1 引言

大气湍流引起的像差具有随机且变化迅速的特点,自适应光学技术的基本目标就是实时校正大气湍流引起的波前畸变,获得近衍射极限的图像分辨能力^[1]。无波前探测自适应光学系统不需要波前探测器,具有结构紧凑的特点,在激光大气通信、显微镜^[2-4]等领域有广泛的应用前景。无波前探测自适应光学技术中,常用的优化控制算法有随机并行梯度下降(SPGD)算法^[5-8]、模拟退火(SA)算法^[9]和遗传算法^[10]等,其中SPGD算法在收敛精度与收敛速度上表现尤为出色。

SPGD算法由Vorontsov等^[5-6]于1997年提出,被应用于自适应光学系统中并成功改善了图像质量,解决了畸变校正中的多通道控制问题。2000年,Vorontsov等^[7]基于SPGD算法,分别对由127单元液晶空间光调制器和37单元变形镜构建的自适应激光束聚焦系统进行自适应补偿控制。2005年,Masino等^[11]使用超大规模集成电路硬件提高了SPGD算法的执行速度,每秒迭代7000次,使算法可以投入实际应用。SPGD算法被广泛应用于自由空间光通信^[12-13]、激光大气传输^[14]和稀疏孔径成像系统^[15]等。研究人员在算法优化方面也进行了大量工作,例如解耦SPGD算法^[8]和基于功率谱反演法的SPGD算法^[16]等,以提高迭代收敛速度与精度;2000年,Weyrauch等^[17]提出增益系数随迭代过程自适应变化,同类方法还包括分段增益系数^[18]、分段随机扰动^[19]、变增益系数^[20]、收敛前后期采用不同的电压优化控制方式^[21]等,这类动态调节的方法与固定参数相比,更有利于与迭代中的系统变化进行匹配并提高收敛速度与收敛精度。但动态调节的方法也需要对随机扰动信号与增益系数作技术优化,即初始值的选择。随机电压扰动幅度δ和增益系数γ取值影响系统的收敛速度和收敛精度,传统的基于SPGD算法无波前探测自适应光学(AO)系统在工作前要选择合理的δ-γ,一般选择经验值,之后的工作便在固定的δ-γ下进行^[22]。但经验值仅适用于特定实验系统和实验条件,当条件发生变化时,所选取的经验值工作效率和收敛效果均会降低。

为了解决该问题,实现高精度、快速的收敛效果,对SPGD算法的随机扰动信号幅值δ与增益系数γ等关键参数进行了大量研究。结果表明,静态畸变波前的闭环校正效果在δ-γ的选择上具有优选区域。

2 基于SPGD的无波前探测AOS仿真原理

2.1 系统仿真过程

无波前探测自适应光学系统原理如图1所示,光路部分的波前残差信号可表示为

φres=φ0+φDM,(1)

式中:初始畸变波前φ₀经变形镜反射后到达电子耦合器件(CCD)探测器,CCD探测器接收到的是经变形镜的校正波前φ_DM补偿后的残余波前φ_res的远场像点。系统通过合适的算法与控制器实现波前畸变的补偿。

图 1. 无波前探测自适应光学系统控制框图

Fig. 1. Block diagram of adaptive optics system without wavefront detection

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对于初始的畸变波前,考虑到生物医学显微成像中的畸变以离焦和像散等低阶畸变为主,可以利用低阶的Zernike多项式产生初始畸变波前。变形镜在本自适应光学系统中作为波前校正器,其面形φ_DM可表示为^[23]

φDM=∑j=1nuj·fj(x,y),(2)

式中:u_j为第j个驱动器的电压值;f_j(x,y)为驱动器的响应函数;(x,y)为镜面上的点坐标;n为总驱动器数。第j个驱动器的响应函数f_j(x,y)由驱动器结构和材料决定,其描述了单位电压下的驱动形变量,表示为^[24]

fj(x,y)=explnω(x-xj)2+(y-yj)2d0α,(3)

式中:ω为耦合值;(x_j,y_j)为第j个驱动器的坐标;d₀为相邻驱动器的间隔;α为高斯指数。理论仿真中模拟了69单元变形镜,其驱动单元分布如图2所示,且ω=0.2,d₀=1,α=1.73。至此,可用(2)式和(3)式具体表述变形镜在控制电压下的形变分布φ_DM,变形镜产生的形变仅需入射波前畸变的一半。

