0 引言

全球导航卫星系统(Global Navigation Satellite System，GNSS)接收机广泛应用于地壳形变监测、大气探测、建筑物形变测量、地质灾害预防等领域，其超短基线和短基线的测量重复性精度达到0.1 mm量级.实际工作中发现，天线连接器的同轴度误差在0.1 mm到1 mm量级，已经影响了测量结果的准确性.但是，测绘行业的GNSS规程规范均未对连接器的同轴度误差提出要求，更缺失相关测量方法^[1-3].研究连接器的同轴度误差测量技术，可以厘清连接器对GNSS测量的影响机制，有助于提高GNSS测量的准确性.

GNSS天线连接器主要由基座(Tribrach)、承载器(Carrier)等构成，拥有三段轴线，上段外轮廓为螺杆，下段外轮廓为螺纹孔，中段外轮廓不规则，传统方法难以直接测量其同轴度误差.GB/T 1958-2017中主要使用了圆柱度仪、坐标测量机、偏摆仪、圆度仪等测量方法^[4]，以及李静等^[5]设计的V型光栅高度尺测量法均为接触式测量技术.郭媛等^[6]使用线阵CCD和激光光源对轧辊磨损度进行在线测量，补偿轧辊轴线偏移.佟金等^[7]使用面阵CCD采集大型台阶轴锻件侧面图像，实现同轴度在线测量.激光位移传感器与旋转测量臂结合，可解决大尺寸内径的同轴度检测问题^[8-10]；机器视觉测量技术与测量机器人结合，实现汽车曲轴圆柱度的检测^[11].上述各种方法均通过测量侧面轮廓求取同轴度误差，要求测量对象为圆柱形，不适用于外轮廓不规则的GNSS天线连接器.

吕乃光、易亚星、吕植勇、仓玉萍等^[12-15]将激光准直技术应用于孔-孔或轴-轴同轴度测量，解析准直激光在接收器上的椭圆投影曲线，实现双轴线结构的同轴度误差测量.陈涛等^[16]把显微视觉测量技术用于精密同轴测量，通过测量轴孔端面圆心的相对位置，能够获得优于8 μm的精度.激光准直技术关注双轴线结构的运动特征，显微视觉技术关注轴孔端面的相对位置，这两种技术均对被测对象的侧面轮廓不敏感，对本研究具有借鉴意义.

本文在分析运动特征基础上建立了GNSS天线连接器的同轴度误差数学模型，设计了基于机器视觉和水平转台的测量方案并搭建了测量装置，通过测量水平转台转接螺杆端面和天线连接器端面旋转轨迹，解算天线连接器各轴线间的偏移向量以及天线连接轴线相对水平转台轴线的偏移向量，最终得到天线连接器的同轴度误差.

1 连接器同轴度误差数学模型

1.1 同轴度数学模型

GB/T 1958-2017中使用最小区域判别法定义同轴度误差，如图 1所示，以基准轴线A₁为轴线的圆柱面C₂包容了被测圆柱面C₁的提取中心线A₂，提取中心线A₂与该圆柱面C₂至少有一点接触，则圆柱面C₂内的区域即为同轴度误差的最小包容区域^[4].

图 1. 同轴度误差模型Coaxiality error model

Fig. 1. 同轴度误差模型Coaxiality error model

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1.2 连接器的同轴度误差模型

GNSS天线连接器具有调平和旋转功能，其机械结构如图 2(a)所示，基座底部的螺纹孔用于连接观测墩，基座中部的三个脚螺旋用于连接器的调平，承载器使用三爪结构固定在基座上，承载器内部使用轴孔配合实现旋转功能，承载器顶部是安置GNSS天线的螺纹杆.

图 2. 连接器及其同轴度误差模型Connector and coaxiality error model

Fig. 2. 连接器及其同轴度误差模型Connector and coaxiality error model

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为定量分析连接器的同轴度误差构成，建立数学模型^[17-19]，如图 2(b)所示.中心轴线主要分三段：基座底部螺纹孔的中心线a₁、承载器旋转轴的轴线a₂和承载器顶部螺纹杆中心线a₃.以轴线a₁为基准轴线，连接器同轴度误差主要包括：轴线a₂相对于轴线a₁的误差表现为倾斜和偏移，倾斜误差使用绕x轴和y轴的旋转量δx₁和δy₁表示，偏移误差使用沿x轴和y轴的偏移量Δx₁和Δy₁表示；轴线a₃相对于轴线a₂的误差表现为偏移，用Δx₂和Δy₂表示.

