基于最小一乘拟合的非均匀应变的数字图像相关测量

王学滨; 董伟; 杨梅; 张博闻; 余斌

doi:doi:10.3788/AOS202040.0312001

光学学报, 2020, 40 (3): 0312001, 网络出版: 2020-02-10

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Inhomogeneous Strain Measurement Based on Least Absolute Deviation Fitting for Digital Image Correlation

论文大纲

王学滨 ^1,2,*董伟 ^2,**杨梅 ³张博闻 ²余斌 ²

作者单位

¹ 辽宁工程技术大学计算力学研究所, 辽宁阜新 123000

² 辽宁工程技术大学力学与工程学院, 辽宁阜新 123000

³ 辽宁工程技术大学机械工程学院, 辽宁阜新 123000

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摘要

数字图像相关 (DIC) 方法是一种重要的位移和应变非接触式测量方法。为了对物体的非均匀应变进行准确测量,在DIC方法中引入位移最小一乘拟合,鉴于最小一乘拟合解析方法求解困难,采用基于模拟退火的混合粒子群算法进行求解。开展了虚拟剪切带形成的数值实验和相似材料断层滑移实验,并对非均匀变形条件下最小一乘拟合和最小二乘拟合的应变测量结果进行对比。研究发现:对于非均匀应变测量,最小一乘拟合的结果要优于最小二乘拟合;而对于均匀应变测量,两种方法具有相同的精度。

Abstract

The digital image correlation (DIC) method is an important non-contact displacement and strain measurement method. To accurately measure inhomogeneous strain, least absolute deviation fitting of displacements is introduced into the DIC method. As least absolute deviation fitting cannot be solved by analytical methods, a hybrid particle swarm optimization algorithm based on simulated annealing is used. By conducting numerical experiments on the formation of fictitious shear band and the similar material fault slip experiment, the strain measurement results of least square fitting and least absolute deviation fitting for inhomogeneous strain measurements are compared. Results show that the inhomogeneous strain measurement accuracy for least absolute deviation fitting is better than that for least square fitting, while these two methods exhibit the same accuracy for the homogeneous strain measurement.

1 引言

数字图像相关(DIC)方法^[1-2]是一种关于物体表面变形的测量方法,具有非接触、全场、操作简单、对设备要求低等特点^[3],在力学、机械、土木等领域得到了广泛的应用^[4-6]。在采用DIC方法对物体的变形进行测量时,人们更关注于物体的应变测量。在进行相关搜索过程中,有的DIC方法能直接获得应变,例如传统的牛顿-拉斐逊方法^[7],但是由于图像噪声和搜索算法误差的存在,直接获得的应变只在一定范围内可靠^[8],因此,人们对采用DIC方法获得的离散位移进行处理来获得应变,常用的处理方法包括有限元平滑^[9]和最小二乘拟合^[10-12]。有限元平滑通过将离散的位移数据组装成刚度矩阵,可一次性获得所有测点的应变,但该方法对划分节点网格质量要求很高,且编程较为复杂。最小二乘拟合易于编程实现,广大科研人员易于接受,已经成为DIC方法中获取应变的重要方法。

众所周知,对于均匀应变测量,最小二乘拟合具有很高的精度^[10-12]。然而,在许多情形下,需要对非均匀应变进行测量,例如材料应变局部化时^[13-14]。对于非均匀应变测量,最小二乘拟合可能会存在较大的误差,这是由于当应变计算窗口位于非均匀变形区域时,计算窗口内少数测点的应变与其他测点的差别较大,这相当于计算窗口中出现了“异常值”。最小二乘拟合对“异常值”的稳健性较差,可造成测量的应变偏离真实值,这是由于最小二乘拟合使用了平方函数对位移偏差进行估计,这容易放大“异常值”的影响^[15]。为了抑制“异常值”的影响,人们采用绝对值函数取代平方函数来进行位移偏差估计,由此提出数据拟合中的一种稳健方法——最小一乘拟合。虽然最小一乘拟合的提出比最小二乘拟合还早40多年,但是采用绝对值函数来进行偏差计算,解析求解困难,导致其应用较少^[16]。

