变形镜部分驱动器断电失效对校正性能的影响

变形镜在长期工作的过程中,压电陶瓷驱动器因累积疲劳效应会导致其失效,从而导致校正性能的降低。从变形镜的影响函数出发,将失效驱动器的电压置零,采用有限元方法建立变形镜疲劳失效模型,重点分析畸变波前的形态分布、入射光束的类型和驱动器的排布方式等对校正能力的影响。实验结果表明,在部分驱动器失效的情况下,变形镜应当根据高斯型随机畸变波前的形态分布进行失效分析。从低频部分来看,在第1圈驱动器失效的情况下,变形镜对三种入射光束的校正效果几乎相同,当驱动器失效位置在其他圈数时,变形镜对高斯光束的校正效果最差;从高频部分来看,在不同位置驱动器失效的情况下,变形镜对平顶高斯光束的校正效果最佳。

Abstract

In the long-term operation of a deformable mirror, the piezoelectric actuator is prone to failure due to the cumulative fatigue effect, which leads to the decrease of its correction performance. In this paper, starting from the influence function of a deformable mirror, we set the voltage of the failed actuators to zero and adopt the finite element method to establish the fatigue failure model of the deformable mirror. Furthermore, we mainly analysis the impact of the shape distribution of the distorted wavefront, the type of incident beams, and the arrangement of the actuators. The experimental results show that in the case of partial failure of the actuators, the deformable mirror should perform failure analysis based on the shape distribution of Gaussian random distorted wavefront. From the low-frequency point of view, when the first-circle actuators failed, the deformable mirror has almost the same correction effect on the three incident beams. When the actuator failure is at other circles, the deformable mirror has the worst correction effect on the Gaussian beams. In contrast, from the high-frequency point of view, the deformable mirror has the best correction effect on the flattened Gaussian beam when the actuators failure at different positions.

1 引言

自适应光学系统通常由波前传感器、波前控制器和波前校正器三个部分组成^[1],其中波前校正器又称变形镜,通过实时改变自身面形以实现对畸变波前的校正。众多变形镜中,基于压电陶瓷驱动器的连续表面变形镜具有响应速度快、形变灵敏度高和谐振频率高等优点^[2],在天文观测和强激光技术等领域得到了广泛的应用^[3-5]。然而,压电陶瓷驱动器通常在交变电场下服役,并在多场(电场、力场和温度场等)耦合的情况下持续工作,因此不可避免地会出现场致疲劳和电疲劳^[6]。压电陶瓷是一种脆性材料,所以在生产制造和加工过程中会存在微观缺陷,且性能老化和长期反复使用所累积的疲劳效应也容易产生疲劳损伤,甚至造成驱动器的失效^[7],进而导致变形镜的校正能力降低,最终系统的工作性能退化。因此,研究压电陶瓷驱动器的失效对优化变形镜校正能力的影响具有重要意义。陈丽霞等^[8]采用了有限元分析方法研究变形镜的疲劳损伤特性,以及不同的驱动方式对变形镜疲劳寿命的影响。罗帅等^[9]结合了Miner疲劳累积损伤理论分析变形镜的结构参数对其疲劳寿命的影响。Wang等^[10]研究了压电陶瓷的疲劳特性对变形镜校正能力的影响。综上所述,目前鲜有研究部分驱动器失效对变形镜校正能力的影响。

本文首先阐述变形镜的失效分析模型,然后使用该模型模拟分析变形镜在部分驱动器失效前后的校正能力,最后重点讨论畸变波前的形态分布、入射光束的类型和变形镜驱动器的排布方式等对变形镜校正能力的影响。

2 变形镜部分驱动器失效分析模型

变形镜驱动器在施加控制电压后引起的面形变化由影响函数来决定^[11],典型的影响函数可用高斯函数来表示,表达式为

I_{i} (x, y) = \exp \{\ln [b \frac{(x - x_{i})^{2} + (y - y_{i})^{2}}{d^{2}}]\}, (1)

式中:(x_i,y_i)为第i个驱动器的位置坐标,i=1,2,3,…,n;d为驱动器的间距;b为交连值,即单个影响函数中施加电压后驱动器的变形量δ₁与相邻位置驱动器的变形量δ₂的比值,一般要求b的取值范围为5%~20%。

