电磁发射技术凭借结构简单、电枢出膛动能大、响应快和速度精确可控等优势，成为近年来国内外**装备领域的研究热点。它以电能为发射源，突破了常规化学能**的火力限制。目前电磁发射研究大部分集中在机械、材料、脉冲电源等方面^[1-5]，对电磁发射中关于电枢出口速度精度的方法及控制手段研究不足。这主要是因为针对烧蚀、刨削、转棙等极端物理规律认识不足、弹丸运动参数测量手段落后、电磁发射实验过程短以及控制实时性要求高等方面造成的^[6-9]。文献[10]通过比较不同的放电时序，分析了影响速度的因素，并进行了实际试验，但文中只证明了触发时间与出口速度之间的关系，且模块数量较少，缺少仿真支撑。文献[11]详细描述了控制策略，实现了速度的闭环控制，提高了出口速度精度，最终试验表明采用闭环控制策略的情况下，出口速度的相对误差可以达到0.21%，但是文中提到的试验中，模块数量仅为4个，电枢速度仅为252.8 m/s。本文针对高速条件下电枢出口速度精度问题，通过研究电磁发射中脉冲电源模块的触发时刻与电枢出口速度之间的函数关系，提出了一种反馈控制策略，可实现对电枢出口速度的精确控制。

1 数学模型

1.1 电磁轨道发射器的电路模型

电磁轨道发射过程需要平顶式电流波形，常采用多模块依次放电的方式产生电流推动电枢前进，多个电源模块并联组成的放电电路网络如图1所示。

图 1. 脉冲成形网络电路

Fig. 1. Multi-module circuit diagram

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图1中，第k号电源模块电流数学模型为

式中： $\varepsilon (t)$代表第k号模块开始放电的时间； $\displaystyle\sum\limits_1^{k - 1} {{t_k}}$表示多并联放电模块中，前 $k - 1$个放电模块的触发时序总和。

由基尔霍夫电流定理可得负载的电流等于各个PFU电流之和

脉冲成形网络电路的数学模型中，主要考虑的是负载的电路模型。基于轨道电感、电阻随电枢位移线性增加，轨道电感和轨道电阻之间的关系为

式中： $x$表示电枢位移；对于增强型轨道发射器， ${R_0}$和 ${L_0}$分别代表电枢开始运动时外轨的电阻和电感，不可忽略； $R'$和 $L'$分别代表电阻梯度和电感梯度。Batteh等人在电感梯度的研究上取得了一定的成果^[12-13]。

根据文献[14]，由于电流趋肤效应和速度趋肤效应的存在，静态下不能测量电阻梯度，在高频情况下，电阻梯度可以表示为

式中： $\sigma $为电导率； $d$为轨道宽度； $\delta = \sqrt {\dfrac{1}{{\sigma {\rm{{\text{π}} }}{\mu _0}f}}}$； $f$为电流频率； ${\mu _0}$为真空磁导率。

高速滑动接触电阻的研究一直是电磁轨道发射研究的重要方向，至今没有完整的解决方案和准确的数学模型。文献[15]中，通过实际发射试验结果得到了基于电枢位移为横坐标的电磁发射枢轨特性接触曲线变化规律，即接触电阻呈现启动后快速下降、后平稳上升、再波浪变化上升的变化趋势。

本文在此基础上，结合前期理论通过对实验数据进行最佳一致多项式插值拟合，采用如下数学模型表示接触电阻的变化

式中： ${k_1} = - 0.159$； ${k_2} = 4.21 \times {10^{ - 3}}$； ${b_1} = 0.028$； ${b_2} = - 1.22 \times {10^{ - 3}}$。以上参数只适用于特定装置结构。

1.2 电磁轨道发射的动力学模型

电枢除了受到电磁推进力以外，摩擦、空气以及烧蚀、轨道刨削都对电枢受力产生重要影响，其中电枢所受电磁力表达式为

式中： $I$为轨道电流； ${L_{\rm{r}}}'$为电感梯度。电枢动力学模型的建模除分析电磁力F_e外，主要分析摩擦阻力、空气阻力以及烧蚀造成的阻力。

根据文献[16]可知弹前空气阻力F_p的表达式为

式中： $r$为气体比热比，根据空气动力学理论，普通空气其值为1.4； $\;{\rho _0}$为初始空气密度，大小为1.29 kg/m³； $A$为电枢的横截面积； $v$为电枢速度； $a$为电枢加速度，电枢在膛内运动过程中加速度为变量，其在膛内任意时刻的数值可通过所搭建仿真模型求得。

电枢受到的摩擦力分为静摩擦力与滑动摩擦力。在运动起始之前的阶段，静摩擦力与电磁力大小相等，方向相反。假设电枢在高速运动阶段发生弹性形变，根据广义虎克定律可得电枢受到的摩擦力为

式中： ${F_0}$为初始正压力； $\nu $为材料的泊松比； $S$为电枢和轨道接触面积； ${\mu _{\rm{f}}}$为电枢所受滑动摩擦力对应的滑动摩擦系数。

