基于Nelder-Mead单纯形法的逆合成孔径激光雷达联合补偿成像算法

刘盛捷; 付翰初; 魏凯; 张雨东

doi:doi:10.3788/AOS201838.0711002

光学学报, 2018, 38 (7): 0711002, 网络出版: 2018-09-05

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Jointly Compensated Imaging Algorithm of Inverse Synthetic Aperture Lidar Based on Nelder-Mead Simplex Method

论文大纲

刘盛捷 ^1,2,3付翰初 ^1,2,3魏凯 ^1,2,*张雨东 ^1,2

作者单位

¹ 中国科学院自适应光学重点实验室, 四川成都 610209

² 中国科学院光电技术研究所, 四川成都 610209

³ 中国科学院大学, 北京100049

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摘要

逆合成孔径激光雷达(ISAL)的调制信号具有高频率、大带宽的特性,使传统逆合成孔径雷达的“一步一停”模型不再适用。通过建立精确的ISAL成像模型,分析了ISAL成像过程中存在的平动误差、转动误差和模型误差。针对传统ISAL采用平动、转动分离补偿时,由于平动误差补偿存在残余误差而影响转动误差补偿的问题,因此提出基于Nelder-Mead单纯形法和拟牛顿法的联合补偿成像算法。该算法首先采用Nelder-Mead单纯形法对目标运动参数进行优化迭代搜索,将得到的优化解作为运动补偿项对三类误差进行全局补偿,然后利用拟牛顿法补偿残余误差。仿真实验结果表明,与传统分离补偿算法相比,本文算法可以精确估计目标的运动参数,获得聚焦良好的高分辨率ISAL二维图像。

Abstract

The modulation signal of inverse synthetic aperture lidar(ISAL) has the characteristics of high frequency and wide bandwidth, making traditional “stop and go” model of inverse synthetic aperture radar unavailable. By establishing accurate imaging model for ISAL, translational error, rotational error, and model error existed in ISAL image formation process are analyzed. When applying translational compensation and rotational compensation separately to traditional ISAL, the residual error existed in translational motion compensation influences the precision of subsequent rotational motion compensation. Jointly compensated imaging algorithm based on the Nelder-Mead simplex method and the quasi-Newton method is proposed. The proposed algorithm iteratively searches for motion parameters of the target based on the Nelder-Mead simplex method, the obtained optimal solution is used as the motion compensation term to eliminate three kinds of errors globally. Then the quasi-Newton method is applied for removing the residual error. Simulation results show that compared with the traditional separate compensation algorithm, the proposed algorithm can estimate motion parameters of target accurately and obtain a better quality of ISAL image.

1 引言

逆合成孔径激光雷达(ISAL)是一种采用激光作为光源的主动成像技术,其成像过程可描述为:通过向目标等间隔发射多束线性调频(LFM)激光,借助目标相对雷达自身的运动完成脉冲积累,从而获取高分辨率二维图像。与采用微波波段的逆合成孔径雷达(ISAR)相比,ISAL采用了大调制带宽、高频率的激光作为发射信号,图像分辨率可以达到毫米甚至几十微米量级^[1-2],合成孔径时间缩短至几十毫秒。ISAL图像分辨率理论上仅与调制带宽、工作波长以及目标运动参数有关,而与激光雷达到目标的距离无关,从而使得ISAL在对远距离目标成像时可以克服光学系统的衍射极限约束,获取较为理想的图像。

传统ISAR对目标成像时一般采用“一步一停”运动模型^[3],而由于ISAL的工作载频比ISAR的高3~4个数量级,因此“一步一停”运动模型不再适用。文献[ 4-5]对ISAL回波信号特征进行了研究,结果发现针对ISAL成像,传统的距离-多普勒算法并不适用。其中文献[ 4]通过建立精确的运动模型发现当ISAL采用超大带宽、超高载频的调制激光作为发射信号时,所引起的回波包络展宽、距离像平移及展宽不能忽略。而文献[ 5]进一步研究了脉内多普勒和脉间多普勒效应,经仿真发现当目标不满足匀速运动近似时,即使存在较小的加速度也会造成图像模糊。

近几年研究人员根据ISAL高载频、大带宽特性设计了许多成像算法,其中主要包括基于相位梯度自聚焦(PGA)的成像算法^[1,6]、基于时频分析的成像算法^[4,7-9]以及基于压缩感知的成像算法^[10-11]。这些ISAL成像算法通常仍未脱离ISAR的运动补偿成像框架,即当目标存在平移运动和旋转运动时,先进行平动补偿,再执行转动补偿。然而分别执行平动补偿和转动补偿有可能导致两类补偿精度下降,原因在于ISAL转动误差会影响平动补偿的精度,而平动补偿的残余误差又导致转动误差不能较好地校正,从而使得ISAL图像无法良好聚焦。基于联合运动补偿的ISAR成像算法^[12]同时考虑平动误差和转动误差,采用拟牛顿法同时补偿两类误差,获得良好的聚焦ISAR像。然而,拟牛顿法需要预先对优化变量进行精确估计,并作为初值进行优化迭代求解。当对优化变量估计不准确时,利用拟牛顿法进行优化迭代将陷入局部极值,无法获得清晰聚焦图像。本文通过对ISAL成像建立精确的运动模型,提出了基于Nelder-Mead单纯形法的联合补偿成像,算法采用Nelder-Mead单纯形法对平动误差、转动误差以及模型误差三类误差进行全局补偿,然后利用基于BFGS(Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno)公式的拟牛顿法补偿残余相位误差。仿真实验结果表明,所提出的联合补偿成像算法可得到良好的高分辨率ISAL二维图像。

