正交波罗棱镜谐振腔模式研究

龚鑫; 孟俊清; 张鑫; 蒋静; 陈卫标

doi:doi:10.3788/CJL201946.0101002

中国激光, 2019, 46 (1): 0101002, 网络出版: 2019-01-27

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Output-Mode Simulation of Orthogonal Porro Prism Resonators

论文大纲

龚鑫 ^1,2孟俊清 ^1,*张鑫 ¹蒋静 ¹陈卫标 ¹

作者单位

¹ 中国科学院上海光学精密机械研究所空间激光信息传输与探测技术重点实验室, 上海 201800

² 中国科学院大学, 北京 100049

激光光学波罗棱镜快速傅里叶变换直角误差输出模式 laser optics Porro prism fast Fourier transform right angle error output mode

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摘要

为了探究正交波罗(Porro)棱镜谐振腔的模式, 在菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式的基础上, 采用快速傅里叶变换数值模拟的方法, 对Porro棱镜谐振腔输出模式进行了仿真计算。通过比较不同脊线宽度和直角制造误差的情况, 给出了正交双Porro棱镜谐振腔腔保持单横模运转的条件。仿真结果表明, Porro棱镜的加工误差在18 μm以下和角度误差在2″以下可保证输出光斑的完整性。

Abstract

In order to explore the mode of orthogonal Porro prism, the output mode of an orthogonal Porro prism resonator is investigated on the basis of the Fresnel-Kirchhoff diffraction integral formula and is simulated by using the fast Fourier-transform algorithm. By analyzing the manufacturing errors in different apex widths and right angles of these prisms, the conditions for maintaining the single-transverse-mode operation of the orthogonal Porro prism cavity are determined. The simulation results show that the output spot integrity can be guaranteed when the machining error of Porro prism is below 18 μm and the angle error is below 2″.

1 引言

正交双波罗(Porro)棱镜谐振腔于1976年^[1]被提出,因其具有抗失谐性而在固体激光器中得到了广泛应用,特别是在军用激光器和空间激光器领域^[2]。正交双Porro棱镜偏振耦合输出腔对环境温度变化和冲击的不灵敏性,可以有效地消除振动造成的对准失调^[3-5]。但是,由于Porro棱镜在加工时的棱线总有一定的宽度,两直角面之间的夹角也不是绝对的90°,总存在一定的制造误差,这些误差导致正交双Porro棱镜谐振腔在实际运行过程中不能很好地保持单横模运转,甚至出现没有00模而只有01模或者10模运转的情况。因此,有必要对正交双Porro棱镜腔的模式进行研究,找出确保谐振腔运行在00模的条件。

对谐振腔的数值模拟计算方法主要有Fox-Li迭代法,有限差分法(FDM),有限元光束传播法(FEM-BPM)与快速傅里叶变换(FFT)法^[6]。Fox-Li迭代法原则上可用于计算任意光腔的模式,但由于实际采用的Porro谐振腔菲涅耳数很大,采用Fox-Li的计算量大且十分耗时。而FFT方法是计算谐振腔光场分布的一种快捷算法,Sziklas等^[7-8]采用FFT方法成功计算了大功率气动激光器的谐振腔光场分布和位相分布。

本文利用FFT方法对正交Porro棱镜谐振腔进行数值模拟分析,计算了空腔情况下腔内光场分布,定量讨论了棱镜直角棱线锐度对输出模式的影响,并在棱镜两直角面存在制造误差的情况下,利用矢量分析的方法计算了出射光线的偏移,进而仿真得到直角误差对光斑变化的影响,给出了正交双Porro棱镜谐振腔单横模运行的条件。

2 基本原理

2.1 正交双Porro镜腔

正交双Porro谐振腔中的Porro棱镜需要与不同波片进行组合来控制光的偏振态^[9],如图1所示。一般情况下两块正交的Porro棱镜的方位角α₁和α₂分别为45°和135°,如图1(a)所示。当光在Porro棱镜谐振腔内传播时,衍射效应主要是棱镜的有效入射面积、输出镜的有限大小及棱镜脊线共同作用造成的。为了计算方便,本研究将Porro棱镜的有效入射面简化为圆形镜,如图1(b)所示,将棱镜脊线等效为衍射光栅,如图1(b)中阴影部分所示。