本文对采用DIC方法获得的离散位移进行最小一乘拟合以测量非均匀应变。鉴于位移最小一乘拟合解析方法求解困难,采用基于模拟退火的粒子群算法^[17-18]进行求解。通过开展含应变梯度的水平剪切带形成的数值实验和相似材料断层滑移实验,验证了典型非均匀变形(应变局部化)条件下最小一乘拟合的应变测量结果的准确性。

2 DIC方法原理

DIC方法通过对变形前后图像的相关运算进行物体应变测量,其原理如图1所示。在参考图像上,选择P(x₀,y₀)为中心点,尺寸为(2M+1)pixel×(2M+1)pixel的样本子区,通过相关运算在目标图像上找到与样本子区最相似的目标子区,其子区中心点P'(x'₀,y'₀)即为变形后P(x₀,y₀)的位置。

图 1. DIC方法原理图

Fig. 1. Schematic of DIC method

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样本子区和目标子区的相似性可以用相关系数表示,一般采用C_ZNCC相关系数来表示两个子区的相关程度^[19]。设样本子区的灰度为f,目标子区的灰度为g,则P(x₀,y₀)的灰度为f(x₀,y₀),P'(x'₀,y'₀)的灰度为g(x'₀,y'₀),则两个子区的相关系数C_ZNCC可以表示为

\begin{matrix} C_{ZNCC} = \frac{\overset{M}{\sum_{i_{0} = - M}} \overset{M}{\sum_{j_{0} = - M}} [f(x_{0} + i_{0}, y_{0} + j_{0}) - \bar{f}] [g (x'_{0} + i_{0}, y'_{0} + j_{0}) - \bar{g}]}{\sqrt[]{\overset{M}{\sum_{i_{0} = - M}} \overset{M}{\sum_{j_{0} = - M}} [f(x_{0} + i_{0}, y_{0} + j_{0} {) - \bar{f}]}^{2} \overset{M}{\sum_{i_{0} = - M}} \overset{M}{\sum_{j_{0} = - M}} [g (x'_{0} + i_{0}, y'_{0} + j_{0} {) - \bar{g}]}^{2}}}, (1) \end{matrix}

式中: $\begin{matrix} \bar{f} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} \overset{M}{\sum_{i_{0} = - M}} \end{matrix} \begin{matrix} \overset{M}{\sum_{j_{0} = - M}} \end{matrix}$ f(x₀+i₀,y₀+j₀)/(2M+1)²; $\begin{matrix} \bar{g} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} \overset{M}{\sum_{i_{0} = - M}} \end{matrix} \begin{matrix} \overset{M}{\sum_{j_{0} = - M}} \end{matrix}$ g(x'₀+i₀,y'₀+j₀)/(2M+1)²。

在求解C_ZNCC的极值时,还需要给定样本子区的形函数,常用的有一阶形函数和二阶形函数^[3]。由于样本子区变形后并不总是在整像素位置,因此需要对目标图像进行灰度插值,常用的灰度插值函数是三次样条函数。

一般采用牛顿-拉菲逊算法^[7]或反向组合高斯牛顿法^[20]对C_ZNCC进行优化,虽然在优化过程中也可以直接获得应变,但仅当应变大于0.01时结果才可靠^[8]。因此,考虑对采用DIC方法获得的位移场进行平滑或拟合以获得应变场。

3 最小一乘拟合应变测量方法

3.1 基于位移拟合的位移计算公式

采用DIC方法直接获得的位移是离散的,通常需要对其进行处理来获得应变。在利用位移拟合获得应变时,一般计算窗口内的测点数目为(2m+1)×(2m+1)。

在进行拟合时,常用一次多项式函数,表示为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} u = a_{0} + a_{1} x + a_{2} y \\ v = b_{0} + b_{1} x + b_{2} y \end{matrix}, (2) \end{matrix}

式中:u、v分别为点(x,y)的水平位移和垂直位移;a₀、a₁、a₂、b₀、b₁、b₂为系数。计算窗口内水平线应变(ε_x)、垂直线应变(ε_y)以及剪应变(γ_xy)可用多项式的系数表示,分别为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} ε_{x} = \frac{\partial u}{\partial x} = a_{1} \\ ε_{y} = \frac{\partial v}{\partial y} = b_{2} \\ γ_{xy} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} = a_{2} + b_{1} \end{matrix} 。 (3) \end{matrix}

