基于平行面多靶标标定的单目大视场平面测量

杨东升; 毕树生; 蔡月日; 袁畅

doi:doi:10.3788/AOS201737.1015001

光学学报, 2017, 37 (10): 1015001, 网络出版: 2018-09-07

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Wide-Area Monocular Plane Measurement Based on Calibration on a Parallel Plane Using Multiple Targets

论文大纲

杨东升毕树生蔡月日 ^*袁畅

作者单位

北京航空航天大学机器人研究所, 北京 100191

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摘要

针对单目大视场平面测量时,测量平面内不便布置靶标和大尺寸靶标难以制作的问题,提出一种利用布设在平行面上的小尺寸平面靶标进行标定的方法。选定一个平行面为标定平面,将单个小尺寸平面靶标合理放置在标定平面的多个位置拍摄,整合构造出一个大尺寸平面靶标,采用非线性优化的方法进行摄像机内、外参的优化求解。结合平行约束和距离参数得到测量平面与图像平面的单应矩阵,实现大视场平面测量。建立平面测量的精度模型,对测量区域各处精度的分布以及影响测量精度的摄像机内参、安装角度和高度等因素进行理论分析和实验验证。实验结果表明:该方法可有效保证整体测量精度;在上底920 mm、下底1360 mm、高920 mm的梯形视场内标定,距标定平面200 mm的测量平面内的测量误差低于0.6%;测量区域内各处误差的分布趋势与精度模型一致。此方法完全适用于大视场平面测量。

Abstract

Aim

ing at the problem of inconvenient placement of a target in the measuring plane and the difficulty of making a large-scale target in wide-area monocular plane measurement system, a method of calibrating with small-size plane targets laid on a parallel plane is proposed. A parallel plane is selected as a calibration plane, a single small-size plane target is placed reasonably in a plurality of positions on the calibration plane for shooting, and a large-scale plane target is constructed by combining the photos and the nonlinear optimization method is used to complete the optimization of the internal and external parameters of the camera. Combining with the parallel constraint and the distance parameter, the homography matrix between the measuring plane and the image plane is obtained and then the wide-area plane measurement is realized. The precision model of plane measurement is established, and the distribution of precision in the measuring area and the factors influencing measurement precision such as the internal parameters, the installation angle and height of the camera are analyzed theoretically and experimentally. The experimental results show that the proposed method can effectively guarantee the overall measurement precision. In the calibration in a trapezoidal visual field with an upper line of 920 mm, a lower line of 1360 mm and height of 920 mm, the measurement error is lower than 0.6% in the measuring plane away from the calibration plane 200 mm. The distribution of errors in the measuring area is consistent with that of the precision model. This method is fully applicable to the wide-area plane measurement.

1 引言

单目视觉测量具有非接触、视场大、精度高和成本低等优点^[1-4],越来越多地应用于大尺寸平面目标的二维测量^[5-6]。目前单目大视场平面测量主要存在以下问题:1) 测量平面内难以布置平面靶标进行摄像机标定;2) 视场范围大,采用小尺寸平面靶标标定精度低,而大尺寸平面靶标又难以加工;3) 摄像机倾斜安装,图像平面与测量平面不平行,测量范围内各处测量精度不同。

为了解决测量平面内难以布置靶标的问题,刘昶^[7]采用双平面相机模型,将平面靶标放置在与测量平面平行且距离已知的两个平面上进行标定,该方法须在两个平面上布置靶标。张振等^[6]在单应矩阵中引入高度参数,实现不同高度平面的二维测量,此方法要求在三维空间内布置控制点。

针对大视场测量的标定问题,文献[ 8-10]进行了深入的研究,提出采用多个小靶标拟合大靶标的方法,然而该方法针对三维视觉的摄像机标定问题。李为民等^[11]采用多项式拟合摄像机模型,提出一种大视场差分标定方法,此方法要求各子靶标之间保持平行。方勇纯等^[12]将多个小尺寸平面靶标铺设在平面上,融合各个靶标的单应矩阵得到整个视场的全局单应矩阵,实现大视场平面测量,但是该方法未考虑摄像机畸变。

在平面测量时,一般采用图像平面与测量平面平行的安装形式。在这种情况下,待测物的世界坐标与图像坐标仅差一个放大倍数^[1],测量平面内各位置的测量精度基本相同。然而在大部分测量场合,难以满足平行安装条件,从而导致测量平面内各位置的测量精度不同。张振等^[6]利用数值模拟的方式深入分析了相机安装角度对平面测量分辨率的影响,然而未建立平面测量的精度模型。

针对单目大视场平面测量存在的问题,本文提出一种将小尺寸平面靶标放置在测量平面的平行面上进行标定的方法。将小尺寸平面靶标放置在平行面上的多个位置进行拍摄,并整合成一个大尺寸平面靶标。该方法仅设置一个平行面用于布置小尺寸平面靶标,相比双平行平面标定法^[7,12]减少了一个平面,相比基于变高单应的方法^[6]无需在三维空间布置控制点。对于图像平面与测量平面不平行的情况,建立平面测量的精度模型,对测量区域内各处精度的分布和影响精度的因素进行了分析。

