1 引言

高精度光学平板(下文简称为平板)广泛应用于高功率激光器的建造中,如美国国家点火装置(NIF)由192路光束构成,每路都含有20余件钕玻璃与各类隔离窗口,总计需要平板数千件。对高功率激光束的研究表明,中频相位畸变如焦斑旁瓣过强会导致等离子体堵塞,高非线性增长下光束分裂会破坏后续光学元件^[1-2]。平板波前的高精度检测对高功率激光器具有重要意义,因此,必须控制光学元件的中频波前质量以保证高功率激光器的性能^[3-4],NIF定义中频波前的空间周期为2.5~33 mm,评价参数为一维功率谱密度(PSD)塌陷曲线与中频波前均方根(RMS)^[5-6]。一维PSD塌陷曲线的评判线为P(ν)=1.01ν^-1.55,其中ν与P(ν)分别为空间频率与相应空间频率处的功率谱。NIF要求中频透射波前的RMS不大于1.8 nm,也有研究显示,中频波前的RMS评判要求可适当放宽^[7]。平板中频波前的测量一般采用相移干涉技术,测量过程中,光在平板内部沿不同路径的多次反射光会发生寄生干涉,产生死条纹,导致平板波前检测结果中存在周期性相位噪声(下文简称为死条纹噪声)。死条纹噪声的空间周期一般为5~50 mm,与中频波前的空间周期定义基本相同。含死条纹噪声的中频波前RMS一般为真实中频波前RMS的2倍,严重影响了平板中频波前的准确测量与评价。

针对上述问题,Ai等^[8-11]提出了腔角匹配调整法和短相干干涉法,Deck等^[12]提出了傅里叶相移干涉法,徐建程等^[13]提出了傅里叶频谱分析法。其中,腔角匹配调整法需要反复调整标准反射镜,直至标准反射镜的倾斜方向与待测平板的倾斜方向一致^[8];短相干干涉法需要以短相干激光作为光源,也需要调整平板沿光轴的轴向位置,直至测试光的光程与参考光的光程一致^[11];傅里叶频谱分析法需用含有波长监视器的波长调谐激光器作为光源,测量时需将平板沿光轴的轴向位置调整至特定位置范围,以匹配各个干涉腔的长度^[12]。上述技术均存在检测过程中调整步骤多、效率低以及对硬件要求高的问题。在平板制造过程中,波前是“加工-检测-加工-检测”循环迭代不断收敛的过程,且要求检测方案同时具有高效率和低成本,而现有方法不能满足平板批量生产的要求。小波变换是一种有效且已得到广泛应用的非平稳信号处理方法^[14-15],在光信息分析处理方面也得到了广泛应用^[16-18]。本文分析了死条纹噪声的产生原理,依据死条纹噪声的特点与小波变换方法的适用性,提出了基于小波变换的平板波前死条纹噪声滤除方法。实验结果表明,该方法比已有方法更简单、高效,可以显著降低平板的检测成本,提高检测效率。

2 死条纹噪声的产生与模拟

2.1 死条纹噪声的产生

采用相移干涉仪(PSI)测量平板透射波前的原理如图1所示,其中,TF为透射标准镜,RF为标准反射镜。将图1(a)测得的空腔波前记为φ_c,图1(b)测得的含平板信息波前记为φ_t。

图 1. PSI测量平板透射波前示意图。(a)空腔;(b)平板信息

Fig. 1. Schematic diagram of PSI measurement of window transmission wavefront. (a) Cavity; (b) window information

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平板透射波前φ_w可表示为

φw=φt-φc。(1)

实际测量时,为减少平板前表面反射光的影响,一般将平板倾斜较小角度,即平板法线与PSI光轴间存在的入射角较小,记为θ。首先考虑平板理想状态下的情况,即平板透射波前为理想平面,平板楔角为零,调整RF形成零条纹时,测试光的光线路径如图2所示。其中,d为理想平板的厚度,n为理想平板的折射率。光线L_i为入射测试光,光线L_b为光线L_i经平板前表面反射形成的干扰光,会偏出PSI视场;光线T₀为光线L_i经理想平板直接透射后,由RF反射后沿原路返回形成的返回光线;光线T₁、T₂为以不同路径在平板内发生2次反射后形成的返回光线。

图 2. 理想平板中测试光线的路径

Fig. 2. Path of test light in ideal window

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测试光在平板内的前、后表面发生多次反射,在测试光入射平板位置附近会形成一系列寄生光线。测试光在平板内发生奇数次反射时,返回光线与光线L_b平行出射,均偏出PSI视场,不影响测量结果。测试光在平板内发生偶数次反射时,返回光线与光线T₀平行,均会进入PSI视场。偶数次反射光会引起寄生干涉,在测量结果中引入死条纹噪声。不同偶数次反射返回光线的相对振幅分别为1,r²,r⁴,r⁶,…,对应平板内部的反射次数分别为0,2,4,6,…。其中,r为平板表面的反射率,一般r≤20%。反射次数大于等于4时的光线相对振幅很小,对测量结果的影响可以忽略,即死条纹噪声只与返回光线T₀、T₁和T₂相关。

