0 引言

星敏感器是空间飞行器中广泛使用的一种高精密空间姿态测量仪器，通过探测空间不同位置的恒星来获取空间飞行器的姿态信息^[1-3].光学系统是星敏感器的核心部件，其成像质量直接影响着星敏感器的探测能力^[4].为了提高星敏感器的探测能力，要求其光学系统在具有更宽的谱段范围、更大的入瞳直径的基础上能够尽量减小畸变和色差.目前星敏感器所使用的光学系统有透射式结构、反射式结构、折反式结构等.透射式光学系统是最常见的结构形式，但是存在光学系统口径小、较多的光学透镜数量导致二级光谱难以校正、整体质量大幅增加的缺点^{[5, 6]}.反射式光学系统具有系统口径大、光学透镜数量少、无色差的优点，但是其结构中存在光遮拦会造成空间光的能量利用率低、边缘视场的像差校正能力较弱、结构设计难度大等问题^{[7, 8]}.折反系统采用反射镜和透镜相结合的方式，反射镜不会引起色差，透镜组能够对整个系统的像差进行校正并增大整个光学系统的视场.在整个折反光学系统中，像面的位移不会受到反射镜的影响，当反射镜和支架选择的材料膨胀系数相近时，可以降低整个系统对环境温度的敏感度^[9-11].2004年，苏州大学提出了一种Schwarzschild系统与非球面补偿透镜相结合的折反式星敏感器光学系统^{[12, 13]}，其主镜采用的小口径和凸非球面设计造成系统的入瞳直径过小；2016年，中国科学院长春光学精密机械与物理研究所提出了一种卡塞格林型的等晕系统(Ritchey-Chretien system，R-C system)和光阑校正球面透镜组相结合的折反式星敏感器光学系统，其入瞳直径和半视场分别达到164 mm和0.9°^[14].

根据入瞳直径更大(250 mm)、半视场更宽(1.4°)、光谱宽度450~950 nm、焦距425 mm的星敏感器光学系统的实际应用需求，本文提出了一种新的折反式星敏感器光学系统，该系统采用改进型卡塞格林系统(R-C系统)、光阑校正球面透镜组和视场校正球面透镜组相结合的结构.其中R-C系统的主镜和次镜的通光面均为双曲面，可有效校正球差和彗差.在次镜前加入的光阑校正球面透镜组可校正系统残余的像散、场曲和畸变，在次镜与像面之间加入的视场校正球面透镜组进一步增大整个光学系统的视场.根据像差理论计算并确定了光学系统的初始结构参数，利用Zemax光学设计软件进行了光学系统的结构优化设计，并对设计结果进行分析与评价.

1 应用指标及光学系统主要技术参数设定

星敏感器要求其光学系统在450~950 nm光谱范围内对恒星实施探测，并采用像元尺寸为15 μm × 15 μm的CCD探测器对所探测的恒星进行成像，极限探测星等为15等星.成像的最终目的是在全视场范围内得到恒星在CCD探测器上具有一定光斑直径分布的像点弥散斑，并且像点弥散斑的能量分布均匀且接近高斯分布，以便计算其质心^{[15, 16]}.星敏感器光学系统与一般成像物镜的使用目的有较大差别，其结构设计应满足较小的像面弥散斑、较高的能量集中度和较大的传递函数值的设计需求^{[17, 18]}，因此在光学系统结构设计前需要确定其技术参数，如焦距、入瞳直径、视场角、光谱范围、中心波长等，主要是由CCD的特性参数、需要探测的星等、在视场内出现的恒星数目、恒星的光谱分布规律以及后续算法对像质的要求决定^{[19, 20]}.在CCD探测器和后续算法已经选定情况下，光学系统的入瞳直径越大，探测视场就越宽，进入CCD探测器的能量也越多，从而探测极限星等的能力越强.根据星敏感器的结构设计要求，确定光学系统的最大入瞳直径为250 mm，星敏感器光学设计指标如表 1所示.

2 光学系统的光路设计

根据表 1列出的技术参数，考虑到在450~950 nm较宽的光谱范围内形成的像差会严重制约星敏感器的测量精度^{[21, 22]}，提出了一种新的R-C系统和球面透镜组相结合的折反式星敏感器光学系统结构设计.R-C系统的主镜和次镜的通光面均为双曲面，可有效校正初级球差和慧差.星敏感器光学系统的半视场需要达到1.4°.为此，在次镜前加入光阑校正球面透镜组可校正系统残余的像散、场曲和畸变.同时，在次镜与像面之间加入的视场校正球面透镜组用以增大整个光学系统的视场，从而提高光学系统的探测精度和星敏感器的成像质量.

对于R-C系统，根据初级像差理论和共轴两反射镜面型系数计算公式得^{[14, 23]}

式中，R₁=250 mm为主镜的顶点半径，R₂为次镜的顶点半径，α=R₂/R₁为次镜的遮拦比，反映了次镜的大小和位置，β为次镜的放大倍数，反映次镜的放大率以及物像位置关系.