3.2 最小二乘拟合的局限性

最小二乘拟合的主要思想是使计算窗口内测点的位移拟合值与测量值偏差的平方和E_u达到最小。E_u可以表示为

\begin{matrix} E_{u} = \overset{m}{\sum_{i = - m}} \overset{m}{\sum_{j = - m}} (a_{0} + a_{1} \times x_{ij} + a_{2} \times y_{ij} - u_{ij})^{2}, (4) \end{matrix}

式中:(x_ij,y_ij)为计算窗口内测点的坐标;u_ij为测点的位移测量值。

对于均匀变形条件下的应变测量,最小二乘拟合具有很高的精度。然而,对于非均匀变形条件下的应变测量,例如,应变局部化带内的应变测量,最小二乘拟合可能引起较大的误差。当计算窗口位于非均匀变形区域时,计算窗口内部分测点的应变与其他测点的应变相差较大,相当于计算窗口中出现了“异常值”。最小二乘拟合采用平方函数衡量偏差,会加大数据中异常值破坏性的影响。

为抑制计算窗口中“异常值”对应变测量的影响,采用绝对值函数取代平方函数,由此出现了最小一乘拟合。

3.3 最小一乘拟合求解

在对测点位移进行最小一乘拟合时,要求计算窗口内位移拟合值和测量值u_ij误差的绝对值之和E₁最小。E₁可以表示为

\begin{matrix} E_{1} = \overset{m}{\sum_{i = - m}} \overset{m}{\sum_{j = - m}} | a_{0} + a_{1} \times x_{ij} + a_{2} \times y_{ij} - u_{ij} | 。 (5) \end{matrix}

由于(5)式中绝对值的存在,采用解析法难以求其极值。(5)式的极值问题本质上是一个多元函数的最优化问题,可采用粒子群算法进行求解。粒子群算法是一种随机算法,若参数选择不合适,很容易陷入局部最优。粒子群算法通过更新粒子位置使E₁获得全局最优解,若全局最优粒子获得的是局部最优解,则粒子群算法会限入局部最优,不易跳出。可以利用模拟退火算法产生新的全局最优粒子来替代粒子群算法产生的全局最优粒子,这样即可有效地跳出粒子群算法的局部最优,从而获得全局最优解。具体步骤^[17]如下。

1) 初始化各粒子的速度V(k,d)和位置A(k,d),其中k表示粒子序数,k=1,2,…,N₀,N₀表示粒子的个数,取N₀=30,d表示粒子的维度,d=1~3。

2) 计算各粒子的适应度e_k,确定粒子适应度最小的粒子,e_g=min(e_k),该粒子为全局最优粒子p_g,并初始化局部最优粒子P(k,d),其中P(k,d)=A(k,d)。

\begin{matrix} e_{k} = \overset{m}{\sum_{i = - m}} \overset{m}{\sum_{j = - m}} | A (k, 1) + A (k, 2) \times x_{ij} + A (k, 3) \times y_{ij} - u_{ij} | 。 (6) \end{matrix}

3) 令初始温度T=e_g,计算当前温度下各粒子的适应值F_k,并找出p_g的替代值p_L。

\begin{matrix} F_{k} = \exp [- (e_{k} - e_{g}) / T] / \overset{N_{0}}{\sum_{k = 1}} \exp [- (e_{k} - e_{g}) / T] 。 (7) \end{matrix}

4) 更新各粒子的位置和速度,计算各粒子的适应度,更新P(k,d)和p_g,并进行退温操作T:=λT,λ为退温系数,这里取λ=0.85。

\begin{matrix} \begin{matrix} V (k, d) : = wV (k, d) + c_{1} r_{1} [P (k, d) - A (k, d)] + c_{2} r_{2} [p_{L} - A (k, d)], (8) \\ A (k, d) : = A (k, d) + V (k, d), (9) \end{matrix} \end{matrix}