2 测量原理

2.1 摄像机模型

如图1所示,空间中一点在世界坐标系O_WX_WY_WZ_W下的齐次坐标为p_W= $\begin{matrix} {(x_{W}, y_{W}, z_{W}, 1)}^{T} \end{matrix}$ ,在摄像机坐标系O_CX_CY_CZ_C下的齐次坐标为p_C= $\begin{matrix} {(x_{C}, y_{C}, z_{C}, 1)}^{T} \end{matrix}$ ,投影到以pixel为单位的图像坐标系ouv下的齐次坐标为m= $\begin{matrix} {(u, v, 1)}^{T} \end{matrix}$ ,称为齐次图像坐标。OXY为以mm为单位的图像坐标系,π_I为摄像机图像平面。根据摄像机针孔模型^[13]:

\begin{matrix} λm = A p_{C} = A [\begin{matrix} R & T \end{matrix}] p_{W}, (1) \end{matrix}

式中

\begin{matrix} A = [\begin{matrix} f_{x} & 0 & u_{0} \\ 0 & f_{y} & v_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}], (2) \end{matrix}

式中A称为摄像机内参矩阵,f_x、f_y分别为u轴和v轴上的归一化焦距; $\begin{matrix} {(u_{0}, v_{0})}^{T} \end{matrix}$ 为主点坐标;λ为比例系数;R和T分别为世界坐标系到摄像机坐标系的旋转矩阵和平移向量,称为摄像机的外部参数。

由于加工制造等原因,实际的镜头并非理想的透视成像,而是存在一定的径向畸变和切向畸变^[13]。一般情况下,切向畸变较小^[14],本文予以忽略,仅考虑二阶径向畸变。记(u,v)^T为理想图像坐标, $\begin{matrix} \dot{m} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} {(\dot{u}, \dot{v})}^{T} \end{matrix}$ 为畸变后的图像坐标,畸变模型为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} \dot{u} = u + (u - u_{0}) [k_{1} (x^{2} + y^{2}) + k_{2} {(x^{2} + y^{2})}^{2}] \\ \dot{v} = v + (v - v_{0}) [k_{1} (x^{2} + y^{2}) + k_{2} {(x^{2} + y^{2})}^{2}] \end{matrix}, (3) \end{matrix}

式中x=(u-u₀)/f_x,y=(v-v₀)/f_y称为归一化的理想图像坐标;k₁、k₂为畸变系数,与f_x、f_y、u₀、v₀共同构成非线性模型的摄像机内部参数。

图 1. 摄像机模型

Fig. 1. Camera model

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2.2 基于单应的平面测量原理

在进行平面测量时,将测量坐标系O_MX_MY_MZ_M的原点O_M建立在测量平面π_M上,Z_M轴与测量平面垂直,那么测量平面上z_M=0。此时,测量坐标系即为世界坐标系。记测量坐标系到摄像机坐标系的旋转矩阵R= $\begin{matrix} {[r_{1} r_{2} r_{3}]}^{T} \end{matrix}$ ,测量平面上的点在测量坐标下的三维齐次坐标为p_M= $\begin{matrix} {(x_{M}, y_{M}, 0,1)}^{T} \end{matrix}$ ,二维齐次坐标为 $\begin{matrix} {\dot{p}}_{M} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} {(x_{M}, y_{M}, 1)}^{T} \end{matrix}$ ,根据(1)式可得:

\begin{matrix} λm = A [\begin{matrix} R & T \end{matrix}] p_{M} = A [\begin{matrix} r_{1} & r_{2} & T \end{matrix}] {\dot{p}}_{M} 。 (4) \end{matrix}

记单应矩阵为

\begin{matrix} H = A [\begin{matrix} r_{1} & r_{2} & T \end{matrix}] 。 (5) \end{matrix}

(5)式定义了测量平面到图像平面的可逆齐次变换^[15]。若单应矩阵H和齐次图像坐标m已知,则可得到平面上的点在测量坐标系下的二维齐次坐标为

\begin{matrix} {\dot{p}}_{M} = λ H^{- 1} m 。 (6) \end{matrix}

由(6)式可知,平面测量的关键是标定出测量平面与图像平面之间的单应矩阵H。

2.3 平面测量步骤

在摄像机内参f_x、f_y、u₀、v₀、k₁、k₂以及单应矩阵H已知时,可对测量平面内的目标进行二维测量,测量步骤如下:

1) 拍摄测量平面上的待测物,利用图像处理算法,如尺度不变特征变换(SIFT)角点提取算法,从图像中提取待测物关键点带畸变的图像坐标 $\begin{matrix} {(\dot{u}, \dot{v})}^{T} \end{matrix}$ 。

2) 采用Levenberg-Marquardt法求解非线性方程组(3)式,获得畸变矫正后的图像坐标(u,v)^T。

3) 根据(6)式,利用单应矩阵计算出待测物关键点在测量坐标系下的二维齐次坐标 $\begin{matrix} {\dot{p}}_{M} \end{matrix}$ 。

3 标定原理

针对测量平面π_M内难以布置平面靶标的问题,设置一个与其平行且距离d已知的平面为标定平面π_B,如图2所示。将单个小尺寸平面靶标(称为小靶标)铺设在标定平面的多个位置进行拍摄,形成一个能够覆盖整个视场的虚拟大尺寸平面靶标,解决大尺寸平面靶标难以加工的问题。

