以往研究成果表明，降低光束的空间相干长度可以在一定程度上抑制大气湍流对激光光束传输的影响。早在2002年，Korotkova和Andrews等人便提出了一种可以计算湍流大气中部分相干高斯光束闪烁指数的理论模型，并采用该模型对部分相干光在湍流大气中传输时受大气影响而产生的光强闪烁效应进行了研究。研究结果表明，降低光束的空间相干长度可以有效降低光束经湍流大气传输后的闪烁因子^[1]；有效抑制大气湍流对激光通信系统的影响，降低误码率^[2]。近年来，国内外有很多针对部分相干光束抑制大气湍流的理论仿真及实验研究，这些研究结果也都验证了他们的研究结果^[3-5]。正是由于部分相干光具有这样的优点，其在很多领域中都有广泛的应用，如自由空间激光通信、激光材料热处理、激光扫描、激光可控核聚变、非线性光学以及成像光学等^[6-14]。

对于激光相干度的控制目前已经比较成熟，但激光光束相干度的变化会直接影响激光光束的束散角及在介质中的传输特性。通常相干度越低，对应的束散角越大，若要进行远距离的传输，需要采用光学系统对光束的束散角进行压缩。但是，为了保证激光光束的准直效果及能量利用率，激光光束需要以一定的束散角入射到准直光学系统中。而不同相干度的激光光束却又有着很大的区别，这就意味着，不同相干度的激光光束只能采用特定的光学系统进行准直，十分繁琐，并且成本很高。若能在对激光光束的相干度进行控制的同时，实现对光束束散角的控制，便可以大大增加后续光学系统的应用范围，降低系统的复杂程度及成本。可见，对激光光束的相干度及束散角进行高精度的控制，有着重要的意义。本文提出了一种基于液晶空间光调制器的激光相干度及束散角复合控制方法，采用液晶在对激光光束相干度进行控制的同时对出射光束的束散角进行控制。通过这种方式，可大大降低部分相干光光学系统设计的复杂度及成本，促进部分相干光束的应用。

1 相干度及束散角复合控制原理

1.1 光束空间相干长度对其束散角的影响

激光光束空间相干长度的变化，会引起其束散角的变化。部分相干光束在介质中的传输规律与完全相干光不同，通常我们采用交叉谱密度函数来分析部分相干光束在随机介质中的传播规律。在观测端的交叉谱密度函数表达式为^[15]

式中： ${{{r}}_j}$（ $j = {\rm{s}}$， $ {\rm{d}}$）为光束传播距离为 $L$处观测平面上的二维位置矢量； $\omega $为角频率； ${a_0}$是光源平面光束波场的峰值振幅； ${w_0}$为光束的初始直径； ${w_L}$为部分相干光束在随机介质中传输时的光斑直径； ${\rho _0}$为大气相干长度； ${\varLambda _0}{\rm{ = }}2L/kw_0^2$，其中， $k = {{2{\text{π}} } / \lambda }$为光波数。

通过公式（1）就可以计算出部分相干光束在随机介质中传输时的光斑直径^[14]为

式中： ${\varTheta _0}{\rm{ = }}1 - L/{R_0}$， ${R_0}$为光束的初始曲率半径； ${l_c}$为光束的空间相干长度。部分相干光束在近距离传输时，忽略大气对部分相干光束的影响，则 $\;{\rho _0}$趋近于无穷大， ${{2w_0^2} / {\rho _0^2}}$趋近于0。可得

则空间相干长度为 ${l_{\rm{c}}}$的部分相干激光光束束散角 $\theta $表示为

1.2 部分相干光束束散角控制原理

从公式（4）可知，通过对光束的初始曲率半径 ${R_0}$进行控制便可以实现对部分相干光束束散角的控制。根据透镜相位变换公式^[16-17]

式中： $R$为入射液晶空间光调制前激光光束的波前曲率半径； ${f_{{\rm{LCOS}}}}$为液晶所模拟透镜焦距。假设入射空间光调制器激光光束为准直光束，则 ${1 / R}$趋近于0，液晶空间光调制器调制后的激光光束初始相位曲率半径 ${R_0} = - {f_{{\rm{LCOS}}}}$，代入公式（4）中，得到液晶空间光调制器出射光束束散角为

