外腔泵浦反斯托克斯激光器的耦合波理论

王聪; 吕冬翔

doi:doi:10.3788/CJL202047.0301001

中国激光, 2020, 47 (3): 0301001, 网络出版: 2020-03-12

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Coupled Wave Theory of Extra-Cavity Pumped Anti-Stokes Lasers

论文大纲

王聪 ^1,*吕冬翔 ²

作者单位

¹ 天津理工大学理学院, 天津 300384

² 中国电子科技集团公司第十八研究所, 天津 300384

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摘要

在平面波近似下,由波动方程和拉曼介质的物质方程出发,忽略受激拉曼散射的瞬态效应,得到了描述外腔泵浦反斯托克斯激光器中一阶反斯托克斯光、泵浦光和一至三阶斯托克斯光相互作用的耦合波方程。引入归一化参量对方程组进行归一化处理,通过对归一化耦合波方程组进行数值求解,分析了归一化拉曼增益系数、归一化泵浦脉冲宽度和归一化波失配对外腔泵浦反斯托克斯激光器性能的影响。将实验数据代入耦合波方程中进行了验证,理论估算出的反斯托克斯光转化效率与文献报道数据基本一致,证明了该理论模型的正确性。通过分析理论计算结果提出了提高外腔泵浦反斯托克斯激光器转化效率的途径及辅助激光器设计的方法。

Abstract

In this study, based on the wave equation and material equation of a solid Raman medium and neglecting the transient effect of stimulated Raman scattering, the coupled wave equations of the interaction of the first anti-Stokes beams, the pump, and first to third Stokes beams in extra-cavity pumped anti-Stokes lasers are obtained using the plane wave approximation. Normalized parameters are introduced to normalize the equations. The effects of the normalized Raman gain coefficient, normalized pump pulse width, and normalized wave mismatch on the performances of extra-cavity pumped anti-Stokes lasers are analyzed by numerically solving the normalized coupled wave equations. The experimental data are substituted into the coupled wave equations. The theoretical estimations of the anti-Stokes optical conversion efficiencies are consistent with the reported data, which validate the correctness of the theoretical model. By analyzing the theoretical calculation results, methods to improve the conversion efficiency of extra-cavity pumped anti-Stokes lasers and associated methods of lasers design are proposed.

1 引言

近年来,基于晶体中受激拉曼散射(SRS)效应的固体拉曼激光器作为一类实用、高效的激光系统,大大提高了固体激光器的光谱覆盖率,并得到了广泛的研究^[1-10]。通过拉曼共振四波混频过程,可以将泵浦光上变频为反斯托克斯光,从而获得比泵浦光更短的激光波长,固体反斯托克斯激光器成为进一步拓宽相干光谱范围的一种重要途径^[11-19]。

外腔泵浦拉曼谐振腔是实现反斯托克斯激光运转的有效方法之一^[14-16,19],拉曼谐振腔与泵浦光谐振腔相互独立,优化拉曼谐振腔时不会改变泵浦激光器的结构。2009年,Mildren等^[16]以532 nm 激光作为泵浦光,钨酸钾钆KGd(WO₄)₂晶体作为拉曼介质,实现了外腔泵浦的508 nm反斯托克斯激光输出,反斯托克斯光的转化效率为0.46%。2013年,Wang等^[15]以钨酸钡(BaWO₄)作为拉曼介质,实现了外腔泵浦的968 nm反斯托克斯拉曼激光运转,反斯托克斯光的转化效率为1.7%。

采用准确的理论模型对激光器的设计进行分析是提高激光器性能的重要途径。Shen等^[20]采用耦合波方程描述了SRS。此后,耦合波方程成为分析拉曼激光器^[5-7]和反斯托克斯激光器特性的有效方法^[17-19]。2006年,Vermeulen等^[18]考虑后向拉曼散射,得到了连续波泵浦下描述一阶反斯托克斯光、泵浦光和一阶斯托克斯光的耦合波方程。2018年,Smetanin等^[19]考虑一阶和二阶斯托克斯散射光的双向传播,建立了单程泵浦的正交偏振耦合波模型,理论上研究了1064 nm泵浦的外腔参量CaCO₃反斯托克斯激光器。然而,以往报道的外腔反斯托克斯耦合波理论虽能反映激光器的运转规律,但未有报道研究外腔反斯托克斯激光器的最优化问题,也没有给出激光器参量对反斯托克斯激光输出特性的影响。

本文从光的波动方程和拉曼介质的物质方程出发,考虑泵浦光和散射光的双向传播,得到了描述外腔泵浦反斯托克斯激光器中一阶反斯托克斯光、泵浦光和一至三阶斯托克斯光相互作用的耦合波方程组。引入归一化参量对方程组进行了归一化处理,研究了反斯托克斯光转化效率最大时的谐振腔反射率配置,分析了归一化参量对激光器运转特性的影响,总结了提高外腔反斯托克斯激光器转化效率的途径,并采用实验数据验证了理论模型的正确性和可行性。

2 耦合波方程

在平面波近似下,拉曼介质内光辐射与物质的相互作用可用波动方程和物质方程进行表示^[21-23],具体表达式为

\begin{matrix} \frac{\partial^{2} E (z, t)}{\partial z^{2}} - \frac{n^{2} (ω)}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E (z, t)}{\partial t^{2}} = ε_{0} χ^{(3)} \frac{\partial^{2} (QE)}{\partial t^{2}}, (1) \end{matrix}

\frac{\partial^{2} Q}{\partial t^{2}} + \frac{2}{T_{2}} \frac{\partial Q}{\partial t} + ω_{ν}^{2} Q = γ_{ν} E^{2}, (2)

式中:E为光辐射电场强度;n为折射率;t为时间;ε₀为真空中的介电常数;χ⁽³⁾为三阶非线性极化率;Q为声子波的强度;T₂为声子的寿命;ω为光辐射场的角频率;ω_ν为声子振动的角频率;γ_ν为非线性极化强度的色散响应;c为真空中的光速。

