1 引　言

角锥棱镜能使任意方向入射的光线，经其三次内部反射后，光线的出射方向与入射方向平行。利用这一特性，将角锥棱镜用作激光器的后腔镜，可以使激光器在较大范围内不失调，譬如免调试固体激光器。但光束在依次进行棱镜内部三次全反射时，偏振面需要偏转一定角度，结果导致失偏，即输出光束与输入的偏振态不同^[1]。对于单激光媒质^[2]来说，谐振器中光束的失偏会降低其Q值，降低激光器的效率。对于多激光媒质来说，角锥棱镜可用于激光束间的相干合成，提高合成效率，获得高能量密度的强激光，同时要求输出光束不产生失偏，以保证相干合成激光器的高Q品质^[3]。因此，如何使得角锥的输入和输出偏振态保持一致，也就是实现“保偏”，成为研制高性能相干合成固体激光器的关键。角锥棱镜共有6种传输路径，对于同一束入射光来说，每条反射路径引起的失偏也不同。实现角锥保偏，可使用折射率为1.22的材料，使得全反射后平行与垂直偏振分量相移相等，但折射率为1.22的材料难以寻找，而且折射率常常随着波长变化，因此保偏难以实现。目前角锥的保偏方式分为镀膜和外加晶片两种。对于镀膜保偏方式，李刚等^[4]设计了光学保偏薄膜用于角锥保偏；Lee等^[5]利用相控涂层保持S或P输入的偏振态；Kalibjian^[6]研究了633~1 550 nm光谱范围内的14种金属镀膜的角锥棱镜的偏振特性；这些保偏方式均需要额外的镀膜工艺。对于外加晶片方式，李建民等^[7]利用角锥棱镜入射区域中存在一对正交的本征线偏振光，其被角锥棱镜反射后仍然是该方向线偏振光的原理，研制了折叠式角锥棱镜谐振腔激光器，但该保偏方式只能保持某对特殊的偏振态；彭堂超等^[8]使用3片1/4波片实现保偏，但该方案仅能用于线偏振态保偏。本文提出一种利用两个半波片、附加延迟器的角锥纠偏方案，该方案不仅适用于正入射下线偏振的保偏，还可以用于椭圆偏振态保偏。理论和实验证明该方案确实可行。

1 正入射角锥的琼斯矩阵

以图1(a)和1(b)角锥摆放方式^[1]研究偏振特性，定义光坐标系，棱BA始终竖直，定义为S方向，光线方向K垂直入射面ABC，定义 $P = $$S \times K$，面AOC记为1，面AOB记为2，面BOC记为3， $O'$对应面ABC中心，反射次序定义如图1(c)所示，实/虚线为两反射面边界及其对称像，称为实/虚棱。依据光线入射角锥的反射方向只分为顺、逆时钟两种，以123对应逆时针反射次序、321对应顺时针反射次序作为偏振特性研究基础。

图 1. 定义主坐标系和反射路线

Fig. 1. Primary coordinate system and reflection path

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对于沿着 $K$方向传播的偏振光 $E$，其偏振态可用一对正交的基本偏振态P-S表示，称为主坐标系，同时也可以用正交的基本偏振态P′-S′表示，称为本地坐标系，如图2(a)所示，P-S正交对顺时针旋转 $\theta $角到达P′-S′。

图 2. 用不同基偏振态表示的偏振光和全反射基偏振态示意图

Fig. 2. Polarized light represented by different base polarization vector and total reflection

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使用 $P$- $S$表示的偏振光 $E$可用 $P'$- $S'$表示为式(1)。此外 $P'$- $S'$正交对逆时针旋转 $\theta '$角回到 $P$- $S$，使用 $P'$- $S'$表示的偏振光 $E$用 $P$- $S$表示时取 ${{ J}_{\rm r}}( - \theta ')$。光线传播过程中发生反射时，沿着光反射的传播方向， $P''$- $S''$顺时针旋转 $\theta ''$回到 $P$- $S$，使用 $P''$- $S''$表示的偏振光用 $P$- $S$表示时取 ${{ J}_{\rm r}}(\theta '')$。

正入射时光线在角锥内发生三次全反射，全反射角均为54.74º。如图2(b)所示,可得全反射时入射角为 $\alpha = {\rm{54}}{\rm{.7}}{{\rm{4}}^ \circ }$，取角锥材料折射率 ${n_1}$，空气折射率 ${n_2}$计算时可取1，全反射琼斯矩阵复数系数可取1，为

式中： $\tan \displaystyle\frac{{{\delta _{\rm p}}}}{2} = - \displaystyle\frac{{\sqrt {{{\sin }^2}\alpha - {{({n_2}/{n_1})}^2}} }}{{{{({n_2}/{n_1})}^2}\cos \alpha }}$； $\tan \displaystyle\frac{{{\delta _{\rm s}}}}{2} = $$- \displaystyle\frac{{\sqrt {{{\sin }^2}\alpha - {{({n_2}/{n_1})}^2}} }}{{\cos \alpha }}$。

