的214单元单压电变形镜,驱动器在支撑镜面的同时辅助校正了波前像差,增加了变形镜控制的灵活性。为校正板条激光器输出光束波前像差,晏虎等^[13]提出了基于37单元双压电片变形镜的自适应光学系统,将激光光束质量提升了2~3倍。围绕固态大功率激光系统中低阶项像差的补偿需求,刘李辉等^[14]开展了4臂边缘驱动变形镜的设计工作,仿真分析了低阶项像差校正能力,最后给出了最佳设计参数和校正能力指标。针对天文望远镜的需求,马剑强等^[15]设计了200单元级硅基单压电变形镜,驱动器在50 V电压下变形量可达1 μm,对前100项Zernike像差具有良好的校正能力。针对空间相机的像差特点,陈新东^[16]设计了校正低阶项像差的9点促动变形镜,其在0.5 h间隔中的静态特性达到0.02λ,驱动器控制面形的重复性精度达到0.01λ。为满足校正高阶项像差和低温环境下正常使用的需求,尤俊成等^[17]研制了913单元的分立式连续表面变形镜,其驱动点最大变形量为3.5 μm,相邻驱动器间交连值为9.3%,对Zernike多项式的拟合能力达到设计要求,变形镜能够在低温环境下工作,不影响系统正常使用。

根据工程研制设计指标,本文利用多物理场仿真软件COMSOL建立了241单元分立驱动器连续镜面变形镜模型,以拟合3~60项(前两项为倾斜量,这里不予考虑)Zernike多项式的能力大小为依据,分析确定了变形镜极头半径和驱动器间距的最佳参数,并在最佳参数下开展了驱动器耦合量的计算工作,分析了241单元自适应光学系统中哈特曼传感器与变形镜对准误差对系统拟合Zernike多项式能力的影响。

2 241单元变形镜模型

利用多物理场仿真软件构建241单元变形镜模型。如图1所示,变形镜主要由镜面、极头和驱动器组成,其中镜面和极头材料是单晶硅,驱动器材料是压电陶瓷。常温下,硅的杨氏模量和泊松比分别为131×10⁹ Pa和0.27,压电陶瓷的杨氏模量和泊松比分别为7.65×10¹⁰ Pa和0.32。驱动器在电压驱动下通过极头实现对镜面的拉伸控制,241个驱动器呈方形排布,相邻驱动器中心距离为驱动器间距,任意相邻两个驱动器间距相等,整个镜面直径为210 mm,镜面厚度为2 mm,整个有限元分析的网格形式采用自由剖分四面体。

在其中一个驱动器上加载预定义位移1 μm,其余驱动器和镜面四周边缘为固定约束,得到对应的镜面影响函数面形和曲线,如图2所示。

图 1. 241单元变形镜模型结构。(a)背面;(b)侧面

Fig. 1. Structural diagram of model of 241-element deformable mirror. (a) Back; (b) side

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图 2. 驱动器影响函数。(a)影响函数面形;(b)影响函数曲线

Fig. 2. Influence function of driver. (a) Surface of influence function; (b) curve of influence function

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在241单元自适应光学系统中,整个传感器靶面为288 pixel×288 pixel。根据应用的激光光斑形态,将靶面分成16×16子孔径矩阵,实际工作的只有192个子孔径,每个子孔径为18 pixel×18 pixel。如图3所示,241个驱动器分别位于子孔径4个顶点处,驱动器与子孔径分布布局的对准关系有对正、平移和旋转三种,平移和旋转影响系统校正像差的能力和稳定性。

图 3. 激光光斑、传感器子孔径和驱动器关系图。(a)激光光斑;(b)子光斑、子孔径和驱动器对准示意图

Fig. 3. Relationship among laser facula, sub-aperture and driver of sensor. (a) Laser facula; (b) alignment of sub-facula, sub-aperture, and drivers