变形镜校正畸变波前的过程就是将畸变波前的面形ϕ(x, y)所用的影响函数I_i(x, y)展开的过程。假设施加在第i个驱动器上的驱动电压为V_i,则变形镜的镜面面形M(x, y)可表示为

M (x, y) = \overset{n}{\sum_{i = 1}} V_{i} \cdot I_{i} (x, y) 。 (2)

变形镜校正畸变波前所需要的面形为ϕ(x, y),变形镜实际得到的面形为M(x, y),因此经变形镜校正后的残余波前可以表示为

R (x, y) = ϕ (x, y) - M (x, y) 。 (3)

采用最小二乘法对畸变波前进行拟合^[12],将R(x,y)作为目标函数使其拟合方差取极小值,方差的表达式为

σ^{2} = \iint [ϕ (x, y) - M {(x, y)]}^{2} d x d y 。 (4)

对(4)式取偏导数∂σ²/∂V_i并令其为零,可得到

\begin{array}{l} \overset{n}{\sum_{j = 1}} V_{j} \int \int I_{i} (x, y) I_{j} (x, y) d x d y = \\ \iint ϕ (x, y) I_{i} (x, y) d x d y, (5) \end{array}

式中:j为变形镜的第j个驱动器,j=1,2,3,…,n。进一步令

I_{ij} = \iint I_{i} (x, y) I_{j} (x, y) d x d y, (6)

S_{i} = \iint ϕ (x, y) I_{i} (x, y) d x d y 。 (7)

将(6)式和(7)式代入(5)式,可以得到

I \times V = S, (8)

式中:I为影响函数矩阵;V为控制电压矩阵;S为拟合后的面形矩阵。

I = [\begin{array}{l} I_{11} & I_{12} & \dots & I_{1 n} \\ I_{21} & I_{22} & \dots & I_{2 n} \\ ︙ & ︙ & ︙ \\ I_{n 1} & I_{n 2} & \dots & I_{nn} \end{array}], (9)

V = [\begin{array}{l} V_{1} \\ V_{2} \\ ︙ \\ V_{n} \end{array}], (10)

S = [\begin{array}{l} S_{1} \\ S_{2} \\ ︙ \\ S_{n} \end{array}] 。 (11)

利用(8)式可以计算V,进而得到变形镜的拟合面形。分析过程中,假设失效驱动器对变形镜不能起到驱动的作用,对其只能起到位移限制的作用,因此将相应驱动器的电压置零,即若第i个驱动器失效,则令V_i=0,进而利用(2)式可以得到失效后的镜面面形。

3 部分驱动器失效对变形镜校正能力的影响

使用有限元分析模型对变形镜的波前校正过程进行模拟,丁心志等^[14]证明了有限元分析模型能够更实际地反映变形镜的波面校正能力,由此可以说明所提模型的有效性。

图 1. 变形镜的基本结构

Fig. 1. Basic structure of deformable mirror

下载图片查看所有图片

图 2. 驱动器的分布示意图

Fig. 2. Distribution diagram of actuators

下载图片查看所有图片

表 1. 变形镜材料的力学参数

Table 1. Mechanical parameters of deformable mirror material

Material	Density /(kg·m^-3)	Specific heat /[J·(kg·K)^-1]	Heat conductivity /[W·(m·K)^-1]	Young modulus /GPa	Poisson ratio	Thermal expansioncoefficient /K^-1
Si	2329	733	173.6	130.9	0.266	4.15×10^-6

查看所有表

3.1 不同畸变波前形态分布的影响

压电陶瓷驱动器因内部缺陷、老化效应和外部机械的作用导致失效。变形镜在工作过程中,每个驱动器的所处位置不同,其循环使用寿命也会有所差异,所以出现部分驱动器失效的现象,从而降低变形镜的校正能力。实际工程应用中,驱动器的失效概率较低^[15],往往只会出现变形镜中个别驱动单元失效的现象,因此对变形镜中的单个驱动器进行失效分析。计算分析过程中,变形镜采用三种常见的驱动器排布方式进行失效分析与比较,驱动器的排布方式如图3所示。为了分析不同位置的驱动器失效的影响,图3还给出驱动器所在位置的分圈编号。

图 3. 驱动器的排布方式。(a)三角形;(b)圆形;(c)正方形

Fig. 3. Arrangement of actuators. (a) Triangle; (b) circle; (c) square

下载图片查看所有图片

图 4. 不同畸变波前校正后的PV值。(a)畸变波前1;(b)畸变波前2;(c)畸变波前3

Fig. 4. PV values of different distorted wavefronts after correction. (a) Distorted wavefront 1; (b) distorted wavefront 2; (c) distorted wavefront 3

