基于典型相关分析的点云配准算法

唐志荣; 刘明哲; 蒋悦; 赵飞翔; 赵成强

doi:doi:10.3788/CJL201946.0404006

中国激光, 2019, 46 (4): 0404006, 网络出版: 2019-05-09

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Point Cloud Registration Algorithm Based on Canonical Correlation Analysis

论文大纲

唐志荣 ^1,*刘明哲 ^1,*蒋悦 ²赵飞翔 ¹赵成强 ¹

作者单位

¹ 成都理工大学地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室, 四川成都 610059

² 四川大学电气信息学院, 四川成都 610065

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摘要

提出了一种基于典型相关分析的点云配准算法。对目标点云和待配准点云进行中心化处理,将其绕坐标原点进行转动,两组点云满足各维度间相关系数平方值最大;采用典型相关分析法,对两组转动矩阵进行求解;使用转动矩阵,求解两点云间刚性变换的旋转矩阵和平移向量,实现了点云的配准。利用协方差矩阵特征值的比例开方值,对待配准点云进行等比例放大,完成了仿射配准。当点云无序、数据存在遮挡、缺失不完整、放缩及有噪声干扰时,仿真结果表明,相比于其他几种算法,所提算法能快速精确配准,且稳定性良好。

Abstract

A point cloud registration algorithm based on canonical correlation analysis is proposed. We centralize the target point cloud and the point cloud to be registered, and rotate it around the coordinate origin. The two sets of point clouds can satisfy the maximum square of the correlation coefficient between the dimensions. The two sets of rotation matrices are solved by typical correlation analysis method. The rotation matrix and the translation vector of the rigid transformation between the two points of the clouds are solved by the rotation matrix, and the registration of the point cloud is realized. We use the proportional square value of the eigenvalues of the covariance matrix to scale the registration point cloud proportionally, and complete the affine registration. The simulation results show that, compared with several other algorithms, the proposed algorithm can be quickly and accurately registered with good stability, when point clouds are out of order, occluded, missing, size scaling and interrupted by noise.

1 引言

配准技术是一种重要的数字检测技术,其可用于无损检测、虚拟现实及机器人等诸多领域。特别在地面三维激光扫描中,每次扫描得到的点云数据都是在以当前测量站为零点的局部坐标系内,所以需要在不同的位置对待测区进行多次扫描,为了获取完整的三维点云模型,需要对在不同视角采集到的三维样本数据进行旋转和平移,以此将采集到的三维点云拼接为一个完整的点云。Besl等^[1]提出的最近点迭代 (ICP) 算法是被广泛应用于配准的经典算法,其核心思想如下:寻找两个点集的对应点,并计算其变换矩阵,但是这种算法的收敛性过分依赖于较好的初始值。因此,许多学者对ICP算法进行了相应的改进,或提出了初配准算法。Yang等^[2]提出了一种基于7维空间迭代的Scale-ICP算法,该算法具有较快的收敛速度,且能适应不同尺度的配准。虽然,在迭代速度和配准精度上 ICP 算法的确得到了不同程度的改进,但改进的 ICP 算法仍依赖于迭代过程,导致算法仍然存在收敛比较缓慢的问题。文献[ 3]中提出了一种基于粒子群(PSO)算法的点云初配准方法,该算法能提高初始精度,但是需要的初始值越精确,需要的搜索时间就越多。遗传算法(GA)^[4-6]具有较快的配准速度,但是在配准精度方面有待进一步提升,适合用作ICP算法的初配准。

此外,王畅等^[7]提出了一种基于结构特征的点云快速配准方法,该算法在配准精度和配准效率方面都有一定的提高,但点云数据点缺失严重和交叉数据点不够,可能会使算法配准结果不理想,甚至可能失效。赵敏等^[8]提出了一种基于l^p空间力学模型的点云配准算法,l表示线性赋范空间,p表示空间维度,该算法收敛速度较快,效果优良,但是仍然需要结合经典ICP算法来寻找对应点对。Myronenko等^[9]提出了一种相干点漂移(CPD)算法,该算法结合GMM算法能对存在噪声及有异常值和缺失点的情况下的点云进行准确配准,但是会导致配准后的点云数据失真。

Yang等^[10]根据点云配准过程中的几何变换特性提出了一种全局最优解(Go-ICP)算法,将配准过程转变为三维欧式群的优化问题,采用BnB(branch and bound)算法搜索全局最优解,然而,其旋转矩阵限定于三维旋转群空间,是否真能找到全局最优解,仍然值得研究。混合高斯模型(GMM)^[11-16]对点云数据具有较好的拟合能力,配准精度较高,但是计算量大且计算时间较长。

王畅等^[17]结合点云的统计学特性与形状的特征,提出一种带方差补偿的多向仿射配准算法,将求解点云未知放缩因子的问题转化为带方差超定非线性方程组的求解问题,该算法配准效率高,但配准精度有待提高。唐志荣等^[18]提出一种基于多维混合Cauchy分布的点云配准算法,该算法将点云数据模型转换为多维混合Cauchy分布模型,用数据中心点进行配准,该算法能以较高的精度逼近点云分布模型,配准效果较好,但配准效率有待提升。

本文提出一种基于典型相关分析(CCA)的点云配准算法。对目标点云与待配准点云进行中心化转移到同一坐标系下,再分别绕坐标原点进行转动,使其各自到达行相关系数最大的位置。求出各自的转动矩阵,再根据两组转动矩阵求解出点云间的刚性变换旋转矩阵和平移向量。在实验中,与其他几种算法相比,即使在点云无序、数据存在遮挡、缺失不完整以及噪声环境下,本文算法可实现快速精确配准,收敛速度快。并且旋转后,利用两点云对应的协方差特征值之间的均方根比值关系,完成点云的仿射配准。