式中:c₁、c₂为学习因子,一般取c₁=c₂=2;r₁、r₂为范围为[0,1]的均匀随机数;w为惯性权重,一般取w=0.5;:=为赋值符号。

5) 若迭代次数N超过200,则停止搜索并输出结果,否则返回到3)继续搜索。

4 基于最小一乘拟合的非均匀应变测量

4.1 虚拟剪切带应变测量

根据Zhou等^[21]方法制作模拟散斑图,散斑图尺寸为300 pixel×150 pixel,散斑数目为2000,如图2(a)所示。以图2(a)为参考图像,根据梯度塑性理论 $\begin{matrix} {^{[}}^{22}^{]} \end{matrix}$ ,制作了水平含应变梯度的虚拟剪切带散斑图,如图2(b)所示。剪切带内剪应变可以表示为

\begin{matrix} γ (y) = {\bar{γ}}_{p} (1 + \cos \frac{c - 150}{l}), (10) \end{matrix}

式中:c为剪切带的法向坐标,c∈[150-w_b/2,150+w_b/2],w_b为剪切带宽度,w_b=30 pixel;l为内部长度,l=w_b/2π; $\begin{matrix} {\bar{γ}}_{p} \end{matrix}$ 为剪切带内平均塑性剪应变, $\begin{matrix} {\bar{γ}}_{p} \end{matrix}$ =0.1。

图 2. 模拟散斑图。(a)参考图像;(b)含应变梯度的剪切带图像

Fig. 2. Simulated speckle images. (a) Reference image;(b) shear band image with strain gradient

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通常测点间隔会对应变测量有影响,采用二阶DIC方法分别计算测点间隔为4 pixel、2 pixel及1 pixel时剪切带形成后的位移,并分别采用最小二乘拟合和最小一乘拟合计算应变,计算窗口均有5×5个测点。为了对比最小二乘拟合和最小一乘拟合的时间消耗,表1给出了不同测点间隔下两种方法的时间消耗。

由表1可见,在相同测点间隔下,最小一乘拟合消耗的时间约为最小二乘拟合的52~55倍,这是由于最小一乘拟合采用数值方法求解,而最小二乘拟合采用解析方法。当测点间隔减小时,最小二乘拟合和最小一乘拟合消耗的时间均增加。

表 1. 两种方法的时间消耗对比

Table 1. Comparison of time consumption of two methods

Measuring point interval /pixel	Least absolute deviation fitting /s	Least square fitting /s
4	6.74	0.13
2	27.52	0.50
1	112.18	2.06

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为了验证基于模拟退火的粒子群算法的有效性,以位于x=118 pixel、y=270 pixel处的测点为中心,选择计算窗口,并进行最小一乘拟合,并以此为例说明最小一乘拟合的有效性。

图 3. E₁及拟合系数随N的演变规律

Fig. 3. Evolutions of E₁ and fitting coefficient with N

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图3为迭代过程中E₁和拟合参数随N的演化规律。由图3可见,在迭代过程中,E₁经历了局部最优向全局最优转换的过程。当N=14~50时,E₁、a₀、a₁和a₂均保持恒定且E₁>0,这表明E₁已陷入局部最优。当N>91时,E₁=0,这表明E₁已处于全局最优,这表明基于模拟退火的粒子群算法十分有效。

通过计算得到的相同测点间隔和相同y坐标下的γ_xy平均值及其误差分别如图4、5所示。为了便于显示,只呈现计算区域y=100~200 pixel范围内γ_xy的平均值,图4(a)~(c)中每个数据点分别由相同y坐标下23、46和91个计算窗口的γ_xy平均值得到。

由图4、5可见:在剪切带外,两种方法的γ_xy平均值误差基本一致,且随着测点间隔的减少,两种方法的γ_xy平均值误差增加,在测点间隔为4 pixel时,两种方法的γ_xy平均值误差接近于零,而在测点间隔为1 pixel时,误差达到了0.002,这表明测点间隔对剪应变测量确有影响;在剪切带内,最小一乘拟合的γ_xy平均值比最小二乘拟合更接近于理论值,随着测点间隔减小,两种方法的γ_xy平均值误差越来越接近。值得注意的是,剪切带内两种方法的γ_xy平均值误差都较大,这是由于剪切带内DIC方法的位移具有较大的系统误差,拟合只能消除随机误差而不能消除系统误差。