根据文献[17]，借用氢气炮的研究结果，滑动摩擦系数的经验公式为

式中： $\;\alpha $为常系数； $\;\beta $为幂因子。 $\alpha $， $\;\beta $数值需要根据电枢材料和轨道材料经实验确定。对轻气炮的研究表明，当以尼龙在钢表面滑动时， $\;\beta = 0.4$，由Lexan对钢与尼龙对钢静摩擦之比，确定 $\alpha = 4.0$，于是有

式中： $\;{\mu _1}$为弹丸与膛壁的静摩擦系数； $\;{\mu _2}$为Lexan与钢的静摩擦系数，对于其他材料可以用相似的模型建立摩擦系数模型。

轨道在电枢高速运动和大电流的烧蚀作用下，会产生不确定的损伤，降低电磁发射的稳定性，影响电枢在膛内阻力变化。在上下轨道未经损伤的情况下，使用带有测力元件的推弹装置将电枢从发射器尾部推至发射器出口，记录整个过程中电枢所受到的阻力。在上下轨道存在烧蚀现象和轨道刨削现象的情况下，使用带有测力元件的推弹装置将相同尺寸电枢从发射器尾部推至发射器出口，记录整个过程中电枢所受到的阻力。通过分析两种情况下电枢所受到的阻力，得到由烧蚀和轨道刨削对电枢所造成的阻力数据。在对轨道表面损伤和所采集阻力数据分析的基础上，假设电枢处于弹性极限内，则电枢烧蚀现象对电枢造成的阻力可以采用正弦模型，轨道刨削对电枢造成的阻力可以采用阶跃模型表示，则有

式中： ${K_1}$为变值，表示烧蚀损伤产生的阻力所对应的阻力系数，其大小与发射次数有关； $\omega $表示烧蚀损伤出现的频率； ${B_i}$表示第 $i$个凹坑的严重程度； $\delta (t)$为阶跃函数。根据实际发射经验，烧蚀现象会每次出现，而轨道刨削现象在轨道寿命末期可能出现。因此，将3～10次试验结果与不考虑电烧蚀因素时的数学模型进行比较。假定无刨削发生，即阻力模型为 ${F_{{\rm{r2}}}} = {K_1}\sin (\omega t)$时，采用最小二乘法拟合确定系统参数 ${K_1}$。当仿真模型无法预测下一次实际试验时拆开发射器并且统计轨道坑数，此后将刨削模型考虑进去并采用最小二乘法拟合确定参数 ${B_i}$。本文中，根据特定发射装置的实验数据和仿真模型，最终确定 ${K_1} = 2 \times {10^3}$， ${B_1} = 8.32 \times {10^3}$， ${B_2} = 7.65 \times {10^3}$。

将电枢电磁力、摩擦力、空气阻力、烧蚀阻力等合并可得电枢综合受力，进一步可知电枢加速度与速度数学模型

式中： $m$为电枢质量； ${v_0}$为电枢初始速度；i为电枢电流。

2 速度闭环控制仿真研究

2.1 触发时刻对出口速度的影响

建立电枢所受电磁力、电枢初始正压力、摩擦力、空气阻力、烧蚀阻力等动力学模型，轨道长度为2 m，脉冲电源模块为10个，电枢初始正压力为1 kN，忽略空气阻力与电枢烧蚀影响，将10个脉冲电源模块分为两组，第一组为8个脉冲电源模块，触发时刻为零时刻触发，第二组为2个脉冲电源模块，两电源模块的触发时刻定义为 ${T_{{\rm{trig}}}}$。等间隔10 µs，依次仿真 ${T_{{\rm{trig}}}}$在2.00，2.01，2.02，…，2.45 ms的电流波形和速度波形，对应的电流波形与速度波形如图2所示。

图 2. 不同触发时刻下电流与速度曲线

Fig. 2. Time series current and velocity waveform diagram of different spaced discharge

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从图2（a）中可以看出，随着 ${T_{{\rm{trig}}}}$增加，第二个电流峰值逐渐减小，上升沿平缓，平顶现象更加明显。从图2（b）可以看出，速度波形随着放电时间间隔的增加，出口速度呈现降低的趋势。可以看出 ${T_{{\rm{trig}}}}$严重影响电流波形，进而影响出口速度。进一步，可以得出第二组脉冲电源模块的触发时刻 ${T_{{\rm{trig}}}}$与电枢出口速度之间的关系，如图3所示。

图 3.