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3 研究方法

编写Matlab程序仿真241单元自适应光学系统校正光学像差的过程。设定输入像差分别为3~60项Zernike多项式,得到241单元自适应光学系统拟合Zernike多项式的拟合残差,以表征系统的校正能力。其编写思路为,根据Zernike多项式数学表达式生成含有某项Zernike多项式的圆形激光光斑数据,即待校正的光学像差波面,结合像素和光斑尺寸的对应关系,将待校正的光学像差波面整形为应用激光的光斑形状[图3(a)],将得到的光斑投射到192子孔径哈特曼传感器[图3(b)],即分别提取每个子孔径对应的光斑数据,并计算其远场光斑,由此可计算得到各子光斑在子孔径的横向和纵向位置,再与无光学像差光斑对应的标准远场光斑在各子孔径所处位置作比较,即得到每个子孔径的斜率,所有子孔径斜率数据可按照一定顺序形成待校正光学像差波面的斜率矩阵。然后,如第2节所述,通过多物理场仿真软件COMSOL仿真得到241个驱动器的影响函数面形数据(图2),每一个影响函数面形经过上述过程得到对应的斜率矩阵,再将241个斜率矩阵拼接起来,即为241单元自适应光学系统的影响函数矩阵。根据待校正光学像差波面的斜率矩阵和光学系统的影响函数矩阵,利用最小二乘法可求得为拟合待校正光学像差波面而应加载在241个驱动器上的预定义位移,将计算得到的预定义位移加载到变形镜对应的驱动器上生成校正波面,待校正光学像差波面与校正波面之差即为拟合残差波面。根据拟合残差波面数据可计算得到拟合残差的均方根(RMS)值,根据拟合残差RMS值定量反映系统的校正能力,仿真过程如图4所示。

图 4. 仿真计算过程

Fig. 4. Process of simulation and calculation

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作为241单元自适应光学系统的核心部件,变形镜尺寸参数直接影响系统的校正能力。因此,有必要研究设计参数对系统校正能力的影响,并确定变形镜设计参数的最佳值。不同的设计参数值决定变形镜驱动器具有不同的影响函数。从上述仿真过程可知,不同的影响函数最后直接影响系统拟合Zernike多项式的能力。因此,可根据Zernike多项式拟合残差数据来确定变形镜设计参数的最佳值。

4 变形镜参数选择

通过变形镜基本理论分析,影响241单元变形镜拟合Zernike多项式能力(即校正波前像差能力)的结构参数有极头半径r和驱动器间距d。本节采用子孔径斜率法,计算分析不同结构参数下变形镜拟合3~60项Zernike多项式的能力变化,并据此确定极头半径和驱动器间距的最佳参数。

4.1 极头半径的选择

在241单元变形镜设计结构中,由于尺寸限制和加工约束,极头半径可在1~3.5 mm范围选择。从小到大取相等间隔的5组极头半径参数值(驱动器间距参数分别设为9,10,11 mm),利用仿真程序分别产生PV值为1 μm的3~60项Zernike多项式的像差,并计算3~60项Zernike多项式拟合残差RMS值,具体结果如图5~7所示。

图 5. 9 mm驱动器间距下Zernike多项式的拟合残差RMS值。(a) r范围为1~3 mm;(b) r范围为1~2 mm

Fig. 5. RMS value of residual fitting error of Zernike polynomial when distance of adjacent drivers is 9 mm. (a) Range of r is 1-3 mm; (b) range of r is 1-2 mm

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图 6. 10 mm驱动器间距下Zernike多项式的拟合残差RMS值。(a) r范围为1~3 mm;(b) r范围为1~2 mm

Fig. 6. RMS value of residual fitting error of Zernike polynomial when distance of adjacent drivers is 10 mm. (a) Range of r is 1-3 mm; (b) range of r is 1-2 mm

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图 7. 11 mm驱动器间距下Zernike多项式的拟合残差RMS值。(a) r范围为1~3 mm;(b) r范围为1~2 mm

Fig. 7. RMS value of residual fitting error of Zernike polynomial when distance of adjacent drivers is 11 mm. (a) Range of r is 1-3 mm; (b) range of r is 1-2 mm

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由图5~7可知,241单元变形镜对各项Zernike多项式的拟合能力不同。随着极头半径增大,变形镜拟合对应项数Zernike多项式的能力逐渐降低;在驱动器间距分别为9,10,11 mm的情况下,极头半径1 mm和1.5 mm对应的Zernike拟合残差RMS值在绝大多数Zernike多项式项数上要小于其他极头半径所对应的RMS值,即极头半径为1 mm和1.5 mm时,变形镜整体校正效率更高。通过以上分析可知,在1~3.5 mm范围内,可选择1 mm和1.5 mm作为该参数最佳值的备选。