图 2. 69单元变形镜驱动器的分布

Fig. 2. Actuator distribution of 69-actuator deformable mirror

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2.2 SPGD算法

SPGD算法流程如图3所示,第k次迭代的控制电压U_k={u_j(k)},式中:u_j(k)为第k次迭代下第j个驱动器的控制电压;δu_j为随机电压,由δ和随机数a_rand得到;目标函数J用残余波前φ_res的方均根(RMS)表示,即

J=1s∫∫φres(x,y)-φ-res2dxdy,(4)

式中:s为变形镜面积; φ-res为残余波前平均值。迭代中,第k次迭代下的控制电压U_k=U_k-1+γ·ΔU·ΔJ,式中,γ为增益系数,目标函数差ΔJ=J⁺-J^-,且电压U下载入正随机电压ΔU与负随机电压-ΔU下的系统目标函数分别为J⁺=J(U+ΔU)和J^-=J(U-ΔU)。

图 3. SPGD算法流程

Fig. 3. Flow chart of SPGD algorithm

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SPGD算法为随机盲优化算法,图4为800次SPGD算法迭代下系统目标函数的收敛情况,其中灰色细虚线表示20次独立实验的目标函数收敛情况,黑色粗实线表示20次实验的平均收敛情况,可见目标函数收敛情况具有随机性,这是由算法本身决定的。因此,为了减少随机性对结果的影响,需要采用多次实验取平均的方法。本文选取5次、10次、15次和20次实验取平均,并以20次实验平均作为消除随机性的标准,5次平均的误差即可降为1.58%。因此,为了有效消除随机影响,理论仿真实验均采用5次实验取平均。

图 4. 800次算法迭代下的单次随机性实验与多次实验取平均的收敛情况

Fig. 4. Convergence for single random test and averaging after multiple tests under 800 iterations

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3 增益系数与随机扰动幅度的优化

以单次SPGD算法的收敛为基础, 选择大量δ-γ组合进行相同迭代次数的仿真并记录对应的目标函数。目标函数越小, δ-γ的组合越优, 由此实现δ-γ组合的优选过程。根据控制电压与目标函数的数值大小,δ的取值范围为0~2,等分40份,γ取值范围为-5~0,等分40份,用此40×40组δ-γ参数分别进行800次算法迭代,得残余波前的评价函数J(δ,γ)。图5为800次算法迭代下的J的分布,可见在选择的δ-γ组合区域内,J的收敛情况具有一定规律。在此基础上,对J进行低通滤波,保留区域中最优的2%,并对优选的δ-γ进行曲线拟合,图5中用灰点标记了筛选出来的高精度优选参数点,灰色实线为对应的拟合曲线。至此可得800次算法迭代后的优选δ-γ曲线, 可见随机扰动电压幅值越大, 对应的增益系数大并趋于0。

图 5. 扰动幅度δ 与增益系数γ对残余波前的影响及其优化拟合曲线

Fig. 5. Effects of perturbation amplitude δ and gain coefficient γ on residual wavefront and its optimal fitting curve

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在不考虑算法随机性的情况下,对于上述优选曲线,选择其上任意一点作为算法的输入δ-γ,经800次算法迭代后将获得残余波前的评价函数J₈₀₀, 即最优的收敛情况。优选曲线为选择合适的参数提供了方便,实际上曲线附近的区域也在优选范围内,所对应的参数也能够达到很高的收敛精度。大量模拟结果表明,优选范围略有变化,反映在不同的畸变、不同的变形镜下所得到的优选曲线略有不同。在实际情况下,对于具体的自适应光学系统,其变形镜的具体参数是固定的,因此,仅需考虑不同畸变大小对δ-γ优选范围的影响。

3.1 不同初始畸变大小的影响

通过取不同的Zernike系数,以离焦和像散为主,准备了3个不同畸变波前如图6(a)所示,在δ为-5~0,γ为0~2的范围内进行δ-γ值的优选,优选阈值为2%,得到如图6(b)所示的优选范围比较图。不同形状的点集代表不同初始畸变大小下的优选点,圆点、叉和五角星分别代表初始波前评价函数J₀等于0.3312,0.8448,1.3180 rad的情况,依次对应的拟合曲线为图中的细实线、实线和粗实线。可见,初始畸变波前不同,优选范围出现了偏移,随着J₀的增大,拟合曲线在目标区域往下偏移。