Fig. 3. Relationship between trigger time and muzzle velocity第二组脉冲电源模块触发时刻 与电枢出口速度之间的关系

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图3中，line1为仿真数据点，line2为对仿真数据进行线性拟合得到的曲线，从中可以看出，减小第二组脉冲电源模块触发时刻 ${T_{{\rm{trig}}}}$的值，可以提高电枢出口速度，触发时刻 ${T_{{\rm{trig}}}}$与电枢出口速度在一定时间范围内呈近似线性关系

2.2 控制策略

在一个实际的电磁发射系统中，电容电压、PFN数量确定，如图4所示，对于有n次测速反馈构成的闭环系统，可被调节的控制量为脉冲电源模块的触发时刻。电枢从起始点启动后，由于外部干扰会影响电枢出口速度的精度，通过测速装置检测电枢经过轨道上具体测速点的实际速度，并与该测速点处的期望速度比较后，调节与该测速点相对应的脉冲电源模块的触发时刻，由于轨道上安装有n个测速装置，则依次进行n次反馈控制，最终提高电枢出口速度的精度，实现出口速度的闭环控制。

图 4. n次测速反馈构成的闭环系统

Fig. 4. A closed-loop system composed of n times of speed measurement feedback

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以n次反馈控制中的第一次反馈控制为例，其控制表达式为

式中： $\Delta {v_1}$为电枢经过第一个测速点时，第一个测速装置对应的测量速度与该点期望速度的差值； ${T_{{\rm{trig1}}}}$为与第一次反馈控制相对应的脉冲电源模块的触发时刻。

则n次反馈控制所对应的矩阵形式如下

对于公式（16）有

式中： ${T_{{\rm{trig1}}}}$， ${T_{{\rm{trig2}}}}$，…， ${T_{{\rm{trig}}n}}$为第一次、第二次至第n次反馈控制所对应的脉冲电源模块的触发时刻； $\Delta {v_1}$， $\Delta {v_2}$，…， $\Delta {v_n}$为电枢经过n个测速装置时电枢实际测量速度与期望速度的差值；由于n次反馈控制所对应的表达式各不相同，所以会有不同的比例系数 ${k_1}$， ${k_2}$，…， ${k_n}$，以及不同的常数值 ${b_1}$， ${b_2}$，…， ${b_n}$。

2.3 闭环控制仿真结果分析

由于电枢初始正压力以及轨道刨削等对电枢速度的影响主要发生在轨道前半段，仿真试验中对于2 m长的轨道，在轨道0.6 m处采集电枢的速度值并与期望速度相比较；在实际电磁发射实验中，探针测速装置也相应的安装于轨道0.6 m处进行速度检测。

把初始正压力的变化定义为外部干扰，当初始正压力为1 kN时，认为不存在外部干扰，此实验条件下电枢出口速度为期望出口速度；当初始正压力不等于1 kN时，便认为存在外部干扰；分别在三种情况下进行仿真试验，实验结果如表1所示。

如图5所示，曲线O-1 kN为第一种情况下的电枢速度曲线，曲线O-1.5 kN为第二种情况下的电枢速度曲线；曲线C-1.5 kN为第三种情况下的电枢速度曲线。

图 5. 开环与闭环电枢速度对比

Fig. 5. Comparison of open-loop and closed-loop armature velocity

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对比曲线O-1 kN与O-1.5 kN可知，初始正压力为1.5 kN所对应的电枢出口速度小于初始正压力为1 kN所对应的电枢出口速度（即期望出口速度）,即外部干扰导致电枢出口速度小于期望出口速度。

对于曲线C-1.5 kN，第二组脉冲电源模块的触发时刻 ${T_{{\rm{trig}}}}$在加入控制策略之后为1 880 µs；对比曲线O-1.5 kN与C-1.5 kN可知，在施加外部干扰的情况下，经反馈控制之后电枢出口速度相比于开环控制下的电枢出口速度更接近期望电枢出口速度。

针对不同电枢初始正压力，分别仿真了电枢在开环控制与闭环控制两种情况下的电枢出口速度，如图6，图7所示。

图 6. 电枢初始正压力

Fig. 6. Armature initial positive pressure for experiments

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图 7. 开环控制与闭环控制速度对比图

Fig. 7. Muzzle velocity comparison between open-loop control and closed-loop control

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图7中，line1为开环仿真电枢出口速度曲线，line2为闭环仿真电枢出口速度，line3为闭环仿真电枢平均出口速度。可以看出，采用闭环控制，可以有效抑制外部干扰（此处为电枢初始正压力）导致的出口速度变化，从而提高电枢出口速度精度。在初始正压力不确定时，开环控制所对应的电枢出口速度范围为738.1～762.8 m/s，经闭环控制后，电枢出口速度范围为763.8～764.8 m/s，精度由3.5%提高到0.065%，其中，期望出口速度为764.2 m/s，具体数据如表2所示。

3 结　论

本文针对膛内电枢初始正压力不确定的特性，综合考虑脉冲成形网络的电路模型与电枢的动力学特征，得出如下结论：（1）脉冲电源模块的触发时刻与电枢出口速度在一定范围内近似呈线性关系；（2）在以初始正压力为外部干扰的情况下，基于脉冲电源模块触发时刻与电枢出口速度的关系所提出的电枢出口速度闭环控制模型，可以实现对电枢出口速度精度的控制。

在实际电磁发射闭环控制试验中，需要进行一定量的开环实验，来确定脉冲电源模块触发时刻与电枢出口速度的具体函数关系；由于电磁发射的整个过程在几ms内即可完成，所以需要设计相对应的高速速度采集装置以及微秒级高速响应控制器，来保证脉冲电源模块触发时刻的精度。