2 基于CCA的点云配准算法

2.1 基于CCA的点云配准

经典ICP算法对目标点云P={p₁,p₂,…,p_n}和待配准点云Q={q₁,q₂,…,q_m}进行配准,点云元素均属于ℝ³,即实数域,两者之间的刚性几何变换为

\begin{matrix} p_{i} = R q_{j} + t, (1) \end{matrix}

式中:R∈ℝ³^×³为旋转矩阵,且R^TR=I;t∈ℝ³^×¹为平移向量;i,j表示元素位置i=1,2,…,n,j=1,2,…,m,m=n。经典ICP算法对匹配点云初始位置的依赖性较高,若是没有比较好的初始位置,经典ICP算法可能难以完成点云间的精确配准。

在三维空间中,对点云进行旋转,会改变点云各维度数据间的相关系数。为了提高点云配准精度和速度,采用相关系数最大法对其进行配准。对目标点云P和待配准点云Q进行中心化,使得两个点云的中心均在原点处,从而得到点云 $\begin{matrix} \hat{P} \end{matrix}$ ={ $\begin{matrix} {\hat{p}}_{1} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} {\hat{p}}_{2} \end{matrix}$ ,…, $\begin{matrix} {\hat{p}}_{n} \end{matrix}$ }和点云 $\begin{matrix} \hat{Q} \end{matrix}$ ={ $\begin{matrix} {\hat{q}}_{1} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} {\hat{q}}_{2} \end{matrix}$ ,…, $\begin{matrix} {\hat{q}}_{m} \end{matrix}$ },即

\begin{matrix} {\hat{p}}_{i} = p_{i} - \bar{p}, {\hat{q}}_{j} = q_{j} - \bar{q}, (2) \end{matrix}

式中: $\begin{matrix} \bar{p} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} \overset{n}{\sum_{i = 1}} \end{matrix}$ p_i/n为目标点云P的均值点; $\begin{matrix} \bar{q} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} \overset{m}{\sum_{j = 1}} \end{matrix}$ q_j/m为待配准点云Q的均值点。中心化后的点云 $\begin{matrix} \hat{P} \end{matrix}$ 与 $\begin{matrix} \hat{Q} \end{matrix}$ 满足

\begin{matrix} \hat{P} = R \hat{Q} 。 (3) \end{matrix}

绕坐标原点对点云 $\begin{matrix} \hat{P} \end{matrix}$ 和点云 $\begin{matrix} \hat{Q} \end{matrix}$ 进行转动,使其满足各自的行向量之间的相关系数平方最大,即

\begin{matrix} \{\begin{matrix} \tilde{P} = W_{P} \hat{P} = {\{{w^{T}}_{P 1} \hat{P}, {w^{T}}_{P 2} \hat{P}, {w^{T}}_{P 3} \hat{P}\}}^{T} = {\{{\tilde{p}}_{1}, {\tilde{p}}_{2}, {\tilde{p}}_{3}\}}^{T} \\ \tilde{Q} = W_{Q} \hat{Q} = {\{{w^{T}}_{Q 1} \hat{Q}, {w^{T}}_{Q 2} \hat{Q}, {w^{T}}_{Q 3} \hat{Q}\}}^{T} = {\{{\tilde{q}}_{1}, {\tilde{q}}_{2}, {\tilde{q}}_{3}\}}^{T} \end{matrix}, (4) \end{matrix}

式中:W_P= $\begin{matrix} \{w_{P 1}, w_{P 2}, w_{P 3}\} \end{matrix}$ ∈ℝ³^×³,为正交矩阵,满足W_P $\begin{matrix} {W^{T}}_{P} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} {W^{T}}_{P} \end{matrix}$ W_P=I; $\begin{matrix} {\tilde{p}}_{1} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} {\tilde{p}}_{2} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} {\tilde{p}}_{3} \end{matrix}$ 均为n×1阶列向量;W_Q= $\begin{matrix} \{w_{Q 1}, w_{Q 2}, w_{Q 3}\} \end{matrix}$ ∈ℝ³^×³,为正交矩阵,满足W_Q $\begin{matrix} {W^{T}}_{Q} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} {W^{T}}_{Q} \end{matrix}$ W_Q=I; $\begin{matrix} {\tilde{q}}_{1} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} {\tilde{q}}_{2} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} {\tilde{q}}_{3} \end{matrix}$ 为m×1阶列向量。当点云 $\begin{matrix} \tilde{P} \end{matrix}$ 和点云 $\begin{matrix} \tilde{Q} \end{matrix}$ 都满足行相关系数最大时,有

\begin{matrix} \tilde{P} = \tilde{Q} 。 (5) \end{matrix}

经由上述关系可得

\begin{matrix} R_{0} = W_{P}^{- 1} W_{Q}, (6) \end{matrix}

t_{0} = \bar{p} - R_{0} \bar{q} 。 (7)

为了得到较为精准的R和t,将R₀和t₀作为其初始值带入代价函数,代价函数为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} [R^{(k + 1)}, t^{(k + 1)}] = \underset{R (k) \in R^{3 \times 3}, t^{(k)} \in R^{3 \times 1}}{argmin} ‖ R^{(k)} Q + t^{(k)} I_{m} - Ω^{(k)} ‖_{F}^{2} \\ R^{(0)} = R_{0}, t^{(0)} = t_{0} \end{matrix}, k = 1,2, \dots, N, (8) \end{matrix}