球差S₁为

式中，e₁²、e₂²分别表示主镜、次镜的面型参数，与主镜、次镜的加工公差有关.

慧差S₂为

像散S₃为

畸变S₄为

场曲S₅为

当S₁=S₂=0，可得

根据250 mm的光学系统入瞳直径并考虑到次镜座和次镜支撑杆的遮拦，次镜的顶点半径最大值为107.5 mm，因此，次镜的遮拦比α不超过0.43.将α的最大值代入式(7)和(8)中，得到系统的二次曲面系数e₁²、e₂²随β的变化曲线，如图 1所示.e₁²随β值的变化不大，说明β值的大小对主镜的加工公差影响不明显.而e₂²明显随β值的增大而增大，说明β值的大小对次镜的加工公差影响较大.由于e₂²值越小，次镜的加工公差要求就越严格，因此，在综合考虑公差要求、设计难度和设计经验的基础上，取β=－5，然后将α、β代入到式(7)和(8)中，求解得到e₁²=1.060 4，e₂²=2.524 1，确定R-C光学系统主镜和次镜的面型，主镜与次镜之间的初始间距设l=140 mm，则确定R-C系统初始结构如图 2(a)所示.

图 1. e₁²和e₂²随β的变化曲线

Fig. 1. Curves of e₁² and e₂² versus β

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图 2. 光学系统光路的优化设计

Fig. 2. Optimal design of optical path of optical system

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由于所设计的星敏感器光学系统口径较大，初始光学系统在优化过程中可设置的有限可变参数造成畸变等像差不能够得到完全的校正，从而达不到成像质量的要求.因此，考虑在R-C系统的次镜M₂前加入一对正负球面透镜(C₁、C₂)作为光阑校正球面透镜组来矫正光学系统的像散、场曲和畸变，在R-C系统的次镜M₂与像面之间加入一组同轴球面透镜(C₃、C₄、C₅)作为视场校正球面透镜组来扩大光学系统的视场，同时利用正负透镜相结合的方法来减小C₁~C₅各球面补偿透镜所引入的色差.像面前未加入CCD探测器的盖板玻璃，主要原因是盖板玻璃对于光学系统的影响主要体现在CCD探测器焦面的大小和盖板玻璃的厚度，当焦面较大、盖板玻璃较厚时通常要考虑其对像质的影响，而焦面较小且盖板玻璃较薄时，通常不会考虑盖板玻璃对于光学系统的影响.本文选择的CCD探测器的盖板玻璃较薄，约1 mm，它对能量系统的影响主要是对离焦的影响，而对像质的影响很小，所以没有考虑盖板玻璃对于光学系统像质的影响.设计的星敏感器光学系统的光路如图 2(b)所示.将初始结构参数，如主镜的顶点半径R₁=250 mm、次镜的顶点半径R₂=107.5 mm、主镜面型参数e₁²=1.060 4、次镜面型参数e₂²=2.524 1和主、次镜初始间距l=140 mm置入光学设计软件Zemax，通过Zemax软件的操作数对光学系统结构进行优化设计，最终达到成像质量的要求.其中Zemax软件根据入瞳直径250 mm的设定确定各个透镜及反射镜的直径d，采用EFFL操作数控制光学系统整体焦距达到425 mm，采用TTHI操作数控制C₁~C₅五个球面镜和M₁、M₂两个反射镜的通光面曲率半径r_ij、厚度T以及相邻两个球面镜的空气间隔L；采用操作数AXCL控制光学系统整体的倍率色差.主镜M₁为空心反射镜，空心直径与C₃、C₄、C₅的直径一致.次镜M₂为实心反射镜，镶嵌在C₂右侧的光线出射面上，M₂的通光面曲率半径均与C₂的光线出射面曲率半径一致，镶嵌深度与M₂的厚度一致.优化设计后的星敏感器光学系统各透镜参数如表 2所示，所设计的系统总长为339 mm，质量为1.45 kg.表 3给出了国内外不同型号的星敏感器的指标^[24]，能够看出，相较于国内外大多数星敏感器，本文设计的星敏感器在探测星等和质量等技术指标上都有一定的提高.

3 光学系统像质评价

星敏感器光学系统的成像质量评价标准包括点列图、畸变曲线、能量集中度曲线、倍率色差曲线等.在450~950 nm光谱范围内，0.0°中心视场、0.7°视场、1°视场、1.2°视场、1.4°视场的点列图如图 3所示，各视场的弥散斑圆度很好，弥散斑大小比较均匀.各视场弥散圆的直径大小和能量中心偏移量如表 4所示，弥散斑的直径随着视场角的增加而增大，0.0°中心视场的弥散斑直径始终小于其它各视场的弥散斑直径.1.4°视场的弥散斑直径最大，达到15.03 μm.0.7°视场和1°视场的能量中心偏移量最大，分别为0.039 μm和0.027 μm，完全满足能量中心偏移量小于0.43 μm的指标.

