算符组合激发双模压缩真空态的量子特性

叶希梅; 卢道明

doi:doi:10.3788/LOP55.012701

激光与光电子学进展, 2018, 55 (1): 012701, 网络出版: 2018-09-10

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Quantum Properties of Two-Mode Squeezed Vacuum States Excited by Combination Operators

论文大纲

叶希梅卢道明 ^*

作者单位

武夷学院机电工程学院, 福建武夷山 354300

量子光学算符组合双模压缩真空态量子特性 quantum optics combination operator two-mode squeezed vacuum state quantum property

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摘要

将(a,b)双模产生算符组合和双模压缩算符先后作用在双模真空态上,构建了算符组合激发双模压缩真空态。采用数值计算方法,讨论了双模压缩参数和组合系数对b模压缩效应、反聚束效应、Q参量及两模间纠缠量等量子特性的影响。研究结果表明,b模光场不呈现压缩效应;随着压缩参数或组合系数u的增大,b模的反聚束效应和亚泊松分布性质均减弱。随着压缩参数的增大,两模间纠缠量增大;双模间纠缠量与算符组合系数间存在非线性关系。

Abstract

With the successive operation of the creation operator combination of two-mode (a, b) and the two-mode squeezing operator on a two-mode vacuum state, a two-mode squeezed vacuum state excited by combination operators is constructed. By the numerical calculation method, the influences of two-mode squeezing parameter and combination coefficient on the quantum properties such as the squeezing effect of mode b, the anti-bunching effect, the Q parameter and the two-mode entanglement degree are discussed. The study results show that the mode b does not display the squeezing effect while the anti-bunching effect and the sub-Poissonian distribution property of mode b are both weakened with the increase of the squeezing parameter or the combination coefficient u. The entanglement degree between the two modes becomes larger with the increase of the squeezing parameter. And there exists a non-linear relationship between the two-mode entanglement degree and the operator combination coefficient.

1 引言

量子态光场在量子隐形传态、量子密钥分配、量子密集编码和量子计算等方面具有重要作用。因此,新量子态光场的构建及其量子特性的研究一直是量子光学领域中的重要课题之一。近年来,对不同物理系统中光场的量子特性已有详细研究^[1-2]。在量子态构建方面,利用态叠加原理及利用算符作用在参考态上产生新的量子态是两种常见的方法。1991年,Agarwal等^[3]首次提出将产生算符作用在相干态上的方法来构建激发相干态,并讨论了它的非经典效应。在此基础上,研究者们提出了利用产生算符和湮没算符多次作用、光场算符的叠加作用、单双模压缩算符的连续作用以及厄密多项式算符作用等方法构建新的量子态^[4-17]。例如,兰海江等^[4]重构了相干态的多光子激发相干态,并讨论了该量子态的非经典特性。Wang等^[5]研究了光子增加双模压缩相干态的统计性质。Biswas等^[6]讨论了光子减压缩态的消相干。Lee等^[7]提出了一种利用产生算符和湮没算符的叠加产生相干叠加态的方法。Ren等^[8]引入厄密多项式光子增加算符,并将其作用在奇偶相干态上,构建了新的量子态。实验上,李强等^[18]获得了纯度为0.993的双模压缩态光场。

本文对将算符作用在参考态上构建新量子态的方法进行了推广,将双模产生算符组合作用在双模压缩真空态上,构建了算符组合激发压缩真空态;并采用数值计算方法研究了该量子态的压缩效应、反聚束效应、亚泊松分布和双模间纠缠等量子特性,讨论压缩参数和一模的激发作用对另一模量子特性的影响。

2 算符组合激发双模压缩真空态

在纠缠态|η>表象中,双模压缩算符^[19]表示为

\begin{matrix} \begin{matrix} S_{2} (λ) = \overset{\infty}{\int_{- \infty}} \frac{d^{2} η}{πμ} | \frac{η}{μ} > < η | = \\ \exp (a^{+} b^{+} \tan h λ) \times \exp [(a^{+} a + b^{+} b + 1) \\ \ln (\sec h λ)] \times \exp (- abtan h λ) = \\ \exp [λ (a^{+} b^{+} - ab)], (1) \end{matrix} \end{matrix}

式中μ=e^λ,λ为压缩参数,a、b分别为双模湮灭算符,上标+代表产生算符。

将(1)式表示的双模压缩算符作用在双模真空态|00>上,得到双模压缩真空态:

\begin{matrix} \begin{matrix} | φ (0) > = S_{2} (λ) | 00 > = \sec h λ \times \\ \exp (a^{+} b^{+} \tan h λ) | 00 > 。 (2) \end{matrix} \end{matrix}