在近轴近似下,假设泵浦光的入射方向为z轴正向,波动方程(1)式的解为多个拉曼散射分量的平面波函数之和,可表示为复振幅与其复数共轭和的形式,即

\begin{matrix} E (z, t) = \frac{1}{2} \sum_{j} E_{j}^{+} \exp [i (ω_{j} t - k_{j}^{+} z)] + \frac{1}{2} \sum_{j} E_{j}^{-} \exp [i (ω_{j} t - k_{j}^{-} z)] + c.c., (3) \end{matrix}

式中: $\begin{matrix} E_{j}^{+} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} E_{j}^{-} \end{matrix}$ 分别为正向和负向传播的反斯托克斯光(j=-1, -2,…)、泵浦光(j=0)和斯托克斯光(j=1, 2, 3,…)的缓变复振幅;ω_j为光波的角频率; $\begin{matrix} k_{j}^{+} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} k_{j}^{-} \end{matrix}$ 为正向和负向传播光波的波数,且 $\begin{matrix} k_{j}^{+} \end{matrix}$ =- $\begin{matrix} k_{j}^{-} \end{matrix}$ ;c.c.表示前两项的复共轭。

考虑完全共振的情况,声子波强度可表示为

\begin{matrix} Q = \frac{1}{2} \sum_{j} (q_{j})_{1} \exp {i [ω_{ν} t - (k_{νj})_{1} z]} + \frac{1}{2} \sum_{j} (q_{j})_{2} \exp {i [ω_{ν} t - (k_{νj})_{2} z]} + \\ \frac{1}{2} \sum_{j} (q_{j})_{3} \exp {i [ω_{ν} t - (k_{νj})_{3} z]} + \frac{1}{2} \sum_{j} (q_{j})_{4} \exp {i [ω_{ν} t - (k_{νj})_{4} z]} + c.c., (4) \end{matrix}

式中:(q_j)_m为 $\begin{matrix} E_{j - 1}^{\pm} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} E_{j}^{\pm} \end{matrix}$ 相互作用过程中声子波的缓变复振幅,m=1,2,3,4;声子波的角频率ω_ν=ω_j-₁-ω_j;(k_ν_j)_m为声子波的波数,具体表达式为

\begin{matrix} (k_{νj})_{1} = k_{j - 1}^{+} - k_{j}^{+}, (k_{νj})_{2} = k_{j - 1}^{-} - k_{j}^{+}, (k_{νj})_{3} = k_{j - 1}^{+} - k_{j}^{-}, (k_{νj})_{4} = k_{j - 1}^{-} - k_{j}^{-} 。 (5) \end{matrix}

将(3)~(5)式代入(1)式和(2)式中,同时引入归一化光矢量振幅E^(new)、声子波振幅q^(new)和拉曼散射的稳态增益系数g_j,对应表达式为

\begin{matrix} E^{(new)} = \sqrt[]{\frac{ε_{0} cn}{2}} E, q^{(new)} = (\frac{2 ω_{ν} ε_{0} cn}{T_{2} γ_{ν}}) q, g_{j} = \frac{ω_{j} χ^{(3)} T_{2} γ_{ν}}{4 n^{2} ε_{0} c^{2} ω_{ν}}, (6) \end{matrix}

式中:q为声子波的缓变复振幅。正向和负向传播的同一频率分量的稳态拉曼增益系数相等,即 $\begin{matrix} g_{j}^{+} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} g_{j}^{-} \end{matrix}$ =g_j。

在缓变振幅近似下,描述SRS辐射分量之间相互作用的耦合波方程组为

[\frac{\partial}{\partial z} + \frac{n (ω_{j})}{c} \frac{\partial}{\partial t}] E_{j}^{+} = \frac{g_{j}^{+}}{2 i} {E_{j + 1}^{+} (q_{j + 2})_{1} \exp (iΔ k_{j + 1}^{+} z) + E_{j + 1}^{+} (q_{j + 1})_{1} + E_{j + 1}^{-} (q_{j + 1})_{3} + [E_{j - 1}^{+} (q_{j + 1})_{1}^{*} + E_{j + 1}^{+} (q_{j})_{1}] \exp (- iΔ k_{j}^{+} z) + E_{j - 1}^{+} (q_{j})_{1}^{*} + E_{j - 1}^{-} (q_{j})_{2}^{*} + E_{j - 1}^{+} (q_{j - 1})_{1}^{*} \exp (iΔ k_{j - 1}^{+} z)}, (7)

[- \frac{\partial}{\partial z} + \frac{n (ω_{j})}{c} \frac{\partial}{\partial t}] E_{j}^{-} = \frac{g_{j}^{-}}{2 i} {E_{j + 1}^{-} (q_{j + 2})_{4} \exp (iΔ k_{j + 1}^{-} z) + E_{j + 1}^{-} (q_{j + 1})_{4} + E_{j + 1}^{+} (q_{j + 1})_{2} + [E_{j - 1}^{-} (q_{j + 1})_{4}^{*} + E_{j + 1}^{-} (q_{j})_{4}] \exp (- iΔ k_{j}^{-} z) + E_{j - 1}^{-} (q_{j})_{4}^{*} + E_{j - 1}^{+} (q_{j})_{3}^{*} + E_{j - 1}^{-} (q_{j - 1})_{4}^{*} \exp (iΔ k_{j - 1}^{-} z)}, (8)

\frac{\partial (q_{j})_{1}}{\partial t} = \frac{1}{i T_{2}} [- i (q_{j})_{1} + E_{j - 1}^{+} E_{j}^{+ *}], (9)

