基于模分复用的量子密钥分发系统性能分析

黄超; 李云霞; 蒙文; 武天雄

doi:doi:10.3788/LOP57.150604

激光与光电子学进展, 2020, 57 (15): 150604, 网络出版: 2020-08-04

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Performance Analysis of Quantum Key Distribution System Based on Mode Division Multiplexing

论文大纲

黄超李云霞 ^*蒙文 ^**武天雄 ^***

作者单位

空军工程大学信息与导航学院, 陕西西安 710077

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摘要

模分复用技术可实现量子信号与经典光信号的共纤同传。针对量子模分复用同传系统构建同时存在非线性效应和模式耦合的量子密钥生成率模型,通过仿真计算量子密钥生成率与通信距离的关系。仿真结果表明:该系统的最大安全通信距离过短,且与传统量子密钥分发系统的性能相比存在较大差距。因此在此基础上提出基于双诱骗态的量子模分复用同传方案,以增大复用同传的最大安全通信距离。同时为了充分利用光纤信道的资源,对空闲模式信道进行多路量子信号复用传输,进一步改善量子模分复用同传系统的通信性能,缩小与传统的量子密钥分发系统的差距。

Abstract

Mode division multiplexing technology can achieve the co-fiber-transmission technology of quantum signals and classical optical signals. A quantum key generation rate model with simultaneous nonlinear effects and mode coupling is constructed for a quantum mode division multiplexing simultaneous-transmission system. The relationship between the quantum key generation rate and the communication distance is studied by simulation calculations. Simulation results show that the maximum safe communication distance of the system is too short, and there is a big gap compared with the performance of traditional quantum key distribution systems. Accordingly, a quantum mode division multiplexing simultaneous-transmission scheme based on double decoy states is proposed to increase the maximum safe communication distance of multiplexing simultaneous transmissions. Moreover, to make full use of fiber channel resources, multiplex quantum signal multiplexing transmission is performed on an idle mode channel, which improved the communication performance of the quantum mode division multiplexing simultaneous-transmission system and narrowed the gap with the traditional quantum key distribution systems.

1 引言

量子密钥分发(QKD)可以实现无条件安全的通信^[1],其中光纤为传输QKD光子和建立安全密钥提供理想通道。考虑到量子信号的特殊性,目前较为常见的QKD系统都是重新铺设量子专用的光纤线路,这不仅极大地浪费光纤资源,而且提高了QKD的建设成本,不利于量子保密通信的实用化发展。为了充分利用现有光纤通信的基础设施,实现与经典光通信网络的无缝链接,研究人员提出在同一根光纤中同时传输量子信号和经典信号的QKD方案^[2-4]。各类共纤同传方案中,基于模分复用(MDM)的量子信号-经典光信号同传系统利用光纤中模式间的正交性可支持多路信号的稳定传输,且因其采用的少模光纤具有较大的模式有效面积,能够有效降低由非线性效应带来的信号间串扰,所以系统的通信性能得到较大提升^[5]。

实际的量子模分同传系统中,由于光纤的折射率分布不均和制造工艺存在缺陷等,不同模式信道间会产生模式耦合效应^[6]和非线性串扰^[7],这必然会使微弱的量子信号在同传过程中受到大强度经典光信号的串扰影响,从而造成信道噪声的增大,QKD安全码率的降低。一般的QKD系统都是采用弱相干态(WCS)光源或参量下转换光源这类非理想光源来代替单光子光源,上述光源存在一定的概率发送多个光子,则窃听者Eve可通过光子数分离(PNS)攻击来窃取密钥信息,这会破坏系统的安全性。

上述缺陷限制了安全密钥的传输距离,鉴于此,本文基于QKD协议详细分析了量子模分复用同传信道内存在模式耦合和非线性效应时的系统参数情况,进一步构建QKD安全码率模型,并对诱骗态协议下不同的平均光子数进行仿真分析,讨论成码率-距离极限的变化情况,最后在WCS光源诱骗态系统的基础上提出提高量子密钥生成率的多路量子信号复用的方法。