图 1. 棱镜入射面图。(a)正交双Porro棱镜入射面;(b)简化的Porro棱镜入射面

Fig. 1. Graph of prism incidence surface. (a) Incidence surface of orthogonal double Porro prism; (b) simplified incident surface of Porro prism

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将棱镜的横截面作为xy面,中心点作为坐标原点O,等效圆形镜半径为R,脊线宽度为d,腔镜P₁,P₂的阴影光栅函数表达式可分别表示为

P_{1} (x, y) = \{\begin{matrix} 1, & x^{2} + y^{2} \leq R^{2}, y > x + \frac{\sqrt[]{2}}{2} d, y < x - \frac{\sqrt[]{2}}{2} d \\ 0, & x^{2} + y^{2} \leq R^{2}, x - \frac{\sqrt[]{2}}{2} d \leq y \leq x + \frac{\sqrt[]{2}}{2} d \\ 0, & x^{2} + y^{2} \geq R^{2} \end{matrix}, (1)

P_{2} (x, y) = \{\begin{matrix} 1, & x^{2} + y^{2} \leq R^{2}, y > - x + \frac{\sqrt[]{2}}{2} d, y < - x - \frac{\sqrt[]{2}}{2} d \\ 0, & x^{2} + y^{2} \leq R^{2}, - x - \frac{\sqrt[]{2}}{2} d \leq y \leq - x + \frac{\sqrt[]{2}}{2} d \\ 0, & x^{2} + y^{2} \geq R^{2} \end{matrix} 。 (2)

2.2 FFT方法

在谐振腔内典型的平面到平面的光束传播积分可以通过菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式来表示。FFT是通过光学传递函数理论,将腔镜上的光场分布进行傅里叶变换转换为频域分布^[10]:

\begin{matrix} F [u (x, y)] = \iint u (x, y) \exp [- i 2 π (f_{x} x + f_{y} y)] dxdy = G (f_{x}, f_{y}), (3) \end{matrix}

式中u(x,y)为镜面初始场分布,f_x和f_y分别为x、y方向的空间频率,G(f_x,f_y)为初始场的傅里叶变换谱。通过菲尼尔-基尔霍夫衍射公式的频域表达,可以得到传递后的光场分布的傅里叶变化:

\begin{matrix} F [u (x', y')] = F [u (x, y)] \exp [i \frac{2 π}{λ} L \sqrt[]{1 - (λ f_{x})^{2} - (λ f_{y})^{2}}], (4) \end{matrix}

式中u(x',y')为传播距离L后的光场分布,λ为波长。FFT法是在频域上进行计算得到下个光场的频域分布,再通过傅里叶逆变换得到空间域上的场分布,从而进行下一次衍射计算。由于不涉及到很复杂的积分过程,只需要N²log₂N次复数乘法和2N²log₂N次复数加法,完成一次频域传输需作N²次复数乘法^[11]。与传统的Fox-Li^[12]迭代法相比计算量大大减小,特别是文中研究的Porro棱镜脊线问题,需要更多的采样点,此时利用FFT方法分析谐振腔的效率更显著。

对无源情况下谐振腔的数值理论分析如下:以Porro棱镜P₁的横截面为xy平面,腔轴为z轴,如图2所示,此时P₁的初始分布为u₁(x₁,y₁,0),光传播至P₂时在Porro镜P₂上的光场分布为 u₂(x₂,y₂,L),经过反射后光返回至P₁得到的光场分布为

u'(x₁,y₁,0),完成一次往返。

根据频域衍射传播函数可以得到变量之间的关系:

图 2. 无源双Porro镜谐振腔示意图

Fig. 2. Schematic of passive double Porro mirror resonator

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\begin{matrix} \{\begin{matrix} u_{2} (x_{2}, y_{2}) = F^{- 1} \{F [u_{1} (x_{1}, y_{1})] \exp [i \frac{2 πL \sqrt[]{1 - (λ f_{x})^{2} - (λ f_{y})^{2}}}{λ}]\} \cdot P_{2} \\ u'_{1} (x_{1}, y_{1}) = F^{- 1} \{F [u_{2} (x_{2}, y_{2})] \exp [i \frac{2 πL \sqrt[]{1 - (λ f_{x})^{2} - (λ f_{y})^{2}}}{λ}]\} \cdot P_{1} \end{matrix} 。 (5) \end{matrix}