式中:Ω⁽^k⁾为采用三角剖分在点云P中找出的与R⁽^k⁾Q相对应的点组成的点云;k为迭代次数;‖•‖_F表示Frobenius范数。

2.2 仿射比例求取

当目标点云与待配准点云存在缩放的情况时,点云间的平移向量存在一个比例系数,其大小与缩放率相等,需要对前面求取平移向量的方法做进一步改进。由于点云间的放缩不改变点云的旋转特性,所以旋转矩阵R₀的求取与2.1节的相同。转动之后得到的点云 $\begin{matrix} \tilde{P} \end{matrix}$ 和点云 $\begin{matrix} \tilde{Q} \end{matrix}$ 的协方差矩阵分别为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} Σ_{\tilde{P}} = \frac{\overset{n}{\sum_{i = 1}} ({\tilde{p}}_{i} - \bar{\tilde{p}}) {({\tilde{p}}_{i} - \bar{\tilde{p}})}^{T}}{n - 1} \\ Σ_{\tilde{Q}} = \frac{\overset{m}{\sum_{j = 1}} ({\tilde{q}}_{j} - \bar{\tilde{q}}) {({\tilde{q}}_{j} - \bar{\tilde{q}})}^{T}}{m - 1} \end{matrix}, (9) \end{matrix}

式中: $\begin{matrix} Σ_{\tilde{P}} \end{matrix}$ ∈ℝ³^×³为点云 $\begin{matrix} \tilde{P} \end{matrix}$ 的协方差矩阵; $\begin{matrix} Σ_{\tilde{Q}} \end{matrix}$ ∈ℝ³^×³为点云 $\begin{matrix} \tilde{Q} \end{matrix}$ 的协方差矩阵; $\begin{matrix} \bar{\tilde{p}} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} \overset{n}{\sum_{i = 1}} \end{matrix} \begin{matrix} {\tilde{p}}_{i} \end{matrix}$ /n表示点云 $\begin{matrix} \tilde{P} \end{matrix}$ 的均值点; $\begin{matrix} \bar{\tilde{q}} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} \overset{m}{\sum_{j = 1}} \end{matrix} \begin{matrix} {\tilde{q}}_{j} \end{matrix}$ /m表示点云 $\begin{matrix} \tilde{Q} \end{matrix}$ 的均值点。由刚性变换可知,旋转不改变点云的协方差矩阵的特征值,所以有

\begin{matrix} λ_{\tilde{P}}^{(o)} = λ_{\tilde{Q}}^{(o)}, o = 1,2, 3, (10) \end{matrix}

式中: $\begin{matrix} λ_{\tilde{P}}^{(o)} \end{matrix}$ 为 $\begin{matrix} Σ_{\tilde{P}} \end{matrix}$ 的第o个特征值; $\begin{matrix} λ_{\tilde{Q}}^{(o)} \end{matrix}$ 为 $\begin{matrix} Σ_{\tilde{Q}} \end{matrix}$ 的第o个特征值;o表示元素位置。点云P和点云Q之间的仿射尺寸为

\begin{matrix} k_{o} = \sqrt[]{\frac{λ_{\tilde{P}}^{(o)}}{λ_{\tilde{Q}}^{(o)}}}, (11) \end{matrix}

式中:k_o为第o个对应特征值的仿射尺度值。为了使k的取值更精确,这里取其均值

\begin{matrix} k = \overset{3}{\sum_{o = 1}} k_{o} / 3 。 (12) \end{matrix}

然后,对待配准点云Q的尺寸放大k倍:

\begin{matrix} Q_{k} = kQ, (13) \end{matrix}

式中:Q_k= $\begin{matrix} \{q_{k 1}, q_{k 2}, \dots, q_{km}\} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} \{k q_{1}, k q_{2}, \dots, k q_{m}\} \end{matrix}$ 。从而,相应的平移向量的求解式为

\begin{matrix} t_{k 0} = (\bar{p} - R_{0} {\bar{q}}_{k}) / k, (14) \end{matrix}

式中: $\begin{matrix} {\bar{q}}_{k} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} \frac{1}{m} \end{matrix} \begin{matrix} \overset{m}{\sum_{j = 1}} \end{matrix}$ q_kj。再由(8)式求出t_k。

3 参数确定

由第2节可知,需要求解的参数有W_P和W_Q。利用求解出的W_P和W_Q,再根据(6)式和(7)式就可以求出旋转矩阵和平移向量。为了使两组点云各自满足各维度间相关系数平方值(相关性的平方值)最大,本研究选用CCA法对参数进行求解。

3.1 CCA法

采用CCA法对点云 $\begin{matrix} \tilde{P} \end{matrix}$ 和点云 $\begin{matrix} \tilde{Q} \end{matrix}$ 间的各行向量求取相关系数:

\begin{matrix} \{\begin{matrix} ρ_{({\tilde{p}}_{i}, {\tilde{p}}_{j})} = \frac{Cov ({\tilde{p}}_{i}, {\tilde{p}}_{j})}{σ_{{\tilde{p}}_{i}} σ_{{\tilde{p}}_{j}}} = \frac{{w^{T}}_{Pi} Σ_{P} w_{Pj}}{\sqrt[]{{w^{T}}_{Pi} Σ_{P} w_{Pi}} \sqrt[]{{w^{T}}_{Pj} Σ_{P} w_{Pj}}} \\ ρ_{({\tilde{q}}_{i}, {\tilde{q}}_{j})} = \frac{Cov ({\tilde{q}}_{i}, {\tilde{q}}_{j})}{σ_{{\tilde{q}}_{i}} σ_{{\tilde{q}}_{j}}} = \frac{{w^{T}}_{Qi} Σ_{Q} w_{Qj}}{\sqrt[]{{w^{T}}_{Qi} Σ_{Q} w_{Qi}} \sqrt[]{{w^{T}}_{Qj} Σ_{Q} w_{Qj}}} \end{matrix}, (15) \end{matrix}