\frac{\partial (q_{j})_{2}}{\partial t} = \frac{1}{i T_{2}} [- i (q_{j})_{2} + E_{j - 1}^{-} E_{j}^{+ *}], (10)

\frac{\partial (q_{j})_{3}}{\partial t} = \frac{1}{i T_{2}} [- i (q_{j})_{3} + E_{j - 1}^{+} E_{j}^{- *}], (11)

\frac{\partial (q_{j})_{4}}{\partial t} = \frac{1}{i T_{2}} [- i (q_{j})_{4} + E_{j - 1}^{-} E_{j}^{- *}], (12)

z式中:Δ $\begin{matrix} k_{j}^{+} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} k_{j + 1}^{+} \end{matrix}$ -2 $\begin{matrix} k_{j}^{+} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} k_{j - 1}^{+} \end{matrix}$ ,Δ $\begin{matrix} k_{j}^{-} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} k_{j + 1}^{-} \end{matrix}$ -2 $\begin{matrix} k_{j}^{-} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} k_{j - 1}^{-} \end{matrix}$ 分别为正向和负向传播的相邻三个SRS分量四波混频过程中的波失配;*表示共轭运算。

若忽略SRS的瞬态效应,则 (9)~(12)式可以简化为

\begin{matrix} (q_{j})_{1} = - i E_{j - 1}^{+} E_{j}^{+ *}, (q_{j})_{2} = - i E_{j - 1}^{-} E_{j}^{+ *}, (q_{j})_{3} = - i E_{j - 1}^{+} E_{j}^{- *}, (q_{j})_{4} = - i E_{j - 1}^{-} E_{j}^{- *} 。 (13) \end{matrix}

将(13)式代入(9)~(12)式中,考虑一阶反斯托克斯光和三阶斯托克斯光的产生,加入拉曼介质的损耗项和自发拉曼散射项,忽略高阶斯托斯克光的反斯托克斯效应,可以得到对应的耦合微分方程组,具体表达式为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} [\pm \frac{\partial}{\partial z} + \frac{n}{c} \frac{\partial}{\partial t}] E_{- 1}^{\pm} = \frac{g_{- 1}^{\pm}}{2} [-(E_{0}^{\pm})^{2} E_{1}^{\pm *} \exp (iΔ k_{0}^{\pm} z) - ({|E_{0}^{\pm}|}^{2} + {|E_{0}^{\mp}|}^{2}) E_{- 1}^{\pm}] - α_{- 1} E_{- 1}^{\pm} \\ [\pm \frac{\partial}{\partial z} + \frac{n}{c} \frac{\partial}{\partial t}] E_{0}^{\pm} = \frac{g_{0}^{\pm}}{2} [({|E_{- 1}^{\pm}|}^{2} + {|E_{- 1}^{\mp}|}^{2}) - ({|E_{1}^{\pm}|}^{2} + {|E_{1}^{\mp}|}^{2})] E_{0}^{\pm} - α_{0} E_{0}^{\pm} + s (E_{- 1}^{+} + E_{- 1}^{-}) \\ [\pm \frac{\partial}{\partial z} + \frac{n}{c} \frac{\partial}{\partial t}] E_{1}^{\pm} = \frac{g_{1}^{\pm}}{2} {[({|E_{0}^{\pm}|}^{2} + {|E_{0}^{\mp}|}^{2}) - ({|E_{2}^{\pm}|}^{2} + {|E_{2}^{\mp}|}^{2})] E_{1}^{\pm} + (E_{0}^{\pm})^{2} E_{- 1}^{\pm *} \exp (iΔ k_{0}^{\pm} z)} - \\ α_{1} E_{1}^{\pm} + s (E_{0}^{+} + E_{0}^{-}) \\ [\pm \frac{\partial}{\partial z} + \frac{n}{c} \frac{\partial}{\partial t}] E_{2}^{\pm} = \frac{g_{2}^{\pm}}{2} [({|E_{1}^{\pm}|}^{2} + {|E_{1}^{\mp}|}^{2}) - ({|E_{3}^{\pm}|}^{2} + {|E_{3}^{\mp}|}^{2})] E_{2}^{\pm} - α_{2} E_{2}^{\pm} + s (E_{1}^{+} + E_{1}^{-}) \\ [\pm \frac{\partial}{\partial z} + \frac{n}{c} \frac{\partial}{\partial t}] E_{3}^{\pm} = \frac{g_{3}^{\pm}}{2} ({|E_{2}^{\pm}|}^{2} + {|E_{2}^{\mp}|}^{2}) E_{3}^{\pm} - α_{3} E_{3}^{\pm} + s (E_{2}^{+} + E_{2}^{-}) \end{matrix}, (14) \end{matrix}

式中:α_j为拉曼介质对 $\begin{matrix} E_{j}^{\pm} \end{matrix}$ 的本征损耗系数;s为自发拉曼散射系数。

引入归一化空间坐标ζ、归一化时间坐标τ、归一化拉曼增益系数G_j、归一化光矢量振幅Φ_j、归一化波失配ΔK_j、归一化损耗L_j和归一化自发拉曼散射系数S,对应量的表达式分别为

\begin{matrix} ζ = \frac{z}{l_{c}}, τ = \frac{t}{t_{c}}, G_{j} = \frac{λ_{0}}{λ_{j}} g_{0} {|E_{0 im}|}^{2} l_{c} \approx \frac{λ_{0}}{λ_{j}} g_{0} {|E_{0 im}|}^{2} n l_{R}, Φ_{j}^{\pm} = \frac{E_{j}^{\pm}}{E_{0 im}}, Δ K_{j} = Δ k_{j} l_{c}, L_{j} = α_{j} l_{c}, S = s l_{c}, (15) \end{matrix}

式中:l_c为拉曼谐振腔的光学长度;t_c=l_c/c为光在谐振腔内传输单程所用的时间;λ_j为光波波长;E_0im为入射泵浦光的最大振幅;l_R为拉曼晶体的长度。