图 2. 标定原理示意图

Fig. 2. Schematic of calibration principle

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3.1 构建大尺寸平面靶标

首先,对摄像机内参进行预先标定。将小靶标放置在摄像机的近场区域,尽量使拍摄到的小靶标能够充满整个图幅。在不同的相对位置下,拍摄多幅图像,采用张氏法^[16]标定出摄像机内参f_x、f_y、u₀、v₀、k₁和k₂。

在标定出摄像机内参之后,如图2所示,将摄像机与测量平面π_M的相对位置固定。将小靶标放置在标定平面π_B的不同位置拍摄,单个位置的小靶标图像只能覆盖部分视场,要求所有位置的小靶标图像组合在一起能够覆盖整个视场。在每个位置的小靶标上建立小靶标坐标系,记第i个位置的小靶标坐标系为 $\begin{matrix} {O^{i}}_{T} \end{matrix} \begin{matrix} {X^{i}}_{T} \end{matrix} \begin{matrix} {Y^{i}}_{T} \end{matrix} \begin{matrix} {Z^{i}}_{T} \end{matrix}$ ,其中, $\begin{matrix} {Z^{i}}_{T} \end{matrix}$ 轴与小靶标平面 $\begin{matrix} {π^{i}}_{B} \end{matrix}$ 垂直,坐标原点 $\begin{matrix} {O^{i}}_{T} \end{matrix}$ 在小靶标平面上。采用直接线性法(DLT)^[17]计算每个小靶标平面到图像平面的单应矩阵Hⁱ,在摄像机内参已知的情况下,利用(5)式计算出每个小靶标坐标系到摄像机坐标系的旋转矩阵 $\begin{matrix} {R^{i}}_{T} \end{matrix}$ 和平移向量 $\begin{matrix} {T^{i}}_{T} \end{matrix}$ 。在标定平面上建立标定坐标系O_BX_BY_BZ_B,为了方便分析,令其与第1个位置的小靶标坐标系 $\begin{matrix} O_{T}^{1} \end{matrix} \begin{matrix} X_{T}^{1} \end{matrix} \begin{matrix} Y_{T}^{1} \end{matrix} \begin{matrix} Z_{T}^{1} \end{matrix}$ 重合。标定坐标系到摄像机坐标系的旋转矩阵和平移向量为R_B= $\begin{matrix} R_{T}^{1} \end{matrix}$ 和T_B= $\begin{matrix} T_{T}^{1} \end{matrix}$ 。以摄像坐标系为中介,得到第i个位置的小靶标坐标系到标定坐标系的旋转矩阵和平移向量分别为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} R_{TB}^{i} = {(R_{T}^{1})}^{- 1} R_{T}^{i} \\ T_{TB}^{i} = {(R_{T}^{1})}^{- 1} (T_{T}^{i} - T_{T}^{1}) \end{matrix}, (7) \end{matrix}

将(7)式写成分量形式为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} R_{TB}^{i} = [\begin{matrix} r_{11}^{i} & r_{12}^{i} & r_{13}^{i} \\ r_{21}^{i} & r_{22}^{i} & r_{23}^{i} \\ r_{31}^{i} & r_{32}^{i} & r_{33}^{i} \end{matrix}] \\ T_{TB}^{i} = {[\begin{matrix} t_{1}^{i} & t_{2}^{i} & t_{3}^{i} \end{matrix}]}^{T} \end{matrix} 。 (8) \end{matrix}

由于所有位置的小靶标共面,理论上各个小靶标坐标系 $\begin{matrix} {O^{i}}_{T} \end{matrix} \begin{matrix} {X^{i}}_{T} \end{matrix} \begin{matrix} {Y^{i}}_{T} \end{matrix} \begin{matrix} {Z^{i}}_{T} \end{matrix}$ 与标定坐标系O_BX_BY_BZ_B的关系仅有绕Z_B轴的旋转和X_B、Y_B轴方向上的平移,即为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} {\dot{R}}_{TB}^{i} = [\begin{matrix} \cos θ^{i} & - \sin θ^{i} & 0 \\ \sin θ^{i} & \cos θ^{i} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \\ {\dot{T}}_{TB}^{i} = {[\begin{matrix} t_{1}^{i} & t_{2}^{i} & 0 \end{matrix}]}^{T} \end{matrix}, (9) \end{matrix}

式中θⁱ为旋转角度。但由于图像噪声、特征点提取精度和摄像机畸变等因素的影响,求解出的(8)式与(9)式不同。为了保证平面约束,用(9)式代替(8)式,并取θⁱ=arctan $\begin{matrix} (r_{21}^{i} / r_{11}^{i}) \end{matrix}$ 。