现将双模产生算符组合ua⁺+vb⁺(u,v为相关参数)作用在|φ(0)>上,构建算符组合激发双模压缩真空态,即

\begin{matrix} | φ > = N (u a^{+} + v b^{+}) S_{2} (λ) | 00 >, (3) \end{matrix}

式中N为归一化系数。

利用双模压缩变换

\begin{matrix} \{\begin{matrix} S_{2}^{+} (λ) a S_{2} (λ) = acos h λ + b^{+} \sin h λ \\ S_{2}^{+} (λ) b S_{2} (λ) = bcos h λ + a^{+} \sin h λ \end{matrix}, (4) \end{matrix}

以及归一化条件<φ|φ>=1,不难推出

\begin{matrix} N^{- 2} = \cos h^{2} λ 。 (5) \end{matrix}

下面将利用(3)式讨论a模的激发作用对b模量子特性的影响。

3 b模的压缩效应

对于b模光场,定义光场算符的两个正交分量

\begin{matrix} \{\begin{matrix} F_{1} = \frac{1}{2} (b + b^{+}) \\ F_{2} = \frac{1}{2 i} (b - b^{+}) \end{matrix} 。 (6) \end{matrix}

由于对易关系[F₁,F₂]=i/2,因此,如果F_i(i=1,2)的均方涨落满足

\begin{matrix} Δ F_{i}^{2} = < F_{i}^{2} > - < F_{i} >^{2} < \frac{1}{4}, (7) \end{matrix}

则称光场的F_i分量被压缩。

定义反映F_i分量被压缩的参量

\begin{matrix} \{\begin{matrix} Y_{1} = \frac{1}{4} [< b^{2} + b^{+ 2} > + 2 < b^{+} b >] - \frac{1}{4} < b + b^{+} >^{2} \\ Y_{2} = \frac{1}{4} [- < b^{2} + b^{+ 2} > + 2 < b^{+} b >] + \frac{1}{4} < b - b^{+} >^{2} \end{matrix}, (8) \end{matrix}

则Y_i<0(i=1,2)表示对应的F_i分量被压缩。利用(3)式,求得

\begin{matrix} \begin{matrix} \{\begin{matrix} < b > = < b^{+} > = 0 \\ < b^{2} > = < b^{+ 2} > = uvsin h (2 λ) \\ < b^{+} b > = \sin h^{2} λ + u^{2} \sin h^{2} λ + v^{2} \cos h^{2} λ \\ Y_{1} = \frac{1}{4} (4 uvsin h λ \times \cos h λ + 2 u^{2} \sin h^{2} λ + \\ 2 v^{2} \cos h^{2} λ + 2 \sin h^{2} λ) > 0 \\ Y_{2} = \frac{1}{4} (- 4 uvsin h λ \times \cos h λ + 2 u^{2} \sin h^{2} λ + \\ 2 v^{2} \cos h^{2} λ + 2 \sin h^{2} λ) > 0 \end{matrix}, (9) \end{matrix} \end{matrix}

这一结果表明b模光场不呈现压缩效应。

4 b模光场的反聚束效应

光场的聚束和反聚束性质,可以用光场的二阶关联函数来描述。对于b模光场,二阶关联函数定义为

\begin{matrix} g^{2} = \frac{< b^{+ 2} b^{2} >}{< b^{+} b >^{2}} 。 (10) \end{matrix}

定义参量

\begin{matrix} G = g^{2} - 1 。 (11) \end{matrix}

若G<0,则表明b模光场呈现反聚束效应。利用(3)式,求得

\begin{matrix} \begin{matrix} \{\begin{matrix} < b^{+} b > = \sin h^{2} λ + u^{2} \sin h^{2} λ + v^{2} \cos h^{2} λ \\ < b^{+ 2} b^{2} > = 6 u^{2} \sin h^{4} λ + 2 v^{2} \sin h^{4} λ + \\ v^{2} \sin h^{2} (2 λ) \end{matrix} 。 (12) \end{matrix} \end{matrix}

利用(10)式和(12)式,当压缩参数λ分别取0.2,0.5,1.0时,G随组合系数u的演化曲线如图1所示,其中实线、虚线和点线分别对应于λ取0.2,0.5,1.0的情况。由图1可知,随着压缩参数λ逐渐增大,曲线重心逐渐提高,反聚束效应减弱,直至反聚束效应消失。这表明,随着压缩参数λ的增大,b模的反聚束效应减弱。另一方面,随着算符组合系数u的增大,反聚束效应也减弱。当u大于一定值后,反聚束效应消失。这表明算符组合系数u值的增大即a模的激发作用增强,对b模的反聚束效应不利。