2 量子模分复用系统的参数分析

2.1 光源

理论上,QKD系统中的光源需要采用理想单光子信号源,但这类单光子光源的设备制造困难,实用化进展缓慢,因此系统中量子信号通常来自WCS光源,即将激光器输出光的强度衰减到微弱单光子量级。假设WCS光源是完全随机发出每个脉冲的相位,其光场的光子数分布遵循参数 $λ$ 的泊松分布,则由Alice端发出信号态的密度矩阵^[8]可表示为

ρ_{Alice} = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} p_{n} | n > < n |, (1)

式中:n为光子数;p_n为脉冲中出现n个光子态的概率, $p_{n} = μ^{n} \exp (- μ) / n!, μ$ 为平均光子数。

2.2 信道损伤

信号在少模光纤中进行同传,首先必须要考虑来自光纤介质的吸收和散射损耗。对于模分复用系统来说,还存在来自模分复用器/解复用器等的插入损耗。假设不同模式信道间的信号在传输过程中衰减系数相同,则弱相干脉冲在信道中的通过率为

t = 10^{- \frac{αL + A_{d}}{10}}, (2)

式中:α为少模光纤的衰减系数;L为少模光纤的长度;A_d为模分复用系统中由器件引入的插入损耗。

另外,虽然在理想的少模光纤中,各个模式间完全正交,模式信道间不会相互影响,但由于光纤本身的缺陷,多路信号在复用过程中必然会受到相邻信道间的串扰影响,主要表现在非线性效应及模式耦合效应。以三模量子模分复用同传系统为例,分别将量子信号和经典光信号加载在基模LP₀₁模和LP₁₁模的两个简并模上进行传输。信号在发送方产生后经光纤信道传输,再分别通过模式转换-复用/解复用-模式转换等步骤后在接收方进行探测,最终实现共纤同传。基于偏振编码的三模模分复用QKD系统如图1所示。

此时,量子信号在少模光纤中传输,会受到来自其他两个模式信道的非线性串扰和模式耦合的作用。其中非线性效应导致的功率串扰可表示为

P_{ct} = γL P_{s} N, (3)

式中:γ为非线性系数,由光纤的模式有效面积决定;P_s为经典光信号的功率;N为引起串扰的模式信道数量,系统中N=2。

量子信号受到总的模式耦合^[9]为

C = \overset{M}{\sum_{k = 1}} \overset{N}{\sum_{i = 1}} \frac{1}{ξ^{2}} \int_{0}^{2} \int_{0}^{a} E_{01, k} (r, θ) E_{i, k + 1}^{*} (r', θ') d r d θ, (4)

式中:a为光纤纤芯的半径;ξ为基模的模场半径;少模光纤分段化链路模型中,E_01,_k(r,θ)为第k段光纤分段内LP₀₁模的模场分布,E_i_,_k₊₁(r',θ')为第k+1段内第i个模式的模场分布,即LP_11a模和LP_11b模,*为共轭符号;M为少模光纤的分段数;r为沿半径方向的积分;θ为沿圆周方向的积分。

2.3 计数率及误码率

QKD系统中,Alice端和Bob端间的总传输效率η可表示为

η = s η_{Bob}, (5)

式中:s为信道的传输速率;η_Bob为接收端的传输效率。

给Alice端发送一个包含n个光子态的脉冲,Bob端探测器出现响应的条件概率定义为n个光子态的计数率Y_n。量子模分复用同传系统中,Y_n主要来自三个部分:一是实际量子信号的光子探测计数率;二是暗计数率;三是非线性效应和模式耦合导致的串扰光子计数率。Y_n可表示为

Y_{n} \approx η_{n} + Y_{0} + Y_{crosstalk}, (6)

图 1. 模分复用QKD系统的原理图

Fig. 1. Schematic of mode division multiplexing QKD system

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式中:η_n为信号脉冲在Bob端至少被探测到一个光子态的概率,η_n=1-(1-η)ⁿ;Y₀为暗记数率;Y_crosstalk为串扰光子计数率。QKD系统中发送平均光子数(信号强度)为μ的脉冲时,接收方总的增益 ${Q_{μ}}^{[10]}$ 为