式中:σ_(•)表示标准差;Σ_P∈ℝ³^×³为点云P的协方差矩阵;Σ_Q∈ℝ³^×³为点云Q的协方差矩阵。由于随机变量乘以常数不会改变它们之间的相关系数,故有以下约束条件

\begin{matrix} \{\begin{matrix} Var ({\tilde{p}}_{i}) = 1, Var ({\tilde{p}}_{j}) = 1 \\ Var ({\tilde{q}}_{i}) = 1, Var ({\tilde{q}}_{j}) = 1 \end{matrix}, (16) \end{matrix}

式中:Var表示求方差。

根据数学分析中的极值条件,引入拉格朗日乘数,可得

\begin{matrix} \{\begin{matrix} φ ({\tilde{p}}_{i}, {\tilde{p}}_{j}) = {w^{T}}_{Pi} Σ_{P} w_{Pj} - \frac{ν_{}}{2} ({w^{T}}_{Pi} Σ_{P} w_{Pi} - 1) - \frac{γ_{}}{2} ({w^{T}}_{Pj} Σ_{P} w_{Pj} - 1) \\ φ ({\tilde{q}}_{i}, {\tilde{q}}_{j}) = {w^{T}}_{Qi} Σ_{Q} w_{Qj} - \frac{ν_{}}{2} ({w^{T}}_{Qi} Σ_{Q} w_{Qi} - 1) - \frac{γ_{}}{2} ({w^{T}}_{Qj} Σ_{Q} w_{Qj} - 1) \end{matrix}, (17) \end{matrix}

式中: $\begin{matrix} ν_{} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} γ_{} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} ν_{} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} γ_{} \end{matrix}$ 为正则化因子。分别对w_Pi,w_Pj和w_Qi,w_Qj求偏导,并令导数为零,得到的极值条件为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} \frac{\partial φ ({\tilde{p}}_{i}, {\tilde{p}}_{j})}{\partial {\tilde{p}}_{i}} = Σ_{P} w_{Pj} - λ_{} Σ_{P} w_{Pi} = 0 \\ \frac{\partial φ ({\tilde{p}}_{i}, {\tilde{p}}_{j})}{\partial {\tilde{p}}_{j}} = Σ_{P} w_{Pi} - λ_{} Σ_{P} w_{Pj} = 0 \\ \frac{\partial φ ({\tilde{q}}_{i}, {\tilde{q}}_{j})}{\partial {\tilde{q}}_{i}} = Σ_{Q} w_{Qj} - λ_{} Σ_{Q} w_{Qi} = 0 \\ \frac{\partial φ ({\tilde{q}}_{i}, {\tilde{q}}_{j})}{\partial {\tilde{q}}_{j}} = Σ_{Q} w_{Qi} - λ_{} Σ_{Q} w_{Qj} = 0 \end{matrix}, (18) \end{matrix}

可以得出

\begin{matrix} ρ_{({\tilde{p}}_{i}, {\tilde{p}}_{j})} = {w^{T}}_{Pi} Σ_{P} w_{Pj}, ρ_{({\tilde{q}}_{i}, {\tilde{q}}_{j})} = {w^{T}}_{Qi} Σ_{Q} w_{Qj} 。 (19) \end{matrix}

由Cauchy-Schwarz不等式可得

\begin{matrix} \{\begin{matrix} ρ_{({\tilde{p}}_{i}, {\tilde{p}}_{j})}^{2} = ({w^{T}}_{Pi} Σ_{P} w_{Pj})^{2} \leq ({w^{T}}_{Pi} w_{Pi}) [(Σ_{P} w_{Pj})^{T} (Σ_{P} w_{Pj})] = {w^{T}}_{Pj} {Σ^{T}}_{P} Σ_{P} w_{Pj} \\ ρ_{({\tilde{q}}_{i}, {\tilde{q}}_{j})}^{2} = ({w^{T}}_{Qi} Σ_{Q} w_{Qj})^{2} \leq ({w^{T}}_{Qi} w_{Qi}) [(Σ_{Q} w_{Qj})^{T} (Σ_{Q} w_{Qj})] = {w^{T}}_{Qj} {Σ^{T}}_{Q} Σ_{Q} w_{Qj} \end{matrix} 。 (20) \end{matrix}

由矩阵范数的相容性可得

\begin{matrix} \{\begin{matrix} ρ_{[({\tilde{p}}_{i}, {\tilde{p}}_{j})] \max}^{2} = \max ({w^{T}}_{Pj} {Σ^{T}}_{P} Σ_{P} w_{Pj}) = \max_{‖ wPj ‖ = 1} ‖ Σ_{P} w_{Pj} ‖_{2}^{2} = λ_{Pj}^{*} \\ ρ_{[({\tilde{q}}_{i}, {\tilde{q}}_{j})] \max}^{2} = \max ({w^{T}}_{Qj} {Σ^{T}}_{Q} Σ_{Q} w_{Qj}) = \max_{‖ wQj ‖ = 1} ‖ Σ_{Q} w_{Qj} ‖_{2}^{2} = λ_{Qj}^{*} \end{matrix}, (21) \end{matrix}