4.2 驱动器间距的选择

在241单元变形镜设计结构中,由于镜面和驱动器大小限制,驱动器间距可在8~12 mm范围选择。从小到大取相等间隔的5组驱动器间距参数值(极头半径参数分别设为1 mm和1.5 mm),利用仿真程序分别产生PV值为1 μm的3~60项Zernike多项式的像差,并计算3~60项Zernike多项式拟合残差RMS值,具体结果如图8、图9所示。

图 8. 1 mm极头半径下Zernike多项式的拟合残差RMS值。(a) d范围为8~12 mm;(b) d范围为10~12 mm

Fig. 8. RMS value of residual fitting error of Zernike polynomial when radius of pale is 1 mm. (a) Range of d is 8-12 mm; (b) range of d is 10-12 mm

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图 9. 1.5 mm极头半径下Zernike多项式的拟合残差RMS值。(a) d范围为8~12 mm;(b) d范围为10~12 mm

Fig. 9. RMS value of residual fitting error of Zernike polynomial when radius of pale is 1.5 mm. (a) Range of d is 8-12 mm; (b) range of d is 10-12 mm

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由图8、图9可知,在极头半径分别为1 mm和1.5 mm的情况下,驱动器间距8 mm和9 mm所对应的Zernike多项式拟合残差RMS值整体大于驱动器间距10~12 mm的情况,即所对应的校正能力较差。虽然驱动器间距在10~12 mm范围内,Zernike多项式拟合残差RMS值变化曲线趋势一致且大小较为接近,但驱动器间距为10 mm对应的拟合残差RMS值整体更好。通过以上分析可知,驱动器间距参数取值约为10 mm时,系统校正效率更高。

4.3 变形镜最佳参数的选择

由4.1节和4.2节可知,极头半径可在1 mm和1.5 mm选择,驱动器间距可在10 mm左右选择。为更准确地选出变形镜最佳参数,分别取极头半径为1 mm和1.5 mm,驱动器间距为9.5,10,10.5 mm,计算每组参数下3~60项Zernike多项式拟合残差RMS值,具体结果如图10所示。

由图10可知,驱动器间距为9.5 mm对应的Zernike多项式拟合残差RMS值变化曲线整体数值大于其他变化曲线的数值,即对应的变形镜校正效率偏低,最佳参数不予考虑。在r=1 mm、d=10.5 mm和r=1.5 mm、d=10.5 mm两组参数下,Zernike多项式拟合残差RMS值变化曲线基本一致,且数值相近,均可作为最佳参数组合。考虑驱动器在顶拉过程中承受一定的应力,为增大应力承受能力,考虑以r=1.5 mm作为极头半径最佳参数。综合以上分析,极头半径最佳参数选择1.5 mm,驱动器间距最佳参数选择10.5 mm。

图 10. 当极头半径为1~1.5 mm,驱动器间距为9.5~10.5 mm时Zernike多项式的拟合残差RMS值。(a)未去掉间距为9.5 mm的曲线;(b)去掉了间距为9.5 mm的曲线

Fig. 10. RMS value of residual fitting error of Zernike polynomial when radius of pale is 1-1.5 mm and distance of adjacent drivers is 9.5-10.5 mm. (a) Curves when distance of 9.5 mm is not deleted; (b) curves when distance of 9.5 mm is deleted

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5 变形镜性能仿真

5.1 变形镜耦合计算

驱动器间的耦合情况会影响变形镜校正光学像差的能力:若耦合系数太小,变形镜对低频像差的校正能力就弱;若耦合系数太大,变形镜对高频像差的校正能力就会减弱。为掌握最佳设计参数下变形镜驱动器的耦合情况,根据以上结构参数建立241单元变形镜模式,在其中一个驱动器上加载预定义位移,用相邻驱动器位置的镜面变形量除以该驱动器位置的镜面变形量,即为耦合量。耦合量计算曲线如图11所示。

图 11. 变形镜耦合量计算曲线

Fig. 11. Calculated curve of coupling factor of deformable mirror

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图11表示在距离变形镜中心30 mm处驱动器的影响函数。由于相邻驱动器间距为10 mm,因此在某水平方向上该驱动器的相邻驱动器应位于距离中心20 mm和40 mm处。距离中心20 mm处的驱动器在该驱动器作用下产生了0.08667 μm的位移量,而其自身位移量为0.7851 μm,即耦合量约为11%,该数值处于正常变形镜耦合量范围,满足设计要求。