Q_{μ} = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} p_{n} Y_{n} = Y_{0} + (P_{ct} + C) η + 1 - \exp (- ημ) 。 (7)

n个光子态的错误率为

e_{n} = \frac{\frac{1}{2} (Y_{0} + Y_{crosstalk}) + e_{d} η_{n}}{Y_{n}}, (8)

式中:1/2为背景噪声和串扰噪声是完全随机选择的;e_d为信号光子被探测器错误探测到的概率。系统中平均光子数为μ的总的量子误码率(QBER)E_μ可表示为各光子态误码率的加权平均^[8],可表示为

Q_{μ} E_{μ} = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} p_{n} Y_{n} e_{n} = \frac{1}{2} [Y_{0} + (P_{ct} + C) η] + e_{d} [1 - \exp (- ημ)] 。 (9)

3 量子密钥生成率的分析与讨论

基于BB84协议的QKD,其系统中的密钥生成率可用GLLP公式^[11]来表示,即

R_{GLLP} \geq q \{- Q_{μ} f (E_{μ}) H_{2} (E_{μ}) + Q_{1} [1 - H_{2} (e_{1})]\}, (10)

式中:q为BB84协议的效率,此时q=1/2;f(E_μ)为双向纠错效率;Q₁为Alice端发送单光子脉冲时的增益;e₁为单光子脉冲的误码率;H₂(x)为香农熵函数,满足 $H_{2} (x) = - x lb (x) - (1 - x) lb (1 - x) 。$

3.1 WCS光源量子模分同传性能

一般WCS光源的QKD系统存在安全漏洞,所以在这种情况下进行极端假设:Alice端发出的多光子脉冲全部都能够在Bob端探测到,且QBER都来自单光子脉冲^[12]。此时,

\begin{array}{l} Q_{1} = \frac{Q_{μ} - p_{multi}}{Q_{μ}} = 1 - \frac{p_{multi}}{Q_{μ}}, (11) \\ e_{1} = \frac{E_{μ}}{Q_{1}}, (12) \end{array}

式中:p_multi为多光子脉冲的发送概率,由泊松分布可知

p_{multi} = p_{n \geq 2} = \overset{\infty}{\sum_{n = 2}} p_{n} = 1 - \exp (- μ) - μ \exp (- μ) 。 (13)

将(7)式、(9)式、(11)式和(12)式代入(10)式,利用MATLAB软件进行仿真计算,可以得到量子密钥生成率与传输距离的关系。仿真过程中取平均光子数μ=0.004,得到的结果如图2所示。

图 2. 量子密钥生成率与通信距离的关系曲线

Fig. 2. Relationship curves between quantum key generation rate and communication distance

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从图2可以看到,当QKD系统使用WCS光源时,安全通信距离可达40.15 km,当使用模分复用技术进行量子-经典信号同传时,系统的量子密钥生成率显著减小,最大安全通信距离仅为2.7 km。这主要是因为与经典光信号相比,量子信号光非常微弱,光功率大约仅为-70 dBm。由于受到少模光纤中非线性效应和模式耦合的影响,较强的经典光信号功率会串扰到量子信号模式信道内,在量子信道内表现为信道噪声,严重限制QKD的成码率-距离极限。

为了提高量子模分同传系统的通信性能,对光源的平均光子数μ进行调整。图3为几种不同的平均光子数μ=0.010,0.015,0.020,0.025,0.030,根据GLLP理论计算的安全码率随着通信距离变化的仿真曲线。从图3可以看到,虽然适当增大平均光子数可延长QKD系统的通信距离,但总体来说改善不明显,且从曲线μ=0.025和μ=0.030可以看到,当平均光子数持续增大时,最远的安全通信距离呈下降趋势。这是因为当平均光子数较小(μ=0.010)时,系统的响应率太低,暗记数导致误码率上升迅速,安全通信距离极限值减小;当平均光子数较大(μ=0.030)时,此时光源中的多光子概率P_multi相对较大,单光子增益Q₁减小,BB84协议安全码率降低。