记第i个位置的小靶标上第j个特征点在其小靶标坐标系 $\begin{matrix} {O^{i}}_{T} \end{matrix} \begin{matrix} {X^{i}}_{T} \end{matrix} \begin{matrix} {Y^{i}}_{T} \end{matrix} \begin{matrix} {Z^{i}}_{T} \end{matrix}$ 下的三维齐次坐标为 $\begin{matrix} {p^{i, j}}_{T} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} {({x^{i, j}}_{T}, {y^{i, j}}_{T}, 0,1)}^{T} \end{matrix}$ ,则其在标定坐标系O_BX_BY_BZ_B下的三维齐次坐标为

\begin{matrix} p_{B}^{i, j} = [\begin{matrix} {\dot{R}}_{TB}^{i} & {\dot{T}}_{TB}^{i} \\ 0^{T} & 1 \end{matrix}] p_{T}^{i, j} 。 (10) \end{matrix}

由(10)式将所有位置小靶标的特征点统一至标定坐标系O_BX_BY_BZ_B下,从而构成一幅平面大尺寸靶标。

3.2 摄像机内外参的非线性优化

根据以上分析,结合(1)式,可得第i个位置的小靶标上第j个特征点在其小靶标坐标系 $\begin{matrix} {O^{i}}_{T} \end{matrix} \begin{matrix} {X^{i}}_{T} \end{matrix} \begin{matrix} {Y^{i}}_{T} \end{matrix} \begin{matrix} {Z^{i}}_{T} \end{matrix}$ 下的齐次坐标与其齐次图像坐标m_i_,_j的关系为

\begin{matrix} λ_{i, j} m_{i, j} = A [\begin{matrix} R_{B} & T_{B} \end{matrix}] [\begin{matrix} {\dot{R}}_{TB}^{i} & {\dot{T}}_{TB}^{i} \\ 0^{T} & 1 \end{matrix}] p_{T}^{i, j}, (11) \end{matrix}

式中λ_i_,_j为比例系数,结合(3)式计算出畸变后的图像坐标 $\begin{matrix} {\dot{m}}_{i, j} \end{matrix}$ 。记在图像中提取到的对应特征点的图像坐标为 $\begin{matrix} {\dot{m}}_{i, j} \end{matrix}$ 。将3.1节求取的摄像机内参矩阵A,畸变系数k₁、k₂,摄像机外参R_B、T_B以及各小靶标坐标系到标定坐标系的旋转矩阵 $\begin{matrix} {\dot{R}}^{i}_{TB} \end{matrix}$ 和平移向量 $\begin{matrix} {\dot{T}}^{i}_{TB} \end{matrix}$ ,作为优化初值,构建使所有位置小靶标特征点重投影误差平方和最小的优化函数为

\begin{matrix} f (A, k_{1}, k_{2}, R_{B}, T_{B}, {\dot{R}}_{TB}^{i}, {\dot{T}}_{TB}^{i}) = \min \overset{m}{\sum_{i = 1}} \overset{n}{\sum_{j = 1}} ‖ {\dot{m}}_{i, j} - {\dot{m}}_{i, j} ‖^{2}, (12) \end{matrix}

式中m为小靶标放置位置的个数,n为小靶标上特征点的个数。采用Levenberg-Marquardt法对(12)式进行优化搜索,即可获得摄像机内参A、k₁、k₂和外参R_B、T_B的最优解。

3.3 求解测量平面到图像平面的单应矩阵

建立测量坐标系O_MX_MY_MZ_M,坐标原点O_M在测量平面π_M上,Z_M轴与标定坐标系O_BX_BY_BZ_B的Z_B轴同向且共线,X_M、Y_M轴分别与X_B、Y_B轴同向且平行,如图2所示。由于测量平面与标定平面平行,那么测量坐标系到标定坐标系的旋转矩阵为单位矩阵I,平移向量为T_BM= $\begin{matrix} {(0,0, - d)}^{T} \end{matrix}$ 。记标定坐标系到摄像机坐标系的旋转矩阵R_B= $\begin{matrix} [\begin{matrix} r_{B}^{1} & r_{B}^{2} & r_{B}^{3} \end{matrix}] \end{matrix}$ 。测量平面上的点在测量坐标系下的三维齐次坐标为p_M= $\begin{matrix} {(x_{M}, y_{M}, 0,1)}^{T} \end{matrix}$ ,二维齐次坐标为 $\begin{matrix} {\dot{p}}_{M} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} {(x_{M}, y_{M}, 1)}^{T} \end{matrix}$ ,其在标定坐标系下的三维齐次坐标为p_B。根据(1)式可得二维齐次坐标 $\begin{matrix} {\dot{p}}_{M} \end{matrix}$ 与齐次图像坐标m的关系为

\begin{matrix} \begin{matrix} λm = & A [\begin{matrix} R_{B} & T_{B} \end{matrix}] p_{B} = A [\begin{matrix} R_{B} & T_{B} \end{matrix}] [\begin{matrix} I & T_{BM} \\ 0^{T} & 1 \end{matrix}] p_{M} = A [\begin{matrix} R_{B} & R_{B} T_{BM} + T_{B} \end{matrix}] p_{M} = \\ A [\begin{matrix} r_{B}^{1} & r_{B}^{2} & R_{B} T_{BM} + T_{B} \end{matrix}] {\dot{p}}_{M} 。 (13) \end{matrix} \end{matrix}

由此得到测量平面到图像平面的单应矩阵H=A $\begin{matrix} [\begin{matrix} r_{B}^{1} & r_{B}^{2} & R_{B} T_{BM} + T_{B} \end{matrix}] \end{matrix}$ 。

