加工表面双向反射分布函数的测量与建模

史卫朝; 郑建明; 李言; 李旭波; 安倩楠

doi:doi:10.3788/AOS201838.1029001

光学学报, 2018, 38 (10): 1029001, 网络出版: 2019-05-09

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Measurement and Modeling of Bidirectional Reflectance Distribution Function on Cutting Surface

论文大纲

史卫朝 ^**郑建明 ^*李言李旭波安倩楠

作者单位

西安理工大学机械与精密仪器工程学院, 陕西西安 710048

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摘要

提出了一种基于同轴光显微成像的加工表面双向反射分布函数(BRDF)测量方法,采用激光共聚焦显微镜获得了不同粗糙度样块表面的BRDF测量值。测量结果表明,样块表面BRDF会随着粗糙度及微观形貌变化,该测量方法能够获得不同微面元的BRDF测量值。建立了BRDF参数模型,采用遗传算法对测量数据进行处理,确定了最优模型参数。将模型计算结果与测量结果进行了误差分析,最大相对均方根误差为9.97%。结果表明,建立的BRDF模型具有可行性,能准确地描述加工表面反射信息。

Abstract

A measurement method of bidirectional reflectance distribution function (BRDF) on the cutting surface is proposed based on the coaxial optical microscopic imaging. The BRDF measurement values on sample surfaces with different roughnesses are obtained by using the laser confocal microscopy. The measurement results show that, the BRDF on the sample surface varies with the roughness and the micro-topography, and this measurement method can obtain the BRDF measurement value on different microfacets. The BRDF parameter model is built and the optimal model parameters are obtained when the measurement data are processed by the genetic algorithm. The error analysis between the model calculation results and the measurement results is carried out and the maximum relative mean square root error is 9.97%. The results show that the established BRDF model is feasible and can accurately describe the reflection characteristics on the cutting surfaces.

1 引言

双向反射分布函数(BRDF)将一个给定方向的入射辐照度与其在另一个特定方向的反射辐射率联系起来描述物体表面定向反射特性,被广泛应用于光学遥感^[1]、物体检测识别^[2]、环境监控^[3]等领域^[4-6]。近年来,研究者们利用BRDF对加工表面进行三维重构,实现表面粗糙度的在线非接触测量。目前,国内外主要通过测量材料宏观表面得到双向反射分布函数,测量过程中需改变入射、反射光束方位角和天顶角,采用光谱辐射计或数码相机获取宏观表面的光学反射信息^[7-9],但大多数测量设备结构复杂,天顶角的测量范围被限制在0°~65°范围内^[10],导致测量效率低,无法获得较多的反射信息。此外,现有的BRDF测量和建模大都集中在未加工金属材料表面上^[11-12],对切削加工表面的研究还比较少。本文根据微面元理论,结合材料表面各微面元反射辐射率存在差异性的特点,利用微面元反射辐射率对应的图像亮度获得更多光学反射信息,提出了基于同轴光显微成像的加工表面BRDF测量方法,采用激光共聚焦显微镜分别测量了表面粗糙度R_a=3.2,1.6,0.8 μm的车削和平铣粗糙度样块的表面微观形貌及其图像亮度,数据处理得到了BRDF值及BRDF与表面粗糙度和微观形貌间的关系。根据样块表面BRDF测量数据,建立了BRDF参数模型,并采用遗传算法确定了最优模型参数,通过对比模型计算结果和测量结果,验证了BRDF参数模型的可靠性。利用加工表面BRDF模型,不仅可以得到同一加工条件下相同粗糙度表面的BRDF分布,还可以得到同一表面上任意微面元的BRDF值,能描述加工表面更多的反射信息。

2 加工表面BRDF测量

2.1 测量原理

BRDF用于描述物体表面的光谱和空间反射特性^[13-14],如图1所示,物体表面反射方向(θ_r,φ_r)小立体角dω_r内的反射辐射率dL_r(θ_r,φ_r)与入射方向(θ_i,φ_i)小立体角dω_i内入射辐照度dE_i(θ_i,φ_i)的比值即为BRDF:

\begin{matrix} f_{r} (θ_{i}, φ_{i}, θ_{r}, φ_{r}) = \frac{d L_{r} (θ_{r}, φ_{r})}{d E_{i} (θ_{i}, φ_{i})}, (1) \end{matrix}

