1 引言

激光在大气中传输时会与大气介质相互作用产生一系列线性与非线性效应,如:大气吸收、大气散射、湍流效应和热晕效应等^[1-3]。对这些效应的研究,能够回避或减小大气对光束传输的影响,为光电系统的评估和优化提供参考^[4]。激光大气传输的效果除了与光电系统参数有关,还受传输场景中实际大气的影响。与激光传输效果相关的实际大气参数主要是气象参量和大气光学参量,前者包括温度、压强、湿度、风速等,后者包括湍流结构常数、湍流内外尺度、大气吸收系数、大气消光系数等^[5]。国内外机构研制出大量的测量仪器并坚持长期测量,积累了丰富的资料,建立了标准大气光学参量模式和数据库,为激光大气传输提供相关研究服务^[1,6-7]。

激光大气传输的热晕效应指高能激光加热大气,引起传输路径上大气介质密度发生变化,进而造成光束扩展、相位畸变和能量衰减 ^[8]。由于光束能量高、实验测量费用昂贵等原因,数值模拟是研究热晕效应的重要手段。数值模拟的准确性不仅与理论模型有关,还与输入数值模型的大气参数有关。为了对热晕效应做出全面而准确的评估,并指导实际工作中大气参数的测量和模式的构建,需要研究大气参数对激光传输热晕效应的影响。国外的研究中,Pries^[6]给出了地基光电系统斜程传输对风速廓线、光学湍流廓线、温度廓线、相对湿度廓线、气溶胶等参数测量的误差要求;Fiorino等^[9]研究了典型中纬度地区光学湍流、相对湿度、大气散射等大气参数对高能激光大气边界层传输的影响。国内的研究中,黄印博等^[10]数值分析了大气测量误差对水平及低仰角斜程激光大气传输的影响;张建柱等^[11]统计分析了高能光束近地面水平传输时大气参数精度对传输效果的影响。

热晕效应的物理过程复杂,涉及参数众多,对于这样的非线性物理过程,已有的研究存在两个方面的局限:1)研究中均假设激光传输路径上参数均匀分布,没有考虑实际传输场景中参数的空间变化对传输效果的影响;2)对参数影响的分析采用的是局部敏感性分析(LSA)方法,即固定其他参量的值以研究某一个参量的变化对输出的影响。本文引入全局敏感性分析(GSA)方法,分析典型大气模式下不同输入参数对准直光束上行传输稳态热晕敏感性的影响。

2 热畸变参数的数值模型

2.1 热畸变参数的理论表达式

高能激光大气传输的热晕效应是非常复杂的物理过程,涉及到大气介质的光学、流体动力学、运动和热传递等方面的特性。联合求解流体动力学方程和光波傍轴近似波动方程可以得到热晕效应在若干假定下的解析结果^[1]。工程中通常用Bradley-Hermann热畸变参数 ND12来度量热晕效应引起的光束相位畸变强度,N_D越大,热晕效应越强。对于地基光电系统发射的准直光束,上行传输H距离处的热畸变参数的表达式^[5]为

ND(H,θz)=CAkPsecθzD∫HLHαThT0t(h)vE(h)T(h)dh,(1)

式中:H_L为地基光电系统的海拔高度;C_A为温度T₀=273 K时的值;t(h)为积分透过率;α_T(h)为大气吸收系数;θ_z为发射光束的天顶角;P(单位:kW)为发射激光功率;D(单位:m)为光束直径;v_E(h)(单位:m/s)为光束旋转速度和测量风速合成的有效风速;T(h)(单位:K)大气温度;k=2π/λ,λ(单位:μm)为激光波长。

C_A的表达式为

CA=-42ρ0CPdndT=4.72×10-9m3·J-1,(2)

式中:n为大气折射率;ρ₀为高度H_L处的大气密度;C_P为定压比热容。t(h)的表达式为

t(h)=exp-secθz∫HLhαT(h')+σT(h')]dh',(3)

α_T(h)的表达式为

αT(h')=km(h')+ka(h'),(4)

σ_T(h)的表达式为

σT(h')=σm(h')+σa(h'),(5)

式中:σ_T(h)为大气散射系数;k_m(h')、k_a(h')、σ_m(h')和σ_a(h')分别为相应高度的分子吸收系数、气溶胶吸收系数、分子散射系数和气溶胶散射系数。

