1 引言

随着光学系统设计技术的发展，纯球面系统已经不能满足使用需求，因此采用非球面光学系统已经成为光学设计发展的主要趋势^[1-3]。机载相机是现代化空间数据获取的重要手段之一，因为其拍摄视野广，拍摄距离远，适应性强等优点被广泛应用于工农业和**领域。机载相机与非球面光学系统的结合不仅可以增强相机适用性，同时在一定程度上还可以降低光学系统设计的复杂程度。机载相机工作过程中，实际环境的温度以及相机的机械结构都会对光学系统产生不可忽略的影响。因此，对于实际工作环境下的光学系统，分析其温度场以及机械结构应力分布规律对成像质量的影响，可以更加有效地提高光学系统的成像性能。

光学系统实际工作环境对成像质量的影响因素主要包括相机机械结构变形导致光学元件相对位置和镜面面型的变化，温度热环境所产生的热应力引起的光学元件面型的变化，工作环境温度变化对于镜片材料光学特性的影响。本文运用热光学特性分析方法，利用有限元软件对光学系统机械结构进行分析，得到不同温度场下的变形量，以求得温度场下的应力和系统整体形变量。将有限元软件所输出的数据进行数据处理，最终生成光学软件可以读取识别的参数，通过光学设计软件可以评价不同温度场光学系统的成像性能^[4-6]。

1 热光学特性分析理论基础

1.1 刚体位移

对于温度场的光机系统，机械结构和光学元件都会产生一定的变形，由于光学元件受到机械结构的影响，光学元件产生整体位移^[7-9]，即称之为光学元件的刚体位移，包括偏移，偏心和倾斜，光学元件变形形式如图1所示。

图 1. Schematic diagram of rigid body displacement

Fig. 1. Schematic diagram of rigid body displacement

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在空间变换理论中，利用齐次坐标变换对光学元件镜面的刚体位移进行求解。在笛卡尔坐标系中，光学元件可以用6个方向的自由度进行表示，e、f、g分别表示x、y、z轴平移量， ${\theta _x}$、 ${\theta _y}$、 ${\theta _{\textit{z}}}$分别表示x、y、z轴偏转量， $\left( {{x_i},{y_i},{{\textit{z}}_i}} \right)(i = 1,2,\cdots,n)$表示光学元件未发生变形之前的原始坐标， $n$为节点坐标的节点号， $\left( {x_i^{'},y_i^{'},z_i^{'}} \right)(i = 1,2,\cdots,n)$表示光学元件变形之后的节点坐标， $\Delta {x_i},\Delta {y_i},\Delta {{\textit{z}}_i}$分别表示镜面变形前后节点位移变化量。由文献[7]可得目标函数：

1$\begin{split} Q = & \displaystyle\sum\limits_{i = 0}^n {\left[ {{{\left( {x_i^{'} - {x_i} + {\theta _x}{y_i} - {\theta _y}{{\textit{z}}_i} - e} \right)}^2}} \right.} +\left( yi-{{y}_{i}^{'}}-{{\theta }_{\textit{z}}}{{x}_{i}}+ \right. \\ & \left. {{\theta }_{x}}{{\textit{z}}_{i}}-f \right)^2 \left. { + {{\left( {{\textit{z}}_i^{'} - {{\textit{z}}_i} + {\theta _y}{x_i} - {\theta _x}{y_i} - g} \right)}^2}} \right] \end{split} \!\!\!\!\!$

通过求解Q的极值即可求得刚体位移，令：

2$\frac{{\partial Q}}{{\partial e}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial f}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial g}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial {\theta _x}}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial {\theta _y}}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial {\theta _{\textit{z}}}}} = 0$

通过温度场下光学元件的镜面热变形前后的节点坐标，即可求得该透镜的表面刚体位移。

1.2 Zernike多项式

Zernike多项式^[10-13]在单位圆域内具有正交性、线性无关性，且是能够归一化地、唯一地描述系统圆形孔径波前畸变的函数，可以将其分为标准Zernike（ZRN）多项式和Fringe Zernike（ZFR）多项式两类，前者包含后者。一般Zernike多项式通常采用极坐标形式，可以用下式表示：

3$Z\left( {\rho ,\theta } \right) = \sum\limits_i^n {{A_i}{Z_i}\left( {\rho ,\theta } \right)} $

式中：A_i为多项式系数； $\;\rho $为归一化半径； $\theta $为角度；n为多项式阶数。

通过Zernike多项式的线性组合可以表达各种类型的镜面面形。面型数据去除刚体位移之后，对镜面面型进行拟合，光学设计者常用Seidel像差函数^[14-15]对所设计的光学系统像差进行描述，Zernike多项式与初级像差具有一定对应关系。本文选择Fringe Zernike（ZFR）多项式，表1给出了前6项Fringe Zernike多项式系数与Seidel像差之间的对应关系。