图 3. 不同信号强度下量子密钥生成率与传输距离的关系曲线

Fig. 3. Relationship curves between quantum key generation rate and transmission distance under different signal intensities

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显然安全通信距离过短使得量子同传方案无法进行大规模的实践应用。一方面是因为量子模分同传系统的信道损伤较大,另一方面由于平均光子数过低,光源发出的脉冲中的真空态(不含光子)占据大多数,使安全通信的速率受到限制。若提高平均光子数水平,不仅无法有效提高QKD性能,而且对于WCS光源来说,窃听者更易通过PNS攻击来威胁通信安全。因此在此基础上提出双诱骗态协议下量子模分复用同传的方案。

3.2 弱相干光诱骗态量子模分同传性能

与传统的单诱骗态方案相比,双诱骗态方案可有效提高诱骗态协议的极限值。实际系统中,Alice端随机发送不同强度的激光脉冲,包括平均光子数为 $μ$ 的信号光脉冲、空诱骗态脉冲和平均光子数为ν的弱诱骗态脉冲,其中ν<μ。发送单光子态脉冲的计数率下限可表示为^[13]

Y_{1} \geq \frac{μ}{μν - ν^{2}} {Q_{ν} \exp (ν) - Y_{0} - \frac{ν^{2}}{μ^{2}} [Q_{μ} \exp (μ) - Y_{0}]}, (14)

式中:Q_ν为发送弱诱骗态脉冲时接收方的增益。

单光子态总的增益满足

Q_{1} \geq μ \exp (- μ) Y_{1} = \frac{μ^{2} \exp (- μ)}{μν - ν^{2}} {Q_{ν} \exp (ν) - Y_{0} - \frac{ν^{2}}{μ^{2}} [Q_{μ} \exp (μ) - Y_{0}]} 。 (15)

单光子态脉冲的误码率上限可表示为

e_{1} = \frac{E_{μ} Q_{μ} \exp (μ) - E_{ν} Q_{ν} \exp (ν)}{(μ - ν) Y_{1}}, (16)

式中:E_v为平均光子数为ν的总的量子误码率。最后将(15)式和(16)式代入(10)式即可得到最后的安全密钥产生率。仿真过程中,选取μ=0.48,弱诱骗态强度ν=0.05,得到的结果如图4所示。

图 4. 两诱骗态协议下量子密钥生成率与传输距离的关系曲线

Fig. 4. Relationship curves between quantum key generation rate and transmission distance under two decoy state protocols

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比较图2和图4的仿真结果可以看到,采用双诱骗态方案后,量子保密通信系统的传输性能得到明显提升。其中仅使用WCS光源的系统,其最大安全通信距离由原来的40.15 km增加到145.00 km,量子模分同传系统的传输距离也可达到128 km,说明双诱骗态方案可有效减小两者间的最大安全通信距离的相对差。诱骗态协议能够显著提高安全码率和通信距离,原因在于其能够根据实验可观测数据,紧凑地估计单光子信号增益Q₁和e₁,不需要与GLLP理论一样作最坏的情况假设。GLLP安全码率模型中的假设过于保守,导致Q₁和e₁的估计值远离真实值,大大降低QKD系统的安全码率和传输距离。采用诱骗态协议的QKD系统能够抵御PSN攻击,使得量子信号脉冲能够进一步增大平均光子数,从而有效克服由经典光信号带来的串扰影响,缩小量子模分复用同传系统与一般性QKD系统的性能差距。

实际的基于模分复用量子信号-经典光信号同传系统中,当量子信号的模式信道内进行QKD时,经典光信号的模式信道内空闲(即此时经典光信号信道内无信号传输),则可利用多余空闲的模式信道加载量子信号,实现多路量子信号的同传。利用图1的三模模分复用同传系统,即可实现三路量子信号的同传,此时忽略由信道间模式耦合引起的串扰,系统中仅需考虑由非线性效应造成的串扰影响,可得到总的增益和QBER为

\begin{array}{l} Q_{μ} = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} p_{n} Y_{n} = Y_{0} + P_{ct} η + 1 - \exp (- ημ), (17) \\ Q_{μ} E_{μ} = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} p_{n} Y_{n} e_{n} = \frac{1}{2} (Y_{0} + P_{ct} η) + e_{d} [1 - \exp (- ημ)] 。 (18) \end{array}