下载图片查看所有图片

图 5. 不同畸变波前校正后的PV均值曲线。(a)畸变波前1;(b)畸变波前2;(c)畸变波前3

Fig. 5. Mean of PV curves of different distorted wavefronts after correction. (a) Distorted wavefront 1; (b) distorted wavefront 2; (c) distorted wavefront 3

下载图片查看所有图片

极头采用与驱动器相同的排布方式,通过计算单个极头对变形镜面形的影响,对影响函数进行拟合以得到b值,结果如表2所示。

当变形镜采用图3的排布方式,入射光束为高斯光束,以及畸变波前的峰谷值(PV)(3.12 μm)不变时,仿真计算变形镜中不同位置的驱动器失效前后校正的残余波前,再对不同圈数的失效驱动器求其残余波前的平均值,不同畸变波前校正后的PV值与PV均值曲线如图4和图5所示。此外,实验是在仿真分析大量畸变波前的基础上选取典型的畸变波前。图4和图5为三种典型的畸变波前,其畸变波前的最大PV值分布在不同的圈数。通过改变入射光束波前畸变的形态分布,讨论在不同畸变波前的情况下单个驱动器失效对变形镜校正能力的影响。

表2

极头在不同排布方式下的b值

b values of poles in different arrangements

Table 2

Arrangement	Triangle	Circle	Square
b	0.047	0.050	0.071

从图4和图5可以看到,对于给定的畸变波前PV值,当驱动器的失效位置在不同圈数时,无论畸变波前的形态分布如何改变,变形镜在三种排布方式下校正后得到的残余波前PV值都比校正前大,原因在于驱动器失效会造成变形镜拟合波前的能力变差,进而导致其残余波前PV值变大;随着畸变波前形态的改变,变形镜在正方形排布方式下校正后得到的残余波前最小,在三角形排布和圆形排布方式下的校正能力相差较小。综上可知,在单个驱动器失效的情况下,变形镜应当根据畸变波前的形态分布进行失效分析,而正方形排布方式可以减少变形镜的拟合误差并提高校正能力。

进一步对比图4和图5可知,当驱动器的排布方式一定且畸变波前的形态发生变化时,经过变形镜校正后的最大残余波前PV值出现在不同的失效圈数。这主要是由畸变波前的形态分布不同导致不同位置的驱动器需要校正的波前PV值不同,从而使驱动器的失效位置位于待校正PV值越大的区域,这对变形镜校正能力的影响大,所以变形镜校正后的最大残余波前PV值出现在不同位置。

3.2 不同类型光束的影响

为了进一步明确变形镜在单个驱动器失效后对不同类型光束的畸变波前校正效果,选择的光束类型有平顶高斯光束、高斯光束以及环形光束,则得到的衍射极限倍数β因子平均值如图6所示,β因子为实际光束的远场发散角与理想光束的比值,0代表初始状态。环形光束的遮拦比为0.2,待校正畸变波前的空间高频成分占比为0.47%。使用β因子来表征波前畸变的超高斯光束经过变形镜校正后的光束质量^[16]。定义理想光斑的远场光束质量为1,通常β≥1,β值越接近于1,说明光束质量越好。此外,桶中功率比为86.5%^[17-18]。

从图6可以看到,在第1圈驱动器失效的情况下,对于正方形排布方式来说,高斯光束和环形光束的β因子最小,对于平顶高斯光束而言,变形镜在三角形排布方式下得到的β因子最小;当驱动器的失效位置在其他圈数时,三种光束均在正方形排布方式下的β因子最小。综上可知,在单个驱动器的失效情况下,变形镜在正方形排布方式下的校正性能最好。

图 6. 不同类型光束在不同排布方式下的畸变波前校正效果。(a)三角形;(b)圆形;(c)正方形

Fig. 6. Distorted wavefront correction effect of different types of beams in different arrangements. (a) Triangle; (b) circle; (c) square