1.3 连接器的同轴度误差简化模型

连接器同轴度的各项误差，最终体现在承载器顶部螺纹杆端面处轴线a₃相对轴线a₁的偏移.轴线a₂的倾斜误差也包含在a₃相对a₁的偏移误差测量结果里，而倾斜误差δx₁和δy₁的调整精度是测量结果的不确定度来源之一.因此，在空间坐标系内可建立同轴度误差的简化模型，用向量描述轴线a₁、a₂和a₃的几何偏移关系.如图 3所示，O₁x₁y₁z₁是轴线a₁所在的坐标系，O₂x₂y₂z₂是轴线a₂所在的坐标系，O₃x₃y₃z₃是轴线a₃所在的坐标系，z₁、z₂和z₃轴分别表示轴线a₁、a₂和a₃.

图 3. 简化模型Simplified model

Fig. 3. 简化模型Simplified model

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轴线a₁和a₂的空间关系可以用向量$ \overrightarrow {{O^\prime }_1{O_2}} $表示，轴线a₂和a₃的空间关系可以用向量$\overrightarrow {{O_2}{O_3}} $表示.轴线a₃与轴线a₁的最大偏差即为同轴度误差最小包容区域的半径.由于轴线a₃可绕轴线a₂旋转，轴线a₃与轴线a₁的最大偏差

1 $ E = {\rm{ }}\left| {\overrightarrow {{O^\prime }_1A} } \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| {\overrightarrow {{O^\prime }_1{O_2}} } \right| + {\rm{ }}\left| {\overrightarrow {{O_2}A} } \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| {\overrightarrow {{O^\prime }_1{O_2}} } \right| + {\rm{ }}\left| {\overrightarrow {{O_2}{O_3}} } \right| $

事实上，承载器的旋转轴在连接器内部，无法直接测量，轴线a₂与基座底部螺纹孔的轴线a₁的相对位置难以确定，即向量$\overrightarrow {{O^\prime }_1{O_2}} $无法直接测得.为了解决上述难题，本文提出了水平转台和机器视觉结合的测量方法，并研制了测量装置.

2 同轴度误差测量技术

2.1 测量装置设计

测量装置的结构如图 4所示，主要包括水平转台、工业相机和环形光源等.水平转台中心有转接螺杆，水平转台通过轴承安装在底座上，底座下方的脚螺旋用于调平水平转台，视觉测量系统和环形光源通过直线导轨安装在底座上.以精密管水准器为基准，调节脚螺旋精确调平水平转台.调节纵向直线导轨的手轮控制视觉测量系统上下移动，控制相机的成像清晰度；调节横向直线导轨的手轮控制视觉测量系统横向移动，调节相机光轴与转接螺杆大致同轴.

图 4. 装置结构图Device structure drawing

Fig. 4. 装置结构图Device structure drawing

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2.2 测量方案

测量前，使用Thorlab的同心正方形测试靶标定相机的像素值.测量时，被测连接器安置在水平转台上，水平转台中心的转接螺杆和被测连接器底部的螺纹孔配合.转接螺杆轴线相对水平转台轴线的偏移是测量装置的一项系统误差，可以通过测量实现修正，而水平转台的旋转稳定性是测量结果不确定度的来源之一.为解析测量过程，构建了连接器同轴度误差测量模型，如图 5所示.

图 5. 同轴度误差测量模型Measurement model of coaxiality error

Fig. 5. 同轴度误差测量模型Measurement model of coaxiality error

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考虑到水平转台中心转接螺杆与水平转台旋转轴之间存在同轴度误差，便于数据计算时对该误差进行修正，模型中建立了水平转台轴线的坐标系Oxyz，并作为基准坐标系.以下为测量天线连接器同轴度误差的实施过程：

1) 使用分度值为60″的管水准泡精确调平水平转台.

2) 测量转接螺杆轴线相对水平转台轴线的偏移，即向量$\overrightarrow {O{O_1}} $：调节视觉测量系统成像清晰度，使用THORLABS同心正方形靶标定相机，从0刻度开始旋转水平转台一周，每间隔一定角度(为保证圆心轨迹拟合精度，间隔角度应不大于60°)，采集转接螺杆端面图像一幅，提取图像中端面圆心坐标，拟合得到转接螺杆轴线的旋转轨迹；该轨迹的圆心就是水平转台的轴心在xOy面的投影，即坐标系Oxyz的原点 O；轨迹半径r₁作为向量$\overrightarrow {O{O_1}} $的模， O点到第一幅图像中转接螺杆端面的圆心 O₁的连线可确定向量$\overrightarrow {O{O_1}} $的方向α；向量$\overrightarrow {O{O_1}} $可得.