将(15)式代入(14)式中,得到归一化的耦合波方程组:

\begin{matrix} \{\begin{matrix} [\pm \frac{\partial}{\partial ζ} + n \frac{\partial}{\partial τ}] Φ_{- 1}^{\pm} = \frac{G_{- 1}^{\pm}}{2} [-(Φ_{0}^{\pm})^{2} Φ_{1}^{\pm *} \exp (iΔ K_{0}^{\pm} ζ) - ({|Φ_{0}^{\pm}|}^{2} + {|Φ_{0}^{\mp}|}^{2}) Φ_{- 1}^{\pm}] - L_{- 1} Φ_{- 1}^{\pm} \\ [\pm \frac{\partial}{\partial ζ} + n \frac{\partial}{\partial τ}] Φ_{0}^{\pm} = \frac{G_{0}^{\pm}}{2} [({|Φ_{- 1}^{\pm}|}^{2} + {|Φ_{- 1}^{\mp}|}^{2}) - ({|Φ_{1}^{\pm}|}^{2} + {|Φ_{1}^{\mp}|}^{2})] Φ_{0}^{\pm} - L_{0} Φ_{0}^{\pm} + S (Φ_{- 1}^{+} + Φ_{- 1}^{-}) \\ [\pm \frac{\partial}{\partial ζ} + n \frac{\partial}{\partial τ}] Φ_{1}^{\pm} = \frac{G_{1}^{\pm}}{2} {[({|Φ_{0}^{\pm}|}^{2} + {|Φ_{0}^{\mp}|}^{2}) - ({|Φ_{2}^{\pm}|}^{2} + {|Φ_{2}^{\mp}|}^{2})] Φ_{1}^{\pm} + (Φ_{0}^{\pm})^{2} Φ_{- 1}^{\pm *} \exp (iΔ K_{0}^{\pm} ζ)} - \\ L_{1} Φ_{1}^{\pm} + S (Φ_{0}^{+} + Φ_{0}^{-}) \\ [\pm \frac{\partial}{\partial ζ} + n \frac{\partial}{\partial τ}] Φ_{2}^{\pm} = \frac{G_{2}^{\pm}}{2} [({|Φ_{1}^{\pm}|}^{2} + {|Φ_{1}^{\mp}|}^{2}) - ({|Φ_{3}^{\pm}|}^{2} + {|Φ_{3}^{\mp}|}^{2})] Φ_{2}^{\pm} - L_{2} Φ_{2}^{\pm} + S (Φ_{1}^{+} + Φ_{1}^{-}) \\ [\pm \frac{\partial}{\partial ζ} + n \frac{\partial}{\partial τ}] Φ_{3}^{\pm} = \frac{G_{3}^{\pm}}{2} ({|Φ_{2}^{\pm}|}^{2} + {|Φ_{2}^{\mp}|}^{2}) Φ_{3}^{\pm} - L_{3} Φ_{3}^{\pm} + S (Φ_{2}^{+} + Φ_{2}^{-}) \end{matrix} 。 (16) \end{matrix}

归一化耦合波方程的边界条件为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} Φ_{j}^{+} (τ, 0) = \sqrt[]{R_{1 j}} Φ_{j}^{-} (τ, 0), j = - 1,1, 2,3 \\ Φ_{0}^{+} (τ, 0) = \sqrt[]{T_{10}} Φ_{0 i} (τ) \\ Φ_{j}^{-} (τ, 1) = \sqrt[]{R_{2 j}} Φ_{j}^{+} (τ, 1), j = - 1,0, 1,2, 3 \end{matrix}, (17) \end{matrix}

式中:Φ₀_i(τ)为入射泵浦光的归一化振幅;T₁₀为后腔镜对泵浦光的透过率;R₁_j为后腔镜对拉曼光分量j的反射率;R₂_j为输出镜对拉曼光分量j的反射率。假设入射泵浦光脉冲形状为高斯型,则其归一化振幅可表示为

\begin{matrix} Φ_{0 i} (τ) = \exp [- \frac{τ - τ_{0 im}}{W_{0 i} / (2 \sqrt[]{\ln 2})}] \exp (i φ_{0}), (18) \end{matrix}

式中:φ₀为(-π,π)之间的随机相位;τ_0im为脉冲峰值对应的归一化时间;W_0i 为入射泵浦光的归一化脉冲宽度,若实际泵浦光脉冲宽度为w_0i ,则W_0i =w_0i /t_c。

运用边界条件(17)式对(16)式进行数值求解,出射光脉冲的单脉冲能量为

\begin{matrix} e_{jout} = A_{j} \int {|E_{jout}|}^{2} dt = \frac{A_{j} l_{c}}{c} {|E_{0 im}|}^{2} \int {|Φ_{jout}|}^{2} dτ, (19) \end{matrix}

式中:A_j为光束截面积;E_j_out为出射分量j的复振幅;Φ_j_out为出射分量j的归一化振幅。则各拉曼分量的转化效率为

\begin{matrix} \frac{e_{jout}}{e_{0 in}} = \frac{A_{j} \int {|Φ_{jout}|}^{2} dτ}{A_{0 i} \int {|Φ_{0 i}|}^{2} dτ}, (20) \end{matrix}

式中:e_0in为入射泵浦光的单脉冲能量;A_0i为入射泵浦光的光束横截面积;Φ_0i为入射泵浦光的归一化振幅。令η_j= $\begin{matrix} \frac{\int {|Φ_{jout}|}^{2} dτ}{\int {|Φ_{0 i}|}^{2} dτ} \end{matrix}$ ,用于表征拉曼分量j的转化效率。根据∣Φ_j_out|²与归一化时间的分布关系,可以得到输出各拉曼分量的归一化脉冲宽度W_j_out,理论上的脉冲宽度w_j_out=W_j_outt_c。

