1 引言

在非接触光学表面三维测量中,用光将正弦光栅投射到物体表面,光栅的反射光或透射光将受到物体高度调制而生成变形条纹。利用CCD获得物体表面的变形条纹图像,并使用特定算法对条纹图像进行分析处理,提取其中含有物体高度信息的相位,即可获取物体表面的三维信息^[1-3]。当被测物体表面形状变化非常复杂时,在物体高度梯度变化较大处,调制后的变形条纹分布较为密集,对应的条纹相位变化也比较大。常用的分析条纹图相位的方法有相移法^[4]、傅里叶变换法^[5]以及小波变换法^[6-8]等。其中小波变换法具有多分辨率分析的特性,不仅能够像傅里叶变换法那样得到信号整体特征,而且能够对局部信号的细节进行分析,具有较好的时间-空间局部性,因而应用较为广泛^[9]。采用小波变换分析变形条纹进而获得物体三维测量结果的方法也被称为小波变换轮廓术(WTP)^[7,10]。WTP只需分析一副变形条纹图即可获得对应的相位信息,因此适合应用于复杂过程的实时、动态测量,是基于相位测量的热门研究领域之一^[11-12]。WTP主要分为两类^[6,13]:一维连续小波变换(1D-CWT)和二维连续小波变换(2D-CWT),其中,2D-CWT在测量精度和抑制噪声的方面比1D-CWT具有较大的优势^[14]。在应用WTP方法分析条纹图提取相位的实践中,人们常用的小波有Morlet、Paul、Fan等^[15]。由于Morlet小波具有很好的空域和频域能力,是WTP中最为常用的小波。虽然Morlet小波在分析条纹过程中具有较好的噪声抑制能力,但是其主要应用于条纹相位变化缓慢的条纹分析,而对于相位相对变化较大的条纹分析,Morlet小波往往难以提取出正确的相位^[13,16]。二维Fan小波是由二维Morlet复小波叠加而成的,在处理相对快速相位变化条纹图分析上,二维Fan小波相对于二维Morlet有小幅提升,但依然难以有效地从大相位变化条纹图提取出正确相位。Paul小波则在分析相位变化较大的变形条纹中具有较大的优势^[16-17]。

在实际应用中,Paul小波在分析受噪声干扰的大相位变化条纹时,相位变化强度与条纹分布密集程度是成正比的。过于密集的条纹分布会产生混频,而噪声则会进一步强化这种混频产生的不良后果——不能提取有效相位值,进而不能正确展开真实相位。

本文采用Paul小波作为母小波对变形条纹图进行分析,特别是大相位变化条纹图以及带噪声的条纹图。通过分析Paul小波参数对在条纹分析过程中频域分辨率的影响,调整小波变换参数以改善相位提取结果。给出了Paul小波分析大相位变化条纹的参数调整方法,实现了对具有噪声的大相位变化条纹图的相位可靠提取及解包。

2 WTP测量方法

2.1 小波变换

对任意f(X)进行连续小波变换^[18],即

W(s,U,θ)=s-2∫-∞+∞fXφ*s-1r-θ(X-U)dX,(1)φ(s,U,θ)(X)=φs-1r-θ(X-U),(2)

式中:W_(s,U,θ)为小波变换系数;φ(X)为母小波函数;*表示复数共轭;X=(x,y),x和y分别为水平坐标和竖直坐标;s为尺度方向伸缩因子,其作用是对φ(X)进行伸缩,伸缩因子越大则空域分辨率越低,频域分辨率越高;U=(u_x,u_y),U为沿x,y坐标轴位移因子;θ为旋转角度;r_-θ为旋转矩阵。对于给定位置U,在不同的尺度伸缩因子和旋转角度θ下对信号进行多分辨分析。r_-θ对小波的旋转作用为

r-θ=(xcosθ+ysinθ,-xsinθ+ycosθ)。(3)

Paul母小波为^[19]

φp(X)=2ninn!(1-i|X|)-(n+1)π(2n)!,(4)

式中:i为复数单位,n为Paul小波阶数。Paul频域表达式为

φ˙p(ω)=2nπ(2n-1)!ω|nexp(-|ω|)·H(ω),(5)H(ω)=1,ω>00,ω≤0,(6)

式中:频率ω=(ω_x,ω_y),ω_x和ω_y分别为沿x和y轴方向频率。从(4)式和(5)式可以看出,Paul小波为复数小波,同时也是解析小波,可以直接用于条纹分析。因此,采用Paul小波作为母小波时,时域小波中心X_c和方差(ΔX)²可以表示为