4 平面测量精度分析

4.1 精度模型

如图3所示,假设摄像机绕摄像机坐标系O_CX_CY_CZ_C的X_C轴顺时针旋转角度α(称为摄像机安装角度),摄像机坐标系O_CX_CY_CZ_C原点O_C到测量平面π_M的垂直距离为h(称为摄像机安装高度),测量区域为一个等腰梯形。将光轴与测量平面的交点作为测量坐标系的原点,测量坐标系X_M轴与摄像机坐标系X_C轴同向且平行。忽略镜头畸变,假设归一化焦距f_x=f_y=f,根据(1)式和几何关系,得测量平面上点的二维坐标为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} x_{M} = \frac{h (u - u_{0})}{fcosα + (v - v_{0}) sinα} \\ y_{M} = \frac{h (v - v_{0})}{[fcosα + (v - v_{0}) sinα] cosα} \end{matrix} 。 (14) \end{matrix}

对(14)式求偏导,可得

\begin{matrix} \begin{matrix} \{\begin{matrix} \frac{\partial x_{M}}{\partial u} = \frac{h}{fcosα + (v - v_{0}) sinα} \\ \frac{\partial x_{M}}{\partial v} = - \frac{h (u - u_{0}) sinα}{{[fcosα + (v - v_{0}) sinα]}^{2}} \end{matrix}, \\ \{\begin{matrix} \frac{\partial y_{M}}{\partial u} = 0 \\ \frac{\partial y_{M}}{\partial v} = \frac{h f}{{[fcosα + (v - v_{0}) sinα]}^{2}} \end{matrix} 。 (16) \end{matrix} \end{matrix}

假设u、v轴像素坐标提取的精度为Δu=Δv=δ,建立平面测量的精度模型,则X_M轴的测量精度为

\begin{matrix} Δ x_{M} = \sqrt[]{{(\frac{\partial x_{M}}{\partial u} Δu)}^{2} + {(\frac{\partial x_{M}}{\partial v} Δv)}^{2}} = δ \sqrt[]{{(\frac{\partial x_{M}}{\partial u})}^{2} + {(\frac{\partial x_{M}}{\partial v})}^{2}}, (17) \end{matrix}

Y_M轴的测量精度为

\begin{matrix} Δ y_{M} = \sqrt[]{{(\frac{\partial y_{M}}{\partial u} Δu)}^{2} + {(\frac{\partial y_{M}}{\partial v} Δv)}^{2}} = δ |\frac{\partial y_{M}}{\partial v}|, (18) \end{matrix}

总体测量精度为

\begin{matrix} Δx y_{M} = \sqrt[]{{(Δ x_{M})}^{2} + {(Δ y_{M})}^{2}} = δ \sqrt[]{{(\frac{\partial x_{M}}{\partial u})}^{2} + {(\frac{\partial x_{M}}{\partial v})}^{2} + {(\frac{\partial y_{M}}{\partial v})}^{2}} 。 (19) \end{matrix}

图 3. 平面测量几何关系图

Fig. 3. Geometrical relationship of plane measurement

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4.2 精度模型分析

由(15)~(19)式可知,平面测量精度的影响因素有:像素坐标提取精度δ;摄像机内参f、u₀、v₀;测量平面上待测点投影到图像上的图像坐标(u,v)^T,也表征待测点在测量区域中的位置;摄像机安装参数α和h。

由(15)、(16)式可知,摄像机等效焦距f越大,主点坐标u₀、v₀越大,即图像分辨率越高;摄像机安装高度h越低,(15)、(16)式的绝对值越小,从而(17)~(19)式的值越小,系统的测量精度越高。由此可知,短焦距高分辨率相机与长焦距低分辨率相机可以得到相同的测量精度。

为便于精度分析,将一组参数代入(17)~(19)式,如表1所示。计算每个图像点对应的测量精度。将测量精度投影到测量平面上,得到测量区域内不同位置的测量精度,如图4所示。结合精度模型,可以得出:1) 测量区域内X_M轴的精度与图像坐标u和v相关,Y_M轴的精度只受图像坐标v影响;2) 测量区域内不同位置的总体测量精度各异,靠近梯形测量区域上底边处的精度相对较高,靠近下底边处的精度相对较低,两个下底角处的精度最低;3) X_M轴与Y_M轴精度不同,当前参数下,X_M轴的精度大部分优于Y_M轴的精度,其他参数需要具体分析。

表 1. 精度分析参数

Table 1. Parameters for precision analysis

Image resolution /(pixel×pixel)	f	u₀	v₀	h /mm	θ /(°)	δ /pixel
4032×3024	3460	2016	1512	900	25	1

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图 4. (a)测量区域内不同位置的测量精度分布;(b) yM=-500 mm时,测量精度随xM的分布;(c) xM=0 mm时,测量精度随yM的分布

Fig. 4. (a) Distribution of measurement precision of different positions in the measuring area; (b) distribution of measurement precision versus xM, when yM=-500 mm; (c) distribution of measurement precision versus yM, when xM=0 mm

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根据精度模型(17)~(19)式较难看出摄像机安装角度α对测量精度的影响,因此取h=900 mm、α为0~1 rad,绘制每个角度对应的最低测量精度,即梯形测量区域两个下底角处的测量精度,如图5所示。由图5可知,摄像机安装角度α越小,系统的测量精度越高。