将(17)式和(18)式代入(10)式中并进行仿真计算,结果如图5所示,其为多路量子信号的同传,单路量子密钥生成率与通信距离的关系曲线。

图 5. 多路量子信号的同传量子密钥率与通信距离的关系曲线

Fig. 5. Relationship curves between simultaneous quantum key rate of multichannel quantum signals and communication distance

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从图5可以看到,量子模分同传系统的最大安全通信距离为139 km。由于不需要考虑经典光信号的噪声串扰,多路量子信号在传输过程中可近似看作相互独立传输,此时系统更接近于传统QKD的最大安全距离。多路量子信号的同传不仅能够减少信道损伤,使通信距离进一步增大,而且系统的量子密钥生成率也能得到成倍的提高。

4 结论

综合分析基于模分复用的量子信号-经典光信号同传系统,其量子密钥生成率与通信距离的关系。当仅采用WCS光源进行量子模分同传时,最大安全通信距离过小,仅能保证2.7 km的密钥传输。当采用双诱骗态方案时,平均光子数水平有所提高,可有效增大量子模分同传系统的最大安全通信距离,能够保证有百公里长的光纤的QKD系统正常运行。同时在此基础上利用空闲模式信道进行多路量子密钥的同传,该改进措施进一步缩短与传统QKD系统的最大安全通信距离的差距,有效提高量子模分复用系统的通信性能。

参考文献

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黄超, 李云霞, 蒙文, 武天雄. 基于模分复用的量子密钥分发系统性能分析[J]. 激光与光电子学进展, 2020, 57(15): 150604. Chao Huang, Yunxia Li, Wen Meng, Tianxiong Wu. Performance Analysis of Quantum Key Distribution System Based on Mode Division Multiplexing[J]. Laser & Optoelectronics Progress, 2020, 57(15): 150604.

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1 引言

2 量子模分复用系统的参数分析

2.1 光源

2.2 信道损伤

2.3 计数率及误码率

图 1. 模分复用QKD系统的原理图

Fig. 1. Schematic of mode division multiplexing QKD system

3 量子密钥生成率的分析与讨论

3.1 WCS光源量子模分同传性能

图 2. 量子密钥生成率与通信距离的关系曲线

Fig. 2. Relationship curves between quantum key generation rate and communication distance

图 3. 不同信号强度下量子密钥生成率与传输距离的关系曲线

Fig. 3. Relationship curves between quantum key generation rate and transmission distance under different signal intensities

3.2 弱相干光诱骗态量子模分同传性能

图 4. 两诱骗态协议下量子密钥生成率与传输距离的关系曲线

Fig. 4. Relationship curves between quantum key generation rate and transmission distance under two decoy state protocols

图 5. 多路量子信号的同传量子密钥率与通信距离的关系曲线

Fig. 5. Relationship curves between simultaneous quantum key rate of multichannel quantum signals and communication distance

4 结论

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1 引言

2 量子模分复用系统的参数分析

2.1 光源

2.2 信道损伤

2.3 计数率及误码率

图 1. 模分复用QKD系统的原理图

Fig. 1. Schematic of mode division multiplexing QKD system

3 量子密钥生成率的分析与讨论

3.1 WCS光源量子模分同传性能

图 2. 量子密钥生成率与通信距离的关系曲线

Fig. 2. Relationship curves between quantum key generation rate and communication distance

图 3. 不同信号强度下量子密钥生成率与传输距离的关系曲线

Fig. 3. Relationship curves between quantum key generation rate and transmission distance under different signal intensities

3.2 弱相干光诱骗态量子模分同传性能

图 4. 两诱骗态协议下量子密钥生成率与传输距离的关系曲线

Fig. 4. Relationship curves between quantum key generation rate and transmission distance under two decoy state protocols

图 5. 多路量子信号的同传量子密钥率与通信距离的关系曲线

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