2 机载相机非球面光学系统热光学特性分析

2.1 非球面相机结构设计与建模

本文所研究的某机载相机光学系统设计原理如图2所示。光学系统的基本参数包括焦距 $f'$=80 mm，视场角: H×V=28°×28°，工作波段为可见光，探测器像元尺寸5.5 μm，工作环境为−40 ℃～50 ℃。

图 2. Optical path diagram of optical system

Fig. 2. Optical path diagram of optical system

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结构三维模型图如图3所示。主要由光学系统、镜筒、镜筒支座、基座和CCD等部件组成，各部件通过螺钉连接，以保证整体结构具有足够的刚性。

图 3. 3D diagram of optical system structure

Fig. 3. 3D diagram of optical system structure

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本文所研究的相机光学系统为非球面光学系统，由6片透镜组成，其中第2片镜片的第2面为非球面，在一定程度上可以减轻光学系统的质量。本文将针对光学镜头建立有限元模型，如图4所示，镜头有限元模型共有48 720个六面体网格单元，图4即为利用有限元软件建立的镜头有限元模型剖视图。

图 4. Lens finite element model

Fig. 4. Lens finite element model

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2.2 热光学特性分析流程

机载相机热光学特性分析流程如图5所示。首先进行光学系统设计，然后对相机进行结构设计、有限元建模、不同温度场下镜头热分析。温度会使透镜产生热弹性变形和折射率变化，本文只考虑热弾性变形，将各透镜的折射率看作一个常数，所以提取每个镜片的镜面变形数据，去除其刚体位移，之后导入所编写的接口程序Zernike多项式系数进行拟合，将拟合的结果导入光学设计软件中，对温度场下镜面变形对机载相机光学系统成像质量的影响进行评价。

图 5. Flow chart of thermal optical property analysis

Fig. 5. Flow chart of thermal optical property analysis

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2.3 仿真结果分析

在20 ℃温度工况下光学系统结构镜面变形云图如图6所示，通过Zernike拟合程序拟合出Zernike系数导入光学设计软件。图7为光学系统的MTF的设计值。图8为光学系统MTF拟合值。该非球面光学系统的截止频率为91 lp/mm，以全视场为例，MTF设计值为0.328 8，MTF拟合值为0.328 9，两者之间相差不足1‰，满足工程应用的误差要求，验证了热光学特性分析方法的可行性。

对于光学系统所做的不同温度场下非球面光学系统成像质量的影响分析，需要对非球面光学系统结构设定不同的温度工况（−40 ℃和50 ℃），由于篇幅所限，表2给出了−40 ℃第1面球面和第4面非球面的刚体位移，表3和表4分别给出了2个镜面变形的37项Zernike系数。

图 6. 20 ℃ optical system structural deformation analysis cloud map

Fig. 6. 20 ℃ optical system structural deformation analysis cloud map

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图 7. Design value of optical system MTF

Fig. 7. Design value of optical system MTF

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图 8. Fitted value of optical system MTF (20 ℃)

Fig. 8. Fitted value of optical system MTF (20 ℃)

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图9为−40 ℃温度场的光学系统MTF，在全视场空间频率为91 lp/mm处，MTF值为0.317，相比设计值下降了3%。图10为50 ℃温度场的光学系统MTF拟合值，在全视场频率为91 lp/mm处MTF值为0.312，与设计值比较下降了5%，虽然满足在工作频段MTF值大于0.3的要求，但是无论温度升高或者降低都会降低非球面光学系统的成像质量，且本文设计的光学系统对于高温环境更加敏感。本文介绍的热光学特性分析方法可以有效对不同温度场下非球面光学系统的成像质量进行评价，在光学系统设计阶段，可以有效地预测温度对光学系统成像质量的影响，对于光学设计具有指导意义。

图 9. Fitted value of optical system MTF (−40 ℃)

Fig. 9. Fitted value of optical system MTF (−40 ℃)

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图 10. Fitted value of optical system MTF (50 ℃)

Fig. 10. Fitted value of optical system MTF (50 ℃)

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3 结论

本文采用热光学特性分析方法对机载相机非球面光学系统进行分析，介绍了镜面面型的数据处理方法，利用齐次坐标变换去除了镜面变形的刚体位移，选用Fringe Zernike多项式作为镜面面型拟合的基底函数，并通过编程软件编写相关程序作为有限元分析与光学软件分析的接口，最后对光学系统结构建立有限元模型，分析不同温度工况下的光学系统镜面变形，并且利用本文所提出的方法进行光学系统成像质量评价。通过不同工况下光学系统MTF拟合值与设计值的比较，说明环境温度的升高和降低都会影响光学系统成像质量，本文的非球面光学系统对于高温对成像质量的影响更加敏感。利用该热光学特性分析方法可以预测温度环境对光学系统成像质量的影响，从而实现光机系统热光一体化设计与分析。