式中θ和φ分别为天顶角和方位角,下标i和r分别代表入射和反射。

图 1. 光线反射几何关系

Fig. 1. Geometric relationship of light reflection

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在同轴光源下,光束入射角和反射角非常小,因此可假设入射光为平行光,与成像光轴及观察方向平行。光在材料表面微面元的反射及成像原理如图2所示。入射光垂直照射在单位微面元dA上,N为加工表面法向方向,n为等分入射方向与反射方向夹角的单位矢量,表示微面元法向方向。θ为入射光方向与微面元法向方向之间的夹角,即微面元法线偏角,可表达微面元形貌。L_i为加工表面的入射辐射率,dA·cos θ为微面元dA在入射光方向上的投影面积,E_i为dA·cos θ面积内的辐照度,则

\begin{matrix} E_{i} = L_{i} \cdot dA \cdot cosθ 。 (2) \end{matrix}

图 2. 同轴光微面元反射及成像原理

Fig. 2. Microfacet reflection and imaging principle under coaxial light

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由于微面元反射辐射率L_r与其对应图像亮度E之间存在密切关系^[15],即

\begin{matrix} E = L_{r} \frac{π}{4} {(\frac{d}{f})}^{2} co s^{4} α, (3) \end{matrix}

式中E为图像辐照度,可考虑为图像亮度;d为透镜的直径;f为透镜的焦距; $\begin{matrix} α \end{matrix}$ 为微面元与对应图像的连线和光轴之间的夹角。因此,微面元反射辐射率与其对应的图像亮度之间存在正比关系,即

\begin{matrix} L_{r} = ηE 。 (4) \end{matrix}

样块表面的BRDF可通过微面元反射辐射率L_r与入射辐照度E_i的比值得到^[15],即

\begin{matrix} f_{r} = \frac{L_{r}}{E_{i}} = \frac{ηE}{L_{i} \cdot dA \cdot cosθ}, (5) \end{matrix}

式中图像像素点亮度E和入射辐射率L_i均可通过测量装置得到。根据矢量夹角知识可知,样块表面上任意微面元的法向方向可表示为(z_x,z_y,-1),由于入射光为平行光,可采用向量(0,0,1)表示入射光方向,则微面元法向偏角

\begin{matrix} θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt[]{1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2}}}), (6) \end{matrix}

式中z_x和z_y分别表示表面任意点的高度在X和Y方向的梯度,可通过微面元形貌数据计算得到,采用共聚焦显微镜可测量样块表面微面元形貌。

2.2 测量方案

样块表面BRDF测量方案如图3所示,样块放置在工作台上,工作台可沿X、Y方向移动。光源、聚光镜、半反射镜、光探测器和物镜等被安装在扫描头上,扫描头可沿Z方向移动。入射光经透镜和半反射镜垂直照射到加工表面,根据共聚焦原理,物镜范围内的反射光透过半反射镜进入光探测器。首先设置光探测器为CCD相机,反射光信息经图像处理系统处理后输出局部面的图像数据;然后设置光探测器为光电倍增管,扫描头在X-Y平面保持不动,仅以指定的间距沿Z方向移动,反射光信息和物镜高度信息经形貌处理系统处理后输出形貌数据。提取单位微面元的形貌数据及对应的图像亮度,根据(5)式得到BRDF值。为了保证测量精度,采用计算机控制扫描头及工作台移动。

图 3. 加工表面BRDF测量方案

Fig. 3. Measurement scheme of BRDF on cutting surface

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2.3 测量设备

根据BRDF测量方案,分别以R_a=3.2,1.6,0.8 μm的车削和平铣粗糙度样块作为研究对象,在同一光照条件下,采用德国徕卡公司DCM-3D型激光共聚焦显微镜的10倍放大镜头测量样块表面微观形貌及图像数据,图像像素处理为768 pixel×576 pixel,形貌采样点数亦统一为768×576。测量过程中,像素元尺寸为1.66 μm×1.66 μm,测量区域面积为1.25 mm×0.95 mm。

图 4. BRDF测量装置。(a)实物图;(b)车削样块;(c)平铣样块

Fig. 4. Measurement equipment of BRDF. (a) Physical map; (b) turning samples; (c) plain milling samples