对光场分布不断进行循环迭代,最终得到稳定后的光场分布。

2.3 Porro镜直角面角度误差对光场分布的影响

当Porro镜两直角反射面存在角度误差时,光束出射方向相对入射方向有一定角度的偏离,圆形的入射光斑便会产生变形,再经过谐振腔内多次往返,最终的谐振腔输出光斑会产生分瓣现象,影响到输出激光的模式^[13-14]。假设存在制造误差δ,通过向量的形式描述出射光线方向上的变化。设光线垂直于底面入射,棱镜棱线将光分成两部分。一部分光线依次通过直角面I和直角面II反射,最后射出Porro镜;另一部分光的传播顺序相反。这里以上表面光线为例,以Porro棱镜棱线作为x轴,两垂直面分别作为xy面和xz面,如图3所示。

图 3. Porro棱镜内光线传输示意图

Fig. 3. Illustration of light transmission in Porro prism

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假设入射光A₁矢量为

\begin{matrix} A_{1} = - (ai + bj + ck), (6) \end{matrix}

式中a,b,c分别为单位矢量系数,满足关系式:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1, (7) \end{matrix}

根据反射定律的矢量表达式^[15]可以得到

\begin{matrix} \begin{matrix} A_{2} = A_{1} - 2 (A_{1} \cdot N_{1}) N_{1} = \\ - [ai + (2 δc - b) j + (c + 2 bδ) k], (8) \end{matrix} \end{matrix}

同理,经过直角面II反射后有

\begin{matrix} \begin{matrix} A_{3} = A_{2} - 2 (A_{2} \cdot N_{2}) N_{2} = \\ - [ai + (2 δc - b) j + (- c - 2 bδ) k], (9) \end{matrix} \end{matrix}

式中N₁为直角面I的法向量,N₂为直角面II的法向量,为了与图3中所示P₁的坐标系相对应,需要将Porro镜坐标系进行转换。通过一个坐标变换矩阵进行建立,遵循右手定则。变换矩阵M为

\begin{matrix} M = [\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{2}}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt[]{2}}{2} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt[]{2}}{2} & \frac{\sqrt[]{2}}{2} \end{matrix}] 。 (10) \end{matrix}

则图3所示坐标系下出射光线的矢量为A'₃=MA₃。通过坐标的选取和(7)式可以近似取单位矢量系数a=0 ,b=c= $\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{2}}{2} \end{matrix}$ 。代入(9)式得到出射波面法向量三个方向的分量,进而求出出射波面的波差分布W(x,y) ,通过上一节快速傅里叶衍射传播公式可以计算出具有直角误差的谐振腔的光场分布,即

\begin{matrix} u' (x, y) = u (x, y) \exp [ikW (x, y)] 。 (11) \end{matrix}

同理,以棱线划分的下表面光线依次通过直角面II、I后出射,出射波面差为W'(x,y)。

3 仿真结果

设谐振腔的腔长L为10 cm,波长为1064 nm,Porro棱镜的尺寸ϕ为10 mm,菲涅耳数N=235,初始光场分布为平面波:u₁(x,y,0)=1,稳定后的场分布与初始光场的选择无关。当光场分布不随迭代次数发生变化时,认为谐振腔达到稳定输出。数值模拟结果如图4所示,当棱线宽度为5 μm时,光场分布仍然保持近高斯分布;在棱镜宽度为12 μm和18 μm时,输出光为多模式输出,但光斑仍然能维持形状完整;继续增加棱宽到22 μm时,从图4和图5中可以看出输出光斑被分为4个对称光斑,此时衍射损耗较大,产生光斑分瓣现象。