式中:‖·‖₂表示L-2范数; $\begin{matrix} λ_{Pj}^{*} \end{matrix}$ 为 $\begin{matrix} Σ_{P}^{T} \end{matrix}$ Σ_P的特征值; $\begin{matrix} λ_{Qj}^{*} \end{matrix}$ 为 $\begin{matrix} Σ_{Q}^{T} \end{matrix}$ Σ_Q的特征值。可以得出

\begin{matrix} {Σ^{T}}_{P} Σ_{P} w_{Pj} = λ_{Pj}^{*} w_{Pj}, {Σ^{T}}_{Q} Σ_{Q} w_{Qj} = λ_{Qj}^{*} w_{Qj}, (22) \end{matrix}

即w_Pj为 $\begin{matrix} {Σ^{T}}_{P} \end{matrix}$ Σ_P的特征值 $\begin{matrix} λ_{Pj}^{*} \end{matrix}$ 对应的特征向量,w_Qj为 $\begin{matrix} {Σ^{T}}_{Q} \end{matrix}$ Σ_Q的特征值 $\begin{matrix} λ_{Qj}^{*} \end{matrix}$ 对应的特征向量。到此便求解出初始的 $\begin{matrix} W_{P}^{(0)} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} W_{Q}^{(0)} \end{matrix}$ 。

3.2 参数校准

由于可能存在负相关的情况,所以采用均值向量对求解出的 $\begin{matrix} W_{P}^{(0)} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} W_{Q}^{(0)} \end{matrix}$ 进行校准。将点云P和Q的均值点作为目标向量,当点云无序、数据存在遮挡、缺失不完整以及有噪声干扰时,均值向量也比较稳定。采用符号函数sign对 $\begin{matrix} W_{P}^{(0)} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} W_{Q}^{(0)} \end{matrix}$ 进行方向校准,即

\begin{matrix} w_{Po}^{(1)} = sign [{\bar{p}}^{T} w_{Po}^{(0)}] w_{Po}^{(0)}, w_{Qo}^{(1)} = sign [{\bar{q}}^{T} w_{Qo}^{(0)}] w_{Qo}^{(0)}, (23) \end{matrix}

可得到 $\begin{matrix} W_{P}^{(1)} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} \{w_{P 1}^{(1)}, w_{P 2}^{(1)}, w_{P 3}^{(1)}\} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} W_{Q}^{(1)} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} \{w_{Q 1}^{(1)}, w_{Q 2}^{(1)}, w_{Q 3}^{(1)}\} \end{matrix}$ 。分别求出 $\begin{matrix} W_{P}^{(1)} \end{matrix}$ 、 $\begin{matrix} W_{Q}^{(1)} \end{matrix}$ 与 $\begin{matrix} \bar{p} \end{matrix}$ 、 $\begin{matrix} \bar{q} \end{matrix}$ 的夹角余弦值:

\begin{matrix} \{\begin{matrix} θ_{Po}^{(0)} = \cos < w_{Po}^{(1)}, \bar{p} > = \frac{{[w_{Po}^{(1)}]}^{T} \bar{p}}{|w_{Po}^{(1)}| |\bar{p}|} \\ θ_{Qo}^{(0)} = \cos < w_{Qo}^{(1)}, \bar{q} > = \frac{{[w_{Qo}^{(1)}]}^{T} \bar{q}}{|w_{Qo}^{(1)}| |\bar{q}|} \end{matrix}, (24) \end{matrix}

式中:|·|表示向量模长。根据(24)式可得到

\begin{matrix} θ_{P}^{(0)} = \{θ_{P 1}^{(0)}, θ_{P 2}^{(0)}, θ_{P 3}^{(0)}\}, θ_{Q}^{(0)} = \{θ_{Q 1}^{(0)}, θ_{Q 2}^{(0)}, θ_{Q 3}^{(0)}\} 。 (25) \end{matrix}

分别对 $\begin{matrix} θ_{P}^{(0)} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} θ_{Q}^{(0)} \end{matrix}$ 中的元素按从大到小依次排列,得到

\begin{matrix} θ_{P}^{(1)} = \{θ_{P 1}^{(1)}, θ_{P 2}^{(1)}, θ_{P 3}^{(1)}\}, θ_{Q}^{(1)} = \{θ_{Q 1}^{(1)}, θ_{Q 2}^{(1)}, θ_{Q 3}^{(1)}\}, (26) \end{matrix}

式中: $\begin{matrix} θ_{P 1}^{(1)} \end{matrix}$ ≥ $\begin{matrix} θ_{P 2}^{(1)} \end{matrix}$ ≥ $\begin{matrix} θ_{P 3}^{(1)} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} θ_{Q 1}^{(1)} \end{matrix}$ ≥ $\begin{matrix} θ_{Q 2}^{(1)} \end{matrix}$ ≥ $\begin{matrix} θ_{Q 3}^{(1)} \end{matrix}$ 。按照 $\begin{matrix} θ_{P}^{(1)} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} θ_{Q}^{(1)} \end{matrix}$ 的排列位置,分别对 $\begin{matrix} W_{P}^{(1)} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} W_{Q}^{(1)} \end{matrix}$ 中相应位置上的列向量进排序,可得到 $\begin{matrix} W_{P}^{(2)} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} \{w_{P 1}^{(2)}, w_{P 2}^{(2)}, w_{P 3}^{(2)}\} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} W_{Q}^{(2)} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} \{w_{Q 1}^{(2)}, w_{Q 2}^{(2)}, w_{Q 3}^{(2)}\} \end{matrix}$ 。由于最大余弦值对应特征向量的偏差可能较大,所以利用另外两组小的余弦值对应的列向量的叉乘来代替最大余弦值对应的特征向量,即

\begin{matrix} w_{P 1}^{(3)} = w_{P 2}^{(2)} \times w_{P 3}^{(2)}, w_{Q 1}^{(3)} = w_{Q 2}^{(2)} \times w_{Q 3}^{(2)} 。 (27) \end{matrix}