下载图片查看所有图片

进一步对比图6可以看到,在第1圈驱动器失效的情况下,环形光束在三种排布方式下的β因子均最小,原因在于环形光束的光强在中心位置的附近很低,因此变形镜在第1圈驱动器失效的情况下对光束质量的影响最小;对于其他圈数来说,高斯光束的β因子最小,环形光束的β因子最大。综上可知,当第1圈驱动器失效时,变形镜对环形光束的校正能力最好,在其他圈数驱动器失效的情况下,变形镜对高斯光束的校正能力最好,对环形光束的校正能力最差。

为了进一步研究变形镜对三种类型光束的校正能力,在部分驱动器失效的情况下得到畸变波前校正后的残余波前功率谱密度(PSD)平均曲线,如图7所示。图7纵坐标数值的量级越大说明滤波效果越差,即变形镜的校正效果越弱;图7横坐标表示波前相位的空间频率从低频到高频的变化。Harvey等^[19]提出了变形镜校正畸变波前是基于空间滤波的作用,此时变形镜相当于一种高通滤波器,因此变形镜能够对小于截止频率的畸变波前进行很好的校正,但很难校正大于截止频率的畸变波前。

图 7. 不同圈数校正后的残余波前PSD曲线。(a)第1圈;(b)第2圈;(c)第3圈;(d)第4圈;(e)第5圈

Fig. 7. Residual wavefront PSD curves after correction with different rings. (a) 1^st circle; (b) 2^nd circle; (c) 3^rd circle; (d) 4^th circle; (e) 5^th circle

下载图片查看所有图片

从图7(a)可以看到,在第1圈驱动器失效的情况下,从低频部分来看,三种类型的入射光束经过变形镜校正后的PSD曲线变化趋势相似。从图7(b)可以看到,在第2圈驱动器的失效情况下,变形镜在低频部分对高斯光束的校正效果劣于平顶高斯光束和环形光束。从图7可以看到,三种类型的入射光束在第2、3、4和5圈驱动器失效的情况下,经过变形镜校正后的PSD曲线变化趋势几乎相同;值得注意的是,对于高频部分来说,平顶高斯光束经过校正后的残余波前明显小于高斯光束和环形光束,所以变形镜在高频部分对平顶高斯光束的校正能力最好。综上可知,对于低频部分来说,当驱动器的失效位置在第1圈时,变形镜对三种入射光束的校正效果几乎相同,当驱动器的失效位置在其他圈数时,变形镜对高斯光束的校正效果最差;对于高频部分来说,在不同位置驱动器失效的情况下,变形镜对平顶高斯光束的校正效果最佳。

3.3 多个驱动器同时失效的影响

为了更好地说明部分驱动器失效对变形镜校正能力的影响,讨论变形镜在两个驱动器失效的情况下不同类型光束的校正效果。将中心驱动器作为失效驱动器之一,改变两个失效驱动器的间距,仿真计算变形镜在多种不同失效组合的情况下的β因子均值,如图8所示,其中d=16.4 mm。

图 8. β因子均值与驱动器间距的关系。(a)平顶高斯光束;(b)高斯光束;(c)环形光束

Fig. 8. Relationship between mean of β factor and distance of actuators. (a) Flattened Gaussian beam; (b) Gaussian beam; (c) annular beam

下载图片查看所有图片

从图8(a)和图8(b)可以看到,对于平顶高斯光束和高斯光束来说,当驱动器的失效数量一定时,随着失效驱动器间距的增大,β因子均值逐渐减小,即两个失效驱动器之间的距离越大,对变形镜校正能力的影响越小,所以变形镜校正后的光束质量越好。从图8(c)可以看到,对于环形光束来说,当驱动器的失效数量一定时,随着失效驱动器间距的增大,β因子均值呈先增大后减小的趋势,原因在于环形光束的内径尺寸小于驱动器间距,其光强在驱动器间距内较低,导致变形镜在失效间距为d的情况下的校正性能比平顶高斯光束和高斯光束更好,当驱动器失效间距不小于2d时,两个失效驱动器之间的距离越远,变形镜校正后的光束质量越好。

进一步分析图8可知,在两个驱动器失效的情况下,当变形镜校正的光束为平顶高斯光束和高斯光束时,变形镜在三角形排布方式下校正得到的β因子均值最小,校正后的光束质量最优;在圆形排布方式下校正得到的β因子均值最大,校正后的光束质量最差;正方形排布方式则居中。在两个驱动器失效的情况下,当变形镜校正环形光束时,其在正方形排布方式下校正得到的β因子均值最小,校正后的光束质量最优;在三角形排布方式下校正得到的β因子均值最大,校正后的光束质量最差;圆形排布方式则居中。此外,对比图5和图8可以看到,变形镜在驱动器失效数量不同的情况下,其最佳排布方式也不同。综上可知,在部分驱动器失效的情况下,变形镜校正的光束类型和驱动器失效数量均会对其最佳排布方式造成影响。