2 ISAL精确成像模型

应为ISAL运动模型示意图如图1所示,一般可将目标运动等效为沿视线方向(激光雷达与目标中心连线方向)的平移运动和目标绕自身旋转中心的旋转运动。其中,平动分量对ISAL成像无贡献,而转动分量引起的目标相对激光雷达方位姿态变化量对成像有贡献。

图 1. ISAL模型

Fig. 1. Model of ISAL

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一般ISAL采用LFM信号对目标进行探测,其调制信号表示为

\begin{matrix} s (t_{k}, t_{n}) = rect (\frac{t_{k}}{T_{w}}) \exp [j 2 π (f_{c} t + \frac{1}{2} K_{r} t_{k}^{2})], (1) \end{matrix}

式中rect(·)是矩形函数,f_c为激光起始频率K_r为调频斜率,T_P为回波信号的脉冲宽度,t=t_k+t_n为全时间,t_k和t_n分别为快时间和慢时间,对应距离向(沿视线方向,即x轴方向)和方位向(垂直于视线方向,即y轴方向)。

由于ISAL相干成像时间很短,一般小于0.1 s,对目标的平移运动采用二阶加速运动模型便可保证足够的精度,并假设ISAL目标转动分量近似为线性运动,角速度小于0.05 rad·s^-1。目标的平移运动和旋转运动表示为

\begin{matrix} \begin{matrix} R (t) = R_{0} + vt + \frac{1}{2} a t^{2}, (2) \\ θ (t) = ωt, (3) \end{matrix} \end{matrix}

式中R(t)和θ(t)分别为不同时刻目标中心到激光雷达的距离和目标绕自身旋转的转角,R₀、v、a分别为目标的初始位移、速度和加速度,ω为转动角速度。

当目标离激光雷达较远时,设目标上任意散射点P的坐标为(x_P,y_P),由远场近似条件(R₀≫x_P,y_P)得到P点到激光雷达的距离为

\begin{matrix} \begin{matrix} R_{P} (t) = & R_{0} + vt + \frac{1}{2} a t^{2} + x_{P} cosωt - y_{P} sinωt 。 (4) \end{matrix} \end{matrix}

假设激光雷达发射第n个调制激光脉冲的时刻为t_n,该脉冲经过τ_n/2时间后照射到目标散射点P,并在第二个τ_n/2时间后被激光雷达接收。通过将(4)式代入到目标的运动关系cτ_n/2=R_P(t_n+τ_n/2)后,并对式中的cos项和sin项分别进行二阶和一阶泰勒展开,经整理可得

\begin{matrix} \{\begin{matrix} A τ_{n}^{2} + B τ_{n} + C = 0 \\ A = \frac{1}{8} (a - x_{p} ω^{2}) \\ B = \frac{1}{2} (v + a t_{n} - c - x_{p} ω^{2} t_{n} - y_{p} ω) \\ C = R_{0} + v t_{n} + \frac{1}{2} a t_{n}^{2} + x_{p} (1 - \frac{1}{2} ω^{2} t_{n}^{2}) - y_{p} ω t_{n} \end{matrix}, (5) \end{matrix}

应用求根公式求解时,根据实际情况求根公式符号取“+”号,并考虑到B²≫4AC,解得

\begin{matrix} \begin{matrix} τ_{n} \approx - \frac{C}{B} = \frac{2 [R_{0} + v t_{n} + \frac{1}{2} a t_{n}^{2} + x_{p} (1 - \frac{1}{2} ω^{2} t_{n}^{2}) - y_{p} ω t_{n}]}{c - v - a t_{n} + x_{p} ω^{2} t_{n} + y_{p} ω}, (6) \end{matrix} \end{matrix}

可见,由于ISAL采用超大带宽LFM信号,回波用时τ_n的分母项所引入的非线性误差会导致回波信号和参考信号做光外差探测时发生失配,无法获得良好的二维聚焦图像。

由于ISAL成像时间很短,通常对应单个脉冲的持续时间仅为几微秒。在这段时间内,一般考虑激光回波延时仅与该脉冲的起始时间t_n相关,因此可设对于不同时刻t_n发射的激光脉冲,由不同目标散射点产生的激光回波信号的延时为τ_p(t_n),可由(6)式得出,在不引起异议的情况下简写为τ_p,而本振信号的延时设为τ_ref。为了提取受目标运动参数与坐标参数调制的相位信息,可采用光外差探测模式,回波信号和本振信号可分别表示为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} s_{ret} (t_{k}, t_{n}) = \sum_{p \in Θ} σ_{p} rect (\frac{t_{n}}{T_{a}}) rect (\frac{t_{k} - τ_{p}}{T_{w}}) \exp \{j 2 π [f_{c} (t - τ_{p}) + \frac{1}{2} K_{r} {(t_{k} - τ_{p})}^{2}]\} \\ s_{ref} (t_{k}, t_{n}) = rect (\frac{t_{n}}{T_{a}}) rect (\frac{t_{k} - τ_{ref}}{T'_{w}}) \exp \{j 2 π [f_{c} (t - τ_{ref}) + \frac{1}{2} K_{r} (t_{k} - τ_{ref})^{2}]\} \end{matrix}, (7) \end{matrix}