3 耦合波方程的解

泵浦光、一阶斯托克斯光和反斯托克斯光之间的相位失配系数ΔK₀是影响反斯托克斯光转化效率的重要因素之一。当腔内一阶斯托克斯光较强时,可不考虑拉曼增益抑制的影响,且当腔内满足相位匹配条件ΔK₀=0时,反斯托克斯光的转化效率最高,因此首先考虑相位匹配的情况。

当泵浦光和拉曼晶体一定时,谐振腔对拉曼散射分量的反射率决定了反斯托克斯激光器的转化效率。为保证腔内一阶斯托克斯光的强度,腔镜需要对高阶斯托克斯光高透以抑制拉曼级联效应的产生,输入镜则需要对一阶斯托克斯光高反。同时,由于反斯托克斯光不在谐振腔内振荡,后腔镜需要对反斯托克斯光高反,输出镜需要对反斯托克斯光高透以实现反斯托克斯光的最大输出。则输出镜对一阶斯托克斯光的反射率R₂₁是影响反斯托克斯光转化效率的主要谐振腔参数。通过数值求解(16)式,可以得出反斯托克斯光有最大转化效率时R₂₁的最佳值R_21opt。表1给出了数值计算所用的参数。R₂₀=0.01表示输出镜对泵浦光高透,即单程泵浦;R₂₀=0.99表示输出镜对泵浦光高反,即双程泵浦。

表 1. 数值计算所用参数

Table 1. Parameters of the numerical calculations

Parameter	Value
Raman shift frequency ω_ν /cm^-1	1000
Dissipative loss inside the resonator L	2×10^-2
Spontaneous Raman loss rate S^[6]	4×10^-6
Refractive index n	1.8
Reflectivity of the output mirror at the anti-Stokes light R_2a	0.01
Reflectivity of the back-cavity mirror at the anti-Stokes light R_1a	0.99
Transmission of the back-cavity mirror at the pump light T₁₀	0.99
Reflectivity of the output mirror at the pump light R₂₀	0.01 or 0.99
Reflectivity of the back-cavity mirror at the first Stokes light R₁₁	0.99
Reflectivity of the cavity mirrors at the second and third Stokes lights R₁₂、R₂₂、R₁₃、R₂₃	1×10^-4

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图1给出了单程泵浦和双程泵浦时反斯托克斯光和各阶斯托克斯光的转化效率η_j随R₂₁的变化曲线,其中G₀=8、W_0i=20。开始阶段,η_-1和η₁随R₂₁的增大而增大,η_-1在某一最佳反射率(R_21opt)时有最大值,继而随R₂₁的增大而减小。当一阶斯托克斯光的强度增大到了二阶斯托克斯光的反射率阈值时,η₁随R₂₁的增大迅速减小,二阶斯托克斯光的转化效率η₂则随之增大。η_-1由泵浦光和一阶斯托克斯光的强度共同决定:当R₂₁较小时,腔内一阶斯托克斯光较弱,η_-1较小;随着R₂₁的增大,腔内一阶斯托克斯光光强增强,在某一最佳反射率R_21opt处,η_-1有最大值;而在R_21opt后,随着R₂₁的增大,产生斯托克斯光所消耗的泵浦光增多,使得参与四波混频的泵浦光减弱,因此反斯托克斯光的转化效率η_-1随着R₂₁的增大而减小。相比于单程泵浦,双程泵浦时泵浦光的利用率更高,因此η_-1也更大。

图 1. G₀=8,W_0i=20时,η_j随R₂₁的变化曲线

Fig. 1. Dependences of η_j on R₂₁ with G₀=8, W_0i=20

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在单程泵浦下,对于不同的归一化泵浦脉宽W_0i ,反斯托克斯光最大转化效率η_-1max和对应的R_21opt随G₀的变化曲线如图2所示。由图2可知:当W_0i 一定时,G₀越大,腔内一阶斯托克斯散射光就越强,因此输出最大反斯托克斯光所需的最佳反射率R_21opt随G₀的增大而减小;同时,G₀越大,四波混频就越强,最佳反射率时的反斯托克斯转化效率η_-1max也就越高;当G₀一定时,R_21opt随W_0i 的增大而减小,η_-1max随W_0i 的增大而增大。可以这样定性地解释:一阶斯托克斯散射光在谐振腔内振荡,泵浦脉冲前沿产生的散射光被泵浦脉冲的后沿放大;泵浦脉冲宽度越大,一阶斯托克斯光在腔内往返放大的次数就越多,谐振腔中一阶斯托克斯光的强度就越大,从而导致了较小的R_21opt;泵浦脉冲越宽,泵浦光和一阶斯托克斯光在时间上重合的范围就越大,从而四波混频就越强,反斯托克斯光转化效率也就越高。

单程泵浦时,不同归一化泵浦脉冲宽度下,R21opt和η-1max随G0的变化曲线。(a) R21opt随G0的变化曲线;(b)η-1max随G0的变化曲线

图 2. 单程泵浦时,不同归一化泵浦脉冲宽度下,R_21opt和η_-1max随G₀的变化曲线。(a) R_21opt随G₀的变化曲线;(b)η_-1max随G₀的变化曲线

Fig. 2. R_21opt and η_-1max versus G₀ for the single-pass pumping under different W_0i. (a) R_21opt versus G₀; (b) η_-1max versus G₀

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与图2相同条件下的双程泵浦的计算结果如图3所示。对比图2和3可以看出,单程泵浦和双程泵浦时R_21opt和η_-1max随G₀的变化规律相似。但由于双程泵浦时泵浦光经输出镜反射后再次经过拉曼晶体,这增加了四波混频的作用长度,因此相同情况下双程泵浦时η_-1max比单程泵浦的高;而双程泵浦时,腔内一阶斯托克斯光更强,所以R_21opt低于单程泵浦时的计算值。