图 1. 不同λ下G随u的演化曲线

Fig. 1. G versus u under different λ

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5 光场的统计性质

为了描述b模光场的亚泊松分布性质,引入参量

\begin{matrix} \begin{matrix} Q = \frac{< (a^{+} {a)}^{2} > - < a^{+} a >^{2}}{< a^{+} a >} - 1 = \\ \frac{< a^{+ 2} a^{2} > - < a^{+} a >^{2}}{< a^{+} a >}, (13) \end{matrix} \end{matrix}

Q等于、大于、小于0分别对应统计性质为泊松分布、超泊松分布和亚泊松分布。

将(12)式代入(13)式,对Q参量进行数值计算。当压缩参数λ为0.2,0.5,1.0时, Q参量随u

的演化如图2所示。可以看到,随着压缩参数λ的增大,Q参量的演化曲线上移,光场的亚泊松分布性质减弱。随着算符组合系数u的增大,光场的亚泊松分布性质也减弱。这也表明u值的增大即a模的激发作用增强,对b模的亚泊松分布不利。

图 2. 不同λ下Q随u的演化曲线

Fig. 2. Q versus u under different λ

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图 3. 不同λ下E随u的演化曲线。(a) λ=0.1;(b) λ=0.2;(c) λ=0.5;(d) λ=1.0

Fig. 3. E versus u under different λ. (a) λ=0.1; (b) λ=0.2; (c) λ=0.5; (d) λ=1.0

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6 两模间的纠缠

为了描述双模光场两模间的纠缠,采用Hillery等^[20]提出的纠缠度量方法,定义纠缠量

\begin{matrix} E = < a^{+} a > < b^{+} b > - {|< ab >|}^{2}, (14) \end{matrix}

若E<0,则两模间是纠缠的。利用(3)式,求得

\begin{matrix} \{\begin{matrix} < a^{+} a > = \sin h^{2} λ + u^{2} \cos h^{2} λ + v^{2} \sin h^{2} λ \\ < b^{+} b > = \sin h^{2} λ + u^{2} \sin h^{2} λ + v^{2} \cos h^{2} λ \\ < ab > = \sin h (2 λ) \end{matrix} 。 (15) \end{matrix}

将(15)式代入(14)式进行数值计算,得到双模间纠缠量E随算符组合系数u的演化曲线,如图3所示。可以看到,随着压缩参数的增大,曲线负值区域增大,负值深度加深。这表明随着压缩参数的增大,态的两模间纠缠量变大。另一方面,随着算符组合系数u逐渐增大,双模间纠缠量E呈现先减小而后又变大的过程。这体现出E与u之间的非线性关系。

7 结论

推广了算符作用构建新量子态的方法,构建了算符组合激发双模压缩真空态。通过对其b模的压缩效应、反聚束效应、Q参量以及两模间纠缠量的计算,研究了该量子态的量子特性,讨论了双模压缩参数和组合系数u对其量子特性的影响,得到以下结论。

1) b模光场不出现压缩效应。

2) 随着压缩参数的增大,b模的反聚束效应和亚泊松分布性质减弱。

3) a模激发作用的增强,对b模的反聚束效应和亚泊松分布性质不利。

4) 随着压缩参数的增大,算符组合激发双模压缩真空态的两模间纠缠量增大。E与u间存在非线性关系。

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叶希梅, 卢道明. 算符组合激发双模压缩真空态的量子特性[J]. 激光与光电子学进展, 2018, 55(1): 012701. Ye Ximei, Lu Daoming. Quantum Properties of Two-Mode Squeezed Vacuum States Excited by Combination Operators[J]. Laser & Optoelectronics Progress, 2018, 55(1): 012701.

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1 引言

2 算符组合激发双模压缩真空态

3 b模的压缩效应

4 b模光场的反聚束效应

图 1. 不同λ下G随u的演化曲线

Fig. 1. G versus u under different λ

5 光场的统计性质

图 2. 不同λ下Q随u的演化曲线

Fig. 2. Q versus u under different λ

图 3. 不同λ下E随u的演化曲线。(a) λ=0.1;(b) λ=0.2;(c) λ=0.5;(d) λ=1.0

Fig. 3. E versus u under different λ. (a) λ=0.1; (b) λ=0.2; (c) λ=0.5; (d) λ=1.0

6 两模间的纠缠

7 结论

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1 引言

2 算符组合激发双模压缩真空态

3 b模的压缩效应

4 b模光场的反聚束效应

图 1. 不同λ下G随u的演化曲线

Fig. 1. G versus u under different λ

5 光场的统计性质

图 2. 不同λ下Q随u的演化曲线

Fig. 2. Q versus u under different λ

图 3. 不同λ下E随u的演化曲线。(a) λ=0.1;(b) λ=0.2;(c) λ=0.5;(d) λ=1.0

Fig. 3. E versus u under different λ. (a) λ=0.1; (b) λ=0.2; (c) λ=0.5; (d) λ=1.0

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