考虑平板非理想状态下的情况,为补偿平板引入的光程差以得到零条纹,需将RF倾斜较小角度,记倾斜角为ε。若RF的倾斜方向与平板倾斜方向相反,经RF反射后光线入射平板的入射角为θ+2ε,此时,测试光的光线路径如图3所示。其中,d(x,y)为非理想平板的厚度分布,n(x,y)为非理想平板的折射率分布,当折射率变化很小时,可认为n(x,y)为常数n。若RF的倾斜方向与平板倾斜方向相同,经RF反射后光线入射平板的入射角为θ-2ε。D(x,y)为平板与RF的距离,θ'为θ相应的一次折射角,θ″为θ+2ε相应的二次折射角,根据折射定律,θ'与θ″满足

θ'=arcsin(sinθ/n)θ″=arcsin[sin(θ+2ε)/n]。(2)

图 3. 非理想平板中测试光线的路径

Fig. 3. Path of test light in non-ideal window

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由于RF的倾斜角为ε,返回光线T₀的出射位置会偏离入射位置,即由图3中(x,y)偏离到位置(x',y)。考虑到平板厚度的变化通常为μm量级,而平板的平均厚度通常为10 mm量级,因此,在计算光线的径向移动时,可忽略平板厚度的变化,即认为d(x,y)为常数。另外,由于入射角θ通常为1'量级或更小,RF倾斜角ε通常为0.1'量级或更小,故可忽略不同位置处平板与RF间距的差异,即认为D(x,y)也为常数。令平板不同位置的厚度均为d,平板不同位置到RF的距离均为D,则偏离量Δ=2[d+D]sin ε。由于入射角θ非零,返回光线T₁、T₂相对返回光线T₀会发生径向错位,即由图3中的(x',y)错位到(x'₁,y)与(x'₂,y),错位量δ=dsin θ-dcos θtan θ'。按D=10d、RF的倾斜角ε=0.1'进行估计,得到偏离量Δ=3.2×10^-4d。按平板折射率n=1.457、入射角θ=1'进行估计,得到错位量δ=9.1×10^-5d。按平板口径A=20d,平板口径对应像素数为500进行估计,得到PSI的像素尺寸L=4.0×10^-2d。

综上所述,Δ≪L且δ≪L,因此,可忽略偏离量与错位量,认为(x',y)、(x'₁,y)、(x'₂,y)与(x,y)重合。对入射位置为(x,y)的光线L_i,返回光线T₀、T₁与T₂的复振幅之和可表示为

E(x,y)=sexp{i[2ϕw(x,y)+ϕr(x,y)]}×{1+r2exp[2ikd(x,y)n(x,y)(cosθ')-1]+r2exp[2ikd(x,y)n(x,y)(cosθ″)-1]},(3)

式中,s为RF的反射率,ϕ_w(x,y)为待测平板的透射波前分布,ϕ_r(x,y)为标准反射镜引入的相位分布,相位转化因子k=2π/λ,λ为激光波长。

将上述参数代入(2)式,得到一次折射角θ'=2.0×10^-4 rad,二次折射角θ″=2.0×10^-4 rad,此时,(cos θ')^-1与(cos θ″)^-1均近似为1,可将(3)式简化为

E(x,y)=sexp{i[2ϕw(x,y)+ϕr(x,y)]}×{1+2r2exp[2ikd(x,y)n(x,y)]}。(4)

综上所述,死条纹噪声的强度取决于反射率r、平板光程分布d(x,y)n(x,y)、一次折射角θ'与二次折射角θ″,死条纹噪声的分布主要取决于平板光程分布d(x,y)n(x,y)。

2.2 死条纹噪声的模拟

若RF反射面为理想平面,平板为理想楔板,平板折射率分布均匀。仿真参数:平板折射率为1.457,厚度为10 mm,楔角为5″,模拟得到含死条纹噪声的透射波前φ_s,φ_w、φ_s及φ_s的空间频谱Φ_s分布如图4所示。此时,φ_w的波前峰谷(PV)与RMS均为0 nm,φ_s的PV与RMS分别为69.06 nm、24.46 nm。

对于非理想平板,其他仿真参数不变,模拟得到含死条纹噪声的透射波前φ'_s,φ_w、φ'_s及φ'_s的空间频谱Φ'_s分布如图5所示。φ_w为短相干干涉仪(LCPSI)测得的某平板透射波前,此时,φ_w的PV与RMS分别为175.56 nm、13.07 nm,φ'_s的PV与RMS分别为209.27 nm、27.43 nm。