(7)式描述了由Θ个目标散射点分别产生的信号混合得到的回波信号,以及用于进行光外差探测的本振信号。σ_p为第p个散射点的反射率,T_w为回波信号的脉冲宽度,T'_w为本振信号的脉冲宽度,通常T'_w>T_w,T_a为相干处理时间。

当回波信号与本振信号在光电探测器上进行光外差探测后,其探测器输出信号经过去直流分量处理后得到交流项,可表示为s_if(t_k,t_n)=s_ret(t_k,t_n)· $\begin{matrix} s_{ref}^{*} \end{matrix}$ (t_k,t_n),经过化简后得到

\begin{matrix} \begin{matrix} s_{if} (t_{k}, t_{n}) = \sum_{p \in Θ} σ_{p} rect (\frac{t_{k} - τ_{p}}{T_{w}}) rect (\frac{t_{n}}{T_{a}}) \cdot \exp (- j 2 π f_{c} τ_{Δp}) \times \\ \exp [- j 2 π K_{r} τ_{Δp} (t_{k} - τ_{ref})] \exp (jπ K_{r} τ_{Δp}^{2}), (8) \end{matrix} \end{matrix}

式中τ_Δ_p=τ_p-τ_ref为回波信号和本振信号的延时差。第一、二个指数项分别代表慢时间域信号和快时间域信号,第三个指数项是一个残余视频相位项(RVP),后面将对其进行补偿。

由(6)式可知,距离向坐标信息x_p包含在对应的回波延迟时间τ_p的表达式中,而τ_p又和回波信号与参考信号的延时差τ_Δ_p有关。分析(8)式可知,通过对快时间域信号进行频谱分析,即可获知有关x_p信息。对(8)式沿快时间方向做傅里叶逆变换(IFT),得

\begin{matrix} \begin{matrix} S_{if} (f_{r}, t_{n}) = F^{- 1} {\{s_{if} (t_{k}, t_{n})\}}_{t_{k}} = \sum_{p \in Θ} σ_{p} rect (\frac{t_{n}}{T_{a}}) \exp (- j 2 π f_{c} τ_{Δp}) \exp (jπ K_{r} τ_{Δp}^{2}) \cdot \\ F^{- 1} {\{rect (\frac{t_{k} - τ_{p}}{T_{w}}) \exp [- j 2 π K_{r} τ_{Δp} (t_{k} - τ_{ref})]\}}_{tk}, (9) \end{matrix} \end{matrix}

式中f_r为ISAL距离向频率域坐标,F^-1 $\begin{matrix} {\{\cdot\}}_{tk} \end{matrix}$ 表示沿快时间t_k进行IFT操作,计算结果为

\begin{matrix} \begin{matrix} F^{- 1} {\{rect (\frac{t_{k} - τ_{p}}{T_{w}}) \exp [- j 2 π K_{r} τ_{Δp} (t_{k} - τ_{ref})]\}}_{tk} = \int_{-}^{T_{w}} \exp [- j 2 π K_{r} τ_{Δp} (t_{k} - τ_{ref})] \exp (j 2 π f_{r} t_{k}) d t_{k} = \\ T_{w} \exp (- j 2 π K_{r} τ_{Δp}^{2}) \exp (j 2 π f_{r} τ_{p}) sinc [T_{w} (f_{r} - K_{r} τ_{Δp})], (10) \end{matrix} \end{matrix}

将(10)式代入(9)式得:

\begin{matrix} \begin{matrix} S_{if} (f_{r}, t_{n}) = \sum_{p \in Θ} σ_{p} T_{w} rect (\frac{t_{n}}{T_{a}}) \exp (- j 2 π f_{c} τ_{Δp}) \cdot \\ \exp (- jπ K_{r} τ_{Δp}^{2}) \exp (j 2 π f_{r} τ_{Δp}) \exp (j 2 π f_{r} τ_{ref}) sinc [T_{w} (f_{r} - K_{r} τ_{Δp})], (11) \end{matrix} \end{matrix}

式中第二、三个指数项分别代表RVP和回波包络“斜置”项,通过乘以相应系数,这两项误差可以得到补偿^[13]。第四个指数项是随f_r变化的脉内线性误差,可直接补偿。sinc函数指出了目标在ISAL图像中距离方向上的图像,由于sinc函数中的延时差τ_Δ_p是一个关于慢时间t_m的非线性函数,考虑到一般情况下目标的速度v<300 m·s^-1,加速度a<20 m·s^-2,转动角速度较小而忽略其产生的误差,可将τ_Δ_p近似为二次函数。经过距离对齐^[14]后,得到对齐的ISAL距离聚焦像

\begin{matrix} S_{if} (f_{r}, t_{n}) = \sum_{p \in Θ} σ_{p} T_{w} rect (\frac{t_{n}}{T_{a}}) \exp (- j 2 π f_{c} τ_{Δp}) sinc [T_{w} (f_{r} - \frac{2 K_{r}}{c} x_{p})], (12) \end{matrix}