根据反射旋转与全反射有123、321反射次序下角锥的琼斯矩阵^[1]：

文献对于132、231、213和312次序的琼斯矩阵推导繁琐，这四个矩阵可等效为在123、321逆、顺时针反射基础上的变形。值得注意的是，在角锥摆放方式固定后，入射、出射偏振态 $E$ 最终依据图1中定义的 $P$- $S$主坐标系表示。

对于213反射次序，当入射、出射偏振态 $E$由本地坐标系 $P'$- $S'$表示时，其反射次序可看作原321顺时针次序下的整体旋转。如图3(a)所示，入射时从 $P$- $S$主坐标系到 $P'$- $S'$本地坐标系中旋转120º，出射时 $P'$- $S'$本地坐标系返回 $P$- $S$坐标系中也是旋转120º。

图 3. 213反射次序下与角锥旋转时的坐标系夹角

Fig. 3. Angle of 213 mode and the angle when the corner cube is inclined

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于是可得213反射次序下的琼斯矩阵：

同理可得132、231和312对应的琼斯矩阵：

实际角锥的使用中棱BA常不能保证竖直，若角锥倾斜 $\gamma $时，如图3(b)所示。某光束从AOC靠近实棱AO位置正入射角锥，根据图1(b)可知，轴OC水平时入射该区域时反射次序为123，根据上文逆、顺时针反射基础上对213琼斯矩阵的推导过程，同理得到角锥倾斜 $\gamma $时，入射123反射区域下的修正琼斯矩阵公式：

对于另外5种反射方式对应的修正琼斯矩阵公式，此处不再赘述。

2 正入射角锥时纠偏

偏振器件可用琼斯矩阵表示为 ${{ J}_n}$，入射偏振光为 ${E_{\rm i}}$，出射偏振光为 ${E_{\rm o}}$且有 ${E_{\rm o}} = {{ J}_n}{E_{\rm i}}$。 ${E_{\rm i}}$经过 $N$个偏振器件后最终输出的偏振态 ${E_{\rm o}}$可表示为

若要使经过多个偏振器件后的出射偏振态与入射偏振态一致，即实现所谓“保偏”，则 ${E_{\rm o}} = {E_{\rm i}}$成立，这要求琼斯矩阵的积满足

由式(3)计算可得，温度为20 ℃时，对于106 4 nm的BK7玻璃材料角锥，折射率 ${{{n}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}$1.506 55，计算图1(b)所示123反射次序下对应的琼斯矩阵为

其中 ${J_{123}}$特征值 ${\lambda _{123\_1}} = {\rm{0}}{\rm{.0658 + 0}}{\rm{.9978i}}$和 ${\lambda _{123\_2}} = $${\rm{ - 0}}{\rm{.9496 + 0}}{\rm{.3134i }}$对应的特征向量分别为

对123反射次序，角锥折射率取1.506 55时，琼斯矩阵的特征向量是复矢量，但是对应的虚数部分都很小。于是，计算123反射次序下折射率从1至11变化的角锥材料对应的每对特征向量的6个系数值，结果如图4所示，可见在 ${E_{123{y_1}}}$与 ${E_{123{x_2}}}$部分含有虚数，且大小均在 ${10^{ - 16}}$量级，因此可以近似为0。同理可以计算，经过321反射次序折射率从1至11变化时，同样在 ${E_{321{y_1}}}$和 ${E_{321{x_2}}}$部分含有虚数，且大小在 ${10^{ - 16}}$量级，也可以近似为0。

图 4. 123反射次序下折射率为1~11时对应的本征矢量

Fig. 4. Value of the eigenvector in the 123 mode when the refractive index ranges from 1 to 11

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根据线性代数可知矩阵左右乘以特征向量矩阵，可得到主对角线为特征值、次对角线为0的矩阵。对于123反射方式，忽略虚数部分的特征向量对可记为矩阵形式，此外由于忽略了虚数部分还需要对琼斯矩阵进行规范化：

于是 ${{ J}_{123}}$左右乘以 ${{ V}_\pi }$可得

若想实现“保偏”，即式（11）成立，仅需对式（14）点乘 ${{ D}_0} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm e}^{{\rm i}(2.8229 - 1.5049)}}}&0 \\ 0&1 \end{array}} \right]$，得