选取收敛范围内外的若干组δ-γ考察上述3个不同的畸变波前在仿真迭代中的收敛情况。收敛范围内的点在收敛程度上是等价的,为了使实验结果清晰,选择优选曲线之间分离较大处的点进行仿真迭代。选择δ-γ组合(1,-0.7)、(1,-1)和(1,-1.3) 作为固定参数,其中(1,-0.7)在圆点集内,(1,-1)在叉点集内,(1,-1.3)在五角星点集内。

图 6. 不同初始畸变波前下的最优方案。(a) 3个不同大小的初始畸变波前;(b)不同初始畸变波前下最优曲线的分布情况

Fig. 6. Optimal solution for wavefronts with different initial distortions. (a) Wavefronts with three initial distortion magnitudes; (b) distribution of optimal curve for wavefronts with different initial distortions

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3.2 验证比较

为了验证上述关系,重新构建图6(a)中3个不同大小的畸变波前,x,y为归一化坐标。同时可得对应的优选曲线上的优选参数组合,如表1~3所示,分别给出了不同畸变波前下,不同参数组合时的迭代补偿结果,并与模拟退火算法进行比较。图7为800次迭代补偿后不同情况下的目标函数收敛情况,单位为弧度。图7(a)~(c)分别为初始畸变波前RMS为0.3312,0.8448,1.3180 rad的目标函数收敛情况,虚线、点线和点划线分别表示δ-γ组合为对应优选参数组合(1,-0.7)、(1,-1)和(1,-1.3)下的迭代情况。由表1可见,当初始畸变波前RMS为0.3312 rad时,800次迭代后,残余波前评价函数J₈₀₀在δ-γ组合取(1,-0.7)时降至0.0258 rad,收敛效率η=(J₈₀₀-J₀)/J₀达92.2%,分别高出δ-γ取(1,-1)和(1,-1.3)的参数组合1.2%和3.1%;由表2可见,当初始畸变波前RMS为0.8448 rad时,J₈₀₀在参数组合取(1,-1)时降至0.0645 rad,收敛效率为92.4%,比参数组合取(1,-0.7)和(1,-1.3)时分别高0.8%和1.1%;由表3可见,当初始畸变波前RMS为1.3180 rad时,J₈₀₀在参数组合(1,-1.3)时降至0.088 rad,η为93.3%,比参数组合取(1,-0.7)和(1,-1)时分别高1.7%和0.2%。

模拟退火(SA)算法^[9]也被广泛应用于无波前校正自适应光学系统,在一定程度上SA算法可以有效逃离局部最优的陷阱。图7中黑实线为SA算法下波前畸变的校正过程,整体收敛速度比SPGD算法慢,且收敛精度不如SPGD算法。根据表1~3可得,表中N/A(Not applicable)表示δ-γ对SA算法不适用,在800次迭代过程中,初始畸变波前RMS在0.3312 rad时,SA算法的J₈₀₀降至0.0720 rad,其收敛效率比SPGD算法低13.95%;与此同时,初始畸变为0.8448 rad,1.3180 rad时,SA算法的J₈₀₀分别降至0.1338 rad,0.1718 rad,收敛效率比SPGD算法低8.21%和6.35%。可见参数优化后的SPGD算法比SA算法的收敛精度高。

图 7. 不同初始畸变波前下不同参数组合的收敛情况。(a) 0.3312 rad;(b) 0.8448 rad;(c) 1.3180 rad

Fig. 7. Convergence under different parameter combinations for wavefronts with different initial distortions. (a) 0.3312 rad;(b)0.8448 rad;(c)1.3180 rad

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4 结论

基于误差评价对SPGD算法中的δ和γ值进行优化,并针对不同幅度的初始畸变,给出了优化的δ-γ关系曲线;该曲线为SPGD算法在应用过程选择高精度、收敛速度快的合理参数组合提供了理论依据,也为SPGD算法校正动态变化的畸变提供了可能。依据实验数据均值,优选曲线上的参数组合收敛精度提高了1.3%。因此,在静态畸变补偿中,由初始畸变大小判断最优的δ-γ,可获得更高的收敛精度。与SA算法相比,优化后的SPGD算法的收敛精度提高了6.3%。本文所描述的静态补偿实际上可以应用于帧率较低的动态补偿,但与实际应用中高速的动态补偿还有一定区别。下一步将在实验室验证SPGD算法中优选参数在静态补偿中的效果,并实现动态补偿中载入动态参数,从而提高系统稳定性。