此时ISAL距离聚焦像不同峰值位置对应了目标在距离向上的坐标。

对于ISAL慢时间域信号,对(6)式分母进行二阶泰勒级数展开后,分析(12)式中关于t_n的多普勒频率,

\begin{matrix} \begin{matrix} f_{D} = - \frac{1}{2 π} \frac{d (- 2 π f_{c} τ_{Δp})}{d t_{n}} = 2 f_{c} (\frac{v + a t_{n} - x_{p} ω^{2} t_{n} - y_{p} ω}{c}) + \\ 2 f_{c} \frac{(v + a t_{n} - x_{p} ω^{2} t_{n} - y_{p} ω) (v + a t_{n} - x_{p} ω^{2} t_{n} - y_{p} ω)}{c^{2}} + \\ 2 f_{c} \frac{\{R_{0} + v t_{n} + \frac{1}{2} a t_{n}^{2} + x_{p} [1 - \frac{1}{2} (ω t_{n})^{2}] - y_{p} ω t_{n}\} (a - x_{p} ω^{2})}{c^{2}}, (13) \end{matrix} \end{matrix}

式中第一项与传统ISAR采用“一步一停”模型得到的多普勒频率项一致。第二、三项为“一步一停”模型误差,当采用高频率激光作为调制信号后,将使得这两项产生的多普勒频移误差不可忽略,必须进行相应补偿。为了简化分析,考虑到一般情况下,ISAL成像时间T_a<0.1 s,忽略多普勒频移小于半个多普勒分辨率的误差项,(12)式可近似为

\begin{matrix} \begin{matrix} S_{if} (f_{r}, t_{n}) = \sum_{p \in Θ} σ_{p} T_{w} sinc [T_{w} (f_{r} - \frac{2 K_{r}}{c} x_{p})] rect (\frac{t_{n}}{T_{a}}) \exp (j \frac{4 π}{λ_{c}} y_{p} ω t_{n}) \cdot \\ \exp [- j \frac{4 π}{λ_{c}} (v t_{n} + \frac{1}{2} a t_{n}^{2} - \frac{1}{2} x_{p} ω^{2} t_{n}^{2} + \frac{R_{0} a t_{n}}{c} + \frac{v^{2} t_{n}}{c} + \frac{3 va t_{n}^{2}}{2 c})], (14) \end{matrix} \end{matrix}

式中λ_c为调制激光初始波长。

由(14)式可知,影响ISAL方位向成像的误差主要包括:1)平动误差vt_n+a $\begin{matrix} t_{n}^{2} \end{matrix}$ /2;2)转动误差-x_pω² $\begin{matrix} t_{n}^{2} \end{matrix}$ /2;3)“一步一停”模型误差R₀at_n/c+v²t_n/c+3va $\begin{matrix} t_{n}^{2} \end{matrix}$ /(2c)。假设目标的运动参数为:距离R₀=5000 m,速度v=100 m·s^-1,加速度a=20 m·s^-2,转动角速度ω=0.015 rad·s^-1,相干处理时间T_a=0.0775 s,则平动误差、转动误差和“一步一停”模型误差的最大误差分别可达6.33×10⁷λ_c、2.74λ_c和2.31×10²λ_c。传统ISAL成像算法主要采取平动误差和转动误差分离补偿的策略,由于平动误差远大于转动误差,因此在进行平动误差补偿时,即使是存在较小的残余误差都会严重影响接下来的转动误差补偿。同时传统ISAL成像算法没有考虑模型误差,或者考虑不全面,这会进一步影响ISAL图像的聚焦程度。采用基于Nelder-Mead单纯形法和拟牛顿法的联合补偿成像算法后,可同时补偿平动误差、转动误差和“一步一停”模型误差,并减小残余误差。对(14)式采用联合补偿成像算法后得到

\begin{matrix} S_{if} (f_{r}, t_{n}) = \sum_{p \in Θ} σ_{p} T_{w} sinc [T_{w} (f_{r} - \frac{2 K_{r}}{c} x_{p})] rect (\frac{t_{n}}{T_{a}}) \exp (j \frac{4 π}{λ_{c}} y_{p} ω t_{n}), (15) \end{matrix}

(15)式对慢时间t_n进行傅里叶变换(FT)后,获得高分辨率ISAL二维图像,

\begin{matrix} \begin{matrix} S_{if} (f_{r}, f_{a}) = & \sum_{p \in Θ} σ'_{p} sinc [T_{w} (f_{r} - \frac{2 K_{r}}{c} x_{p})] sinc [T_{a} (f_{a} - \frac{2 ω}{λ_{c}} y_{p})], (16) \end{matrix} \end{matrix}

式中f_a为ISAL方位向频率域坐标,σ'_p=σ_pT_WT_a。

ISAL成像算法流程图如图2所示。

图 2. ISAL成像过程的基本流程图

Fig. 2. Basic flowchart of the imaging process for ISAL

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3 ISAL成像优化补偿算法

图像的熵作为联合补偿成像算法中的ISAL图像评价函数,已经在许多文献中得到成功应用^[12,15]。图像的熵定义为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} Φ_{g} (\tilde{α}, \tilde{β}, \tilde{γ}, \tilde{ϕ}) = \overset{N}{\sum_{n' = 1}} \overset{M}{\sum_{m = 1}} [- \frac{{|g (n', m; \tilde{α}, \tilde{β}, \tilde{γ}, \tilde{ϕ})|}^{2}}{E_{g}} \ln \frac{{|g (n', m; \tilde{α}, \tilde{β}, \tilde{γ}, \tilde{ϕ})|}^{2}}{E_{g}}] \\ E_{g} = \overset{N}{\sum_{n' = 1}} \overset{M}{\sum_{m = 1}} {|g (n', m; \tilde{α}, \tilde{β}, \tilde{γ}, \tilde{ϕ})|}^{2} \end{matrix}, (17) \end{matrix}