式（15）为123次序保偏公式，复数常数项可忽略，此外交换特征向量对的位置后也可以得到另一种形式，不再赘述。

对于旋转角为 $\theta $的半波片琼斯矩阵：

与式(13)形式完全相同，可解得 $\theta = $$0.119\;63\;{\rm rad}$。

对于光轴方向水平的相位延迟器，对应的琼斯矩阵为

与 ${{ D}_0}$形式完全相同，解得 $\delta = 2.822\;9 -1.504\;9 = $$ 1.318\;{\rm rad}$。

则保偏公式[式(15)]还可记为

这说明在123逆时针角锥反射次序下，在入射和出射光束路径上放置夹角为 $\theta $的半波片，并在出射半波片后或入射前放置光轴方向水平的延迟量为 $\delta $的相位延迟器，可以使出射偏振态 ${E_{\rm o}}$与任意入射的偏振态 ${E_{\rm i}}$保持一致，实现保偏。

同理，可得321顺时针反射次序的保偏公式:

对于另外4种反射方式的保偏，由式(1)、(5)和(19)可得213方式的保偏公式：

同理可得231、132和312模式对应的保偏公式：

实际角锥摆放时不能保证棱BA竖直，分析图3(b)所示倾斜角为 $\gamma $的角锥保偏公式，该入射方式对应123入射方式的变形，由式(1)、(9)和(18)可得修正的角锥保偏公式：

同理得另外5种反射方式下角锥倾斜时的保偏公式。

3 实验验证

角锥采用实棱 $AO'$垂直方式摆放，为验证式(9)和式(24)，入射位置如图5所示，分别为修正的132和231顺、逆反射次序区域。此时AB棱相对于垂直方向倾斜角为 $\varPhi = {30^ \circ }$，得到修正角锥琼斯矩阵和保偏公式为

图 5. 实验装置（虚线框内对应保偏外加波片）

Fig. 5. Experimental setup (correction wave plate inside the dotted box)

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对BK7玻璃材料角锥，使用中心波长1 064 nm的光纤激光器作为光源，采用NewPort公司生产的压电旋转电机AG-PR100旋转1/4波片和偏振片改变偏振态，其旋转精度为1"（5 µrad）。用Thorlabs公司生产的偏振态测量仪PAX 1000分别测量顺、逆反射方式下无保偏时入射角周期变化的线偏振态的出射结果，以及采用半波片与延迟器保偏的结果。实验装置原理如图5所示，U轴表示波片的光轴或线偏振片方向轴， ${\theta _0}$表示沿K方向P轴顺时针转向U轴的夹角，角锥内部的反射路线用虚线表示。

图6为角锥未纠偏时，132和231反射方式下输入线偏振态时的输出结果，使用Stokes参数表示，理论结果用实线表示，空心圆点是每20个实验数据点取平均值。从图中可以看到实验与理论基本符合，图6(a)中实验与理论的最大值有误差，是由角锥实棱 $AO'$垂直摆放偏差引起，图6(b)中实验与理论的周期有误差，是由于实验中输入的线偏振角速度非均速导致。

图 6. 未纠偏时理论与实验Stokes参数

Fig. 6. Theoretical and experimental Stokes parameters without correction

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纠偏前后的结果如图7所示。为直观比较对失偏角锥的纠偏程度，使用方向角(灰)和椭圆率(黑)描述，入射偏振态依次为：偏振方向与P轴夹角从90º变为0º的线偏振光，左、右旋圆偏振光。其中，线偏振光源经过1/4波片得到圆偏振光；再通过逆时针方向旋转的偏振片后，当测得S₁为1、S₂为0时标记为入射线偏振态角180°或0°的位置，测得S₁为−1、S₂为0时为入射线偏振态角90°的位置，继续旋转偏振片即可得到夹角从90º变为0º的线偏振光。可以看到经过纠偏后，线偏振态最大失偏椭圆率绝对值从35º降低至5º，方向角跟随入射偏振态呈一条斜线。实验中入射近似圆的左右旋偏振光，椭圆率绝对值为44º，入射角锥后失偏仅为10º，经纠偏后椭圆率绝对值保持在40º，椭圆率仅下降4º；未纠偏时方向角依赖入射角锥的方式，经纠偏后因十分接近于圆偏振态，方向角倾向于随机方向。

图 7. 纠偏前后修正的132和231反射次序下的椭圆率和方向角

Fig. 7. Ellipticity and azimuth of the modified 132/231 path before/after correction

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4 结　论

本文利用角锥琼斯矩阵对应的实特征向量，给出一种外加晶片的角锥纠偏方案。利用旋转公式，给出倾斜角度下角锥的琼斯矩阵，同时证明对任意倾斜摆放角度的角锥，均可使用半波片和延迟器，实现所有反射次序下正入射角锥保偏。该方式依赖于折射率，因此可适用于较宽波长范围内的纠偏，与传统方式只能对线偏振态保偏相比，该方式可用于椭圆偏振光的保偏。这种纠偏方式为实现高性能偏振态保持的角锥腔固体激光器提供了参考。