为了进一步讨论多个驱动器失效对变形镜校正能力的影响,在使用的是高斯光束且PV值为3.12 μm的情况下,以正方形排布方式为例,校正不同数量的失效驱动器后得到的β因子均值如表3所示。实验使用的变形镜有61个驱动器,若一个驱动器失效则有61种组合,两个驱动器失效则有1830种组合,三个驱动器失效则有35990种组合。为此,在不同数量驱动器失效的情况下均随机选取61种组合并计算其β因子均值。

表 2. 极头在不同排布方式下的b值

Table 2. b values of poles in different arrangements

Arrangement	Triangle	Circle	Square
b	0.047	0.050	0.071

查看所有表

从表3可以看到,当失效驱动器数量增多时,β因子均值随之增大,则变形镜的校正能力变差。对多个失效驱动器的分析可以得到,失效驱动器的间距和数量均会影响变形镜的校正能力,然而失效驱动器的间距对变形镜校正能力的影响相对较大,因此当进行失效分析时,应先考虑驱动器的失效间距,再关注失效驱动器的数量。

4 结论

采用有限元分析方法模拟变形镜校正畸变波前的过程,重点分析不同的畸变波前形态分布以及不同类型的入射光束对变形镜校正能力的影响,并讨论多个失效驱动器对变形镜校正能力的影响。实验结果表明,对于不同的畸变波前形态分布,在单个驱动器失效的情况下,变形镜应当根据高斯型随机畸变波前形态分布进行失效分析,并选择正方形排布方式以减少变形镜的拟合误差,进而提高变形镜的校正能力。在选用桶中功率比为86.5%的β因子对光束质量进行评价的前提下,当驱动器的失效位置在第1圈时,变形镜对环形光束的校正能力最好,但是在其他圈数驱动器失效的情况下,变形镜对高斯光束的校正能力最好,对环形光束的校正能力最差。从低频部分来看,在第1圈驱动器失效的情况下,变形镜对三种入射光束的校正效果几乎相同,当驱动器失效位置在其他圈数时,变形镜对高斯光束的校正效果最差;从高频部分来看,在不同位置驱动器失效的情况下,变形镜对平顶高斯光束的校正效果最佳,变形镜校正的光束类型和驱动器的失效数量均会对其最佳排布方式造成影响。失效驱动器的数量越多,变形镜的校正能力明显下降。此外,当变形镜在两个驱动器失效的情况下,将中心驱动器作为失效驱动器,驱动器的失效间距越小,变形镜的校正能力越差,说明失效驱动器的间距对变形镜校正能力的影响更大。

参考文献

[1] 姜文汉. 自适应光学技术[J]. 自然杂志, 2006, 28(1): 7-13.

Jiang W H. Adaptive optical technology[J]. Chinese Journal of Nature, 2006, 28(1): 7-13.

[2] 杨宗峰, 李文来, 彭泰然, 等. 具有迟滞补偿的单压电变形镜的闭环校正性能[J]. 光学学报, 2019, 39(5): 0522001.

Yang Z F, Li W L, Peng T R, et al. Performance of closed-loop correction with hysteresis compensation for unimorph deformable mirror[J]. Acta Optica Sinica, 2019, 39(5): 0522001.

[3] Wang L, Chen T, Liu X Y, et al. Stability evaluation and improvement of adaptive optics systems by using the Lyapunov stability approach[J]. Journal of the Korean Physical Society, 2016, 68(3): 486-492.

[4] Wright AJ, Poland SP. Adaptive optics for aberration correction in optical microscopy[M] ∥Ho A P, Kim D, Somekh M. Handbook of photonics for biomedical engineering. Dordrecht: Springer, 2014: 1- 24.

[5] Jovanovic N, Martinache F, Guyon O, et al. The subaru coronagraphic extreme adaptive optics system: Enabling high-contrast imaging on solar-system scales[J]. Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 2015, 127(955): 890-910.

[6] 杨刚, 岳振星, 李龙土. 压电陶瓷场致疲劳特性与机理研究进展[J]. 无机材料学报, 2007, 22(1): 1-6.