图 4. γ_xy平均值分布。(a)测点间隔4 pixel;(b)测点间隔2 pixel;(c)测点间隔1 pixel

Fig. 4. Distributions of average γ_xy. (a) Measuring point interval is 4 pixel; (b) measuring point interval is 2 pixel; (c) measuring point interval is 1 pixel

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图 5. γ_xy平均值误差。(a)测点间隔4 pixel;(b)测点间隔2 pixel;(c)测点间隔1 pixel

Fig. 5. Errors of average γ_xy. (a) Measuring point interval is 4 pixel; (b) measuring point interval is 2 pixel; (c) measuring point interval is 1 pixel

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以上结果表明,对于均匀应变的测量,两种方法几乎具有相同的精度,而对于非均匀应变测量,最小一乘拟合的效果要优于最小二乘拟合,例如,在测点间隔为4 pixel时, A点(y=154 pixel)最小一乘拟合的γ_xy平均值误差为-0.018,最小二乘拟合为-0.031,最小一乘拟合的γ_xy平均值误差只有最小二乘拟合的58.1%。

综上所述,对于非均匀应变的测量,最小一乘拟合的精度要高于或等于最小二乘拟合,尤其当数据点较少(测点间隔较大)时,最小一乘拟合的优势更加突出。

4.2 相似材料模型断层滑移过程中的应变测量

采用上述两种方法测量相似材料模型断层滑移过程中的应变。断层是采矿工程中经常遇到的一种地质构造,对工作面的安全回采常会产生不可忽视的影响。为了研究煤层开采对断层行为的影响,本课题组根据义马千秋矿某工作面地质条件制作了相似材料模型,并进行模拟煤层开采实验。在开采过程中,采用CCD相机连续拍摄开采过程中的图像,图像尺寸为1368 pixel×888 pixel。在实验完成后,采用一阶DIC方法对拍摄的图像进行相关运算,获得煤层开采过程中断层附近的位移场,测点间隔取15 pixel,子区尺寸取41 pixel×41 pixel。图6为煤层刚开采时的相似材料模型,并标明了断层的位置以及观测区域。

图 6. 相似材料模型

Fig. 6. Similar material model

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由于应变有3个分量,为了便于分析,采用最大剪应变γ_max(γ_max= $\begin{matrix} \sqrt[]{(ε_{x} - ε_{y})^{2} + γ_{xy}^{2}} \end{matrix}$ )作为观测量。在开采长度Δx=140、300和400 pixel时,两种拟合方法的γ_max分别如图7、8所示,其中计算窗口有5×5个测点。

由图7、8可以发现,开采过程中观测区域内出现了一条应变集中带,带内γ_max随着开采时间或长度的增加而增加,γ_max的最大值由0.025增加到0.7左右,应变集中现象越来越明显。由图7、8对比可知,在断层附近,最小一乘拟合的应变集中带宽度小于最小二乘拟合;在断层之外,两种方法的γ_max差别较小。γ_max的云图只能反映观测区域内应变的变化趋势,很难精确地展示两种方法的结果差异。为此,布置了一条过断层的测线,其位置如图6所示。在Δx=140、300和400 pixel时,测线上两种方法的γ_max如图9所示。

图 7. 不同Δx时最小二乘拟合的γ_max。(a) Δx=140;(b) Δx=300;(c) Δx=400

Fig. 7. γ_max of least square fitting for different Δx. (a) Δx=140; (b) Δx=300; (c) Δx=400

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图 8. 不同Δx时最小一乘拟合的γ_max。(a) Δx=140;(b) Δx=300;(c) Δx=400

Fig. 8. γ_max of least absolute deviation fitting for different Δx. (a) Δx=140; (b) Δx=300; (c) Δx=400

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图 9. 不同Δx时测线上的γ_max分布。(a) Δx=140;(b) Δx=300;(c) Δx=400

Fig. 9. Distributions of γ_max in monitoring line for different Δx. (a) Δx=140; (b) Δx=300; (c) Δx=400

