本文利用平面波展开法和有限元法计算了二维正方晶格钨-硅橡胶声子晶体的能带结构，分析了弹性波在嵌有周期性排列的相同孔径的圆柱形钨块声子晶体结构中的传播特性。对能带结构中出现的特殊现象，例如狄拉克点以及狄拉克点附近的简并态等进行了分析。给出了三维能带图以及不同模式下的主要变形情况，发现在基体与散射体结合的部位容易出现应力集中的现象。同时讨论了复合材料的不同参数对带隙的影响，发现随着密度比(散射体密度与基体密度的比值)的增大，第一完全带隙的起始频率逐渐增加，但是截止频率变化较小，带宽逐渐减小。相对于杨氏模量比，密度比对带隙的影响更大。本文的结果将对实际的工程应用提供一定的理论指导。

用平面波展开法研究了介质矩形柱二维正方格子光子晶体的能带结构，正方晶格的晶格常数为a，当介质矩形柱边长为0.3633a，相对介电常数为11.56时，光子晶体的能带在布里渊区的中心点获得一个三重简并态，包括在同一频率接触构成狄拉克锥的两个线性能带，一个穿过狄拉克点的平的能带，光子晶体等效为介电常数和磁导率都为零的零折射率材料。用有限元法仿真电磁波在光子晶体中的传输特性，仿真结果表明，狄拉克点频率的电磁波通过光子晶体时相位不发生变化，传输特性与零折射率材料相同，用这种光子晶体设计的凹透镜可以实现焦点的半峰全宽为波长λ的0.63倍，焦距为λ的4.12倍的亚波长聚焦。

光子能带结构中的狄拉克点是目前光子晶体研究中新兴的热点。选用双轴材料，用六边形介质柱构成了六角晶格各向异性光子晶体。该光子晶体有三个各异的主介电常数 εxx、εyy、εzz。依据麦克斯韦方程组，垂直极化（TE）波中的狄拉克点会受到 εxx≠εyy的影响，即可以通过调制双轴材料中X、Y方向的主折射率Nx、Ny得到光子晶体中TE波的狄拉克速率，从而调节TE波中狄拉克点在能带结构图中的位置（即调节狄拉克点的归一化频率及其在布里渊区的位置）。研究了Nx、Ny（对应 εxx、 εyy）与TE波中狄拉克点的存在性的关系，并通过仿真实验验证了提出的观点。这些研究可为研发新型光学器件以及构建光子芯片提供更多的可能。

运用色散特性分析的方法，在六角形晶格光子晶体能带结构的布里渊区中心找到了狄拉克点，用等效媒质理论验证了在这一点上光子晶体的等效介电常量和等效磁导率同时为零，即存在狄拉克频点，用此六角形晶格光子晶体可以实现零折射率材料.随后运用有限元数值仿真方法，研究了此六角形晶格结构在狄拉克频点及其附近所呈现的零折射率特性.将此种六角形晶格光子晶体经过合理设计用以制作凹透镜，发现可以实现远场的亚波长聚焦.此外在凹透镜的入射面处引入防反射结构可以在一定程度上增强聚焦效果，提高了系统的分辨率.