Xc=∫-∞+∞Xφ(s,U,θ)X2dX∫-∞+∞φ(s,U,θ)X2dX=U,(7)(ΔX)2=∫-∞+∞(X-Xc)2φ(s,U,θ)X2dX∫-∞+∞φ(s,U,θ)X2dX=s22n-1。(8)

显然,时域分辨率ΔX取决于Paul小波的阶数n和伸缩因子s,重要的时域信息集中在窗口 Xc-ΔX,Xc+ΔX之中。

进一步,其频域的中心ω_c及方差(Δω)²为

ωc=∫-∞+∞ωφ˙(s,U,θ)ω2dω∫-∞+∞φ˙(s,U,θ)ω2dω=2n+12ss˙,(9)(Δω)2=∫-∞+∞(ω-ωc)2|φ˙(s,U,θ)ω|2dω∫-∞+∞φ˙(s,U,θ)ω|2dω=(2n+1)/4s2,(10)

式中: s˙为单位尺度方向。

同样,频域分辨率Δω取决于Paul小波阶数n和伸缩因子s,重要的频率信息集中在窗口 ωc-Δω,ωc+Δω之中。同时注意到,当小波阶数n不变时,s值越大,Δω值越小,窗口 ωc-Δω,ωc+Δω也就越小。

2.2 小波脊方法提取相位

当光栅的条纹投射到物体表面时,条纹被物体高度调制变形,一般条纹图光强I(x,y)分布为^[20]

I(x,y)=Ib(x,y)+Im(x,y)·cos2πf0x+Vϕ(x,y)+Nnoise,(11)

式中:I_b为背景光强,一般为缓慢变化;I_m为条纹振幅;ϕ为高度调制的相位;N_noise为均值为零,具有一定标准差的正态分布的随机噪声;f₀为载波频率;V为大于零的数,表示相位变化程度,该值越大表示相位变化程度越高。

对I(x,y)作连续小波变换,得到小波变换系数W_(s,U,θ),其实部记为R_W(s,U,θ),虚部记为I_W(s,U,θ),则其幅值A_(s,U,θ)和相位ϕ_(s,U,θ)分别为

A(s,U,θ)=RW(s,U,θ)2+IW(s,U,θ)2,(12)ϕ(s,U,θ)=arctanIW(s,U,θ)RW(s,U,θ)。(13)

应用WTP分析条纹,当条纹局部频率与相应尺度的小波函数振荡频率一致或者接近时,小波序列与条纹的相似程度较高。此时,小波变换系数的幅值也相应达到较大值。在沿着尺度方向,小波变换幅值最大值位置连线称为小波变换的脊(简称小波脊),进而可以提取出小波脊处的相位。因为实际相位包裹于[-π,π],故需要对包裹相位进行解包运算以获得实际连续的相位分布。本文采用Itoh^[21-22]解包算法对所提取出的包裹相位进行展开。一般地,空间载波需要大于相位最大梯度^[23,19],即是2πf₀> ∂ϕ/∂xmax,此时能够保证通过应用小波脊提取到正确的相位。显然,f₀越大,对应的相位梯度越大。

由(9)式和(10)式可知,频域窗口可由小波阶数n和伸缩因子s表示,即Paul母小波的频域窗口为 2n+1-2n+12s,2n+1+2n+12s。不同伸缩因子的尺度小波对应的频域中心为ω_c/ s,方差为 (Δω/s)2,对应的频域窗口为 2n+1-2n+12s2,2n+1+2n+12s224。当小波阶数n和伸缩因子s改变时,频域窗口也会随之变化。一般小波阶数n取值2、3或4,伸缩因子s则是以2为底的幂级数变化或者以等差数列形式变化,因此会出现频域窗口拉距或混频的现象^[25]。现假设小波阶数n为一定值,且尺度小波的频域窗口连续,则伸缩因子s由s_j表示,则s_j对应频域窗口下限与相邻的s_j+1的对应频域窗口上限一致,即

2n+1-2n+12s12=2n+1+2n+12s22,(14)

可推到出

s2=s12n+1+2n+12n+1-2n+1,(15)sj=s0Δsj,(16)