Yang G, Yue Z X, Li L T. Research progress on the characteristics and mechanism of applied field-induced fatigue in piezoelectric ceramics[J]. Journal of Inorganic Materials, 2007, 22(1): 1-6.

[7] Carvalho A L M, Martins J P, Voorlwad H J C. Fatigue damage accumulation in aluminum 7050-T7451 alloy subjected to block programs loading under step-down sequence[J]. Procedia Engineering, 2010, 2(1): 2037-2043.

[8] 陈丽霞, 胡小川, 张彬, 等. 波前校正变形镜的疲劳损伤特性[J]. 中国激光, 2016, 43(11): 1105002.

Chen L X, Hu X C, Zhang B, et al. Fatigue damage characteristics of deformable mirrors for wavefront correction[J]. Chinese Journal of Lasers, 2016, 43(11): 1105002.

[9] 罗帅, 陈丽霞, 张彬. 变形镜的结构参数对其疲劳寿命的影响[J]. 光学学报, 2017, 37(10): 1001003.

Luo S, Chen L X, Zhang B. Influence of structural parameters of deformable mirror on its fatigue life[J]. Acta Optica Sinica, 2017, 37(10): 1001003.

[10] Wang J Q, Luo S, Ling F, et al. Fatigue characteristics of deformable mirrors caused by fatigue of lead zirconate titanate[J]. Applied Optics, 2018, 57(35): 10102-10108.

[11] Tyson R K. Using the deformable mirror as a spatial filter: application to circular beams[J]. Applied Optics, 1982, 21(5): 787-793.

[12] Tyson R K, Byrne D M. The effect of wavefront sensor characteristics and spatiotemporal coupling on the correcting capability of a deformable mirror[J]. Proceedings of SPIE, 1980, 228: 21-25.

[13] 饶长辉, 姜文汉, 张雨东, 等. 云南天文台1.2 m望远镜61单元自适应光学系统[J]. 量子电子学报, 2006, 23(3): 295-302.

Rao C H, Jiang W H, Zhang Y D, et al. 61-element adaptive optical system for 1.2 m telescope of Yunnan observatory[J]. Chinese Journal of Quantum Electronics, 2006, 23(3): 295-302.

[14] 丁心志, 官春林. 变形镜面形影响函数的有限元仿真[J]. 光学仪器, 2008, 30(1): 40-44.

Ding X Z, Guan C L. The finite element method simulation of the deformable mirror's influence function[J]. Optical Instruments, 2008, 30(1): 40-44.

[15] 樊新龙, 官春林, 饶长辉. 1.8 m望远镜变形次镜波前拟合能力分析[J]. 光学学报, 2011, 31(8): 0822002.

Fan X L, Guan C L, Rao C H. Wave-front fitting capability analysis of 1.8 m telescope's adaptive secondary mirror[J]. Acta Optica Sinica, 2011, 31(8): 0822002.

[16] 高卫. 激光束衍射极限倍数β的确定方法[J]. 光子学报, 2003, 32(9): 1038-1040.

Gao W. Definition of laser beam quality β-factor[J]. Acta Photonica Sinica, 2003, 32(9): 1038-1040.

[17] 吕百达, 张彬, 蔡邦维. M2因子概念和激光光束质量控制[J]. 激光技术, 1992, 16(5): 278-284.

Lü B D, Zhang B, Cai B W. M2-factor concept and laser beam quality control[J]. Laser Technology, 1992, 16(5): 278-284.

[18] 陈鸿, 季小玲. 环状光束沿斜程路径大气湍流传输的光束扩展[J]. 中国激光, 2015, 42(11): 1113003.

Chen H, Ji X L. Spreading of annular beams propagating through atmospheric turbulence along a slanted path[J]. Chinese Journal of Lasers, 2015, 42(11): 1113003.

[19] Harvey J E, Callahan G M. Wavefront error compensation capabilities of multi-actuator deformable mirrors[J]. Proceedings of SPIE, 1978, 141: 50-57.

谢丽, 钟哲强, 张彬. 变形镜部分驱动器断电失效对校正性能的影响[J]. 光学学报, 2021, 41(2): 0223001. Li Xie, Zheqiang Zhong, Bin Zhang. Influence of Partially Failed Actuators of Power Failure on Correction Ability of Deformable Mirrors[J]. Acta Optica Sinica, 2021, 41(2): 0223001.