由公式（6），我们便可以通过控制液晶所模拟透镜的焦距 ${f_{{\rm{LCOS}}}}$来控制出射光束的束散角 $\theta $。

1.3 部分相干光束空间相干长度控制原理

对于服从高斯分布的零均值二维实值函数 ${R_\phi }( {{\rho}} )$，其阵列单元彼此独立且为高斯分布，故彼此不相关，即

式中： ${\delta ^{\left( 2 \right)}}\left( {{{\rho}} } \right)$为狄拉克二维函数； $\;{{{\rho}} _1}$， $\;{{{\rho}} _2}$为液晶空间光调制器出射平面 ${\textit{z}} = {{\textit{z}}_0}$处的二维位置向量。通过与窗口函数 ${f_\phi }\left( {{{\rho}} } \right)$进行卷积生成具有高斯分布的相关随机函数 ${g_\phi }\left( {{{\rho}} } \right)$，其表达式为

式中：窗口函数 ${f_\phi }\left( {{{\rho}} } \right)$的表达式为

式中： ${\gamma _\phi }$为相位相干长度。 ${g_\phi }\left( {{{\rho}} } \right)$所具有的二阶相关特性可表示为

通过公式（10）可知，函数 ${g_\phi }\left( {{{\rho}} } \right)$具有 ${\gamma _\phi }$的相位相干长度。则控制 ${g_\phi }\left( {{{\rho}} } \right)$所具有的相位相干长度 ${\gamma _\phi }$，并将其加载到液晶空间光调制器上，即可实现对激光光束空间相干长度的控制^[18]。

1.4 复合相位屏计算

采用液晶对光束的相干度及束散角进行控制的根本是对光束相位的控制，通过加载不同的电信号来控制液晶空间光调制器实现对光束相位的控制。通过对每个像素加载不同强度的控制信号，即可实现对入射光束相位的调制。通常情况下，液晶所加载的控制电信号与其对入射光相位的调制关系已经提前标定好。所以，我们只需要计算所需要的复合相位函数 $\varphi (x,y)$，便可以采用液晶空间光调制器对光束的相干度及束散角进行复合控制。

焦距为 ${f_{{\rm{LCOS}}}}$的透镜调制波长为λ的入射光的波阵面，焦距控制函数表达式为

为了便于加载到液晶公开光调制器上，将具有高斯分布的相关随机函数 ${g_\phi }\left( {{{\rho}} } \right)$转换成直角坐标的形式，即为相干度控制函数

式中：窗口函数 ${f_\phi }\left( {x,y} \right)$转换为直角坐标的表达式为

式中：m为相干长度转换系数，与相位相干长度 ${\gamma _\phi }$的关系为

根据相位叠加的原理，最终的相位函数 $\varphi (x,y)$可以表示为

依据相位函数 $\varphi (x,y)$，便可以生成控制液晶的随机相位屏。但由于液晶空间光调制器为衍射元件，其相位调制范围被限制在0～2π范围内，当相位超过2π，需对复合相位函数 $\varphi (x,y)$作以2π为周期的量化处理^[19-20]，即对其进行相位取模2π运算。将取模后相位函数 ${\varphi _{od 2{\text{π}} }}(x,y)$按照0～255级灰度对应0～2π的相位调制量的对应关系，便可以生成控制液晶的随机相位屏，即最终的复合相位屏。本文所用液晶像元尺寸为15 ${\text{μ}} {\rm{m}}$，若 ${\gamma _\phi } = 60$，则此时根据理论出射光束的空间相干长度 ${l_{\rm{c}}} = 0.9$ mm，同理若 ${\gamma _\phi } = 100$，则 ${j_{12}} = 1/{\rm{e}}$，设液晶所模拟透镜的焦距 ${f_{{\rm{LCOS}}}}$分别为−50 cm和−100 cm，则根据公式（6）激光光束束散角 $\theta $的理论值为7.5 mrad和3.8 mrad，图1为依据上述原理所生成的复合相位屏。