最后得到W_P= $\begin{matrix} \{w_{P 1}^{(3)}, w_{P 2}^{(2)}, w_{P 3}^{(2)}\} \end{matrix}$ ,W_Q= $\begin{matrix} \{w_{Q 1}^{(3)}, w_{Q 2}^{(2)}, w_{Q 3}^{(2)}\} \end{matrix}$ 。本研究算法流程图如图1所示。

图 1. 算法流程图

Fig. 1. Flow chart of algorithm

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本研究所用算法为CCA法,该方法的输入和输出如下。输入:目标点云P和待配准点云Q,其中Q可以存在无序排列和随机丢失;输出:配准后的点云Q,以及旋转矩阵R、平移向量t或仿射平移向量t_k。算法具体步骤如下:

①通过(2)式对点云P和点云Q去中心化,得到点云 $\begin{matrix} \hat{P} \end{matrix}$ 和点云 $\begin{matrix} \hat{Q} \end{matrix}$ ;

②根据(22)~(27)式分别求解出转动矩阵W_P和W_Q;

③由(6)式求出旋转矩阵R₀,由(7)式求出平移向量t₀或根据(9)~(14)式求出仿射平移向量t_k₀;

④由(8)式求出旋转矩阵R和平移向量t或t_k。

4 实验

采用Stanford大学提供的Armadillo(34526)、Bunny(31607)、Cat(10000)、Dragon(43775)、Elephant(24955)和Horse(48485)三维点云数据进行仿真。仿真计算是在MATLAB 2017a版本、i7-6700HQ四核处理器和GTX965M下进行的。

4.1 带有高斯白噪声下的配准

通常认为点云数据在一一对应的情况下不存在遮挡和缺失不完整的情况,但在实际中由于环境的因素可能会存在噪声的干扰,为了验证所提算法具有抗干扰能力,仿真中给Armadillo点云加上20 dB高斯白噪声对点云进行偏移,Cat点云加上50 dB高斯白噪声对原有点云进行偏移,通过对点云的随机旋转和平移得到待配准点云,红色表示目标点云,蓝色表示待配准点云(彩图请见电子版)。点云配准前的初始状态如图2所示。

图 2. 点云的初始状态。(a) Armadillo;(b) Cat

Fig. 2. Initial state of point clouds. (a) Armadillo; (b) Cat

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本研究先采用GA算法分别对Scale-ICP算法和ICP算法进行初配,在此条件下,将所提算法与Scale-ICP、ICP、CPD和Go-ICP算法的配准效果进行比较,如图3所示。

为验证各算法配准精度,采用均方根误差(RMSE)对配准精度进行评价,将均方根误差定义为

\begin{matrix} R_{MSE} = {\frac{1}{n} \overset{n}{\sum_{i = 1}} [(x_{i}^{(Q)} - x_{i}^{(P)})^{2} + (y_{i}^{(Q)} - y_{i}^{(P)})^{2} + (z_{i}^{(Q)} - z_{i}^{(P)})^{2}]}^{\frac{1}{2}}, (28) \end{matrix}

式中:P和Q表示点云。

图 3. 各算法配准效果。(a) CCA;(b) GA+ICP;(c) GA+Scale-ICP;(d) CPD;(e) Go-ICP

Fig. 3. Registration effect of each algorithm. (a) CCA; (b) GA+ICP; (c) GA+Scale-ICP ;(d) CPD; (e) Go-ICP

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各算法的配准时间和配准精度如表1所示。从图3和表1可以看出,在Armadillo点云带有20 dB高斯白噪声的情况下,CCA算法与GA+ICP、GA+Scale-ICP、CPD和Go-ICP算法相比,配准效率分别提升了99.6%、48.6%、98.3%、88.1%;CCA算法与GA+ICP算法和GA+Scale-ICP算法配准精度近似相等,配准效果相当,比Go-ICP算法的配准精度高出5.38%,CPD算法配准精度和配准效果最差。在Cat点云带有50dB高斯白噪声的情况下,CCA算法与GA+ICP、GA+Scale-ICP、CPD和Go-ICP算法相比,配准速度分别提高了93.3%、42.1%、96.6%、95.8%;CCA算法与GA+ICP算法的配准精度差值在10^-7 mm级;CPD算法导致了待配准点云的形态失真;GA+Scale-ICP算法的配准精度与CCA算法的相比有所下降;Go-ICP算法不能完成对Cat点云的配准。

表 1. 5种算法的配准时间和配准误差

Table 1. Registration time and error of 5 algorithms

Algorithm	Time /s		RMSE /mm
Algorithm	Armadillo	Cat	Armadillo	Cat
CCA	3.7	1.1	2.0332	8.5744×10^-4
GA+ICP	223.8	16.4	2.0327	8.5718×10^-4
GA+Scale-ICP	7.2	1.9	2.0337	0.0016
CPD	215.9	32.4	3.4036	0.0169
Go-ICP	31.2	26.6	2.1488	0.0326

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4.2 带有高斯白噪声且不同数据丢失下的配准

多数情况下,点云数据存在遮挡和缺失不完整。在实验中,对待配准数据Bunny和Dragon点云数据分别进行15%、20%和25%的随机丢失,且前者添加20 dB的高斯白噪声,后者添加50 dB的高斯白噪声,利用高斯白噪声对点云进行偏移。当点云数据存在遮挡和缺失时,由于缺乏对应关系,GA算法不能直接用于点云的配准。因此,采用本研究的CCA算法对ICP 算法和Scale-ICP算法进行初始配准,在相同条件下用CCA算法与ICP 算法、Scale-ICP算法、Go-ICP算法和CPD算法进行比较。配准后效果如图4和图5所示。