3) 测量连接器顶部螺纹杆轴线相对水平转台轴线的偏移，即向量$\overrightarrow {{O^\prime }{O_3}} $：把连接器安置在水平转台上并精确调平；调节视觉测量系统对连接器螺杆端面清晰成像，从0刻度开始旋转水平转台一周，采集螺纹杆端面图像一组，提取图像中圆心坐标，拟合得到螺纹杆轴线的旋转轨迹，该轨迹的半径r₂作为向量$\overrightarrow {{O^\prime }{O_3}} $的模；0刻度时螺纹杆端面的圆心为O₃x₃y₃z₃的原点O₃，O₃到z轴的垂线可确定向量$\overrightarrow {{O^\prime }{O_3}} $的方向β；向量$\overrightarrow {{O^\prime }{O_3}} $可得，向量$\overrightarrow {{O^\prime }{O_3}} $在xOy面的投影为向量$\overrightarrow {O{O_3}^\prime } $.

4) 修正水平转台的误差向量$\overrightarrow {O{O_1}} $后，可得连接器顶部螺纹杆轴线相对于基座底部螺纹孔轴线的偏移，即向量$\overrightarrow {{O_1}{O_3}^\prime } $.

5) 测量连接器顶部螺纹杆轴线相对中部承载器轴线的偏移，即向量$\overrightarrow {{O_2}{O_3}} $：水平转台旋转至0刻度后锁止；旋转连接器的承载器一周，采集连接器顶部螺纹杆的端面图像一组；提取图像中端面的圆心坐标，拟合得到螺纹杆轴线的旋转轨迹，该轨迹的圆心O₂就是承载器的轴线在x₃O₃y₃面的投影，轨迹的半径r₃作为向量$\overrightarrow {{O_2}{O_3}} $的模；O₂与第一幅图像中螺纹杆端面的圆心的连线可确定向量$\overrightarrow {{O_2}{O_3}} $的方向γ；向量$\overrightarrow {{O_2}{O_3}} $可得，向量$\overrightarrow {{O_2}{O_3}} $在xOy面的投影为向量$\overrightarrow {{O_2}^\prime {O_3}^\prime } $.

6) 计算承载器轴线相对于基座底部螺纹孔轴线的偏移向量$\overrightarrow {{O_1}{O_2}^\prime } $ =$\overrightarrow {{O_1}{O_3}^\prime } {\rm{ }}$－ $\overrightarrow {{O_2}^\prime {O_3}^\prime } $，则偏移量l计算为

2 $ \begin{array}{l} l = {\rm{ }}\left| {\overrightarrow {{O_1}{O^\prime }_2} } \right| = {\rm{ }}\left| {\overrightarrow {{O_1}{O^\prime }_3} {\rm{ }}\overrightarrow {{O^\prime }_2{O^\prime }_3} } \right| = [\left( {{\rm{sin}}\beta \times {r_2}{\rm{sin}}\alpha \times {r_1}{\rm{sin}}\gamma \times {r_3}} \right){^2} + \\ \;\;\;\;\;\;{\left( {{\rm{cos}}\beta \times {r_2}{\rm{cos}}\alpha \times {r_1}{\rm{cos}}\gamma \times {r_3}} \right)^2}{]^{1/2}} \end{array} $

偏移角度θ计算为

3 $ \theta = {\rm{arctan}}\frac{{{\rm{sin}}\beta \times {r_2}{\rm{sin}}\alpha \times {r_1}{\rm{sin}}\gamma \times {r_3}}}{{{\rm{cos}}\beta \times {r_2}{\rm{cos}}\alpha \times {r_1}{\rm{cos}}\gamma \times {r_3}}} $

7) 连接器的同轴度误差的最大值E为

4 $ \begin{array}{l} E = \left| {\overrightarrow {{O_1}{A^\prime }} } \right| = {\rm{ }}\left| {\overrightarrow {{O_1}{O^\prime }_2} } \right| + {\rm{ }}\left| {\overrightarrow {{O^\prime }_2{A^\prime }} } \right| = d + {r_3} = [({\rm{sin}}\beta \times {r_2}{\rm{sin}}\alpha \times {r_1}\\ \;\;\;\;\;{\rm{sin}}\gamma \times {r_3}{)^2} + \left( {{\rm{cos}}\beta \times {r_2}{\rm{cos}}\alpha \times {r_1}{\rm{cos}}\gamma \times {r_3}} \right){^2}{]^{1/2}} + {r_3} \end{array} $

3 测量实验与结果

测量实验现场图如图 6所示.为了提高测量装置的测量准确性，增强测量装置对不同型号GNSS连接器的适应性，设计了一种环形背景特征.测量时安装在被测螺杆上，用于辅助定位被测螺杆端面的圆心.