双程泵浦时,不同归一化泵浦脉冲宽度下,R21opt和η-1max随G0的变化曲线。(a)R21opt随G0的变化曲线;(b)η-1max随G0的变化曲线

图 3. 双程泵浦时,不同归一化泵浦脉冲宽度下,R_21opt和η_-1max随G₀的变化曲线。(a)R_21opt随G₀的变化曲线;(b)η_-1max随G₀的变化曲线

Fig. 3. R_21opt and η_-1max versus G₀ for the double-pass pumping under different W_0i. (a) R_21opt versus G₀; (b) η_-1max versus G₀

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图4是单程泵浦下,当R₂₁取最佳值R_21opt时,对于不同的G₀,输出的反斯托克斯光归一化脉冲宽度W_-1out随入射泵浦归一化脉冲宽度W_0i 的变化曲线。从图4中可以看出:G₀一定时,W_-1out随W_0i 呈近似线性变化;W_0i 一定时,G₀越大,输出的反斯托克斯脉冲就越宽。后者可以解释为:拉曼增益系数大时,一阶斯托克斯光的阈值低,在谐振腔内振荡的时间较长,而反斯托克斯光产生于泵浦光和一阶斯托克斯光的重叠区域^[24],因此反斯托克斯脉冲的宽度也就越宽。

图 4. 单程泵浦时,不同G₀下,W_-1out随W_0i 的变化曲线

Fig. 4. W_-1out versus W_0i for the single-pass pumping under different G₀

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上述计算都是基于四波混频相位匹配的情况,图5给出了双程泵浦下,对于不同G₀,反斯托克斯光转化效率随归一化波失配ΔK₀的变化关系。可以明显地看出,ΔK₀=0时,η_-1最高,随着ΔK₀的增大,η_-1迅速降低。

图 5. 双程泵浦下, G₀取不同值时η_-1随ΔK₀的变化曲线

Fig. 5. η_-1 versus ΔK₀ for the double-pass pumping under different G₀

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基于以上计算结果,提高外腔泵浦的反斯托克斯激光器转化效率的方法总结如下:1)泵浦光的传播方向和一阶斯托克斯光的振荡方向需满足相位匹配条件,相位匹配角度可根据拉曼晶体的色散方程计算得出^[14];2)尽量增大G₀,由(10)式可知,选择拉曼增益系数较大的拉曼晶体、提高入射泵浦光强度,以及增大拉曼晶体的长度均可以增大G₀;3)选择合适的腔镜镀膜,尽量减小谐振腔对高阶斯托克斯光的反射以保证腔内一阶斯托克斯光的强度,同时使输出镜对一阶斯托克斯光的反射率为较大G₀时的最佳值;4)采用双程泵浦模式。

4 应用

已知泵浦脉冲和拉曼外腔的参数:泵浦脉冲能量e_0i 、泵浦脉冲宽度w_0i 、泵浦光束面积A_0i 、拉曼增益系数g₀、谐振腔的光学长度l_c,可以计算泵浦脉冲的峰值振幅E_0im= $\begin{matrix} \sqrt[]{e_{0 i} / (A_{0 i} w_{0 i})} \end{matrix}$ 、归一化拉曼增益系数G₀=g₀ $\begin{matrix} {|E_{0 im}|}^{2} \end{matrix}$ l_c、归一化泵浦脉冲宽度W_0i=w_0ic/l_c。将归一化参量值以及谐振腔反射率代入归一化耦合波方程组中进行数值求解,可以计算得到各阶拉曼分量的转化效率。

下面采用实验测量数据对本文理论的正确性进行验证。2013年,Wang等^[15]实现了968 nm外腔泵浦BaWO₄反斯托克斯激光运转,1064 nm泵浦脉冲能量为128 mJ时:输出的最大反斯托克斯脉冲能量为2.2 mJ,转化效率为1.7%;一至三阶斯托克斯光的脉冲能量分别为5.5 mJ、29.4 mJ和7.6 mJ,对应的转化效率分别为4.3%、23.0%和5.9%。表2总结了文献[ 15]中的实验参数。泵浦脉冲能量为128 mJ时,由耦合波理论计算出的反斯托克斯光和一至三阶斯托克斯光转化效率分别为1.9%、5.3%、20.8%和7.2%。理论计算的各阶拉曼分量的转化效率随泵浦脉冲能量的变化如图6所示。将理论结果与实验结果进行对比,发现两者基本一致。误差产生的原因有:文献[ 15]中相位匹配时一阶斯托克斯光光束与基频光光束存在走离,本文计算中使用的是两光束的平均重合面积;实际拉曼谐振腔内一阶斯托克斯光近似为高斯光束,本文假设其光强在横截面上为均匀分布;本文假设入射泵浦光强度与时间满足高斯分布,与实际脉冲形状有所差异。

图 6. 理论计算的各阶拉曼分量的转化效率随泵浦脉冲能量的变化

Fig. 6. Theoretical conversion efficiency of all Raman components versus the pumping pulse energy

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表 2. 参考文献[ 15]中的实验参数

Table 2. Experimental parameters in Ref. [15]

Parameter	Value	Parameter	Value
g₀ /(cm·GW^-1)	8.5	R_1a	0.044
w_0i /ns	10	R₁₀	0.050
l_c /mm	95	R₂₀	0.045
A_-1 /mm²	4.52	R₁₁	0.95
A_0i /mm²	4.91	R₂₁	0.90
n	1.8	R₁₂	0.98
ω_ν /cm^-1	925	R₂₂	0.26
λ₀ /nm	1064	R₁₃	0.52
R_2a	0.074	R₂₃	0.23

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若给出泵浦脉冲和拉曼谐振腔的参数,应用归一化耦合波理论可以计算输出镜对一阶斯托克斯光的最佳反射率以及相应的反斯托克斯光的最高转化效率。