式中E_g为图像强度平均值,g(n',m; $\begin{matrix} \tilde{α} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} \tilde{β} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} \tilde{γ} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} \tilde{ϕ} \end{matrix}$ )=S(n',m)C( $\begin{matrix} \tilde{α} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} \tilde{β} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} \tilde{γ} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} \tilde{ϕ} \end{matrix}$ )为补偿后的ISAL图像,S(n',m)为(14)式表示的待补偿ISAL图像,C( $\begin{matrix} \tilde{α} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} \tilde{β} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} \tilde{γ} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} \tilde{ϕ} \end{matrix}$ )为误差补偿项。依据(14)式误差补偿项C可写为

\begin{matrix} \begin{matrix} C (\tilde{α}, \tilde{β}, \tilde{γ}, \tilde{ϕ}) = \exp [j (\tilde{α} t_{n} + \tilde{β} {t_{n}}^{2} - \tilde{γ} x_{p} {t_{n}}^{2} + \tilde{ϕ})] 。 (18) \end{matrix} \end{matrix}

补偿变量 $\begin{matrix} \tilde{α} \end{matrix}$ 、 $\begin{matrix} \tilde{β} \end{matrix}$ 、 $\begin{matrix} \tilde{γ} \end{matrix}$ 、 $\begin{matrix} \tilde{ϕ} \end{matrix}$ 分别为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} \tilde{α} = \frac{4 π}{λ_{c}} (v + \frac{v^{2}}{c} + \frac{R_{0} a}{c}) \\ \tilde{β} = \frac{2 π}{λ_{c}} a (1 + \frac{3 v}{c}) \\ \tilde{γ} = \frac{2 π}{λ_{c}} ω^{2} \\ \tilde{φ} = {({\tilde{ϕ}}_{1}, {\tilde{ϕ}}_{2}, \dots, {\tilde{ϕ}}_{N})}^{T} \end{matrix}, (19) \end{matrix}

式中 $\begin{matrix} {\tilde{ϕ}}_{i} \end{matrix}$ ,i=1,2,…,N为N维行向量,表示脉间残余误差。

由于图像的熵Φ_g是一个关于补偿变量 $\begin{matrix} \tilde{α} \end{matrix}$ 、 $\begin{matrix} \tilde{β} \end{matrix}$ 、 $\begin{matrix} \tilde{γ} \end{matrix}$ 、 $\begin{matrix} \tilde{ϕ} \end{matrix}$ 的非线性函数,因此所提出的联合补偿成像算法将分两步对ISAL图像的误差进行估计与补偿。首先采用Nelder-Mead单纯形法对Φ_g进行全局优化迭代求解补偿变量 $\begin{matrix} \tilde{α} \end{matrix}$ 、 $\begin{matrix} \tilde{β} \end{matrix}$ 、 $\begin{matrix} \tilde{γ} \end{matrix}$ ,此时已知的运动误差可以得到补偿。然后针对全局优化后的微小残余误差,采用基于BFGS公式的拟牛顿法对Φ_g求解补偿变量 $\begin{matrix} \tilde{ϕ} \end{matrix}$ ,从而将高阶运动误差以及大气湍流、机械振动、激光相位抖动等因素引入的随机误差补偿掉。

3.1 基于Nelder-Mead单纯形法的全局优化补偿

全局优化补偿算法的思想在于尝试采用不同策略搜索大部分的可能解,在迭代搜索过程中,评价函数可能会暂时恶化,但是随着迭代搜索过程的进行,搜索解会逐渐逼近全局最优解,从而避免陷入局部极值,导致误差估计不准确,补偿效果不理想。常用的全局最优化方法有Nelder-Mead单纯形法、模拟退火法、粒子群方法和遗传算法等。本文选取Nelder-Mead单纯形法作为全局优化补偿算法。

首先定义单纯形的概念。在ISAL全局优化补偿过程中,单纯形是由4个点集确定的几何对象。这4个点集可用4个三维向量空间p₀、p₁、p₂、p₃表示,并且满足行列式det $\begin{matrix} (\begin{matrix} p_{0} & p_{1} & p_{2} & p_{3} \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}) \end{matrix}$ ≠0,其中不同点p_i= $\begin{matrix} ({\tilde{α}}_{i}, {\tilde{β}}_{i}, {\tilde{γ}}_{i})^{T} \end{matrix}$ 代表不同的迭代次数对应的补偿变量集合,每个点的元素的大小代表补偿变量 $\begin{matrix} {\tilde{α}}_{i} \end{matrix}$ 、 $\begin{matrix} {\tilde{β}}_{i} \end{matrix}$ 、 $\begin{matrix} {\tilde{γ}}_{i} \end{matrix}$ 的大小。

Nelder-Mead单纯形法的基本搜索思想可表述为:先初始化单纯形p₀、p₁、p₂、p₃,然后在每一次迭代中计算单纯形每个点的目标函数Φ_g(p),将具有最大目标函数的点用其他点替代。重复迭代更新单纯形直至其收敛到函数最小值附近。