图 4. Bunny点云配准效果。(a)数据丢失15%;(b)数据丢失20%;(d)数据丢失25%

Fig. 4. Registration effects of Bunny point cloud. (a) 15% data loss; (b) 20% data loss; (c) 25% data loss

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图 5. Dragon点云配准效果。(a)数据丢失15%;(b)数据丢失20%;(d)数据丢失25%

Fig. 5. Registration effects of Dragon point cloud. (a) 15% data loss; (b) 20% data loss; (c) 25% data loss

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当实验数据存在缺失时,点云数据的排列顺序不再一一对应,为便于比较各算法的配准性能,引入另一种均方根误差:

\begin{matrix} R_{MSE} = {\frac{1}{n - m} \overset{n - m}{\sum_{i = 1}} \overset{n}{\min_{j}} [(x_{i}^{(Q)} - x_{j}^{(P)})^{2} + (y_{i}^{(Q)} - y_{j}^{(P)})^{2} + (z_{i}^{(Q)} - z_{j}^{(P)})^{2}]}^{\frac{1}{2}}, (29) \end{matrix}

式中:m表示丢失数据点的数目,当m=0时,即为上一种均方根误差。各算法的配准均方根误差和配准时间如图6所示。

由图4、图5和6可知, ICP算法与CCA算法的均方根误差几乎一样,但CCA算法对Bunny点云和Dragon点云的配准效率有很大的提高;与Scale-ICP算法相比,CCA算法对两点云的配准效率很快,但是配准精度比较差;CPD算法对两点云的配准效果都比CCA算法的差,且CPD算法改变了待配准点云的形状;Go-ICP算法对Bunny点云有较好配准效果,但对Dragon点云不能进行配准,表明Go-ICP算法稳健性较差。

图 6. 5种算法的配准误差和时间。(a) Bunny点云配准误差;(b) Dragon点云配准误差; (c) Bunny点云配准时间;(d) Dragon点云配准时间

Fig. 6. Registration error and registration time of 5 algorithms. (a) Registration error of Bunny point cloud; (b) registration error of Dragon point cloud; (c) registration time of Bunny point cloud; (d) registration time of Dragon point cloud

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4.3 仿射配准

通常在实际扫描数据的过程中,被扫描物体、扫描器件的型号不同和扫描距离不相同等因素可能会造成扫描出来的数据尺寸大小存在差异。为验证CCA算法具有仿射配准的能力,对Elephant点云进行随机旋转得到待配准点云,将待配准点云数据缩小为原来的1/3,再加30 dB高斯白噪声对点云进行偏移处理。对Horse点云进行随机旋转,得到待配准点云,对待配准点云数据进行放大1.5倍且随机丢失25%处理。点云初始状态如图7所示。

图 7. 点云的初始状态。(a) Elephant;(b) Horse

Fig. 7. Initial state of point clouds. (a) Elephant; (b) Horse

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分别采用CCA算法和Scale-ICP算法进行配准比较,配准效果如图8所示。

图 8. 两种算法仿射配准效果。(a) CCA;(b) Scale-ICP

Fig. 8. Affine registration effects of two algorithms. (a) CCA; (b) Scale-ICP

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两种算法的均方根误差和配准时间如表2所示。从图8和表2可以看出,在有噪声和数据缺失及待配准点云存在放缩的情况下,CCA算法在配准精度和配准效率上都优于Scale-ICP算法,且CCA算法比Scale-ICP算法具有更好的稳定性。对于Elephant点云在有30 dB高斯白噪声的环境下,CCA算法配准比Scale-ICP算法配准快0.2 s,配准精度相对于Scale-ICP算法提高了44.9%;对于Horse点云在数据随机丢失25%的情况下,CCA算法配准效率比Scale-ICP算法提升了38.2%,配准精度相对Scale-ICP算法提高了85.1%。

表 2. 两种配准算法的均方根误差和配准时间

Table 2. RMSE and registration time of two registration algorithms

Algorithm	Time /s		RMSE /mm
Algorithm	Elephant	Horse	Elephant	Horse
CCA	2.6	4.2	0.0203	5.0824×10^-4
Scale-ICP	2.8	6.8	0.0369	0.0034

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4.4 实物数据配准

为验证所提算法的实用性,采用三维激光扫描仪获取两组实物点云数据,两组实物图如图9所示。

图 9. 两组实物图。(a) A;(b) B

Fig. 9. Two sets of physical pictures. (a) A; (b) B

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A目标点云的扫描数据有16873个点,待配准点云有16618个点,对其添加20 dB的高斯白噪声对点云进行偏移。从不同角度扫描任意两组数据B点云进行配准。B目标点云的扫描数据有21469个点,待配准点云的扫描数据有21430个点。两组扫描点云的初始状态如图10所示。

图 10. 两组点云初始状态。(a) A点云;(b) B点云

Fig. 10. Initial state of two sets of point clouds. (a) A point cloud; (b) B point cloud

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采用本研究的CCA算法先对ICP 算法和Scale-ICP算法实现初始配准。在同样的配准条件下,对ICP 算法、Scale-ICP算法、Go-ICP算法和CPD算法进行比较。配准效果如图11所示。

图 11. 5种算法的配准效果。(a) CCA;(b) CCA+ICP;(c) CCA+Scale-ICP;(d) CPD;(e) Go-ICP

Fig. 11. Registration effects of five algorithms. (a) CCA; (b) CCA+ICP; (c) CCA+Scale-ICP; (d) CPD; (e) Go-ICP