图 6. Image of experiment site

Fig. 6. Image of experiment site

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3.1 图像处理算法

考虑相机获取的图像有明显对称性，图像二值化后提取重心粗略估计各端面圆心；用Canny算法提取圆形边缘；设置大的半径值和阈值，使用高斯-牛顿迭代法拟合背景特征大圆的轮廓，解算大圆圆心坐标；在大圆圆心基础上设置被测端面的半径值和阈值，粗提取端面圆心坐标；在粗提取的圆心基础上设置新阈值再次过滤干扰边缘，得到精确的圆心坐标，图像的处理过程如图 7所示.

图 7. 转接螺杆端面圆心提取过程Extraction process of the center of the transfer screw end face

Fig. 7. 转接螺杆端面圆心提取过程Extraction process of the center of the transfer screw end face

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3.2 GNSS天线连接器同轴度误差测量实验

测量水平转台上的转接螺杆轴线相对水平转台轴线的偏移$\overrightarrow {O{O_1}} $时，逆时针旋转水平转台一周，每间隔20°采集一张水平转台转接螺杆的端面图像，图像组如图 8所示.按照3.1所述算法检测各图像中端面圆心坐标，拟合圆心轨迹如图 9所示.计算转接螺杆轴线相对水平转台轴线的偏移角度α为3.58 rad，相对偏移量r₁为6.00 pixels，本次实验相机的标定结果为0.022 mm/pixel，则r₁等于0.132 mm.

图 8. 转接螺杆端面图像Face images of the transfer screw

Fig. 8. 转接螺杆端面图像Face images of the transfer screw

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图 9. 转接螺杆端面圆心轨迹Center orbit of the transfer screw end face

Fig. 9. 转接螺杆端面圆心轨迹Center orbit of the transfer screw end face

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测量连接器顶部螺纹杆轴线相对水平转台轴线的偏移$\overrightarrow {{O^\prime }{O_3}} $时，把被测天线连接器安置在测量装置的转接螺杆上.旋转水平转台采集天线连接器顶部螺纹杆的端面图像，提取螺纹杆端面的圆心坐标，拟合圆心旋转轨迹如图 10(a)所示.计算β为3.31 rad，r₂为9.61 pixels，合0.211 mm.

图 10. 螺纹杆端面圆心轨迹Center orbits of the threaded rod end face

Fig. 10. 螺纹杆端面圆心轨迹Center orbits of the threaded rod end face

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测量天线连接器顶部螺纹杆轴线相对承载器旋转轴轴线的偏移$\overrightarrow {{O_2}{O_3}} $时，锁止水平转台，旋转承载器采集天线连接器顶部螺纹杆的端面图像，测量螺纹杆端面圆心的轨迹如图 10(b)所示.计算γ为3.47 rad，r₃为3.99 pixels，合0.088 mm.根据式(4)计算连接器同轴度最大误差E为0.138 mm.

使用本测量装置对一套天线连接器重复测量10次，测量数据见表 1.结果显示，同轴度误差的测量标准差为0.009 mm.

3.3 测量结果不确定度评定

同轴度误差测量结果的不确定度来源主要有水平转台的整平精度、水平转台的旋转稳定性、连接器底部螺纹孔与水平转台转接螺杆的配合间隙、被测连接器的整平精度、视觉测量系统的测量精度等.

1) 水平转台整平引入的不确定度u₁

使用格值d为60″的管水准器调节水平转台至水平状态，管水准器采用双端瞄准法，可使管水准器的分辨力提高一倍，达到0.5d.根据“测量不确定度评定与表示”规范^[20]，精确调平管水准器后，水平转台整平角度的标准不确定度计算公式为

$ {{u}_{\text{a}}}=\frac{0.5d}{2\sqrt{3}}\approx 9''$

被测连接器的高度h约200 mm，则由水平转台整平引起的，轴线a₃相对轴线a₁的偏移量的不确定度为

$ {u_1} = h \times {\rm{sin}}{u_{\rm{a}}} = 8.7\mu {\rm{m}} $

2) 水平转台旋转稳定性引入的不确定度u₂

旋转水平转台，测量水平转台中心转接螺杆轴线的旋转半径，重复测量10次，分别为0.131 mm，0.132 mm，0.131 mm，0.131 mm，0.132 mm，0.131 mm，0.132 mm，0.131 mm，0.131 mm，0.131 mm，标准偏差为0.4 μm.水平转台中心转接螺杆的偏差已经修正，但水平转台旋转稳定性引入的不确定度u₂=0.4 μm.