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由图9可见,在断层之外,两种方法的γ_max差别较小,而在断层附近区域,两种方法的结果差别明显,例如,当开采长度Δx=140、300和400 pixel时,断层内测点B(x=970 pixel)处最小二乘拟合的γ_max分别为0.007、0.017和0.204,而最小一乘拟合的γ_max分别为0.002、0.005和0.002,前者分别是后者的3.5倍、3.4倍和102倍。由图9可知,在应变集中带边界附近,最小一乘拟合的γ_max小于最小二乘拟合,这与图4(a)中的结论相类似,而且最小一乘拟合的结果更接近理论解。因此,有理由推测最小一乘拟合的应变测量结果要优于最小二乘拟合。

5 结论

为了对非均匀应变进行准确测量,在DIC方法中采用最小一乘拟合获取应变。鉴于最小一乘拟合解析法求解困难,采用基于模拟退火的粒子群算法进行求解。开展了虚拟剪切带形成数值实验和相似材料模型断层滑移实验,对比了DIC方法最小一乘拟合和最小二乘拟合结果的差异。在虚拟剪切带形成数值实验中发现,对于均匀应变测量,两种方法几乎具有相同的精度,而对于非均匀应变测量,最小一乘拟合的结果通常优于最小二乘拟合。在相似材料模型断层滑移实验中可以发现与虚拟剪切带形成数值实验中相类似的结果。由此可见,对于非均匀应变的测量,最小一乘拟合具有更强的适用性。

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4.2 相似材料模型断层滑移过程中的应变测量

5 结论

王学滨, 董伟, 杨梅, 张博闻, 余斌. 基于最小一乘拟合的非均匀应变的数字图像相关测量[J]. 光学学报, 2020, 40(3): 0312001. Xuebin Wang, Wei Dong, Mei Yang, Bowen Zhang, Bin Yu. Inhomogeneous Strain Measurement Based on Least Absolute Deviation Fitting for Digital Image Correlation[J]. Acta Optica Sinica, 2020, 40(3): 0312001.

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1 引言

2 DIC方法原理

图 1. DIC方法原理图

Fig. 1. Schematic of DIC method

3 最小一乘拟合应变测量方法

3.1 基于位移拟合的位移计算公式

3.2 最小二乘拟合的局限性

3.3 最小一乘拟合求解

4 基于最小一乘拟合的非均匀应变测量

4.1 虚拟剪切带应变测量

图 2. 模拟散斑图。(a)参考图像;(b)含应变梯度的剪切带图像

Fig. 2. Simulated speckle images. (a) Reference image;(b) shear band image with strain gradient

表 1. 两种方法的时间消耗对比

Table 1. Comparison of time consumption of two methods

图 3. E₁及拟合系数随N的演变规律

Fig. 3. Evolutions of E₁ and fitting coefficient with N

图 4. γ_xy平均值分布。(a)测点间隔4 pixel;(b)测点间隔2 pixel;(c)测点间隔1 pixel

Fig. 4. Distributions of average γ_xy. (a) Measuring point interval is 4 pixel; (b) measuring point interval is 2 pixel; (c) measuring point interval is 1 pixel

图 5. γ_xy平均值误差。(a)测点间隔4 pixel;(b)测点间隔2 pixel;(c)测点间隔1 pixel

Fig. 5. Errors of average γ_xy. (a) Measuring point interval is 4 pixel; (b) measuring point interval is 2 pixel; (c) measuring point interval is 1 pixel

4.2 相似材料模型断层滑移过程中的应变测量

图 6. 相似材料模型

Fig. 6. Similar material model

图 7. 不同Δx时最小二乘拟合的γ_max。(a) Δx=140;(b) Δx=300;(c) Δx=400

Fig. 7. γ_max of least square fitting for different Δx. (a) Δx=140; (b) Δx=300; (c) Δx=400

图 8. 不同Δx时最小一乘拟合的γ_max。(a) Δx=140;(b) Δx=300;(c) Δx=400

Fig. 8. γ_max of least absolute deviation fitting for different Δx. (a) Δx=140; (b) Δx=300; (c) Δx=400