图 4. 理想平板的含噪透射波前。(a)透射波前;(b)多次反射后的透射波前;(c)图4(b)的空间频谱;(d)图4(c)中心区域的放大图

Fig. 4. Noised transmitted wavefront of an ideal flat window. (a) Transmitted wavefront; (b) transmitted wavefront after multiple reflections; (c) spatial frequency spectrum of Fig.4(b); (d) enlarged view of the central area of Fig.4(c)

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图 5. 非理想平板的含噪透射波前。(a)透射波前;(b)多次反射后的透射波前;(c)图5(b)的空间频谱;(d)图5(c)中心区域的放大图

Fig. 5. Noised transmitted wavefront of a non-ideal window. (a) Transmitted wavefront; (b) transmitted wavefront after multiple reflections; (c) spatial frequency spectrum of Fig. 5(b); (d) enlarged view of the central area of Fig.5(c)

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对比图4(a)与图4(b)、图5(a)与图5(b)可知,相对平板自身的波前特征,死条纹噪声不可忽略。还可以发现,死条纹噪声的分布呈条纹状,且具有方向性、周期性特点。由图4(c)、图4(d)、图5(c)与图5(d)可知,在空间频率域内,死条纹噪声的频谱呈扁平状集中,且在垂直、平行方向的集中程度不同。

傅里叶频率分析法难以在有效滤除死条纹噪声的同时保留有用信息,原因是很难找到一种扁平、长宽尺寸自适应且频域定位准确的滤波窗。虽然宽阻带可滤除死条纹噪声,但会导致其他方向的信息损失;阻带过窄,又存在噪声滤除效果差的问题;频域定位不准确,也会导致噪声处理效果差或信号过度损失。其次,无法自适应地滤除不同方向、不同周期的死条纹噪声,也是限制傅里叶频率方法应用的原因。小波变换^[19-20]具有定方向、多分辨的信号分析能力,因此,提出了基于小波变换的死条纹噪声降噪方法。

3 降噪原理

基于小波变换降噪方法的实质是在特定方向、特定尺度上,对死条纹噪声进行集中与滤除。

3.1 死条纹噪声的集中与小波分解

采用二维离散小波变换对死条纹噪声进行集中,以死条纹噪声在竖直方向的情况为例,定义二维尺度函数φ_j,r,c和二维小波基函数 ψj,r,ci分别为

φj,r,c(x,y)=2j2φ(2-jx-r,2-jy-c),(5)

ψj,r,ci(x,y)=2j2ψi(2-jx-r,2-jy-c),i={H,V,D},(6)

式中,φ为母小波,j为伸缩参数,r、c分别为沿x、y方向的伸缩参数,i为方向指示函数,H、V、D分别为水平、竖直、对角线方向。

对于M×N的波前f(x,y),其二维离散小波变换为

Wφ(j0,r,c)=1MN∑x=0M-1∑y=0N-1f(x,y)φj0,r,c(x,y),(7)

Wψi(j,r,c)=1MN∑x=0M-1∑y=0N-1f(x,y)ψj,r,c(x,y),i={H,V,D},(8)

式中,j₀=0为初始尺度,W_φ(j₀,r,c)为f(x,y)在尺度j₀处的近似系数, Wψi(j,r,c)为对尺度j₀(j₀≥0)附加了水平、竖直和对角方向的细节系数。设死条纹噪声的像素周期为T,根据采样定理,小波变换最小分解层数C需满足

C≥log2(N/T)+1,(9)

式中,C为整数。

3.2 死条纹噪声的滤除与小波重构

按(7)式、(8)式对f(x,y)进行至少C层小波分解,即将死条纹噪声集中到特定方向、特定阶次的细节。根据(5)式,V方向第j阶细节的尺度 LVj满足

LVj=2jTw,(10)

式中,T_w为小波基近似的中心周期。

由(5)式可知,各阶细节尺度在数值上均为2的整数次幂。而死条纹噪声周期T为正整数,且一般T不等于2的整数次幂,因此,死条纹噪声集中于V方向的细节尺度为小于T的最大整数或大于T的最小整数,即V方向死条纹噪声集中的细节阶数满足

jc-=Xfloor[log2(T/Tw)],(11)

jc+=Xceil[log2(T/Tw)],(12)

式中,X_floor为向下取整运算,X_ceil为向上取整运算。

滤除细节 Wψi中V方向的第j_c-阶与j_c+阶细节,得到降噪后的细节系数 Wψi'。降噪后波前f'(x,y)由小波重构得到,可表示为

f'(x,y)=1MN∑r∑cWφ(j0,r,c)φj0,r,c(x,y)+1MN∑i=H,V,D∑j=j0∞∑r∑cWψi'(j,r,c)ψj,m,ni(x,y)。(13)