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2.4 测量结果及分析

在相同测量条件下采集了样块表面微观形貌数据和图像数据,如图5所示。

从图5可以看到,样块表面微观形貌属于非光滑、不连续的表面,具有典型的荒漠化分形结构特征。样块表面的图像纹理特征以明暗相间的直线条纹为主,随着表面粗糙度的变化,纹理也逐渐发生变化。R_a=3.2 μm表面以连续、规则的暗条纹为主;R_a=0.8 μm表面多为断续、混乱的亮条纹。上述纹理变化规律表明,样块表面微观形貌与其图像纹理之间有着密切联系。由于加工对象主要为金属材料且采用激光为同轴光源,根据(5)式可知,BRDF与入射光波长、入射角和反射角等因素无关,主要与样块表面微观形貌及粗糙度有关。

图 5. 样块表面形貌(彩色图)和图像(灰度图)测量数据。(a)(d) Ra=3.2 μm,车削表面;(b)(e) Ra=1.6 μm,车削表面;(c)(f) Ra=0.8 μm,车削表面;(g)(j) Ra=3.2 μm,平削表面;(h)(k) Ra=1.6 μm,平削表面;(i)(l) Ra=0.8 μm,平削表面

Fig. 5. Measuring data of surface morphology (color) and images (grayscale) of samples. (a)(d) Ra=3.2 μm, turning surface; (b)(e) Ra=1.6 μm, turning surface; (c)(f) Ra=0.8 μm, turning surface; (g)(j) Ra=3.2 μm, plain milling surface; (h)(k) Ra=1.6 μm, plain milling surface; (i)(l) Ra=0.8 μm, plain milling surface

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为了便于分析样块表面BRDF,首先对形貌数据进行趋势项处理,采用中值滤波方法对图像数据进行降噪处理,并将图像亮度数据归一化;其次分别提取两组数据的特征进行对应点的选择和配对;然后采用迭代最近点算法,使形貌数据和参考图像数据对应,完成两组数据空间位置的配准;最后,通过(5)式得到不同微面元的BRDF值。统计不同法向偏角的微元面与其BRDF值之间关系,结果如图6所示。

从图6可以看到,加工表面双向反射分布函数随微面元的法向偏角变化,当法向偏角θ 减小时,BRDF测量值增大。不同样块表面的BRDF变化趋势也不相同,这主要与表面粗糙度有关,R_a=3.2 μm表面的粗糙度最大,BRDF测量值分布较为分散,双向反射分布函数主要由镜面反射分量和漫反射分量组成,其中漫反射分量比较明显。R_a=0.8 μm表面的粗糙度最小,BRDF测量值分布较为集中,表面反射特性主要表现为镜面反射。

图 6. 同轴光源下不同粗糙度表面BRDF值与法向偏角θ间的关系。(a) Ra=3.2 μm,车削表面;(b) Ra=1.6 μm,车削表面;(c) Ra=0.8 μm,车削表面;(d) Ra=3.2 μm,平削表面;(e) Ra=1.6 μm,平削表面;(f) Ra=0.8 μm,平削表面

Fig. 6. Relationship between BRDF value and normal declination angle θ under coaxial light for surfaces with different roughnesses. (a) Ra=3.2 μm, turning surface; (b) Ra=1.6 μm, turning surface; (c) Ra=0.8 μm, turning surface; (d) Ra=3.2 μm, plain milling surface; (e) Ra=1.6 μm, plain milling surface; (f) Ra=0.8 μm, plain milling surface

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3 加工表面BRDF模型

3.1 加工表面BRDF模型

由微面元理论可知,加工表面任一局部面是由大量朝向各异且光滑的微面元组成,微面元的正切平面可替代微面元。此外,由于加工表面各个微面元的尺寸比入射光波长大,光的衍射现象可以被忽略,因此加工表面BRDF可以认为是由正切平面的镜面反射分量和漫反射分量组成。根据加工表面双向反射分布函数的测量数据,建立其BRDF参数模型,利用不同粗糙度对应不同的模型参数来模拟BRDF随粗糙度的变化,则加工表面BRDF模型可表示为

\begin{matrix} f_{r} = k_{d} cosθ + k_{s} \frac{\exp (- a θ^{b})}{πcosθ}, (7) \end{matrix}

式中等号右侧第一项表示加工表面双向反射分布函数的漫反射分量,它遵守Lambert法则;第二项表示镜面反射分量。exp(-aθ^b)是微面元法向偏角的分布函数。k_d、k_s、a、b为待定参数,k_d和k_s分别表征漫反射分量和镜面反射分量的大小,与加工表面的粗糙度和反射率有关;a和b表征微面元法向偏角分布函数,与表面微观形貌有关。