图 1. 复合相位屏

Fig. 1. Complex phase map

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2 实验与结果分析

为了对本方法对光束相干度及束散角控制的情况进行测试，我们设置了如下实验，分别从相干度及束散角两方面进行检测。

2.1 相干度检测

相干度检测实验装置及光路图如图2所示。实验中使用美国BNS公司生产的液晶空间光调制器，液晶分辨率为 $256 \times 256$。控制计算机CPU采用Intel公司的i7 3930k（6核心，12线程）型CPU，系统内存为16 Gb，GPU采用英伟达公司的GTX680型GPU。如图2所示，氦氖激光器产生标准高斯分布的激光光束，经由伽利略式扩束装置（2～5倍连续可调）进行扩束以调整光斑直径，由一个衰减片ND，调节光束的强度以使其在观测设备的动态范围内；然后通过一个偏振滤光片P1对光束的偏振态进行调整，使其满足液晶空间光调制器的需求。液晶空间光调制器为相位调制器件，入射光入射到液晶上经由液晶反射进行光束相干度的调整，加载液晶上的随机相位屏相干长度分别为0.9 mm和1.5 mm。出射的部分相干光经分光棱镜转向后，照射到双孔P1和P2上后发生干涉，由透镜PL1会聚到CMOS相机光敏面上进行观察。

图 2. 相干长度检测实验示意图

Fig. 2. Experimental setup for testing the coherence width

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根据文献，对于孔间距为0.9 mm和1.5 mm的双孔，其孔径及双孔到接收屏的距离如表1所示^[21]。所采用的双孔直径为150 μm，孔间距分别为0.9 mm和1.5 mm，该种双孔采用传统的激光加工手段很难获得，这主要是由于传统加工方式很难保证孔轮廓的光滑度及尺寸的精确度，本文所使用的双孔采用飞秒激光器进行加工，与传统激光器相比，飞秒激光器由于脉冲脉宽非常短，无热积累效应，可以加工出表面光滑的高精度双孔。观测相机放置于表中所对应观测距离位置处。透镜的口径为25 mm，焦距为100 mm。相机为德国Mikrotron公司的CMOS相机，相机的分辨率为1280×1024，像元尺寸为14 μm，满分辨率采样频率为506 Hz，在633 nm波段上相机的量子效率大于40%，信噪比优于59 dB。

相干长度的定义为，相干度 ${j_{12}} = 1/{\rm{e}}$的两点间距，这里相干度 ${j_{12}}$的定义为^[18]

式中： ${I_{\max }}$和 ${I_{\min }}$分别为相机观测到的干涉条纹中最亮点亮度值和最暗点亮度值，在这里直接代入最亮点和最暗点的灰度值即可。理论上，经过液晶调制过的激光光束的相干长度分别为0.9 mm和1.5 mm，即入射对应间距的双孔发生干涉时，相机处测得的相干度应该为 $1/{\rm{e}}$。实验结果如图3所示。

图 3. 干涉条纹

Fig. 3. Interference fringes

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图3（a）中的干涉条纹为相干长度为1.5 mm的激光光束在入射到间距为1.5 mm双孔后产生的干涉条纹，该两点实验测得相干度 $j_{12} $＝0.3707；图3（b）中的干涉条纹为相干长度为0.9 mm的激光光束在入射到间距为0.9 mm双孔后产生的干涉条纹，该两点实验测得相干度 $j_{12} $＝0.3694。为了更好地分析并验证所生成部分相干光相干长度的准确性，每个相干长度连续记录500帧图像后计算相干度并进行统计分析。图4为相干长度为0.9 mm和1.5 mm两束激光入射对应双孔后通过所产生干涉条纹计算得到相干度。通过对数据进行分析整理，对于所生成的相干长度为0.9 mm的激光光束，光束上间隔为0.9 mm两点的相干度均方根误差 $\sigma $＝0.027 386，峰谷值（PV）为0.084 658；对于所生成的相干长度为1.5 mm的激光光束，光束上间隔为1.5 mm两点的相干度均方根误差 $\sigma $＝0.031 314，峰谷值（PV）为0.089 103。均与理论值相符，可见本方法可以实现高精度的相干长度控制。