图 3. 光学系统点列图

Fig. 3. Spot diagram of optical system

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星敏感器光学系统的相对畸变曲线如图 4所示，相对畸变越小，越有利于提高星敏感器的测量精度.通过优化设计，从－1.4°至+1.4°的全视场范围内的最大相对畸变为0.081%，完全满足相对畸变小于0.1%的设计指标.图 5表示星敏感器光学系统的倍率色差曲线，图 5(a)代表各视场短波和长波之间的倍率色差曲线，图 5(b)代表不同波长与中心波长之间的倍率色差曲线，表 5分别给出了短波-长波、短波-中心波长和长波-中心波长的倍率色差值.从结果可以看出，最大倍率色差为1.138 μm，完全满足倍率色差小于2 μm的设计指标.图 6为光学传递函数(Modulation Transfer Function，MTF)曲线，在奈奎斯特频率34 lp/mm处的MTF大于0.75，满足MTF大于0.5的设计指标.图 7为能量集中度曲线，从图中能够看出，能量分布更为均匀，能量集中度的分布情况理想，能量集中度在80%以上的弥散斑直径均在15 μm以内，同时弥散斑直径在30 μm以内的能量集中度均超过95%，因此较小的弥散斑直径能够精准地补偿加工公差.

图 4. 相对畸变曲线

Fig. 4. Relative distortion curves

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图 5. 星敏感器光学系统的倍率色差曲线

Fig. 5. The lateral aberration curve of the optical system of star sensor

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图 6. 星敏感器光学传递函数曲线

Fig. 6. MTF curves of the star sensor

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图 7. 能量集中度曲线

Fig. 7. Curves of the encircled energy

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4 光学系统公差分析

星敏感器光学系统是一种高成像质量的光学系统，在设计阶段，不仅要进行光学系统像质评价，还要对光学镜头加工和装调过程中影响成像的误差进行分析，即公差分析.对每个光学系统镜头进行合理的公差分配，最终达到实际成像质量的指标要求，不合理的公差分配将会影响星敏感器的加工、装调的难度，并延长研制周期.

根据光学元件加工标准，给出了公差设置数据如图 8所示，设置公差后，公差数据编辑器包括107项，在ZEMAX公差分析中，模式选择“Sensitivity”，蒙特卡罗分析值设置为20，其他则选择默认状态，根据公差灵敏度分析，微小的均方根(Root-Mean-Square，RMS)光斑半径为4.683 97 μm，估计该变量为3.130 62 μm，估算的RMS光斑半径为7.814 60 μm，整个光斑保持在2×2个像素的范围内，且光斑变化不大，公差设置基本合理.

图 8. 光学镜头公差设置

Fig. 8. Optical lens tolerance setting

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通常情况下，经过加工装调后的光学系统成像弥散斑半径小于指标值的蒙特卡罗概率应控制在50%以上.从表 6展示的所设计星敏感器光学系统的20次蒙特卡罗统计分析结果可以看出，当蒙特卡罗概率为50%时，其弥散斑半径小于6.310 13 μm；当蒙特卡罗概率为90%时，其弥散斑半径小于7.509 63 μm，完全满足光学系统弥散斑半径小于15 μm的指标要求，为加工和安装过程中的误差提供依据.通过公差分析，按照所设定的公差要求进行光学元件的加工和装调，从而能够减小加工、装调过程中各种误差对光学系统像质的影响.

5 结论

本文基于R-C系统、光阑校正球面透镜组和视场校正球面透镜组相结合的结构，设计了一种入瞳直径为250 mm、半视场为1.4°、光谱范围为450~950 nm、焦距为425 mm且能够矫正像散、色差和畸变的大口径折反式星敏感器光学系统.该光学系统的次镜遮拦为0.43，80%的能量集中在30 μm内，最大畸变为0.081%，光学传递函数MTF在奈奎斯特频率33.3 lp/mm处大于0.75，最大倍率色差为1.138 μm.最终设计结果表明，整个光学系统的像质良好，各视场弥散斑均匀，圆度良好，弥散斑的大小控制在指标要求范围内，满足星敏感器对恒星探测的成像指标要求.通过公差分析可知，选定的公差值能够很好地满足光学系统性能基本要求，20次蒙特卡罗结构的绩效函数中，绩效函数小于等于7.509 63 μm的结构有90%，绩效函数小于等于7.303 33 μm的结构有80%，绩效函数小于等于6.310 13 μm的结构有50%，绩效函数小于等于5.389 58 μm的结构有20%，绩效函数小于等于5.136 95 μm的结构有10%，通过改变背焦对公差进行补偿，背焦改变范围为－0.32~0.17 mm.