1 引言

在实际激光应用中,人们常常需要将激光光强分布加以整形,如整形成平顶环状、缓变环形光束等。传统的光学元件较难实现这种转换,而且计算全息法效率低下。衍射光学元件能充分有效地产生任意光强分布形状的光波波前^[1-3],目前已有许多种优化算法被应用到衍射光学元件(DOE)的设计中,如Gerchberg-Saxton(G-S)算法^[4]、改进的G-S算法^[5]、杨-顾算法^[6-7]、模拟退火算法^[8-9]和遗传算法^[10]。

本文采用G-S算法对衍射光学元件进行设计。根据采样定理可知,输出平面上的采样间隔不够小,只有被选取的离散采样点上的强度分布是严格由这些优化算法控制的,输出平面上其他位置的光强分布往往不能达到实际需要的光强分布^[11]。在优化过程中,由优化算法严格求解的点数量有限,使得设计结果在实际实验时不理想,出现许多散斑。因此,人们十分关注减小散斑的方法,并对其进行了深入研究。虽然研究者已经提出了各种抑制散斑的方法^[12-13],但这些方法在使用过程中通常还需要辅助措施,并且还没有人采用对衍射光学元件设计的源头加以改进的措施来消除散斑效应。

本文提出了新的改进G-S算法,在充分考虑散斑抑制的基础上,设计了用于将He-Ne激光(波长为660 nm)平面波光束转换成环形光束的衍射光学元件,计算得到的此衍射光学元件的能量利用率为89%,输出平面环上的均匀性达到了15.5%。用He-Ne激光作为输入光源,对所设计的衍射光学元件的整形效果进行实验,实验结果与数值模拟结果一致。与文献中未考虑散斑抑制的改进G-S算法进行比较^[5],实验结果和数值模拟结果都表明,本文的设计结果取得了良好的抑制散斑的效果。

2 算法

采用快速傅里叶变换(FFT)和G-S算法进行光束整形器件的设计,采样间隔Δ在输出平面上为λf/D,其中,λ为入射激光的波长,f为傅里叶变换透镜的焦距,D为衍射光学元件的尺寸。假设在输入平面上的采样点数为N×N,则在输出平面上的采样点的数量也是N×N,为了在输出平面上得到更多的取样点,将输出平面的取样间隔Δ加密,变为2λF/D,则在输出平面上相同区域内的采样点数将为2N×2N,这样就比传统算法(采样间隔为λF/D)在输出平面上选择的取样点多了3N²个。如果输入平面上的取样点也变为2N×2N,但输入平面取样间隔没变,则输入平面的大小需要扩展为原来的2×2倍,比实际衍射光学元件多出来的扩充区域上的光强分布为零。

计算区域示意图如图1所示。图1(a)为输入平面,中间的黄色区域是衍射光学元件区域,将其记为区域Ⅰ,边缘的蓝色区域是延伸扩展区域,记为区域Ⅱ。图1(b)为输出平面,中间的黄色区域是所需的整形光束,记为区域Ⅲ,边缘的蓝色区域记为区域Ⅳ,区域Ⅲ和区域Ⅳ合起来就是整个输出平面的计算采样区。

图 1. 计算区域示意图。(a)输入平面;(b)输出平面

Fig. 1. Schematics of computational area. (a) Input plane; (b) output plane

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为了得到更好的结果,所提算法放宽了对扩展区域零振幅的约束,扩展区域的振幅在迭代开始时不是零,而是在迭代过程中逐渐减小到零。输入平面扩展区域中的振幅如何设置与设计效果直接相关,所提算法做以下考虑:1)为了收敛到更好的解,输入平面上扩展区域的振幅在迭代计算过程中与输出平面上的强度分布相关。2)在迭代过程中,扩展区域的幅度合理地逐渐减小。当幅度减小缓慢时,很容易陷入局部最优;当幅度减小较快时,迭代将不收敛。

迭代优化过程描述如下:

1) 在输入平面上设定理想的初始幅值和随机相位分布,输入平面上的初始振幅为

Iin(1)=Iin(1),areaⅠ0,areaⅡ,(1)

式中: Iin(1)为入射光在输入平面上的强度分布。输入平面的初始相位为0~2π的2N×2N个随机数。入射光在输入平面上的初始复振幅为

Uin(1)=Iin(1)exp[iφin(1)],(2)

式中: φin(1)为入射光在输入平面上的初始相位分布。

输出平面上期望得到的振幅分布为

At=Is,areaⅢ0,areaⅣ,(3)

式中:I_s为输出平面上的期望强度分布,下标s表示期望达到的设计结果;A_t为输出平面上的期望振幅分布。由输出平面上期望得到的振幅分布可知输出的是平顶环形光束。

2) 迭代过程如下:

Uout(k)=F[Uin(k)],(4)Imean(k)=1M∑m=1MUout(k)2,(5)ε(k+1)=ε(k)Imean(k)Uout(k)γ,areaⅢ0,areaⅣ,(6)Uout'(k+1)=ε(k+1)Isexp{iarg[Uout(k)]},(7)φin(k+1)=arg{F-1[Uout'(k+1)]},(8)Ain'(k+1)=Iin(1),areaⅠαF-1[Uout(k+1)],areaⅡ,(9)Uin(k+1)=Ain'(k+1)exp[iφin(k+1)],(10)FRMSE(k)=∑m=1M[Uout(k)2-Imean(k)]2/∑m=1M[Imean(k)]2,(11)

式中: Uin(k)为输入平面上的复振幅分布; Uout(k)为输出平面上的复振幅分布; Uout'(k)为输出平面上修改的复振幅分布; φin(k)为输入平面上的相位分布; Ain'(k)为输入平面上修改的振幅; Imean(k)为目标区域的平均强度(区域Ⅲ);上标k为迭代次数,下标in表示在输入平面上的物理量,下标out表示在输出平面上的物理量,下标mean表示该物理量的平均值;ε^(k)是k次迭代的输出平面上的幅度校正系数;由(11)式定义的迭代过程中的方均根误差F_RMSE用来比较光束整形设计的性能参数,样点序号m=1, 2, …,M,M为目标区域(区域Ⅲ)中采样点的数目;γ是给定的小于1的常数;α是给定的小于1的常数。

3) 在迭代中,按照(9)式设置区域Ⅱ的振幅。实际上,区域Ⅱ的振幅为零,所以,根据每一步得到的输入平面上的相位结合区域Ⅱ的振幅为零的情况再计算输出平面上的光强,由该强度分布就可计算出方均根误差F_RMSE和能量利用率是真实值。

4) 回到步骤2)、3),从最后一个周期得到的相位分布是k+1次迭代的初始阶段。

根据设计经验,α应尽可能小,以确保面积Ⅱ的振幅值对输出平面的影响不大。同时,α也不能太小,否则,计算结果不合理,甚至不会收敛。在本研究中,α取0.35,γ应小于1,根据设计经验取0.8。

在衍射光学元件设计方面,与通常的改进G-S算法不同的是,所提算法采用了输入平面计算区域扩展和输出平面采样精细化,研究并合理地设置输入平面虚拟扩展区域的振幅,以确保计算收敛,并得到尽可能均匀的平顶环形光斑。

输入平面计算区域的扩展以及输出平面的精细化采样是为了有效消除散斑,由于扩展的虚拟区域参与了计算,所以在该区域也产生了复振幅分布,并会对优化结果产生影响,这与实际不符合。如此设计出的相位分布在实际情况下会使得光斑的均匀性变差。为了使虚拟区域的复振幅极有利于优化,既可以收敛,又尽可能与实际情况(值为0)接近,所提算法一方面使虚拟区域的复振幅与上一轮迭代中的结果有关,另一方面通过附加系数使其逐渐减小。

3 设计结果

很多优化算法得到的仿真结果可以满足光束整形的精度要求,但实验结果却相去甚远,这是因为有激光散斑的存在。由于衍射光学元件的相位分布是“随机”的,这使得每个单元的相位延迟不同,从而在衍射区产生相干相长和相干相消,进而产生大量的激光散斑。传统的优化算法虽然控制了采样点处的光强分布,但却未能有效地控制非采样点处的激光散斑。

采用传统优化算法和所提出改进算法对环形光束整形光学元件进行设计,并对设计结果进行对比。设衍射光学元件的参数如下:像素尺寸Δx₀=Δy₀=8 μm,像素数N_x=N_y=512, 傅里叶透镜焦距为100 mm,入射激光波长为660 nm。输出平面上的设计光斑是内径为0.51 mm、外径为1.02 mm的环形均匀光斑。

图2(a)是传统的改进G-S算法的迭代过程,图中右上角的小图是其局部放大图。图2(a)显示,传统的改进G-S算法很容易收敛,但是其结果在加倍采样后,会出现非常严重的散斑,光斑均匀性参数的方均根误差RMSE由0.11%变为88.4%。图2(b)是所提算法的迭代过程,图中右上角的小图是其局部放大图。由图2(b)可见:在采用精细化采样,并合理设置输入平面扩展区域的振幅及其变化的情况下,迭代收敛;当虚拟区域变为0后(红线),输出平面上光斑的均匀性变化较小。

图 2. 不同算法下的迭代过程。(a)传统的改进G-S算法;(b)所提算法

Fig. 2. Iterative process for different algorithms. (a) Conventional improved G-S algorithm; (b) proposed algorithm

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图3(a)是二维光强分布的仿真结果,图3(b)是三维光强分布的仿真结果,每个光强分布均经过光强平均值等于1的归一化处理。图3(a)所示二维图的尺寸为2232 μm×2232 μm。从仿真结果可知,计算得到的环形光斑均匀性的RMSE为0.11%。可以看出,设计的光斑均匀,并没有激光散斑。事实上,图3所显示的衍射图案仅仅是采样点上的光强分布,在其他非采样点上的光强分布并未显示,所以基于该方法设计的相位分布,如果采样加倍,把非采样点的输出平面上的光强分布同时计算出来,就会发现散斑现象非常严重。图4为采用传统的改进G-S算法设计的相位在采样加倍后得到的结果,可以发现,均匀性的RMSE变差,为88%。图4(a)所示二维图的尺寸为2232 μm×2232 μm。