5 结论

波动方程和拉曼晶体的物质方程从本质上描述了光场的传播以及光波与物质的相互作用,因此,由此得到的耦合波方程组可准确描述拉曼晶体中的SRS。本文考虑外腔泵浦反斯托克斯激光器中反斯托克斯光和三阶斯托克斯光同时输出的情况,推导出了平面波近似下的归一化耦合波方程组。数值求解方程组得出了反映激光器运转规律的普适曲线,理论估算出的输出反斯托克斯光的转化效率与实验数据相吻合。因此,本文提出的归一化耦合波理论可以作为分析外腔泵浦固体反斯托克斯激光器的理论工具,辅助激光器的设计以实现反斯托克斯光的最大转化效率。

参考文献

[1] Piper J A, Pask H M. Crystalline Raman lasers[J]. IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics, 2007, 13(3): 692-704.

[2] Jiang P B, Ding X, Li B, et al. 9.80-W and 0.54-mJ actively Q-switched Nd∶YAG/Nd∶YVO4 hybrid gain intracavity Raman laser at 1176 nm[J]. Optics Express, 2017, 25(4): 3387-3393.

[3] 贾海旭, 丁双红, 刘佳佳, 等. LD抽运Cr 4+∶YAG被动调Q内腔式PbWO4锁模拉曼激光器实验研究[J]. 中国激光, 2014, 41(10): 1002007.

Jia H X, Ding S H, Liu J J, et al. Laser-diode-pumped Cr 4+∶YAG passively Q-switched intracavity PbWO4 mode-locked Raman laser[J]. Chinese Journal of Lasers, 2014, 41(10): 1002007.

[4] Jiang W, Li Z, Zhu S Q, et al. YVO4 Raman laser pumped by a passively Q-switched Yb∶YAG laser[J]. Optics Express, 2017, 25(13): 14033-14042.

[5] Ding S H, Zhang X Y, Wang Q P, et al. Numerical optimization of the extracavity Raman laser with barium nitrate crystal[J]. Optics Communications, 2006, 267(2): 480-486.

[6] Smetanin S N, Doroshenko M E, Ivleva L I, et al. Low-threshold parametric Raman generation of high-order Raman components in crystals[J]. Applied Physics B, 2014, 117(1): 225-234.

[7] Carman R L, Shimizu F, Wang C S, et al. Theory of Stokes pulse shapes in transient stimulated Raman scattering[J]. Physical Review A, 1970, 2(1): 60-72.

[8] 郑世凯, 杨康文, 敖建鹏, 等. 光纤式相干拉曼散射成像光源研究进展[J]. 中国激光, 2019, 46(5): 0508008.

Zheng S K, Yang K W, Ao J P, et al. Advances in fiber laser sources for coherent Raman scattering microscopy[J]. Chinese Journal of Lasers, 2019, 46(5): 0508008.

[9] Yang K W, Ye P B, Zheng S K, et al. Polarization switch of four-wave mixing in a tunable fiber optical parametric oscillator[J]. Optics Express, 2018, 26(3): 2995-3003.

[10] 白如雪, 林海枫, 张莉珍, 等. 主动调Q内腔式Nd∶YAG/m-LaVO4拉曼激光器[J]. 中国激光, 2018, 45(9): 0901003.

Bai R X, Lin H F, Zhang L Z, et al. Actively Q-switched intracavity Nd∶YAG/m-LaVO4 Raman laser[J]. Chinese Journal of Lasers, 2018, 45(9): 0901003.

[11] Wang C, Cong Z H, Qin Z G, et al. LD-side-pumped Nd∶YAG/BaWO4 intracavity Raman laser for anti-Stokes generation[J]. Optics Communications, 2014, 322: 44-47.

[12] Grasiuk A Z, Kurbasov S V, Losev L L. Picosecond parametric Raman laser based on KGd(WO4)2 crystal[J]. Optics Communications, 2004, 240(4/5/6): 239-244.

[13] Wei W, Zhang X Y, Wang Q P, et al. Theoretical and experimental study on intracavity pumped SrWO4 anti-Stokes Raman laser[J]. Applied Physics B, 2014, 116(3): 561-568.

[14] 王聪, 张行愚, 王青圃, 等. 外腔抽运SrWO4反斯托克斯拉曼激光器[J]. 中国激光, 2014, 41(3): 0302008.

Wang C, Zhang X Y, Wang Q P, et al. Extracavity pumped SrWO4 anti-Stokes Raman lasers[J]. Chinese Journal of Lasers, 2014, 41(3): 0302008.

[15] Wang C, Zhang X Y, Wang Q P, et al. Extracavity pumped BaWO4 anti-Stokes Raman laser[J]. Optics Express, 2013, 21(22): 26014-26026.

[16] Mildren R P, Coutts D W, Spence D J. All-solid-state parametric Raman anti-Stokes laser at 508 nm[J]. Optics Express, 2009, 17(2): 810-818.

[17] Smetanin S N, Jelínek M, Kubecek V. Parametric Raman crystalline anti-Stokes laser at 503 nm with collinear beam interaction at tangential phase matching[J]. Applied Physics B, 2017, 123(7): 203.

[18] Vermeulen N, Debaes C, Fotiadi A A, et al. Stokes-anti-Stokes iterative resonator method for modeling Raman lasers[J]. IEEE Journal of Quantum Electronics, 2006, 42(11): 1144-1156.

[19] Smetanin S N, Jelínek M, Tereshchenko D P, et al. Extracavity pumped parametric Raman nanosecond crystalline anti-Stokes laser at 954 nm with collinear orthogonally polarized beam interaction at tangential phase matching[J]. Optics Express, 2018, 26(18): 22637-22649.

[20] Shen Y R, Bloembergen N. Theory of stimulated Brillouin and Raman scattering[J]. Physical Review, 1965, 137(6A): A1787-A1805.