4 模拟分析

对2.2节的模拟结果进行降噪仿真,按(9)式确定小波分解层数,按(7)式、(8)式对φ_s进行小波分解得到近似系数与各细节系数,根据死条纹噪声特征确定噪声集中方向;按(11)式、(12)式确定集中死条纹噪声的细节系数,对噪声集中细节系数进行修正,得到修正后的系数;按(13)式进行小波重构,得到降噪后的结果φ_j,φ_j、φ_s及其输入波前分布如图6(a)~图6(c)所示;对φ'_s进行降噪得到φ'_j,φ'_j、φ'_s及其输入波前分布如图6(d)~图6(e)所示,不同波前的PV与RMS如表1所示。

图 6. 降噪前后的波前分布。(a)理想波前;(b) 受死条纹影响的图6(a);(c)降噪后的图6(b);(d)实际波前;(e)受死条纹影响的图6(d);(f)降噪后的图6(e)

Fig. 6. Wavefront distribution before and after noise reduction. (a) Ideal wavefront; (b) Fig.6(a) affected by fixed patterns; (c) Fig.6(b) after noise reduction; (d) actual wavefront; (e) Fig.6(d) affected by fixed patterns; (f) Fig.6(e) after noise reduction

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综上所示,上述方法能有效降低死条纹噪声对波前的影响,且降噪后的波前更接近真实波前。分析过程中会引入一定的高频误差,原因是小波基函数分布与噪声分布的形态不一致性。由于波前φ_j与φ'_j中各行死条纹噪声的分布一致,降噪在各行中引入的高频误差分布也一致,体现为降噪结果中的周期状竖直细条纹,如图6(c)、图6(f)所示。实际中含噪声的波前各行死条纹噪声分布不一致,降噪过程引入各行的高频误差分布随机,不存在这一问题。

可将二维小波变换视作一系列一维小波变换的叠加,进一步分析一维降噪结果,如图6(c)、图6(f)中的误差。取φ_w、φ_s与φ_j的任意行,分别记为p_T、p_N与p_R;取φ'_w、φ'_s与φ'_j的任意行,分别记为p'_T、p'_N与p'_R。以第300行为例,对比结果如图7所示。可以发现,本方法能很好地滤除中频噪声,由降噪引入少量高频误差的幅度约为死条纹噪声幅度的四分之一,且能很好地保留含噪波前的低频成分。

图 7. φ_w、φ_s与φ_j的第300行对比。(a)理想平板;(b)实际平板

Fig. 7. Comparison of the 300th row of φ_w, φ_s and φ_j. (a) Ideal window; (b) actual window

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5 实验验证

对图3(a)所述的平板,分别采用LCPSI与PSI测量其透射波前,得到不含死条纹噪声的真实波前φ_t与含噪声的波前φ_n。φ_n的列数为1588,死条纹像素周期为88,选取的小波基db2中心像素周期为1.5 pixel,按(9)式、(11)式、(12)式计算得到小波分解层数为6,噪声集中于竖直方向的第5阶细节和第6阶细节。对φ_n进行降噪,得到降噪后的波前φ_s。假设平板的径向尺寸为410 mm×410 mm,采用NIF规定的中频波前分析方法分别对波前φ_t、φ_n、φ_s进行分析,得到中频(0.03~0.40 mm^-1)波前φ'_t、φ'_n、φ'_s,如图8所示,对应的PV与RMS如表2所示。

图 8. 不同方法获得的平板透射波前。(a)由LCPSI测得的波前;(b)图8(a)的中频成分;(c)由PSI测得的波前;(d)图8(c)的中频成分;(e)降噪后的图8(c);(f)图8(e)的中频成分

Fig. 8. Window transmitted wavefront obtained by different methods. (a) Wavefront measured by LCPSI; (b) middle frequency components of Fig.8(a); (c) wavefront measured by PSI; (d) middle frequency components of Fig.8(c); (e) Fig.8(c) after noise reduction; (f) middle frequency components of Fig.8(e)

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从图8(e)可以看出,对实际含噪波前进行降噪处理,不存在模拟结果中的竖直条纹。还可以发现,本方法可以有效滤除周期性相位噪声,同时能很好地保留元件加工特征。表2的分析结果显示,在空间中频部分的降噪结果与LCPSI结果的一致性较好,RMS的偏差仅为0.08 nm。

6 结论

分析了平板检测时死条纹现象的产生原理,模拟了平板波前检测结果中的死条纹噪声,针对死条纹噪声的特点提出了基于小波变换的降噪方法。实验结果表明,该方法的降噪结果与LCPSI检测结果的中频波前RMS偏差仅为0.08 nm,验证了该方法的可靠性。同时,该降噪方法可有效提升普通干涉仪平板波前中低频的测量精度,有良好的应用前景。