压缩感知三维重建算法控制参数对太赫兹数字全息再现的影响

袁静; 李琦; 巩文盼

doi:doi:10.3788/cjl201845.1014001

中国激光, 2018, 45 (10): 1014001, 网络出版: 2018-10-12

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Influences of Compressive Sensing 3D Reconstruction Algorithm Control Parameters on Terahertz Digital Holography Reconstruction

论文大纲

袁静李琦巩文盼

作者单位

哈尔滨工业大学可调谐激光技术国家级重点实验室, 黑龙江哈尔滨 150080

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摘要

太赫兹三维成像技术是太赫兹成像技术的重要研究方向, 因为基于样本的三维图像可以获取比二维图像更丰富的分布信息。影响压缩感知方法三维重建结果精度的算法控制参数主要有迭代次数和稀疏限制参数。利用主观及客观评价法, 首先分析了理想情况下迭代次数和稀疏限制参数对再现结果的影响。考虑到实际目标板的不均匀等现象会引入噪声, 因此研究了存在高斯噪声时再现算法控制参数对再现结果的影响。结果表明：当迭代次数均为200次, 理想情况和高斯噪声方差分别为0.0005和0.001时, 稀疏限制参数分别为0.02、0.1、0.1。

Abstract

Terahertz three-dimensional (3D) imaging is an important research direction for terahertz (THz) imaging technology, because 3D images of a sample can provide richer distribution information than 2D images. The main algorithm-control parameters that affect the accuracy of compressed 3D reconstructions are the number of iteration and the sparse restriction parameter. In this paper, we use subjective and objective evaluations to analyze the influences of these parameters on the reconstruction results for an ideal situation. Considering that noise is generated because the actual target plate is inhomogeneous, we mainly study the influences of the control parameters in reconstruction algorithms containing different levels of Gaussian noise on reconstructed results. The results show that when the number of iteration is 200, sparse restriction parameter is 0.02, 0.1 and 0.1 for the ideal case and Gaussian noise variance of 0.0005 and 0.001, respectively.

1 引言

太赫兹波可以穿透对可见光不透明的有机材料,同时还具有光子能量较低的特点,不会对生物体造成损伤,因此太赫兹成像技术可广泛应用于无损检测及人体安全检查等领域^[1]。随着信息和材料科学等技术的迅猛发展,太赫兹成像技术已成为国内外的研究热点^[2]。

太赫兹三维成像技术是太赫兹成像技术的重要研究方向。与二维图像相比,根据样本的三维图像可以获取更加丰富的分布信息。目前,压缩感知已成功应用于数字全息。2009年,Brady等^[3]应用压缩传感技术完成了数字全息三维成像;2011年,吴迎春等^[4]在卷积理论的基础上,利用压缩感知技术对全息图进行稀疏重建;2016年,翁嘉文等^[5]根据离轴菲涅耳全息图的光学记录过程,结合压缩感知理论与数字全息数值重构技术,建立与菲涅耳衍射相适应的传感矩阵,构建层析算法。但以上的研究都是在可见光波段,且都只是初步证明了本身方法的可操作性。本课题组将压缩感知数字全息技术引入到太赫兹波段,率先证明了压缩感知在连续2.52 THz全息重建时的适用性,获得了三维断层图像^[6];此外,本课题组的李运达^[7]初步讨论了重建算法控制参数对再现结果的影响,但该讨论仅考虑了部分理想情况,而实际目标及其背底材质不均匀等情况会引入噪声。实际中的多帧全息图叠加后,噪声会以散斑噪声为主,且近似为高斯噪声。为了方便起见,本研究将整体噪声近似为高斯噪声,分析了存在高斯噪声时压缩感知重建三维图像的效果;此外,还进一步对理想情况进行仿真,并将仿真结果与实际情况进行对比。

影响压缩感知方法三维重建精度的算法控制参数主要有迭代次数和稀疏限制参数。本文选取10个稀疏限制参数,将迭代次数设置为50~400(以50为间隔)进行研究。首先,对理想情况下迭代次数和稀疏限制参数对再现结果的影响进行主观分析;然后利用峰值信噪比(PSNR)和平均结构相似度(MSSIM)这两种客观评价指标对再现结果进行分析。由于在实际情况中会存在噪声,因此,本文进一步研究了在高斯噪声存在的情况下,稀疏限制参数和迭代次数对全息再现结果的影响。