2.2 数值模型的不确定性来源

(1)式为N_D的数值模型,包含两重积分和各种参数的复杂表达式,难以直接求解,本研究通过数值积分的方法求解。此数值模型结果的不确定性主要来自模型结构的缺陷和输入参数的不确定性。在决定数值模型结构的参数中,本研究重点讨论积分空间分辨率的影响。在模型输入参数中,本研究考虑4个参数廓线:大气吸收系数、大气散射系数、有效风速和大气温度廓线。

考虑典型的大气传输场景,并构建相应的大气参数廓线。激光发射功率P=30 kW, 光束波长λ=1.315 μm,光束直径D=1 m,光束天顶角θ_z=0°,光束起始海拔高度H_L=0 km, 考虑上行传输30 km的热畸变效应,即H=30 km。在美国空军地球物理实验室(AFGL)中纬度夏季模式大气下,采用LBLRTM和HITRAN2004计算大气分子吸收和散射系数,采用MODTRAN5计算能见度为23 km时的大气气溶胶吸收和散射系数^[7,13]。大气温度和风速廓线由中国中纬度地区多年高精度探空数据统计得到。本研究不考虑风向变化的影响,v_E(h)由光束旋转速度和实测大气风速v(h)直接相加得到。构建的上述4个参数的平均廓线在图1(a)~(d)中由黑色方框表示。对应标准大气的空间分辨率,本研究考虑28个高度:0~25 km每隔1 km取一个高度,27.5 km和30 km。为方便讨论,将海拔i(单位:km)的大气吸收系数、大气散射系数、测量风速和大气温度廓线分别表示为α_i,σ_i,v_i和T_i。

全局敏感性分析需要设定每个不确定输入参数的变化范围。假定大气吸收和散射系数的不确定性为一个量级,大气风速在相应高度层多年探空数据风速分布的0.1和0.9分位数之间变化,大气温度在相应高度层多年探空数据的最大值和最小值之间取值。图1(a)~(d)中红色和蓝色点线给出了每个高度层参数的变化范围。积分空间分辨率R取50个离散值,即R=(20,40,…,980,1000) m。因而,本研究的数值模型共有113个不确定输入参数。数值计算中,采用插值方法将28个高度上的参数插值到更精细的分辨率,大气吸收和消光系数采用对数插值,温度和风速采用线性插值。

图 1. 参数廓线及其不确定性变化范围。(a)大气吸收系数;(b)大气散射系数;(c)测量风速;(d)温度

Fig. 1. Profiles of parameters and their uncertainty range. (a) Atmospheric absorption coefficient; (b) atmospheric scattering coefficient; (c) measured wind speed; (d) temperature

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3 敏感性分析

敏感性分析研究模型输出的不确定性和输入参数不确定性间的关系,即不同输入参数的不确定性对输出不确定性的影响^[14]。敏感性分析分为局部敏感性分析和全局敏感性分析。局部敏感性分析在指定的单个参数变化区间内取值,在同时保持其他参数不变的情况下,考虑这个参数的变化对模型输出的影响。这种方法一次只能得到一个参数对结果的影响,且计算结果严重依赖其他参数的取值。另外,局部敏感性分析只对输入和输出存在线性关系的模型才会得到较准确的结果。全局敏感性分析考虑输入空间所有参数同时变化对模型输出的影响,而且可以量化输入参数间的交互作用对输出的影响。

全局敏感性分析方法按功能可以划分为4步^[15]:筛选出不重要的参数(FF), 按照变量的重要性将变量排序(FP),将输出不确定性降低到指定范围(VC),根据特定范围内的输出找到对应的输入(FM)。在不同领域中,全局敏感性分析已被广泛地用于模型评估、模型校正、模型简化等^[15]。激光大气传输的热晕效应是一种非线性效应,N_D的解析表达式中包含不同参数在各个高度的相互作用,对于这样复杂的模型,目前还未发现采用全局敏感性分析方法进行分析的研究。本研究引入全局敏感性分析方法,首先采用主效应检测(EET)方法筛选掉不重要的参数,并将不重要参数的值固定;然后采用基于方差的敏感性分析(VBSA)方法定量评估重要参数对N_D的影响。

3.1 EET

EET是一种定性的敏感性分析方法,当输入变量太多时,可以用EET筛选出不重要的参数。EET按重要性由强到弱给出变量的相对顺序。其模型为

y=f(x)=f(x1,x2,…,xM)。(6)

假定该模型有M个输入,即x={x₁,x₂,…,x_M},一个输出y。定义输入空间中第i个输入参数x_i对输出y的主效应为

dij(x)=f(x1j,…,xij+Δij,…,xMj)-f(x1j,…,xij,…,xMj)Δij,(7)