综上所述,为了获取较高的测量精度,应选用长焦距高分辨率摄像机、使摄像机图像平面与测量平面平行、降低安装高度,但是这样会导致测量区域变小。在工程测量中,应根据实际需求妥善处理测量区域大小与测量精度的关系。

图 5. 测量精度随摄像机安装角度的变化

Fig. 5. Measurement precision versus camera angles

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5 实验与结果分析

采用的摄像机图像分辨率为4032 pixel×3024 pixel,像素物理尺寸为1.22 μm,镜头焦距为4 mm。如图6所示,摄像机安装在三角架上,小靶标摆放在地面上。摄像机与地面的距离约为900 mm,夹角为25°,标定视场大小约为上底920 mm、下底1360 mm、高920 mm的等腰梯形区域。小靶标采用A3纸打印,棋盘格大小为34.5 mm×34.5 mm,特征点个数为9×6=54。

图 6. 实验装置

Fig. 6. Experimental setup

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5.1 标定实验

按照3.1节所述方法,对摄像机进行预标定,获得摄像机内参为f_x=3456.6、f_y=3470.3、u₀=2020.2、v₀=1496.0、k₁=0.0791、k₂=-0.0461。

为了对比标定效果,分别进行两组实验。第一组实验按照图7(a)所示的位置分别摆放并拍摄小靶标,9个位置的小靶标基本能够覆盖整个标定视场。第二组实验仅采用单幅小靶标图像,如图7(b)所示,本文采用图7(a)中1号位置的小靶标图像。两组实验均采用本文方法进行标定,但是所采用的小靶标图像个数不同,第一组实验采用多个小靶标图像,能够覆盖整个视场,称之为多靶标方法;第二组实验采用单个小靶标图像,仅能覆盖视场的局部区域,称之为单靶标方法。利用3.1和3.2节的方法,标定出两组实验的摄像机内、外参,如表2所示。距标定平面0,50,100,150,200 mm处各设一个测量平面。利用3.3节所述方法,求得两组标定方法对应5个测量平面的单应矩阵,共计10个。

图 7. 靶标图像。(a)第一组;(b)第二组

Fig. 7. Target images. (a) First group; (b) second group

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表 2. 标定结果

Table 2. Calibration results

Group	A	k₁	k₂	R_B	T_B
1	$\begin{matrix} [\begin{matrix} 3854.2 & 0 & 2023.6 \\ 0 & 4017.5 & 1543.8 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{matrix}$	0.1142	-0.2166	$\begin{matrix} [\begin{matrix} 0.9936 & 0.1123 & - 0.0135 \\ - 0.0919 & 0.8713 & 0.4821 \\ 0.0659 & - 0.4778 & 0.8760 \end{matrix}] \end{matrix}$	$\begin{matrix} [\begin{matrix} - 547.7 \\ - 388.2 \\ 1280.9 \end{matrix}] \end{matrix}$
2	$\begin{matrix} [\begin{matrix} 3443.1 & 0 & 1972.1 \\ 0 & 3478.5 & 1512.2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{matrix}$	0.1039	-0.1559	$\begin{matrix} [\begin{matrix} 0.7132 & 0.7009 & - 0.0079 \\ - 0.6282 & 0.6440 & 0.4367 \\ 0.3111 & - 0.3065 & 0.8996 \end{matrix}] \end{matrix}$	$\begin{matrix} [\begin{matrix} - 498.8 \\ - 409.8 \\ 1155.4 \end{matrix}] \end{matrix}$

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5.2 精度测量实验

图 8. 精度测量实验示意图。(a)测量平面;(b)小靶标摆放位置;(c)小靶标特征点间距

Fig. 8. Schematic of precision measurement experiment. (a) Measuring planes; (b) positions of small targets; (c) feature point intervals of a small target

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图8(a)为所设计的5个测量平面。为了验证系统的测量精度,将小靶标作为标准物,在各个测量平面上,按照图8(b)所示的9个位置摆放并拍摄。摆放时,使小靶标的X_T方向与梯形测量区域的底边平行。如图8(c)所示,采用2.3节所述方法,测量小靶标上54个特征点的测量坐标。由此,计算沿靶标坐标系O_TX_TY_T的X_T方向和Y_T方向相邻两个特征点的间距 $\begin{matrix} d_{X}^{i} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} d_{Y}^{j} \end{matrix}$ ;对应X_T方向和Y_T方向的间距组数分别为N_X和N_Y,本文采用的小靶标N_X=48,N_Y=45;小靶标特征点间距的真值为d=34.5 mm。定义小靶标的绝对测量误差为

\begin{matrix} e_{a} = \frac{\overset{NX}{\sum_{i = 1}} |d_{X}^{i} - d| + \overset{NY}{\sum_{j = 1}} |d_{Y}^{j} - d|}{N_{X} + N_{Y}}, (20) \end{matrix}

相对测量误差为

\begin{matrix} e_{r} = \frac{\overset{NX}{\sum_{i = 1}} |d_{X}^{i} - d| + \overset{NY}{\sum_{j = 1}} |d_{Y}^{j} - d|}{(N_{X} + N_{Y}) \cdot d} \times 100 % 。 (21) \end{matrix}