2 原理简介

2.1 压缩感知再现原理

根据压缩感知原理可知数字全息图满足稀疏条件,因此,可以利用单幅全息图通过压缩感知方法进行样本的三维重建^[3]。

设样本的三维散射振幅分布为η(m₀,n₀,z₀),并假设全息面m_H-n_H-z沿x和y方向的采样间隔分别为Δx=Δy=Δ,z方向的采样间隔为Δz,且全息面在x和y方向的采样点数均为N,z轴方向的平面个数为N_z。根据瑞利-索末菲-衍射积分公式,全息面上记录的数字全息图I可离散化为^[8]

\begin{matrix} \begin{matrix} I = {|1 + U_{H} (m_{H}, n_{H})|}^{2} = \\ |1 + \overset{Nz}{\sum_{k 0 = 1}} \overset{N}{\sum_{m 0 = 1}} \overset{N}{\sum_{n 0 = 1}} η_{k 0} (m_{0} Δ, n_{0} Δ, k_{0} Δ_{z}) \times \frac{}{} \\ {\frac{}{} h_{k 0} [(m_{H} - m_{0}) Δ, (n_{H} - n_{0}) Δ, k_{0} Δ_{z}]|}^{2}, (1) \end{matrix} \end{matrix}

式中:h_k₀为系统的脉冲响应函数;U_H(m_H,n_H)为全息面物光场分布;η_k₀为某一二维平面振幅分布。

使用振幅为1的准直平面波进行重建且忽略(1)式中直流项及自相关项的非线性时,可认为物体的衍射场与全息图的测量值满足线性映射,是线性测量过程。此时全息图分布I可以表示为^[3]

\begin{matrix} I = 2 Re {Hη} + e, (2) \end{matrix}

式中:η为样本三维振幅分布的离散表示;H为系统测量矩阵;e为直流项、自相关项及附加噪声等误差影响项。

由压缩感知原理可知,可通过求全变差范数最小值完成目标三维空间振幅分布的重建。引入稀疏限制参数来控制全变差项对重建结果的作用,则(1)式的解即是满足(3)式等号右边项最小化的解:

\begin{matrix} η = \arg \min_{η \in R} (‖ I - Hη ‖_{2}^{2} + τ ‖ η_{k} ‖_{TV}), (3) \end{matrix}

式中:τ为稀疏限制参数;‖η_k‖_TV= $\begin{matrix} \overset{NZ}{\sum_{k 0 = 1}} \end{matrix} \begin{matrix} \overset{N 1}{\sum_{m 0 = 1}} \end{matrix} \begin{matrix} \overset{N 2}{\sum_{n 0 = 1}} \end{matrix} \begin{matrix} |\nabla [η_{k 0} (m_{0}, n_{0})]| \end{matrix}$ 。

在实际计算中,采用两步迭代收缩/阈值方法(TwIST)对(3)式进行求解,可以表示为^[9-10]

\begin{matrix} η_{1} = [η_{0} + H' (I - H η_{0}) / ν] - \\ 0.5 τ / [ν ‖ η_{0} + H' (I - H η_{0} \frac{)}{ν} ‖_{TV}], (4) \end{matrix}

\begin{matrix} η_{t + 1} = (1 - α) η_{t} + (α - β) η + \\ β {[η_{t} + H' (I - H η_{t}) / ν] - \\ 0.5 τ / [ν ‖ η_{t} + H' (I - H η_{t} \frac{)}{ν} ‖_{TV}]}, (5) \end{matrix}

式中:α=2 $\begin{matrix} / [1 + \sqrt[]{1 - {(\frac{1 - κ}{1 + κ})}^{2}}] \end{matrix}$ ;β= $\begin{matrix} \frac{2 α}{λ_{1} + λ_{N}} \end{matrix}$ ;κ= $\begin{matrix} \frac{λ_{1}}{λ_{N}} \end{matrix}$ ;λ₁和λ_N分别为矩阵H'×H的最小本征值和最大本征值,为便于计算,本研究分别取λ₁=10^-4,λ_N=1;ν为逆比例因子,通过控制参数τ及H'(I-Hη_t)项在公式中的大小来保证迭代的正常进行;t为迭代次数;ν为逆比例因子;η₀为N×N×N_z的全1的初始矩阵;η_t为迭代t次的矩阵结果;η_t+₁为迭代t+1次的矩阵结果。