图 3. 采用传统的改进G-S算法得到的光强分布。(a)二维光强分布;(b)三维光强分布

Fig. 3. Intensity distributions obtained with conventional improved G-S algorithm. (a) Two-dimensional intensity distribution; (b) three-dimensional intensity distribution

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图 4. 采用传统的改进G-S算法设计的相位在加倍采样后的光强分布。(a)二维光强分布;(b)三维光强分布

Fig. 4. Intensity distributions of the phase designed by the conventional improved G-S algorithm after double sampling. (a) Two-dimensional intensity distribution; (b) three-dimensional distribution

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图5是采用所提算法设计并计算得到的环形光斑的光强分布。图5(a)为二维光强分布的仿真结果,图5(a)所示二维图的尺寸为2232 μm×2232 μm,图5(b)为三维光强分布的仿真结果。可以看出,在精细化采样后,合理地设置了虚拟区域的虚拟振幅[(9)式]。在这种情况下,最终迭代的光斑均匀性指标的RMSE为15.5%,并且没有明显的激光散斑,大大提高了环形光束的整形精度,能量利用率为89%。

图 5. 所提算法得到的环形光斑的光强分布。(a)二维光强分布;(b)三维光强分布

Fig. 5. Intensity distributions of circle-spot obtained with proposed algorithm. (a) Two-dimensional intensity distribution; (b) three-dimensional intensity distributions

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4 实验结果

实验光路和装置示意图如图6所示。衍射光学元件采用Holoeye PLUTO反射型纯相位空间光调制器(SLM),SLM的像素数为1920 pixel×1080 pixel,像素尺寸为8 μm×8 μm,采用两种方法设计并最终加载到SLM上的相位分布如图7所示,该相位分布占据像素位数为512 pixel×512 pixel。采用美国相干公司生产的COHERENT Laser Cam-HR图像传感器电荷耦合元件(CCD)记录L₂焦面上的光强分布,CCD像素数为1280 pixel×1024 pixel,像素尺寸为6.7 μm×6.7 μm。透镜焦距为100 mm。为防止实验结果中的激光散斑太强而致CCD饱和,采用半波片和偏振片组合的方法通过旋转半波片来调节入射SLM的激光功率。

图 6. 实验装置示意图

Fig. 6. Schematic of experimental setup

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图7为导入SLM的相位图,其空间尺寸大小均为4096 μm×4096 μm,图中色度表示相位的值,是从0到2π的值,没有量纲单位。

图 7. 不同算法设计的SLM相位。(a)传统的改进G-S算法;(b)所提算法

Fig. 7. SLM phase designed with different algorithms. (a) Conventional improved G-S algorithm; (b) proposed algorithm

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传统的改进G-S算法和所提算法得到的归一化二维光强分布如图8所示。图8(a)是传统的改进G-S算法得到的实验结果,光斑均匀性指标的RMSE为50%;图8(b)是所提出算法得到的实验结果,光斑均匀性指标的RMSE为17%。表1给出了这两种算法的仿真结果与实验结果。由于CCD像素的空间积分效应,图8(a)中的散斑比图8(b)中的散斑更尖锐,即传统的改进G-S算法的CCD空间积分效应影响明显,所以该算法的实验RMSE优于模拟RMSE。所提算法的散斑小,受零级光斑的影响较大,所以实验RMSE为17%。

图 8. 不同算法下的归一化二维光强分布。(a)传统的改进G-S算法;(b)所提算法

Fig. 8. Normalized two-dimensional intensity distribution obtained with different algorithms. (a) Conventional improved G-S algorithm; (b) proposed algorithm

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图8(b)比较黑,这是因为仿真结果中存在较强的激光散斑,导致整体效果很暗;图8(a)较亮,这是由散斑被抑制造成的。图8中光斑的方形图尺寸均为2056.9 μm×2056.9 μm。

5 结论

在衍射光学元件设计中,考虑到传统的改进G-S算法的仿真结果看似可得到均匀的光斑,但是在加倍采样后会出现严重的散斑现象,本课题组采用精细化采样(输入平面计算区域扩展)来抑制散斑,然而输入平面扩展区域是虚拟的,在计算中振幅为0,如果直接代入0进行迭代计算,则计算不能收敛。因此,需要合理地设置和衰减扩展区域的振幅,使其接近0。本研究提出了合理地设置扩展区域振幅的算法,将扩展区域振幅设置为与输出平面傅里叶逆变换结果相关的值,这样更有利于迭代收敛,起到良好的抑制散斑的作用。采用所提算法进行环形光斑的设计,得到了更高性能的均匀光斑,仿真RMSE为15.5%,实验结果和仿真结果基本符合。通过调整设计参数可以实现不同尺寸的环形光斑,为各种光斑与物质相互作用的研究提供了有用的光源。