式中:正整数j=0,1,2,…;s₀为伸缩因子初始值,一般取2;Δs= 2n+1+2n+12n+1-2n+1。若小波阶数n依次取2、3和4,则Δs分别为1.6180,1.4883,1.4142。

调整Paul小波阶数n可以改变时-频域内的分辨率。在沿着尺度方向进行小波脊计算的过程中,尺度因子s是按照一定规律变化的,这导致计算的小波脊并不一定是小波变换幅值的最大值位置。但是通过细分伸缩因子s,使信号在尺度方向上缓慢变化,则可以获得接近小波变换的最大幅值,进而获得更加精确的小波脊。

对于大相位变形条纹,相位变化越大的位置对应的条纹分布则越密集。s过大导致频域窗口太小,在分析密集条纹时易导致混频,最终使得相位不能被正确提取。

因此,通过对Paul小波参数伸缩因子s以及Paul小波阶数n的调整来获得合适的频域分辨率,可正确可靠地提取出变形条纹相位。

3 仿真实验

为分析Paul小波参数对相位变化较大条纹的影响,对复杂形状条纹进行分析,模拟复杂形面的相位分布,范围为[-6.5511,8.1060],图像尺寸为512 pixel×512 pixel,其形状如图1所示。对应相位函数(Peaks函数)为

ϕ(x,y)=(1-x2)exp-x2-(y+1)2-10x5-x3-y5exp(-x2-y2)-13exp-(x-1)2-y2。(17)

图 1. 基于Peaks函数模拟的相位分布

Fig. 1. Simulated phase distribution using Peaks function

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本文主要分析大相位变形条纹,为便于计算,取I_b为0,I_m为1,f₀为1/16,则图1对应变形条纹图的光强表达式为

I(x,y)=cos2π(1/16)+Vϕ(x,y)+Nnoise。(18)

分别以V=1和V=4.5,N_noise为0时,与图1形状对应的调制变形条纹图如图2(a)和(b)所示,显然V越大,相位变化越大,相应的条纹分布也越密集。

当V=4.5时,相位变化处的条纹变得密集,相位最大梯度为0.6318 rad/pixel,如图2(b)所示。在应用WTP分析高密度条纹时,取θ分别为0,π/6,π/3,π/2,尺度因子s_j=s₀Δs^j, 由s₀=2开始计算伸缩因子s_j。沿着尺度方向由小波脊提取相位,s_max越大,频域窗口越窄。s_max过大就会导致频域窗口过于窄小,往往会在条纹密集处出现混频,导致小波脊相位提取出现错误。如图3所示,小波阶数n=4,s_max分别为11.31,16.00,22.62,其对应提取的包裹相位图中,在相位变化较快的位置的相位提取结果随着s_max变大而愈加错误,如图3中圆圈区域所示。

图 2. 具有不同相位变化的Peaks函数条纹图。(a) V=1;(b) V=4.5

Fig. 2. Peaks function fringe patterns with different phase variations. (a) V=1; (b) V=4.5

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图 3. 当V=4.5时,不同smax下的包裹相位图。(a) smax=11.31;(b) smax=16.00;(c) smax=22.62

Fig. 3. Wrapped phase maps under different smax when V=4.5. (a) smax=11.31; (b) smax=16.00; (c) smax=22.62

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图 4. 当V=4.5时,不同小波阶数下的包裹相位图。(a) n=3;(b) n=2

Fig. 4. Wrapped phase maps under different wavelet orders when V=4.5. (a) n=3; (b) n=2

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基于前述分析,采用Paul作为母小波对相位变化较大的条纹图进行小波变换分析,伸缩因子中的s_max≤11。在V=4.5,n=4时,由于相位变化太大,提取到的包裹相位图不能正确解包并获得连续相位,如图3(a)所示。进一步调整参数,当s₀=1,n=3,j=6和s₀=0.9,n=2,j=5时,提高频域分辨率,两种情况都能够解包成功,对应提取包裹相位图分别为图4(a)和(b)。在上述两种情况下相位解包精度也有所提高,对应解包相位的方均根误差(R_rms)分别为0.0340和0.0297。从图4还可以看出,在圆圈处,当n=2时的包裹相位更好。在同样的计算环境下,当n=4时,相位提取用时2.582928 s;当n=3时,相位提取用时2.331395 s;当n=2时,相位提取用时1.775653 s。可见,小波阶数n越小,提取相位的速度越快。