图 9. 不同Δx时测线上的γ_max分布。(a) Δx=140;(b) Δx=300;(c) Δx=400

Fig. 9. Distributions of γ_max in monitoring line for different Δx. (a) Δx=140; (b) Δx=300; (c) Δx=400

5 结论

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1 引言

2 DIC方法原理

图 1. DIC方法原理图

Fig. 1. Schematic of DIC method

3 最小一乘拟合应变测量方法

3.1 基于位移拟合的位移计算公式

3.2 最小二乘拟合的局限性

3.3 最小一乘拟合求解

4 基于最小一乘拟合的非均匀应变测量

4.1 虚拟剪切带应变测量

图 2. 模拟散斑图。(a)参考图像;(b)含应变梯度的剪切带图像

Fig. 2. Simulated speckle images. (a) Reference image;(b) shear band image with strain gradient

表 1. 两种方法的时间消耗对比

Table 1. Comparison of time consumption of two methods

图 3. E1及拟合系数随N的演变规律

Fig. 3. Evolutions of E1 and fitting coefficient with N

图 4. γxy平均值分布。(a)测点间隔4 pixel;(b)测点间隔2 pixel;(c)测点间隔1 pixel

Fig. 4. Distributions of average γxy. (a) Measuring point interval is 4 pixel; (b) measuring point interval is 2 pixel; (c) measuring point interval is 1 pixel

图 5. γxy平均值误差。(a)测点间隔4 pixel;(b)测点间隔2 pixel;(c)测点间隔1 pixel

Fig. 5. Errors of average γxy. (a) Measuring point interval is 4 pixel; (b) measuring point interval is 2 pixel; (c) measuring point interval is 1 pixel

4.2 相似材料模型断层滑移过程中的应变测量

图 6. 相似材料模型

Fig. 6. Similar material model

图 7. 不同Δx时最小二乘拟合的γmax。(a) Δx=140;(b) Δx=300;(c) Δx=400

Fig. 7. γmax of least square fitting for different Δx. (a) Δx=140; (b) Δx=300; (c) Δx=400

图 8. 不同Δx时最小一乘拟合的γmax。(a) Δx=140;(b) Δx=300;(c) Δx=400

Fig. 8. γmax of least absolute deviation fitting for different Δx. (a) Δx=140; (b) Δx=300; (c) Δx=400

图 9. 不同Δx时测线上的γmax分布。(a) Δx=140;(b) Δx=300;(c) Δx=400

Fig. 9. Distributions of γmax in monitoring line for different Δx. (a) Δx=140; (b) Δx=300; (c) Δx=400

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图 3. E₁及拟合系数随N的演变规律

Fig. 3. Evolutions of E₁ and fitting coefficient with N

图 4. γ_xy平均值分布。(a)测点间隔4 pixel;(b)测点间隔2 pixel;(c)测点间隔1 pixel

Fig. 4. Distributions of average γ_xy. (a) Measuring point interval is 4 pixel; (b) measuring point interval is 2 pixel; (c) measuring point interval is 1 pixel

图 5. γ_xy平均值误差。(a)测点间隔4 pixel;(b)测点间隔2 pixel;(c)测点间隔1 pixel

Fig. 5. Errors of average γ_xy. (a) Measuring point interval is 4 pixel; (b) measuring point interval is 2 pixel; (c) measuring point interval is 1 pixel

图 7. 不同Δx时最小二乘拟合的γ_max。(a) Δx=140;(b) Δx=300;(c) Δx=400

Fig. 7. γ_max of least square fitting for different Δx. (a) Δx=140; (b) Δx=300; (c) Δx=400

图 8. 不同Δx时最小一乘拟合的γ_max。(a) Δx=140;(b) Δx=300;(c) Δx=400

Fig. 8. γ_max of least absolute deviation fitting for different Δx. (a) Δx=140; (b) Δx=300; (c) Δx=400

图 9. 不同Δx时测线上的γ_max分布。(a) Δx=140;(b) Δx=300;(c) Δx=400

Fig. 9. Distributions of γ_max in monitoring line for different Δx. (a) Δx=140; (b) Δx=300; (c) Δx=400