3.2 数据拟合

采用遗传算法(GA)确定BRDF模型参数。GA是一种借鉴生物界自然选择和自然遗传学机制的全局搜素学习方法,在评估多个解的过程中找到全局最优解^[16]%。将模型计算数据与测量数据的均方根(RMS)误差最小值作为目标函数,确定模型最优参数,目标函数为

\begin{matrix} \begin{matrix} E (k_{d}, k_{s}, a, b) = \min \sum_{θ} g (θ) \times \\ {[f_{r_model} (k_{d}, k_{s}, a, b) - f_{r_measured} (θ)]}^{2}, (8) \end{matrix} \end{matrix}

式中f_{r_model}为BRDF模型的计算数据;f_{r_measured}为BRDF的测量数据;g(θ)为调整测量误差的加权函数。

根据BRDF测量数据,采用GA确定加工表面BRDF模型的最优参数,结果见表1。

表 1. 加工表面BRDF模型参数

Table 1. BRDF model parameters on cutting surface

Cutting method	Surface roughness R_a /μm	k_d	k_s	a	b
	3.2				0.660
Turning	1.6	0.06	2.95	2.94	0.601
	0.8				0.531
	3.2				0.782
Plain milling	1.6	0.06	2.95	5.23	0.719
	0.8				0.662

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3.3 拟合误差

将加工表面BRDF模型计算结果与测量结果进行比较,结果如图7所示。

从图7可以看出,BRDF模型计算结果与测量结果整体吻合性较好。随着法向偏角的不断增大,模型的计算结果与测量结果偏离相对较大,这主要是由于加工表面微观形貌具有典型的荒漠化分形结构特征,粗糙表面微面元法向偏角的分布主要集中在某个区间范围内,当法向偏角离分布区间较远时,BRDF模型计算结果会出现偏差。

图 7. 加工表面BRDF模型计算结果与测量结果的比较。(a) Ra=3.2 μm,车削表面;(b) Ra=1.6 μm,车削表面;(c) Ra=0.8 μm,车削表面;(d) Ra=3.2 μm,平削表面;(e) Ra=1.6 μm,平削表面;(f) Ra=0.8 μm,平削表面

Fig. 7. Comparison between measurement data and model calculation data of BRDF on cutting surface. (a) Ra=3.2 μm, turning surface; (b) Ra=1.6 μm, turning surface; (c) Ra=0.8 μm, turning surface; (d) Ra=3.2 μm, plain milling surface; (e) Ra=1.6 μm, plain milling surface; (f) Ra=0.8 μm, plain milling surface

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相对均方根误差能够很好地反映模型计算结果偏离测量结果的程度^[17],即

\begin{matrix} σ_{r} = \sqrt[]{\frac{1}{N} \sum {(\frac{f_{r_model} - f_{r_measured}}{f_{r_measured}})}^{2}} 。 (9) \end{matrix}

采用相对均方根误差对不同粗糙度样块表面进行拟合误差分析,分析结果见表2。表2拟合误差结果表明, BRDF模型计算结果与测量结果非常接近,最大拟合误差为9.97%,建立的BRDF模型能够准确地描述加工表面反射特性。

表 2. 拟合误差结果

Table 2. Fitting error results

Cuttingmethod	Surface roughnessR_a /μm	Relative RMSerror σ_r /%
Turning	3.2	9.97
	1.6	9.81
	0.8	6.09
Plain milling	3.2	9.88
	1.6	9.78
	0.8	9.41

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4 结论

提出了一种基于同轴光显微成像的加工表面BRDF测量方法,测量了粗糙度分别为3.2,1.6,0.8 μm的车削样块表面BRDF值,分析了BRDF随表面粗糙度和微观形貌的变化机理。该方法是一种特定条件下的BRDF测量新思路,测量设备通用性强,测量效率高且测量结果较准确。从微面元理论出发,根据样块表面BRDF测量数据,建立了BRDF参数模型,并采用遗传算法确定了模型的最优参数。对模型计算结果和测量结果进行了拟合误差分析,最大拟合误差为9.97%,两者符合良好,验证了模型的准确性和可行性。所提出的BRDF测量方法和模型可为显微成像条件下加工表面的三维重构提供参考。

参考文献

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史卫朝, 郑建明, 李言, 李旭波, 安倩楠. 加工表面双向反射分布函数的测量与建模[J]. 光学学报, 2018, 38(10): 1029001. Weichao Shi, Jianming Zheng, Yan Li, Xubo Li, Qiannan An. Measurement and Modeling of Bidirectional Reflectance Distribution Function on Cutting Surface[J]. Acta Optica Sinica, 2018, 38(10): 1029001.