[21] Makarov N S, Bespalov V G. Effective method of anti-Stokes generation by quasi-phase-matched stimulated Raman scattering[J]. Journal of the Optical Society of America B, 2005, 22(4): 835-843.

[22] Wang C S. Theory of stimulated Raman scattering[J]. Physical Review, 1969, 182(2): 482-494.

[23] Maier M, Kaiser W, Giordmaine J A. Backward stimulated Raman scattering[J]. Physical Review, 1969, 177(2): 580-599.

[24] 王聪, 王喆. 内腔式反斯托克斯激光器的归一化理论解析[J]. 中国激光, 2018, 45(1): 0101009.

Wang C, Wang Z. Normalized theoretical analysis of intracavity anti-Stokes lasers[J]. Chinese Journal of Lasers, 2018, 45(1): 0101009.

王聪, 吕冬翔. 外腔泵浦反斯托克斯激光器的耦合波理论[J]. 中国激光, 2020, 47(3): 0301001. Wang Cong, Lü Dongxiang. Coupled Wave Theory of Extra-Cavity Pumped Anti-Stokes Lasers[J]. Chinese Journal of Lasers, 2020, 47(3): 0301001.

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1 引言

2 耦合波方程

3 耦合波方程的解

表 1. 数值计算所用参数

Table 1. Parameters of the numerical calculations

图 1. G₀=8,W_0i=20时,η_j随R₂₁的变化曲线

Fig. 1. Dependences of η_j on R₂₁ with G₀=8, W_0i=20

图 2. 单程泵浦时,不同归一化泵浦脉冲宽度下,R_21opt和η_-1max随G₀的变化曲线。(a) R_21opt随G₀的变化曲线;(b)η_-1max随G₀的变化曲线

Fig. 2. R_21opt and η_-1max versus G₀ for the single-pass pumping under different W_0i. (a) R_21opt versus G₀; (b) η_-1max versus G₀

图 3. 双程泵浦时,不同归一化泵浦脉冲宽度下,R_21opt和η_-1max随G₀的变化曲线。(a)R_21opt随G₀的变化曲线;(b)η_-1max随G₀的变化曲线

Fig. 3. R_21opt and η_-1max versus G₀ for the double-pass pumping under different W_0i. (a) R_21opt versus G₀; (b) η_-1max versus G₀

图 4. 单程泵浦时,不同G₀下,W_-1out随W_0i 的变化曲线

Fig. 4. W_-1out versus W_0i for the single-pass pumping under different G₀

图 5. 双程泵浦下, G₀取不同值时η_-1随ΔK₀的变化曲线

Fig. 5. η_-1 versus ΔK₀ for the double-pass pumping under different G₀

4 应用

图 6. 理论计算的各阶拉曼分量的转化效率随泵浦脉冲能量的变化

Fig. 6. Theoretical conversion efficiency of all Raman components versus the pumping pulse energy

表 2. 参考文献[ 15]中的实验参数

Table 2. Experimental parameters in Ref. [15]

5 结论

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1 引言

2 耦合波方程

3 耦合波方程的解

表 1. 数值计算所用参数

Table 1. Parameters of the numerical calculations

图 1. G0=8,W0i=20时,ηj随R21的变化曲线

Fig. 1. Dependences of ηj on R21 with G0=8, W0i=20

图 2. 单程泵浦时,不同归一化泵浦脉冲宽度下,R21opt和η-1max随G0的变化曲线。(a) R21opt随G0的变化曲线;(b)η-1max随G0的变化曲线

Fig. 2. R21opt and η-1max versus G0 for the single-pass pumping under different W0i. (a) R21opt versus G0; (b) η-1max versus G0

图 3. 双程泵浦时,不同归一化泵浦脉冲宽度下,R21opt和η-1max随G0的变化曲线。(a)R21opt随G0的变化曲线;(b)η-1max随G0的变化曲线

Fig. 3. R21opt and η-1max versus G0 for the double-pass pumping under different W0i. (a) R21opt versus G0; (b) η-1max versus G0

图 4. 单程泵浦时,不同G0下,W-1out随W0i 的变化曲线

Fig. 4. W-1out versus W0i for the single-pass pumping under different G0

图 5. 双程泵浦下, G0取不同值时η-1随ΔK0的变化曲线

Fig. 5. η-1 versus ΔK0 for the double-pass pumping under different G0

4 应用

图 6. 理论计算的各阶拉曼分量的转化效率随泵浦脉冲能量的变化

Fig. 6. Theoretical conversion efficiency of all Raman components versus the pumping pulse energy

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图 1. G₀=8,W_0i=20时,η_j随R₂₁的变化曲线

Fig. 1. Dependences of η_j on R₂₁ with G₀=8, W_0i=20

图 2. 单程泵浦时,不同归一化泵浦脉冲宽度下,R_21opt和η_-1max随G₀的变化曲线。(a) R_21opt随G₀的变化曲线;(b)η_-1max随G₀的变化曲线

Fig. 2. R_21opt and η_-1max versus G₀ for the single-pass pumping under different W_0i. (a) R_21opt versus G₀; (b) η_-1max versus G₀

图 3. 双程泵浦时,不同归一化泵浦脉冲宽度下,R_21opt和η_-1max随G₀的变化曲线。(a)R_21opt随G₀的变化曲线;(b)η_-1max随G₀的变化曲线

Fig. 3. R_21opt and η_-1max versus G₀ for the double-pass pumping under different W_0i. (a) R_21opt versus G₀; (b) η_-1max versus G₀

图 4. 单程泵浦时,不同G₀下,W_-1out随W_0i 的变化曲线

Fig. 4. W_-1out versus W_0i for the single-pass pumping under different G₀

图 5. 双程泵浦下, G₀取不同值时η_-1随ΔK₀的变化曲线

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