3) 连接器底部螺纹孔与水平转台转接螺杆配合间隙引入的不确定度u₃

把连接器的基座部分安置在水平转台上，测量基座螺纹孔轴线的旋转半径，取下基座重新安置再次测量旋转半径，重复上述过程共测量10次，分别为0.121 mm，0.120 mm，0.120 mm，0.123 mm，0.121 mm，0.120 mm，0.120 mm，0.121 mm，0.118 mm，0.121 mm，标准偏差为1.1 μm.连接器底部螺纹孔与水平转台转接螺杆配合间隙引入的不确定度u₃ = 1.1 μm.

4) 被测连接器整平引入的不确定度u₄和u₅

连接器自带格值d为60″的管水准器，可调节轴线a₂至铅垂状态.精确调平管水准器后，由轴线a₂的倾斜量δx₁和δy₁引起的，轴线a₃相对轴线a₁的偏移量的不确定度与u₁一致，则u₄ =u₅ = 8.7 μm.

5) 视觉测量系统分辨力引入的不确定度u₆

使用Thorlab的同心正方形测试靶标定视觉测试系统，标定目标选择边长为35 mm、边长为25 mm和边长为12.5 mm的正方形，标定结果分别为0.022 18 mm/pixel、0.022 10 mm/pixel和0.022 12 mm/pixel，使用三次标定最大差值估算视觉测量系统标定的不确定度，标定误差服从均匀分布，则视觉系统标定的不确定度为0.000 03 mm/pixel.“3.2 GNSS天线连接器同轴度误差测量实验”中，连接器同轴度误差偏移量不超过10 pixels，视觉测量系统分辨力引入的不确定度u₆=0.000 03 mm/pixel×10 pixels=0.000 3 mm=0.3 μm.

综上所述，同轴度误差测量结果的标准不确定度为

$ u = \sqrt {u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 + u_5^2 + u_6^2} \approx 15\mu {\rm{m}}$

取包含因子k=2，则同轴度误差单次测量结果的扩展不确定度u=30 μm(k=2).

3.4 GNSS超短基线测量结果修正实验

在一条超短基线两端分别架设参考GNSS接收机和测试GNSS接收机，连续观测10天，解算基线值如表 2所示.基线北南分量的标准差为0.13 mm，东西分量的标准差为0.10 mm，基线长度的标准差为0.13 mm.

每天更换一次测试GNSS接收机的天线连接器，同时记录基座和承载器的安置角度，进行6天的基线测量实验.6只连接器的同轴度误差测量结果如表 3所示，其中角φ是测量连接器同轴度误差时安置基座和连接器的初始角度.修正前后的基线测量结果如表 4所示，其中角φ₂是测量基线时基座的安置角度，φ₃是承载器的安置角度.综合连接器的同轴度误差测量结果以及测量基线时基座和承载器的安置角度，可以得到测量基线时每个连接器同轴度误差的北南分量和东西分量分别为NS_c和EW_c.

修正前，基线北南分量的标准差为0.35 mm，东西分量的标准差为0.53 mm，基线长度的标准差为0.48 mm.修正后，基线北南分量的标准差为0.14 mm，东西分量的标准差为0.18 mm，基线长度的标准差为0.15 mm.修正后基线长度及各分量的标准差略低于基线的重复测量精度，比修正前有明显提升.

4 结论

建立了连接器同轴度误差的数学模型，提出了测量技术方案并研制了测量装置.测量装置主要使用水平转台和机器视觉测量技术，通过测量各轴线间的偏移向量，得到同轴度误差的最大值.同轴度误差测量实验显示，测量装置对GNSS天线连接器的测量标准差为9 μm.综合考虑各项不确定度来源，评定同轴度误差单次测量的扩展不确定度u=30 μm(k=2).溯源链下级与上级间应保持1/3~1/10倍的等级级差，测量装置满足GNSS天线连接器0.1 mm至1 mm量级的同轴度误差的测量需求.使用连接器同轴度误差修正GNSS超短基线测量结果，可以显著提升基线测量精度.