基于Nelder-Mead单纯形法的全局最优化补偿算法流程为:1)初始化单纯形p₀、p₁、p₂、p₃。2)对k = 1,2,3,…。①对单纯形p₀、p₁、p₂、p₃进行排序以满足Φ_g(p₀)≤Φ_g(p₁)≤Φ_g(p₂)≤Φ_g(p₃)。②计算3个最佳点(三个较小目标函数对应的单纯形点)的中心p_g= $\begin{matrix} \overset{2}{\sum_{i = 0}} \end{matrix} \begin{matrix} \frac{p_{i}}{3} \end{matrix}$ 。③将最大点p₃沿p₃p_g方向关于p_g反射,获得反射点p_r=p_g+ρ(p_g-p₃),ρ为反射系数。④根据反射点p_r和最大点p₃所对应目标函数的大小关系更新最大点p₃。⑤判断单纯形是否收敛至全局最小值,若是,结束迭代,否则,继续迭代。关于最大点p₃更新的详细说明可参考文献[ 16]。

在经过若干次全局搜索迭代后,得到收敛点p₀,将p₀中不同元素值作为补偿变量 $\begin{matrix} {\tilde{α}}_{i} \end{matrix}$ 、 $\begin{matrix} {\tilde{β}}_{i} \end{matrix}$ 、 $\begin{matrix} {\tilde{γ}}_{i} \end{matrix}$ 进行误差补偿,可获得较为清晰的ISAL图像。

3.2 基于BFGS公式的拟牛顿法残余误差补偿

拟牛顿法是非线性问题优化求解中广泛使用的一类最优化方法。它适用于优化目标函数的海森矩阵(包含对目标函数的二阶微分)难以计算的场合。拟牛顿法的基本思想是对目标函数某个点附近做二次多项式近似,求解该二次多项式的最低点作为目标函数的最小值,然后重复迭代直至收敛到局部极小值。

设经过全局补偿后的ISAL图像为g₁,图像的熵为拟牛顿法的目标函数Φ_g1(X),残余误差补偿项 $\begin{matrix} \tilde{ϕ} \end{matrix}$ 为优化解X= $\begin{matrix} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N})^{T} \end{matrix}$ 。目标函数的梯度为

\begin{matrix} \nabla Φ_{g 1} = {(\frac{\partial Φ_{g 1}}{\partial x_{1}}, \frac{\partial Φ_{g 1}}{\partial x_{2}}, \dots, \frac{\partial Φ_{g 1}}{\partial x_{N}})}^{T}, (20) \end{matrix}

式中Φ_g1的第i个偏导数可由下式确定:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{\partial Φ_{g 1}}{\partial x_{i}} = - \frac{2}{E_{g}} \overset{N}{\sum_{n' = 1}} \overset{M}{\sum_{m = 1}} \\ [(1 + \ln {|g_{1}|}^{2}) \cdot Re (g_{1}^{*} \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{i}})], (21) \\ \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{i}} = \overset{N}{\sum_{n = 1}} j A_{i} g_{1} \exp (jX) \exp (j 2 π \frac{nn'}{N}), (22) \end{matrix} \end{matrix}

Re(·)为取实部操作, $\begin{matrix} g_{1}^{*} \end{matrix}$ 为g₁的共轭,A_i为第i行为1,其余行全为0的N×M矩阵。

优化解X的迭代更新可通过线搜索方法计算:

\begin{matrix} X_{u + 1} = X_{u} + α_{u} p_{u}, (23) \end{matrix}

式中α_u和p_u分别为搜索步长和搜索方向。α_u可由Wolfe条件^[17]得到,而p_u通过求解下式获取:

\begin{matrix} B_{u} p_{u} = - \nabla Φ_{g 1} 。 (24) \end{matrix}

Hessian矩阵B_u可通过BFGS近似公式计算,

\begin{matrix} B_{u + 1} = B_{u} - \frac{(B_{u} p_{u}) (B_{u} p_{u})^{T}}{{s^{T}}_{u} B_{u} s_{u}} + \frac{y_{u} {y^{T}}_{u}}{{y^{T}}_{u} s_{u}}, (25) \end{matrix}

式中s_u=X_u+₁-X_u,y_u=ÑΦ_g(X_u₊₁)-ÑΦ_g(X_u)。

基于BFGS公式的拟牛顿法流程为:1)确定优化问题解的初值X₀和初始海森矩阵近似B₀。2)对u=0,1,2,…。①判断X_u是否是最优解?如果最优,终止迭代过程。②由(24)式求解搜索方向p_u。③由Wolfe条件确定搜索步长α_u。④采用线搜索方法更新解X_u₊₁。⑤计算s_u和y_u。⑥采用BFGS更新(25)式计算B_u。

经过迭代优化搜索后,得到残余误差补偿项 $\begin{matrix} \tilde{ϕ} \end{matrix}$ ,对g₁补偿残余误差,得到最终的高分辨率ISAL二维图像。

4 仿真实验

4.1 ISAL目标模型与系统参数设置

假设ISAL目标为缩小的B727飞机模型,如图3(a)所示,图中不同点的分布代表目标上的不同散射点。若目标绕其z轴做水平旋转运动,所得到的ISAL图像是该目标在由距离向x轴-旋转中心-方位向y轴所构成的平面上的投影,如图3(b)所示。该模型距离向长度约为0.67 m,方位向宽度约为0.44 m。点的颜色代表散射点对激光脉冲的不同反射率。表1给出了目标的几何尺寸和运动参数。表2为ISAL系统的工作参数,其中激光雷达采用LFM调制方式发射调频激光脉冲。