图 4. 不同棱线宽度下无源双Porro镜谐振腔输出光斑图。(a) 5 μm;(b) 12 μm;(c) 18 μm;(d) 22 μm

Fig. 4. Output spot patterns of passive double Porro resonator under different prism widths. (a) 5 μm; (b) 12 μm; (c) 18 μm; (d) 22 μm

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图 5. 棱线宽度为22 μm时,无源双Porro镜谐振腔光斑振幅图

Fig. 5. Spot amplitude pattern of passive double Porro resonator with prism width of 22 μm

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下面考虑棱镜两直角面的角度误差对光场分布的影响,假设此时光线在棱线上透射。通过选取不同情况下不同角度误差来进行谐振腔仿真,谐振腔各参数不变,为了模拟激光晶体的通光孔径,在谐振腔中间位置加入一个φ为3 mm的小孔光阑,最后得到稳定后的光场分布如图6所示。

图6为两块Porro棱镜同时存在相同的角度误差时的光斑图,可以看出当δ=3″时光斑被分为4瓣,光束能量不集中。这是由于角度误差的存在使光线不能沿原路径方向反射,存在一定的偏转,也与入射Porro棱镜上下两面有关,能量向两边发散。同样,对单Porro棱镜-平面镜谐振腔存在角度误差时的现象进行数值模拟,与双Porro情况类似,当δ=3″时光斑会被分为两瓣。当两个棱镜角度误差不同时,所成光斑存在些许差异,其中一个棱镜δ₁<3″时,另一个棱镜角度误差容忍度变大,可达到δ₂=4″。由图7可以看出δ₂=5″时光斑才会发生分瓣现象。

图 6. 不同角度误差下无源双Porro镜谐振腔输出光斑图。(a)δ=0.6″;(b) δ=1″;(c) δ=2″;(d) δ=3″

Fig. 6. Output spot patterns of passive double Porro resonator under different angle errors. (a) δ=0.6″; (b) δ=1″; (c) δ=2″; (d) δ=3″

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图 7. 不同角度误差下无源双Porro镜谐振腔输出光斑仿真图。(a)δ1=2″,δ2=3″;(b) δ1=2″,δ2=4″;(c) δ1=2″,δ2=5″

Fig. 7. Simulation diagrams of output spot of passive double Porro resonator under different angle errors. (a) δ1=2″,δ2=3″; (b) δ1=2″, δ2=4″; (c) δ1=2″, δ2=5″

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同时,谐振腔长度不同,衍射效应对光斑产生的影响也会不同,当双Porro棱角角度误差均为8″时,增大谐振腔腔长至20 cm时,发现此时模拟得到的输出光场为一个完整的高斯光斑,腔内光场分布如图8所示。产生这种变化主要是因为腔长一定程度的增加使得偏离光轴的光线衍射损耗增大,边缘光场的能量迅速衰减,形成单模输出。故腔长的适当增长有助于降低谐振腔对Porro棱镜直角误差的敏感度。

图 8. δ=8″时谐振腔输出的光斑仿真图

Fig. 8. Simulation diagram of output spot of resonator at δ=8″

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4 结论

从衍射方程出发,数值模拟了双Porro棱镜谐振腔的模式分布。分别从棱镜棱宽与两直角面直角误差对光斑模式分布的具体影响两个方面进行分析。腔长为10 cm时,Porro棱镜棱线加工精度需要在5 μm以下可保证单横模输出,在18 μm以下可以确保光斑不分裂;直角误差尽量保持在2″以下,同时增加腔长可提高角度误差的容忍度。上述的分析结果可用于双Porro谐振腔的参数设计和应用。

参考文献

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2.3 Porro镜直角面角度误差对光场分布的影响

3 仿真结果

4 结论

龚鑫, 孟俊清, 张鑫, 蒋静, 陈卫标. 正交波罗棱镜谐振腔模式研究[J]. 中国激光, 2019, 46(1): 0101002. Gong Xin, Meng Junqing, Zhang Xin, Jiang Jing, Chen Weibiao. Output-Mode Simulation of Orthogonal Porro Prism Resonators[J]. Chinese Journal of Lasers, 2019, 46(1): 0101002.