式中:j表示x_i采样空间中的第j个样本; Δij是差分因子,其与x_i的变化范围有关。如果在x_i变化范围内取r个样本,那么主效应的平均值(μ)和方差(Σ)的表达式为^[16-17]

μi=1r∑j=1rdij,(8)Σi=11-r∑j=1r(dij-μi)2,(9)

式中:μ_i表示x_i的总体不确定性对y的影响;Σ_i表示x_i与其他参数的相互作用对y的影响。当μ_i=0时,x_i对y无影响;当Σ_i=0时,x_i对y无非线性影响;当μ_i较大且Σ_i较小时,x_i对y有弱非线性影响;当μ_i较小且Σ_i较大时,x_i对y有强非线性影响。

3.2 VBSA

VBSA方法采用模型输出y分布的统计方差来定量表征不确定性,用输入参数x_i的方差和y方差的比值表示x_i的敏感性。VBSA将模型输出的方差进行分解,得到关于输入参数间的不同阶次的敏感性,其中最重要的两个参数是一阶指数S_i和总体指数S_Ti。S_i又被称为主效应,表示不考虑x_i和其他参数的相互作用时,x_i独自对y的影响。S_Ti又被称为总体效应,表示x_i对y的总体作用,包含主效应和x_i与其他参数的相互作用。

S_i和S_Ti的表达式为^[18-19]

Si=Vxi{Ex-i[f(x)xi]}V[f(x)],(10)STi=Ex-i{Vxi[f(x)xi]}V[f(x)],(11)

式中:x_-i={x₁,…,x_i-1,x_i+1,x_M}表示除去x_i后x中其他参数的集合;E{·}表示求平均;V[·]表示求方差。

4 敏感性分析结果

全局敏感性参数的计算需要通过具体的采样方法来实现,本研究采用Saltelli等^[14]提出的方法,利用拉丁超几何抽样在输入变量的分布空间内多次随机采样,计算相关敏感性参数的估计值,并用自举法计算每个统计量的置信区间。

4.1 EET结果

对于第i个参数x_i的主效应d_i, 本研究中采样个数r取为 1000。 113个输入参数总共需要计算1000×(113+1)=114000次N_D的数值模型^[14],将EET的计算结果在图2(a)中的μ-Σ平面上表示,图2(b)给出了图2(a)中μ<10的情况。图中圆圈中心表示平均值,横向和纵向方框边界分别表示μ和Σ的显著水平为0.1的置信区间。图中某参数所处位置的μ越大表示该参数对N_D的总体影响越大,Σ越大表示该参数和其他参数的相互作用对N_D的影响越大。通常,EET用μ的值来表征参数相对重要性的大小,根据μ对参数进行排序。通过设置一个μ的参考值作为筛选阈值可以将输入参数划分为重要参数和不重要参数,本研究将筛选阈值设为1。

图 2. EET计算的每个参数主效应的平均值μ和方差Σ。(a) 0<μ<250; (b) 0<μ<10

Fig. 2. Mean value μ of the absolute values and standard deviation Σ of the distribution of the elementary effects calculated via EET. (a) 0<μ<250; (b) 0<μ<10

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图2(a)和(b)的图例按μ从大到小的顺序给出了前21个参数。所有113个不确定输入参数中,共有20个参数的主效应的平均值大于筛选阈值,它们是α₀~α₇,σ₀~σ₃,v₀~v₄,T₁~T₃。可见,对N_D影响较大的都是低空大气参数,因而在实际测量或建模过程中应该给予格外关注。其他输入参数的μ<1,将其称为不重要参数,在实验条件有限或需要简化模型的情况下,可以将这些不重要参数设定为某些参考值而忽略其变化对模型输出的影响。对N_D影响最大的前三个参数是α₁,α₀和α₂。图2(a)显示它们的主效应的平均值远大于方差,表明它们对N_D的影响大部分来源于线性作用,这与物理过程相吻合。在光束传播初始路径上,有效风速较小,随着吸收系数的变大,大气介质吸收激光能量引起热晕效应增强。需要指出的是,积分分辨率的重要性排在第22位,这表明其对N_D的影响在一般情况下可以忽略。

4.2 VBSA结果

现在把EET筛选出的不重要参数固定,将大气参数取为平均值,积分分辨率取为100 m,VBSA能够定量评估20个重要输入参数对N_D的影响。本研究中基本样本个数是5000,20个参数共需计算5000×(20+2)=110000次N_D的数值模型^[14]。