由每个测量平面上9个位置的小靶标,可得9组测量误差。这9组测量误差实际表征了测量区域内9个位置的测量误差。根据以上方法,在各测量平面上,分别利用多靶标和单靶标方法获得标定参数,并测量各平面上9个位置的测量误差。图9~11分别为0,100,200 mm平面内9个位置的测量误差。

实际上,5.1节利用单靶标方法标定时,分别单独采用了图7(a)中1~9号位置的小靶标图像。但是,通过精度测量实验发现,采用1号位置的小靶标图像获得的标定参数达到的测量精度最优。图9~11中单靶标方法的测量精度曲线即为图7(a)1号位置的小靶标图像的标定参数所得。对比同一测量平面内两种不同的标定方法,可知:1)采用多靶标方法,在整个测量区域内不同位置的测量误差较为一致,而采用单靶标方法,只有离标定靶标较近的区域误差较小,如1、2、4、5号位置的误差相对距离较远的区域误差较小;2)多靶标方法的测量精度优于单靶标方法的,尤其在距标定平面较远的测量平面上,多靶标方法的测量误差远小于单靶标方法的。这主要是因为单靶标方法采用的小靶标仅能覆盖一部分视场,标定出的摄像机参数仅反映局部区域的特性;而多靶标方法整合了多个位置的小靶标,标定出的摄像机参数更能反映整个视场的全局特性,因此测量精度更高,能够保证大视场测量的整体精度。这进一步验证了本文方法的有效性。

图 9. 0 mm平面内各位置测量误差。(a)绝对误差;(b)相对误差

Fig. 9. Measurement error of different positions on 0 mm plane. (a) Absolute error; (b) relative error

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图 10. 100 mm平面内各位置测量误差。(a)绝对误差;(b)相对误差

Fig. 10. Measurement error of different positions on 100 mm plane. (a) Absolute error; (b) relative error

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图 11. 200 mm平面内各位置测量误差。(a)绝对误差;(b)相对误差

Fig. 11. Measurement error of different positions on 200 mm plane. (a) Absolute error; (b) relative error

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计算一个测量平面上9个位置测量误差的平均值和最大值,将其作为该测量平面的平均和最大测量误差,称之为该平面的整体测量误差。对于多靶标方法,绘制各测量平面整体测量误差如图12所示。可知随着测量平面与标定平面距离的增加,最大整体测量误差由0.28%增大至0.55%,误差呈上升趋势。分析原因有:1)实验时,很难保证测量平面与标定平面绝对平行,距离越远平面间的平行度越差; 2)实验设置的测量平面与标定平面的距离有一定误差,距离越大误差值越大;3)实验时相机聚焦在标定平面,测量平面距标定平面越远,图像离焦越严重,从而导致特征点提取精度越低。因此,在实际应用中,应尽量使标定平面靠近测量平面,以获取较高的测量精度。但是,在上述实验条件下,200 mm测量平面的最大整体测量误差仍保持在0.6%以内,能够满足一般应用场合。

图 12. 采用多靶标方法获得的各测量平面整体测量误差与距离的关系。(a)绝对误差;(b)相对误差

Fig. 12. Relationship between total measurement error and distance of different planes using multi-target method. (a) Absolute error; (b) relative error

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图13为采用多靶标方法获得的各测量平面的测量误差分布,其中每条曲线代表了单个测量平面上对应的9个位置的测量误差分布。由图13可知:1)在各测量平面上,9个位置的测量误差变化趋势大致相同;2)1、2、3位置,即梯形测量区域下底边处的误差相对较大,7、8、9位置,即上底边处的误差相对较小;3)大部分测量平面的1、3位置,即梯形测量区域的两个下底角处误差最大。当前实验参数与4.2节采用的参数基本一致,将两者的结果对比分析,发现测量平面内不同位置精度的分布情况基本吻合,由此验证了精度分析的正确性。但由于精度模型中未引入畸变参数,以及靶标精度、环境噪声、角点提取精度等因素的影响,精度的分布情况与理论分析并不完全相同。

图 13. 采用多靶标方法获得的各测量平面内测量误差分布。(a)绝对误差;(b)相对误差

Fig. 13. Measurement error distribution of different planes using multi-target method. (a) Absolute error; (b) relative error

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小靶标在摆放时X_T方向与梯形测量区域的上下底边平行,因此单个小靶标沿靶标坐标系X_T方向的特征点间距绝对和相对测量误差

\begin{matrix} e_{a}^{X} = \frac{\overset{NX}{\sum_{i = 1}} |d_{X}^{i} - d|}{N_{X}}, e_{r}^{X} = \frac{\overset{NX}{\sum_{i = 1}} |d_{X}^{i} - d|}{N_{X} \cdot d} \times 100 % 。 (22) \end{matrix}

(22)式可以表示该小靶标位置X_M轴的测量误差。同理,沿Y_T方向的特征点间距绝对和相对测量误差

\begin{matrix} e_{a}^{Y} = \frac{\overset{NY}{\sum_{j = 1}} |d_{Y}^{j} - d|}{N_{Y}}, e_{r}^{Y} = \frac{\overset{NY}{\sum_{j = 1}} |d_{Y}^{j} - d|}{N_{Y} \cdot d} \times 100 % 。 (23) \end{matrix}