图 3. B727模型。(a)三维坐标系;(b)二维坐标系

Fig. 3. B727 model. (a) 3D coordinate system; (b) 2D coordinate system

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表 1. 目标几何尺寸和运动参数

Table 1. Geometry and motion parameters of target

Parameter	Value
Length in the x direction Δx /m	0.67
Width in the y direction Δy /m	0.44
Velocity along the x direction v /(m·s^-1)	100
Acceleration along the x direction a /(m·s^-2)	20
Rotational angular velocity ω /(rad·s^-1)	0.015

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表 2. ISAL系统工作参数

Table 2. Operating parameters of ISAL system

Parameter	Value
Initial wavelength λ_c /nm	1550
Modulation bandwidth B /GHz	150
Pulse width T_w /μs	3
Repetition interval T_PRI /μs	77.5
Sampling rate f_s /MHz	333
Range cell M	1000
Pulse number N	1000

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4.2 ISAL成像仿真

根据4.1节介绍的ISAL目标参数和系统工作参数,利用(7)式生成回波信号和本振信号后,经过光外差探测得到光外差信号,并对其沿快时间做IFT,得到原始的ISAL距离像,如图4(a)所示。图中x轴代表距离向,y轴代表方位向,每一个与x轴平行的图像代表对应不同慢时间(即方位向坐标)的一维ISAL距离像。由图4可知,包含ISAL目标信息的信号区间在不同的慢时间t_n上会出现距离漂移现象,目标速度越快,加速度越大,在图中对应距离像越倾斜弯曲。经过对RVP项以其他两个误差项进行补偿后,通过距离对齐操作,得到距离对齐的ISAL距离像,如图4(b)所示。此时ISAL图像在距离向上已经对齐,不同距离向上的点强度值代表了目标散射点对应的光强度。而在方位向上,由于平动误差、转动误差和“一步一停”模型误差的存在,无法通过沿慢时间做FT直接得到方位坐标,需要利用所提出的联合补偿成像算法完成运动补偿。

采用所提出的基于Nelder-Mead单纯形法和拟牛顿法分别对ISAL信号进行全局补偿和残余误差补偿,并利用图像的熵作为提出算法的评价函数。图5展示了全局补偿和残余误差补偿过程中图像熵随着优化迭代次数的变化情况。从图5(a)可以看到,图像的熵在经过大约150次迭代后开始逼近全局最优值。在逼近全局最优值之前,尤其是前50次迭代过程,熵变化较大,这是因为采用Nelder-Mead单纯形法在搜索迭代解的过程中会采取不同策略更新单纯形的点集。在此过程中允许出现暂时的评价函数恶化,但随着迭代的进行,解将逐渐逼近全局最优解。图5(b)展示了利用拟牛顿法补偿残余误差时图像熵的变化情况。仿真过程中未考虑大气湍流、系统抖动等随机误差的影响,因此该图像熵进一步减小说明了所提出的ISAL成像模型存在着未在全局优化过程中补偿掉的高阶运动模型误差,这部分误差可以通过残余误差补偿过程得到补偿。

图 4. (a)原始的ISAL距离像;(b)距离对齐的ISAL距离像

Fig. 4. (a) Initial ISAL range image; (b) ISAL range image after range alignment

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图 5. (a)全局补偿和(b)残余误差补偿图像熵随迭代次数的变化

Fig. 5. Entropy of ISAL image against iteration number for (a) global compensation and (b) residual error compensation

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对经过补偿后的ISAL信号沿慢时间t_n方向做FT,得到距离向和方位向均聚焦的ISAL二维图像,如图6(a)所示。作为算法比较结果,图6(b)展示了采用传统的平动、转动分离补偿算法^[18]得到的ISAL图像。图中的ISAL图像是以分贝为单位的灰度图像展示的。两类算法计算得到的ISAL图像的熵分别为5.31和5.67。由于平动误差和转动误差相互耦合,平动误差校正效果不理想,残余误差影响转动误差补偿精度,从而无法准确计算转动角速度参量,对ISAL图像的方位向坐标完成单位变换。仿真对照实验说明了本文提出的基于Nelder-Mead单纯形法和拟牛顿法的联合补偿成像算法相比传统平动、转动分离补偿算法具有一定的优越性,所得到的ISAL图像品质更好。

图 6. (a)本文算法和(b)传统成像算法得到的ISAL图像

Fig. 6. ISAL image obtain by (a) proposed method and (b) traditional method

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4.3 ISAL目标运动参数估计

传统ISAL成像算法在进行转动误差补偿时通常是对该误差进行估计,没有准确计算相应的转动参数,从而无法实现方位向坐标单位变换,确定目标的方位坐标。因此介绍所提出的联合补偿成像算法对转动角速度ω的估计结果和精度,其较为准确的估计精度可以为后续的ISAL方位向单位变换提供保证。

设置目标的平动参数为速度v=100 m·s^-1,加速度a=20 m·s^-2。由于目标的速度和加速度两个运动参量可以由距离对齐估计得比较准确,因此仿真实验主要检验所提出算法对转动角速度ω的估计精度。设置目标的转动角速度ω∈[0.014,0.03],重复随机实验30次,计算全局优化补偿算法对该参数的估计精度。计算结果如图7所示,其中图7(a)展示了30次随机实验中转动角速度的估计情况,图中的红圈和蓝星分别表示不同随机实验中转动角速度的真实值和估计值,图7 (b)则是对应的估计相对误差。从图7可以看出,基于Nelder-Mead单纯形法的全局优化补偿算法对转动角速度的估计精度较高,绝大多数情况下估计得到的转动角速度相对误差均在±4%以内,由此可以对ISAL图像的方位向坐标进行高精度的单位变换,即利用y_P=f_aλ_c/(2ω)关系将ISAL图像的方位向坐标从多普勒频率域f_a转换到空间域y_P,从而为目标的识别与分类提供便利。