图3是VBSA计算得到的20个重要参数的一阶指数S_i和总体指数S_Ti,橙色和蓝色方框分别表示S_i和S_Ti的显著水平为0.1的置信区间。当S_i和S_Ti的值接近0时,由于计算误差会出现负值,这可以通过增加样本个数来避免。对于每个不确定输入参数,S_Ti的值大于S_i,说明这些参数既可以直接对N_D产生影响,也通过和其他参数相互作用对N_D产生影响。表1给出了这20个参数的S_i和S_Ti的数值以及每个参数和其他参数间的相互作用,S_i的和为 0.93,S_Ti的和为2.1,表明这20个参数间存在较强的相互作用,且这些相互作用对N_D的影响较大。表1同时表明,影响最大的三个参数是α₁,α₀和α₂,这与EET的结果一致。其中,最重要的参数是α₁,它对N_D不确定性的贡献为62%。除了上述三个参数,其他参数总体指数的值和S_Ti-S_i的值大体相同,说明它们对N_D的影响主要来源于和其他参数的相互作用。

图 3. VBSA计算得到的一阶指数和总体指数

Fig. 3. Results of main effects and total effects calculated via VBSA

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5 讨论

本研究得到的敏感性参数是基于拉丁超几何抽样的统计量,样本量的选择会影响统计结果,为了验证结果的收敛性,可以通过自举法计算敏感性参数统计量的置信范围^[15]。以EET得到的主效应的平均值为例,如图4所示,图中实线表示μ的均值,虚线表示显著水平为 0.1的置信区间边界,图例按照μ的平均值从大到小的顺序依次给出前10个参数。可见,随着模型实现次数的不断增加,每个参数的μ值逐渐趋于稳定,当模型运行114000次后,N_D的值基本不变。因而可以充分相信,所得结果是可靠的。

图 4. EET计算得到的平均主效应的收敛性分析

Fig. 4. Convergence analysis of the mean values of absolute elementary effects calculated by EET

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与敏感性分析相关的是不确定性分析(UA),它只研究模型输出的变化,即定量化模型输出的不确定性。敏感性分析的结果能够指导我们有针对性地分析模型的不确定性,高效地提高模型质量。本研究中EET和VBSA分别得到114000和110000个模型输出,EET结果的平均值和方差分别为138.86和80.46,VBSA结果的平均值和方差分别为141.17和80.75。考虑到不同采样样本存在差别,可以认为,在固定不重要的参数之后,两种方法得到N_D的不确定性基本相同。因此,在降低N_D的不确定性时,只需关注那些重要的参数。就本研究所讨论的传输场景而言,在测量或建模时应该充分研究和降低低空大气参数的不确定性。

6 结论

激光的大气传输效应与光束传播路径上的实际大气参数密切相关,其数值模型的结果受到理论模型和传输路径上的大气参数影响。在典型传输场景下,采用全局敏感性分析方法,分析不同输入参数的不确定性对热畸变参数数值模型的影响。考虑的输入参数包括112个大气参数和1个积分空间分辨率。主要结论如下:

1) EET定性地评估各个参数对N_D数值模型影响的相对大小,并将输入参数分为对N_D影响重要的参数和不重要的参数。在113个输入参数中,有20个参数影响较大,它们均是低空大气参数。积分分辨率的重要性排在第22位,在财力物力有限或需要简化模型的情况下,可以将这些不重要参数设定为某些参考值而忽略其变化对模型输出的影响。

2) 把EET筛选出的不重要参数固定,采用VBSA定量评估20个重要输入参数的不确定性对N_D数值模型的影响。VBSA给出了每个参数的一阶指数和总体指数,它们的数值表明这些参数既可以直接对N_D产生影响,也可以通过和其他参数相互作用对N_D产生影响,且这些参数间的相互作用对N_D的影响较大。影响最大的三个参数是α₁,α₀和α₂,其中,最重要的参数是α₁,它对N_D不确定性的贡献为62%。

3) 用自举法计算了敏感性统计量的置信区间,给出了各个敏感性指数的置信度。比较EET和VBSA的结果发现,两种方法的结果彼此相容,从而进一步证实了本方法的有效性和结果的可靠性。

在实际工程应用中,激光大气传输效应评估的不确定度分析是一个非常重要的课题。全局敏感性方法能够高效地分析不确定性在模型中的传播,评估不同输入参数对传输效应的影响,因此是一个可以用于开展相关研究的有效方法。激光的大气传输效应与传输路径上的大气参数特性和光束特征有关,本研究仅研究了典型地区的平均大气模式下,准直光束上行传输的稳态热晕效应,下一步将分析更多地区、不同传输场景下的激光大气传输效应。