在实际应用中,条纹图会受到噪声的影响。因此,需对条纹添加随机噪声,以分析噪声对采用Paul小波变换法从条纹图提取相位的影响。实验发现,当V=4.5时,相位变化较大,噪声影响也比较大。当噪声标准差不大于0.2时,通过单纯调节Paul小波阶数n所提取包裹相位不能被正确展开。进一步调整参数s₁细分伸缩因子,得到的参数组合(s₀=0.3,n=3,j=9)能够可靠地实现解包处理,R_rms=0.0364。当噪声标准差不大于0.36时,参数组合(s₀=1/2,n=2,j=6)能够可靠地实现解包处理,R_rms=0.0350。通过细化伸缩因子能够减弱噪声的影响,获得较为准确的小波脊位置,进而提取到正确的相位。

为便于讨论参数对噪声条纹的影响,对V=4.0,噪声标准差为0.6的条纹进行Paul小波变换分析。通过(16)式确定伸缩因子,并确保s_max≤11。调整s₀,对比了不同n和Δs时,解包结果与原始形状的误差及R_rms,如图5所示。表1中的噪声标准差为能够解包的最大值,也就是说继续增大噪声标准差,则相位不能被成功解包。图6为噪声标准差为0.6的条纹图及对应相位解包的三维图。

图 5. 当V=4.0且噪声标准差为0.6时,条纹图形的相位解包误差

Fig. 5. Errors of unwrapped phase of fringe pattern when V=4.0 and standard deviation of noise is 0.6

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图 6. 带噪声的条纹图及其解包结果。(a)当V=4.0且噪声标准差为0.6时的条纹图;(b)当n=4,s0=1,j=7时,相位解包结果

Fig. 6. Fringe pattern with noise and its unwrapped result. (a) Fringe pattern when V=4.0 and standard deviation of noise is 0.6; (b) unwrapped phase result when n=4, s0=1, j=7

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进一步降低相位变化程度,同时添加较大的噪声。当V=3.28,相位最大梯度为0.46 rad/pixel,噪声标准差为1.0时,调整参数,当s₀=0.4,n=4,j=9时,相位可以被解包,R_rms=0.0546。进一步减小n,相位则不能被解包,出现类似表1中的情况。在这种情况下,通过调整s₀细化伸缩因子就可以获取较为准确的小波脊位置,从而得到正确的相位,能够获得更好的包裹相位解包结果。虽然减少n能提高频域分辨率,但是当噪声较大时,条纹分布密集处的相位可能与噪声引起的相位混合一起,加之频域窗口较小,相位提取出错的概率会明显提高。因此,当表1中n=2时,相位解包处理都不能较好地实现。

由Peaks函数表示的复杂物体,对于f₀=1/16的条纹,依次采用二维Morlet复小波、修正的二维Morlet复小波和二维Fan小波作为母小波分析提取无噪声变形条纹相位,当对应相位最大梯度分别超过0.1774,0.2440,0.3471 rad/pixel时,相位解包出现明显错误。当采用Paul作为母小波提取变形条纹时,相位最大梯度可提高到0.6318 rad/pixel。采用上述母小波提取噪声条纹,对应的相位最大梯度将随着不同程度的噪声影响而出现不同程度的降低。

总体而言,采用Paul小波分析条纹的方案能处理相位变化更大的变形条纹。此外,通过调整小波参数(伸缩因子及Paul小波阶数)能够调整频域窗口大小和细化伸缩因子,提高Paul小波分析的抗噪能力。

4 结论

采用Paul小波作为母小波,用WTP小波脊方法对条纹进行相位提取。该方法不但能够处理大相位变化的条纹,而且具有较好的抗噪能力。在具体应用Paul小波分析条纹时,需对Paul小波变换的伸缩因子的细化及最大值控制,以及Paul小波的阶数进行综合调整,改变频域窗口尺寸以适应大相位变化条纹分析。此外,针对大相位变化条纹图相位提取,通过具体实例分析了在不同强度噪声下Paul小波参数的选择方法,给出了不同条纹分布密度和不同噪声条件下,Paul小波阶数及伸缩因子的选择及细化处理方法。结果表明,该方法可以有效地改善大相位变化条纹的相位提取结果。

分析可以发现,相位变化越大,条纹分布越密,在频域分析时越容易出现频率混淆。噪声则会进一步强化上述不良影响。下一步的主要工作为改进Paul小波变换方法,使其能够在正确提取相位的同时提高对于大相位变化条纹图的噪声抑制能力。