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1 引言

2 加工表面BRDF测量

2.1 测量原理

图 1. 光线反射几何关系

Fig. 1. Geometric relationship of light reflection

图 2. 同轴光微面元反射及成像原理

Fig. 2. Microfacet reflection and imaging principle under coaxial light

2.2 测量方案

图 3. 加工表面BRDF测量方案

Fig. 3. Measurement scheme of BRDF on cutting surface

2.3 测量设备

图 4. BRDF测量装置。(a)实物图;(b)车削样块;(c)平铣样块

Fig. 4. Measurement equipment of BRDF. (a) Physical map; (b) turning samples; (c) plain milling samples

2.4 测量结果及分析

图 5. 样块表面形貌(彩色图)和图像(灰度图)测量数据。(a)(d) Ra=3.2 μm,车削表面;(b)(e) Ra=1.6 μm,车削表面;(c)(f) Ra=0.8 μm,车削表面;(g)(j) Ra=3.2 μm,平削表面;(h)(k) Ra=1.6 μm,平削表面;(i)(l) Ra=0.8 μm,平削表面

图 6. 同轴光源下不同粗糙度表面BRDF值与法向偏角θ间的关系。(a) Ra=3.2 μm,车削表面;(b) Ra=1.6 μm,车削表面;(c) Ra=0.8 μm,车削表面;(d) Ra=3.2 μm,平削表面;(e) Ra=1.6 μm,平削表面;(f) Ra=0.8 μm,平削表面

3 加工表面BRDF模型

3.1 加工表面BRDF模型

3.2 数据拟合

表 1. 加工表面BRDF模型参数

Table 1. BRDF model parameters on cutting surface

3.3 拟合误差

图 7. 加工表面BRDF模型计算结果与测量结果的比较。(a) Ra=3.2 μm,车削表面;(b) Ra=1.6 μm,车削表面;(c) Ra=0.8 μm,车削表面;(d) Ra=3.2 μm,平削表面;(e) Ra=1.6 μm,平削表面;(f) Ra=0.8 μm,平削表面

表 2. 拟合误差结果

Table 2. Fitting error results

4 结论

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1 引言

2 加工表面BRDF测量

2.1 测量原理

图 1. 光线反射几何关系

Fig. 1. Geometric relationship of light reflection

图 2. 同轴光微面元反射及成像原理

Fig. 2. Microfacet reflection and imaging principle under coaxial light

2.2 测量方案

图 3. 加工表面BRDF测量方案

Fig. 3. Measurement scheme of BRDF on cutting surface

2.3 测量设备

图 4. BRDF测量装置。(a)实物图;(b)车削样块;(c)平铣样块

Fig. 4. Measurement equipment of BRDF. (a) Physical map; (b) turning samples; (c) plain milling samples

2.4 测量结果及分析

图 5. 样块表面形貌(彩色图)和图像(灰度图)测量数据。(a)(d) Ra=3.2 μm,车削表面;(b)(e) Ra=1.6 μm,车削表面;(c)(f) Ra=0.8 μm,车削表面;(g)(j) Ra=3.2 μm,平削表面;(h)(k) Ra=1.6 μm,平削表面;(i)(l) Ra=0.8 μm,平削表面

图 6. 同轴光源下不同粗糙度表面BRDF值与法向偏角θ间的关系。(a) Ra=3.2 μm,车削表面;(b) Ra=1.6 μm,车削表面;(c) Ra=0.8 μm,车削表面;(d) Ra=3.2 μm,平削表面;(e) Ra=1.6 μm,平削表面;(f) Ra=0.8 μm,平削表面

3 加工表面BRDF模型

3.1 加工表面BRDF模型

3.2 数据拟合

表 1. 加工表面BRDF模型参数

Table 1. BRDF model parameters on cutting surface

3.3 拟合误差

图 7. 加工表面BRDF模型计算结果与测量结果的比较。(a) Ra=3.2 μm,车削表面;(b) Ra=1.6 μm,车削表面;(c) Ra=0.8 μm,车削表面;(d) Ra=3.2 μm,平削表面;(e) Ra=1.6 μm,平削表面;(f) Ra=0.8 μm,平削表面

表 2. 拟合误差结果

Table 2. Fitting error results

4 结论

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