(23)式可以表示该小靶标位置Y_M轴的测量误差。取50 mm测量平面,计算平面内9个小靶标位置X_M轴和Y_M轴的测量误差,测量结果如图14所示。由图14可知,整体上X_M轴误差比Y_M轴的小,其精度优于Y_M轴,这与4.2节的分析结果一致,进而验证了精度分析的正确性。

图 14. 50 mm平面内不同位置XM轴和YM轴的误差。(a)绝对误差;(b)相对误差

Fig. 14. Error of XM and YM axes in different positions on the 50 mm plane. (a) Absolute error; (b) relative error

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6 结论

提出了一种基于平行面多靶标标定的单目大视场平面测量方法,在测量平面的平行面上的多个位置布置并拍摄一个小尺寸平面靶标,利用平面约束关系将多个位置的小尺寸平面靶标转化成一个大尺寸平面靶标,用于摄像机内、外参的优化求解,结合测量平面到标定平面的平行关系和距离约束获得测量平面到图像平面的单应矩阵,从而实现大视场平面测量。同时,建立了平面测量的精度模型,对测量区域各位置精度的分布以及影响平面测量精度的因素进行了理论分析和实验验证。实验结果表明,本文方法具有较高的整体测量精度,所建精度模型的误差分布与通过实验获得的误差分布一致。对于一般工业应用,与基于变高单应的方法^[6]相比,该方法无须布置三维控制点,只需一幅小尺寸靶标,标定装置简单、成本低。相对基于全局单应的方法^[12],该方法只须一个标定平面,减少了一个平面或省去了移动摄像机;同时,引入了相机畸变参数,提高了测量精度。但是,为了保证精度,该方法须要对摄像机进行预标定,并要求所有小靶标共面。本文模型可用于指导摄像机的选取、安装和待测物体的摆放等工作。该方法解决了测量平面内难以布置靶标以及大视场测量时高精度大尺寸靶标制造困难的问题,可广泛应用于单目大视场平面测量。

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1 引言

2 测量原理

2.1 摄像机模型

图 1. 摄像机模型

Fig. 1. Camera model

2.2 基于单应的平面测量原理

2.3 平面测量步骤

3 标定原理

图 2. 标定原理示意图

Fig. 2. Schematic of calibration principle

3.1 构建大尺寸平面靶标

3.2 摄像机内外参的非线性优化

3.3 求解测量平面到图像平面的单应矩阵

4 平面测量精度分析

4.1 精度模型

图 3. 平面测量几何关系图

Fig. 3. Geometrical relationship of plane measurement

4.2 精度模型分析

表 1. 精度分析参数

Table 1. Parameters for precision analysis

图 4. (a)测量区域内不同位置的测量精度分布;(b) yM=-500 mm时,测量精度随xM的分布;(c) xM=0 mm时,测量精度随yM的分布

Fig. 4. (a) Distribution of measurement precision of different positions in the measuring area; (b) distribution of measurement precision versus xM, when yM=-500 mm; (c) distribution of measurement precision versus yM, when xM=0 mm

图 5. 测量精度随摄像机安装角度的变化

Fig. 5. Measurement precision versus camera angles

5 实验与结果分析

图 6. 实验装置

Fig. 6. Experimental setup

5.1 标定实验

图 7. 靶标图像。(a)第一组;(b)第二组

Fig. 7. Target images. (a) First group; (b) second group

表 2. 标定结果

Table 2. Calibration results

5.2 精度测量实验

图 8. 精度测量实验示意图。(a)测量平面;(b)小靶标摆放位置;(c)小靶标特征点间距

Fig. 8. Schematic of precision measurement experiment. (a) Measuring planes; (b) positions of small targets; (c) feature point intervals of a small target

图 9. 0 mm平面内各位置测量误差。(a)绝对误差;(b)相对误差

Fig. 9. Measurement error of different positions on 0 mm plane. (a) Absolute error; (b) relative error

图 10. 100 mm平面内各位置测量误差。(a)绝对误差;(b)相对误差

Fig. 10. Measurement error of different positions on 100 mm plane. (a) Absolute error; (b) relative error

图 11. 200 mm平面内各位置测量误差。(a)绝对误差;(b)相对误差

Fig. 11. Measurement error of different positions on 200 mm plane. (a) Absolute error; (b) relative error

图 12. 采用多靶标方法获得的各测量平面整体测量误差与距离的关系。(a)绝对误差;(b)相对误差

Fig. 12. Relationship between total measurement error and distance of different planes using multi-target method. (a) Absolute error; (b) relative error

图 13. 采用多靶标方法获得的各测量平面内测量误差分布。(a)绝对误差;(b)相对误差

Fig. 13. Measurement error distribution of different planes using multi-target method. (a) Absolute error; (b) relative error

图 14. 50 mm平面内不同位置XM轴和YM轴的误差。(a)绝对误差;(b)相对误差

Fig. 14. Error of XM and YM axes in different positions on the 50 mm plane. (a) Absolute error; (b) relative error

6 结论

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