5.2 241单元自适应光学系统对准误差对校正能力的影响

在自适应光学系统搭建过程中,哈特曼传感器子孔径分布与变形镜驱动器布局存在严格的匹配对准关系,直接影响系统对光学像差的校正能力。哈特曼传感器与变形镜是相互独立的且在光路上具有一定距离,在实际安装调试工作中,二者不可能达到理论上的严格匹配,而是存在一定的相对平移和旋转。因此,有必要研究哈特曼传感器与变形镜对准误差对自适应光学系统校正光学像差能力的影响。

以3~60项拟合残差RMS值为目标,分析当存在不同平移和旋转的情况下,系统对3~60项Zernike多项式像差的校正能力。在实际安装中,技术人员会通过耦合镜将激光准直耦合进入哈特曼传感器,所以对准误差实际上是变形镜相对于激光和哈特曼传感器对准关系中的平移和旋转,因此导致各驱动器产生的影响函数面形的平移和旋转,而这种平移和旋转量的控制可根据实际尺寸和像素关系的程序实现。

根据应用激光的光斑形状大小和变形镜尺寸,分别选取几组平移量和旋转量参数进行仿真计算。3~60项Zernike多项式拟合残差RMS值在不同平移量下的变化曲线如图12所示。

由图12可知,当平移量小于3 mm,各阶项Zernike多项式拟合残差RMS值变化不大;当平移量大于3 mm,拟合残差RMS值有所增大,即系统的校正能力下降。由此可知,在进行241单元自适应光学系统调试安装时,哈特曼传感器与变形镜的对准误差平移量不得超过3 mm。

在实际安装调试中,哈特曼传感器和变形镜在水平和竖直方向往往存在平移误差,此时Zernike多项式拟合残差RMS值的变化曲线如图13所示。

图 12. 不同平移量下Zernike多项式的拟合残差RMS值。(a)平移量为0~10 mm;(b)平移量为0~4 mm

Fig. 12. RMS value of residual fitting error of Zernike polynomial under different translation errors. (a) Translation error is 0-10 mm; (b) translation error is 0-4 mm

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图 13. 同时存在水平和竖直平移量时Zernike多项式的拟合残差RMS值。(a)平移量为0~10 mm;(b)平移量为0~4 mm

Fig. 13. RMS value of residual fitting error of Zernike polynomial when horizontal and vertical translation errors coexist. (a) Translation error is 0-10 mm; (b) translation error is 0-4 mm

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从图13可以看出,随着两个方向平移量的增大,Zernike多项式拟合残差RMS值逐渐增大,即校正能力下降,但变化曲线与只有一个方向存在平移量的变化曲线的趋势基本一致。

Zernike多项式拟合残差RMS值在不同旋转量下的变化曲线如图14所示。

图 14. 不同旋转量下Zernike多项式的拟合残差RMS值。(a)旋转量为0°~10°;(b)平移量为0°~6°

Fig. 14. RMS value of residual fitting error of Zernike polynomial under different rotation errors. (a) Rotation error is 0°-10°; (b) rotation error is 0°-6°

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由图14可知,当旋转量小于6°时,3~60阶Zernike多项式拟合残差RMS值曲线随角度变化整体起伏不大;当旋转量为6°时,RMS值变化曲线有一个突变提升,即系统校正能力出现下降。因此,为保持系统像差的校正能力,该系统的哈特曼传感器与变形镜旋转误差不能超过6°。

6 结论

基于实现大口径高功率激光在大气传输过程中波前像差校正的需要,建立了241单元变形镜模型,以Zernike多项式拟合残差RMS值为目标,分析了极头半径和驱动器间距结构参数对系统拟合3~60项Zerniek多项式能力的影响,结合工程实际和分析结论,确定分别以1.5 mm和10.5 mm作为极头半径和驱动器间距的最佳参数。在最佳参数结构下,计算得到变形镜耦合量为11%,具有较好的像差校正能力。为确保241单元自适应光学系统满足校正能力的需求,在安装调试过程中,平移量和旋转量分别不能超过3 mm和6°。