图 4. 实验测得相干长度

Fig. 4. Coherence widths measured in experiment

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2.2 束散角检测

检测原理如图5所示。理想的激光光束经过会聚透镜的会聚，在焦面上成为一个点。由于束散角的存在，在焦面上无法得到理想的点，而是一个光斑。经过分析可知，只要得到这个光斑大小，结合会聚透镜的焦距，即可求得激光束散角。我们将相干度检测实验中用以产生干涉条纹的双缝去掉，加入一个焦距已知的标准透镜，并在该透镜焦面处放置用于采集光斑图像的相机，激光光束在焦面处形成光斑经由相机获取，在得到光斑的光强分布后，经数据处理得到束散角值。若激光束为平行光，则光束入射到束散角测试仪光学系统中聚焦于焦平面上，若光学系统像差很小，则在焦平面上形成一个弥散斑，弥散斑大小取决于透镜入瞳口径大小。假设激光的束散角为 $\theta $，则在焦平面形成的光斑大于平行光入射时的光斑大小，根据光斑大小 ${D_c}$和透镜焦距即可算出激光的束散角大小^[21]。

图 5. 束散角测量原理图

Fig. 5. Schematic of beam divergence angle measurement

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根据牛顿公式可得

根据三角形相似定理可得

激光束散角大小

将公式（17）和公式（18）整理后代入公式（19）得

测出激光光束的束散角较小，则式（20）可以简化成如下

根据上面的原理由于透镜的焦距 $f$为已知，实际实验测量时，只需测量焦面上的光斑直径 ${D_{\rm{c}}}$即可计算出光束的束散角 $\theta $。采用液晶空间光调制器分别生成 $\theta $＝3.8 mrad， ${l_{\rm{c}}}$＝1.5 mm； $\theta $＝7.5 mrad， ${l_{\rm{c}}}$＝0.9 mm两种光束进行测量。

为了提高束散角计算的精度，对每一种光束测量100次取平均值。测量光斑截图如图6所示。对于 $\theta $＝3.8 mrad， ${l_{\rm{c}}}$＝1.5 mm的光束，其在观测点上的理论束散角应为3.8 mrad，实验测得的束散角平均值为3.98 mrad，均方差为0.023 186，峰谷值为0.092 130；对于 $\theta $＝7.5 mrad， ${l_{\rm{c}}}$＝0.9 mm的光束，其在观测点上的理论束散角应为7.5 mrad，实验所测得的束散角平均值为7.86 mrad，均方差为0.022 478，峰谷值为0.081 201。均略略大于理论值，但实际束散角的误差均在5%以内。图7为实验测得的束散角。可见，本方法可以在控制激光光束相干度的同时，高精度控制激光光束的束散角。实际上，测量值略大于理论值，主要是由于入射光束并非理想的准直光束，造成了实际束散角略大于理论值，在实际使用中可以通过预先标定来进行补偿。

图 6. 测量光斑图

Fig. 6. Diagram of measurement spot

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图 7. 实验测得的束散角

Fig. 7. The divergence angle measured in experiment

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3 结　论

本文提出了一种液晶空间光调制器的激光相干度及束散角复合控制方法，阐述了液晶空间光调制器对激光光束进行相干度和束散角复合控制的基本理论和方法，并设置了相干度检测实验和束散角检测实验对控制结果进行了检测。实验结果表明，采用液晶空间光调制器生成相干度为0.9 mm、束散角为7.5 mrad以及相干度为1.5 mm、束散角为3.8 mrad的部分相干光束，其相干度与理论值相比误差在5%以内，均方根误差分别为0.027 386和0.031 314，峰谷值分别为0.0846 58和0.089 103；其束散角与理论值相比误差在5%以内，均方根误差分别为0.022 478和0.023 186，峰谷值分别为0.08 120 1和0.092 130。可以高精度地对激光光束的相干度及束散角进行复合控制。降低部分相干光光学系统设计的复杂度及成本，增加部分相干光应用的便捷性。