图 7. (a)转动角速度的真实值和估计值随实验次数的变化;(b)转动角速度的估计精度随实验次数的变化

Fig. 7. (a) True value and estimates of rotational angular velocity against test number; (b) relative error of rotational angular velocity against test number

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5 结论

针对ISAL调制信号具有高频率、大带宽的特性,建立了精确的成像模型,推导并分析了影响ISAL成像质量的三类误差。分析传统ISAL成像算法采用平动误差和转动误差分离补偿时存在的问题,提出了采用Nelder-Mead单纯形法对三类误差进行全局联合补偿,然后利用拟牛顿法补偿残余误差的高分辨率ISAL成像算法。在仿真实验中,利用Nelder-Mead单纯形法和拟牛顿法分别补偿ISAL信号的已知运动误差和残余误差,获得清晰的ISAL二维图像。通过与传统平动、转动分离补偿算法得到的ISAL图像比较,验证了所提出算法的有效性。在转动角速度参量估计仿真实验中,计算得到的目标运动参数与真实值比较接近,验证了算法的可靠性与准确性。

参考文献

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1 引言

2 ISAL精确成像模型

3 ISAL成像优化补偿算法

3.1 基于Nelder-Mead单纯形法的全局优化补偿

3.2 基于BFGS公式的拟牛顿法残余误差补偿

刘盛捷, 付翰初, 魏凯, 张雨东. 基于Nelder-Mead单纯形法的逆合成孔径激光雷达联合补偿成像算法[J]. 光学学报, 2018, 38(7): 0711002. Shengjie Liu, Hanchu Fu, Kai Wei, Yudong Zhang. Jointly Compensated Imaging Algorithm of Inverse Synthetic Aperture Lidar Based on Nelder-Mead Simplex Method[J]. Acta Optica Sinica, 2018, 38(7): 0711002.

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1 引言

2 ISAL精确成像模型

图 1. ISAL模型

Fig. 1. Model of ISAL

图 2. ISAL成像过程的基本流程图

Fig. 2. Basic flowchart of the imaging process for ISAL

3 ISAL成像优化补偿算法

3.1 基于Nelder-Mead单纯形法的全局优化补偿

3.2 基于BFGS公式的拟牛顿法残余误差补偿

4 仿真实验

4.1 ISAL目标模型与系统参数设置

图 3. B727模型。(a)三维坐标系;(b)二维坐标系

Fig. 3. B727 model. (a) 3D coordinate system; (b) 2D coordinate system

表 1. 目标几何尺寸和运动参数

Table 1. Geometry and motion parameters of target

表 2. ISAL系统工作参数

Table 2. Operating parameters of ISAL system

4.2 ISAL成像仿真

图 4. (a)原始的ISAL距离像;(b)距离对齐的ISAL距离像

Fig. 4. (a) Initial ISAL range image; (b) ISAL range image after range alignment

图 5. (a)全局补偿和(b)残余误差补偿图像熵随迭代次数的变化

Fig. 5. Entropy of ISAL image against iteration number for (a) global compensation and (b) residual error compensation

图 6. (a)本文算法和(b)传统成像算法得到的ISAL图像

Fig. 6. ISAL image obtain by (a) proposed method and (b) traditional method

4.3 ISAL目标运动参数估计

图 7. (a)转动角速度的真实值和估计值随实验次数的变化;(b)转动角速度的估计精度随实验次数的变化

Fig. 7. (a) True value and estimates of rotational angular velocity against test number; (b) relative error of rotational angular velocity against test number

5 结论

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1 引言

2 ISAL精确成像模型

图 1. ISAL模型

Fig. 1. Model of ISAL

图 2. ISAL成像过程的基本流程图

Fig. 2. Basic flowchart of the imaging process for ISAL

3 ISAL成像优化补偿算法

3.1 基于Nelder-Mead单纯形法的全局优化补偿

3.2 基于BFGS公式的拟牛顿法残余误差补偿

4 仿真实验

4.1 ISAL目标模型与系统参数设置

图 3. B727模型。(a)三维坐标系;(b)二维坐标系

Fig. 3. B727 model. (a) 3D coordinate system; (b) 2D coordinate system

表 1. 目标几何尺寸和运动参数

Table 1. Geometry and motion parameters of target

表 2. ISAL系统工作参数

Table 2. Operating parameters of ISAL system

4.2 ISAL成像仿真

图 4. (a)原始的ISAL距离像;(b)距离对齐的ISAL距离像

Fig. 4. (a) Initial ISAL range image; (b) ISAL range image after range alignment

图 5. (a)全局补偿和(b)残余误差补偿图像熵随迭代次数的变化

Fig. 5. Entropy of ISAL image against iteration number for (a) global compensation and (b) residual error compensation

图 6. (a)本文算法和(b)传统成像算法得到的ISAL图像

Fig. 6. ISAL image obtain by (a) proposed method and (b) traditional method

4.3 ISAL目标运动参数估计

图 7. (a)转动角速度的真实值和估计值随实验次数的变化;(b)转动角速度的估计精度随实验次数的变化

Fig. 7. (a) True value and estimates of rotational angular velocity against test number; (b) relative error of rotational angular velocity against test number

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