由(4)~(5)式可知,对每次迭代结果求全变差后,图像边缘及高频噪声位置处的梯度值较大,其余位置的梯度值接近于0。将迭代结果与全变差值相减即可实现滤波。通过选择合适的限制参数τ及迭代次数t即可控制滤波强度的大小,从而实现样本空间振幅分布的精确重建。

2.2 MSSIM和PSNR

利用MSSIM和PSNR这两个客观评价标准对再现结果进行分析。MSSIM的指数表达式为^[11]

\begin{matrix} \begin{matrix} M_{SSIM} (F, F^{t}) = \frac{1}{N} \overset{N}{\sum_{j = 1}} l (F_{j}, {F^{t}}_{j}) \times \\ c (F_{j}, {F^{t}}_{j}) \times s (F_{j}, {F^{t}}_{j}), (6) \end{matrix} \end{matrix}

式中:F、F^t分别为参考图像和测试图像;l(F_j, $\begin{matrix} {F^{t}}_{j} \end{matrix}$ )为测试图像与参考图像中对应像素的亮度;c(F_j, $\begin{matrix} {F^{t}}_{j} \end{matrix}$ )为测试图像和参考图像中对应像素的对比度;s(F_j, $\begin{matrix} {F^{t}}_{j} \end{matrix}$ )为测试图像和参考图像中对应像素的结构度。它们的表达式分别为

l (F_{j}, {F^{t}}_{j}) = \frac{2 μ_{Fj} μ_{Ftj} + C_{1}}{μ_{Fj}^{2} + μ_{Ftj}^{2} + C_{1}}, (7)

c (F_{j}, {F^{t}}_{j}) = \frac{2 σ_{Fj} σ_{Ftj} + C_{2}}{σ_{Fj}^{2} + σ_{Ftj}^{2} + C_{2}}, (8)

s (F_{j}, {F^{t}}_{j}) = \frac{{σ_{Fj}}_{Ftj} + C_{3}}{σ_{Fj} σ_{Ftj} + C_{3}}, (9)

式中:μ_Fj和μ_F_t_j为以对应参考图像和测试图像像素为中心的窗口均值;σ_Fj和σ_F_t_j为以对应参考图像和测试图像像素为中心的窗口方差;σ_FjF_t_j为以对应参考图像和测试图像像素为中心的窗口协方差;C₁、C₂、C₃均为常数,C₁=(K₁L)²,C₂=(K₂L)²,C₃=C₂。在本研究中,L=1,K₁=0.01,K₂=0.03。MSSIM值越接近1,测试图像的亮度、对比度和结构度就越接近标准图像。

PSNR是衡量图像品质的重要参数,其单位是dB。对于两幅大小为M×N的参考图像X和其含噪声图像Y,PSNR计算公式为^[12]

\begin{matrix} R_{PSNR} = 10 \times \lg [\frac{255^{2} \times M \times N}{\overset{M \times N}{\sum_{i = 1}} (X_{i} - Y_{i})^{2}}] 。 (10) \end{matrix}

PSNR值越高,说明经过处理后的图像质量越高,即越接近标准图像。

3 2.52 THz仿真结果分析

根据压缩感知原理可知,迭代次数t和稀疏限制参数τ这两个重建算法控制参数会影响压缩感知方法三维重建结果的精度。由于压缩感知的再现方法满足稀疏条件,为了便于仿真,令仿真样本的灰度值为1,背景灰度值为0,此时全息图中非零数据点的数目较少,所需计算时间也少。仿真样本是尺寸均为1.2 mm×1.2 mm,且线宽均为0.4 mm的“T”样本和“H”样本。

在仿真再现中,太赫兹波长为118.83 μm,初始位置(即距探测器最近的物面)z_off=13 mm,再现层数为5,层间隔d_z=3 mm,“T”样本和“H”样本分别距电荷耦合器件(CCD)19 mm和25 mm。仿真中使用的同轴数字全息记录原理图如图1所示。在同轴数字全息系统中,将光波照射物体得到的散射光与未散射光分别作为物光和参考光,两者共路传播,然后通过对全息图进行数值计算产生再现图像。