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1 引言

2 基本原理

2.1 正交双Porro镜腔

图 1. 棱镜入射面图。(a)正交双Porro棱镜入射面;(b)简化的Porro棱镜入射面

Fig. 1. Graph of prism incidence surface. (a) Incidence surface of orthogonal double Porro prism; (b) simplified incident surface of Porro prism

2.2 FFT方法

图 2. 无源双Porro镜谐振腔示意图

Fig. 2. Schematic of passive double Porro mirror resonator

2.3 Porro镜直角面角度误差对光场分布的影响

图 3. Porro棱镜内光线传输示意图

Fig. 3. Illustration of light transmission in Porro prism

3 仿真结果

图 4. 不同棱线宽度下无源双Porro镜谐振腔输出光斑图。(a) 5 μm;(b) 12 μm;(c) 18 μm;(d) 22 μm

Fig. 4. Output spot patterns of passive double Porro resonator under different prism widths. (a) 5 μm; (b) 12 μm; (c) 18 μm; (d) 22 μm

图 5. 棱线宽度为22 μm时,无源双Porro镜谐振腔光斑振幅图

Fig. 5. Spot amplitude pattern of passive double Porro resonator with prism width of 22 μm

图 6. 不同角度误差下无源双Porro镜谐振腔输出光斑图。(a)δ=0.6″;(b) δ=1″;(c) δ=2″;(d) δ=3″

Fig. 6. Output spot patterns of passive double Porro resonator under different angle errors. (a) δ=0.6″; (b) δ=1″; (c) δ=2″; (d) δ=3″

图 7. 不同角度误差下无源双Porro镜谐振腔输出光斑仿真图。(a)δ1=2″,δ2=3″;(b) δ1=2″,δ2=4″;(c) δ1=2″,δ2=5″

Fig. 7. Simulation diagrams of output spot of passive double Porro resonator under different angle errors. (a) δ1=2″,δ2=3″; (b) δ1=2″, δ2=4″; (c) δ1=2″, δ2=5″

图 8. δ=8″时谐振腔输出的光斑仿真图

Fig. 8. Simulation diagram of output spot of resonator at δ=8″

4 结论

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1 引言

2 基本原理

2.1 正交双Porro镜腔

图 1. 棱镜入射面图。(a)正交双Porro棱镜入射面;(b)简化的Porro棱镜入射面

Fig. 1. Graph of prism incidence surface. (a) Incidence surface of orthogonal double Porro prism; (b) simplified incident surface of Porro prism

2.2 FFT方法

图 2. 无源双Porro镜谐振腔示意图

Fig. 2. Schematic of passive double Porro mirror resonator

2.3 Porro镜直角面角度误差对光场分布的影响

图 3. Porro棱镜内光线传输示意图

Fig. 3. Illustration of light transmission in Porro prism

3 仿真结果

图 4. 不同棱线宽度下无源双Porro镜谐振腔输出光斑图。(a) 5 μm;(b) 12 μm;(c) 18 μm;(d) 22 μm

Fig. 4. Output spot patterns of passive double Porro resonator under different prism widths. (a) 5 μm; (b) 12 μm; (c) 18 μm; (d) 22 μm

图 5. 棱线宽度为22 μm时,无源双Porro镜谐振腔光斑振幅图

Fig. 5. Spot amplitude pattern of passive double Porro resonator with prism width of 22 μm

图 6. 不同角度误差下无源双Porro镜谐振腔输出光斑图。(a)δ=0.6″;(b) δ=1″;(c) δ=2″;(d) δ=3″

Fig. 6. Output spot patterns of passive double Porro resonator under different angle errors. (a) δ=0.6″; (b) δ=1″; (c) δ=2″; (d) δ=3″

图 7. 不同角度误差下无源双Porro镜谐振腔输出光斑仿真图。(a)δ1=2″,δ2=3″;(b) δ1=2″,δ2=4″;(c) δ1=2″,δ2=5″

Fig. 7. Simulation diagrams of output spot of passive double Porro resonator under different angle errors. (a) δ1=2″,δ2=3″; (b) δ1=2″, δ2=4″; (c) δ1=2″, δ2=5″

图 8. δ=8″时谐振腔输出的光斑仿真图

Fig. 8. Simulation diagram of output spot of resonator at δ=8″

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