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5种算法的配准精度和配准时间如表3所示。

表 3. 5种算法的配准误差和时间

Table 3. Registration error and time of 5 algorithms

Algorithm	Time /s		RMSE /mm
Algorithm	A pointcloud	B pointcloud	A pointcloud	B pointcloud
CCA	1.9	3.8	4.1680	0.4251
CAA+ICP	317.8	375.8	4.1447	0.3755
CAA+Scale-ICP	10.3	26.7	5.5035	3.2537
CPD	43.0	62.3	5.9309	1.3431
Go-ICP	27.6	27.7	4.9031	0.4706

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从图11和表3中可以明确看出,CCA算法配准精度与ICP算法配准精度的差值在0.01 mm级别,且较之于ICP算法配准时间大幅度缩短;Scale-ICP算法在CCA算法配准的基础上并没有进一步提高配准精度,反而使配准精度变得很低;CPD算法虽然能将两组点云配准,但也导致待配准点云失真;Go-ICP算法对A点云的配准效果有明显的倒位,对B点云的配准精度与CCA算法的相当,但配准时间是CCA算法的7倍。

5 结论

针对散乱点云提出了一种基于CCA的配准算法。所提算法能在无任何先验信息和点云数据部存在部分重叠、缺失且带有噪声的情况下实现自动配准。分别先对目标点云和待配准点云进行中心化处理,然后绕坐标原点进行转动,获得了两组点云各自满足各维度间相关系数平方值最大;再使用转动矩阵求解了两点云间刚性变换的旋转矩阵和平移向量,实现了点云的配准。依据协方差矩阵对应特征值的比例开方值,对待配准点云进行等比例放大,完成了仿射配准。实验验证所提算法在配准精度上和经典ICP算法相当,但配准效率有较大提升;与Scale-ICP算法、Go-ICP算法和CPD算法相比,所提CCA算法具有较好的稳定性。

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4.2 带有高斯白噪声且不同数据丢失下的配准

4.3 仿射配准

4.4 实物数据配准

5 结论

唐志荣, 刘明哲, 蒋悦, 赵飞翔, 赵成强. 基于典型相关分析的点云配准算法[J]. 中国激光, 2019, 46(4): 0404006. Zhirong Tang, Mingzhe Liu, Yue Jiang, Feixiang Zhao, Chengqiang Zhao. Point Cloud Registration Algorithm Based on Canonical Correlation Analysis[J]. Chinese Journal of Lasers, 2019, 46(4): 0404006.

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1 引言

2 基于CCA的点云配准算法

2.1 基于CCA的点云配准

2.2 仿射比例求取

3 参数确定

3.1 CCA法

3.2 参数校准

图 1. 算法流程图

Fig. 1. Flow chart of algorithm

4 实验

4.1 带有高斯白噪声下的配准

图 2. 点云的初始状态。(a) Armadillo;(b) Cat

Fig. 2. Initial state of point clouds. (a) Armadillo; (b) Cat

图 3. 各算法配准效果。(a) CCA;(b) GA+ICP;(c) GA+Scale-ICP;(d) CPD;(e) Go-ICP

Fig. 3. Registration effect of each algorithm. (a) CCA; (b) GA+ICP; (c) GA+Scale-ICP ;(d) CPD; (e) Go-ICP

表 1. 5种算法的配准时间和配准误差

Table 1. Registration time and error of 5 algorithms

4.2 带有高斯白噪声且不同数据丢失下的配准

图 4. Bunny点云配准效果。(a)数据丢失15%;(b)数据丢失20%;(d)数据丢失25%

Fig. 4. Registration effects of Bunny point cloud. (a) 15% data loss; (b) 20% data loss; (c) 25% data loss

图 5. Dragon点云配准效果。(a)数据丢失15%;(b)数据丢失20%;(d)数据丢失25%

Fig. 5. Registration effects of Dragon point cloud. (a) 15% data loss; (b) 20% data loss; (c) 25% data loss

图 6. 5种算法的配准误差和时间。(a) Bunny点云配准误差;(b) Dragon点云配准误差; (c) Bunny点云配准时间;(d) Dragon点云配准时间

Fig. 6. Registration error and registration time of 5 algorithms. (a) Registration error of Bunny point cloud; (b) registration error of Dragon point cloud; (c) registration time of Bunny point cloud; (d) registration time of Dragon point cloud

4.3 仿射配准

图 7. 点云的初始状态。(a) Elephant;(b) Horse

Fig. 7. Initial state of point clouds. (a) Elephant; (b) Horse

图 8. 两种算法仿射配准效果。(a) CCA;(b) Scale-ICP

Fig. 8. Affine registration effects of two algorithms. (a) CCA; (b) Scale-ICP

表 2. 两种配准算法的均方根误差和配准时间

Table 2. RMSE and registration time of two registration algorithms

4.4 实物数据配准

图 9. 两组实物图。(a) A;(b) B

Fig. 9. Two sets of physical pictures. (a) A; (b) B

图 10. 两组点云初始状态。(a) A点云;(b) B点云

Fig. 10. Initial state of two sets of point clouds. (a) A point cloud; (b) B point cloud

图 11. 5种算法的配准效果。(a) CCA;(b) CCA+ICP;(c) CCA+Scale-ICP;(d) CPD;(e) Go-ICP

Fig. 11. Registration effects of five algorithms. (a) CCA; (b) CCA+ICP; (c) CCA+Scale-ICP; (d) CPD; (e) Go-ICP

表 3. 5种算法的配准误差和时间

Table 3. Registration error and time of 5 algorithms

5 结论

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