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1 引言

2 原理简介

2.1 压缩感知再现原理

2.2 MSSIM和PSNR

图 1. 数字全息记录原理图

Fig. 1. Schematic of the digital holographic record

图 2. 不同情况下的断层仿真场景。(a)理想情况;(b)高斯噪声方差为0.0005;(c)高斯噪声方差为0.001

Fig. 2. Sample simulation scenario obtained under different conditions. (a) Ideal case; (b) a case with Gaussian noise variance of 0.0005; (c) a case with Gaussian noise variance of 0.001

图 3. 不同情况下的仿真全息图。(a)理想情况;(b)高斯噪声方差为0.0005;(c)高斯噪声方差为0.001

Fig. 3. Simulation holograms obtained under different conditions. (a) Ideal case; (b) a case with Gaussian noise variance of 0.0005; (c) a case with Gaussian noise variance of 0.001

图 4. 仿真系统原理示意图

Fig. 4. Schematic outline of simulation system

3.1 理想情况下的仿真结果

图 5. τ=0.1时不同迭代次数的再现结果。(a) t=50; (b) t=100; (c) t=150; (d) t=200; (e) t=250; (f) t=300; (g) t=350; (h) t=400

Fig. 5. Reconstruction results for different iteration times when τ=0.1. (a) t=50; (b) t=100; (c) t=150; (d) t=200; (e) t=250; (f) t=300; (g) t=350; (h) t=400

图 6. 理想情况下,迭代次数与(a) PSNR、(b) MSSIM的关系

Fig. 6. Relationship between number of iteration and (a) PSNR or (b) MSSIM under ideal condition

图 7. 理想情况下,稀疏限制参数与(a) PSNR、(b) MSSIM的关系

Fig. 7. Relationship between sparse restriction parameter and (a) PSNR or (b) MSSIM under ideal condition

图 8. 理想情况下的再现图像。(a)样本“T”;(b)样本“H”

Fig. 8. Ideal reconstructed images. (a) “T” sample; (b) “H” sample

3.2 存在高斯噪声时的仿真结果

图 9. 高斯噪声方差为0.0005时,稀疏限制参数与(a) PSNR、(b) MSSIM的关系

Fig. 9. Relationship between sparse restriction parameter and (a) PSNR or (b) MSSIM when Gaussian noise variance is 0.0005

图 10. 高斯噪声方差为0.0005时,稀疏限制参数与(a) PSNR、(b) MSSIM的关系(0.05≤τ≤0.14)

Fig. 10. Relationship between sparse restriction parameter (0.05≤τ≤0.14) and (a) PSNR or (b) MSSIM when Gaussian noise variance is 0.0005

图 11. 高斯噪声方差为0.0005时,迭代次数与(a) PSNR、(b) MSSIM的关系

Fig. 11. Relationship between number of iteration and (a) PSNR or (b) MSSIM when Gaussian noise variance is 0.0005

图 12. 高斯噪声方差为0.0005时的最佳再现图像。(a)样本“T”;(b)样本“H”

Fig. 12. The best reconstructed images with Gaussian noise variance of 0.0005. (a) “T” sample; (b) “H” sample

图 13. 高斯噪声方差为0.001时,稀疏限制参数与(a) PSNR、(b) MSSIM的关系

Fig. 13. Relationship between sparse restriction parameter and (a) PSNR or (b) MSSIM when Gaussian noise variance is 0.0001

图 14. 高斯噪声方差为0.001时,迭代次数与(a) PSNR、(b) MSSIM的关系

Fig. 14. Relationship between number of iteration values and (a) PSNR or (b) MSSIM when Gaussian noise variance is 0.001

图 15. 高斯噪声的方差为0.001时的最佳再现结果。(a)样本“T”;(b)样本“H”

Fig. 15. The best reconstructed images with Gaussian noise variance of 0.001. (a) “T” sample; (b) “H” sample

3.3 仿真结果总结

表 1. 仿真结果汇总

Table 1. Summary of simulation results

图 16. 真实的全息图再现。(a) τ=0.02; (b) τ=0.1

Fig. 16. Reality hologram reconstruction. (a) τ=0.02; (b) τ=0.1

4 结论

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