各向异性和自旋耦合参数对海森堡 <i>XYZ</i> 链量子纠缠的影响

慕琦雄; 杨晶; 罗丹丹; 单传家; 彭新华; 黄燕霞

doi:doi:10.3788/LOP56.242701

激光与光电子学进展, 2019, 56 (24): 242701, 网络出版: 2019-11-26

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Influences of Anisotropy and Spin Coupling Parameters on Quantum Entanglement of Heisenberg XYZ Chain

论文大纲

慕琦雄 ^1,2杨晶 ^1,2罗丹丹 ¹单传家 ¹彭新华 ^1,3黄燕霞 ^1,2,*

作者单位

¹ 湖北师范大学物理与电子科学学院, 湖北黄石 435002

² 中国科学院量子信息重点实验室, 安徽合肥 230026

³ 中国科学技术大学近代物理系, 安徽合肥 230026

量子光学海森堡模型热纠缠各向异性自旋耦合参数 quantum optics Heisenberg model thermal entanglement anisotropy spin coupling parameter

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摘要

利用concurrence作为纠缠度量,研究了 z 方向非均匀磁场中双量子比特的海森堡 XYZ 模型及其基态纠缠在不同参数范围内的性质,通过计算得出了临界磁场值,讨论了平均磁场和临界磁场与量子相变的关系,分析了两个相邻量子位自旋 z 分量 J z 的相互作用和各向异性参数 γ B 、 γ J 对海森堡模型热纠缠的影响,通过绘制图像说明了各向异性、自旋耦合参数 J z 和热纠缠之间的关系。研究结果表明:在双量子比特系统中,对于有效的温度 T ,当耦合参数 J z =0时,随着 γ J 的增加,临界磁场 Bc 减小,纠缠逐渐消失;但是当耦合参数 J z >0时,对各向异性参数 γ B 、 γ J 取合适的值,随着 J z 的增加,纠缠度达到最大值的磁场范围和温度范围都变大,且纠缠得到有效增强。

Abstract

Herein, we study the Heisenberg two-qubit XYZ chain in a z -directional non-uniform magnetic field by considering concurrence to be the entanglement metric. Further, we explore the properties of ground-state entanglement in different parameter ranges, calculate the critical magnetic field value, and discuss the relations between the average/critical magnetic fields and the quantum phase transition. We also analyze the interaction of the two adjacent qubits of the z -component J _z of the spin and investigate the influences of the anisotropy parameters γ _B and γ _J on the thermal entanglement of the Heisenberg model. The relations among the anisotropy, coupling parameter J _z , and thermal entanglement can be better illustrated by drawing images. The results denote that in a two-qubit system at an effective temperature T , the critical magnetic field B_c decreases and the entanglement gradually disappears as γ _J increases when the coupling parameter J _z is equal to 0. However, when the coupling parameter J _z is greater than 0, the ranges of magnetic field and temperature with the maximum degree of entanglement increase with increasing J _z for appropriate values of the anisotropy parameters γ _B and γ _J , effectively enhancing the entanglement.

1 引言

量子纠缠是量子通信和量子计算的重要资源。利用纠缠可以实现量子隐形传态、量子密钥共享、量子克隆、量子密码术等 ^{[
1
-
6
]} 。不同的量子系统,其量子纠缠的特性并不完全相同 ^{[
7
-
8
]} 。固体系统具有潜在的应用价值,其在量子通信与信息处理过程中的易集成性和可扩展性使其备受关注。海森堡模型作为一种简单的固态量子体系 ^{[
9
-
16
]} ,具有良好的纠缠特性、可观测性和可执行性,是量子信息的有效载体。对这样的体系研究具有一定的意义。

人们对各种双量子比特的海森堡模型及多量子比特的海森堡模型进行了很多深入的研究 ^{[
17
-
24
]} 。海森堡模型从相互作用的方向可以分为 XYZ 模型、 XXZ 模型、 XXX 模型、 XY 模型及Ising模型等。Sun等 ^{[
25
]} 研究了非均匀磁场中双量子比特海森堡 XY 链的热纠缠;Zhang等 ^{[
26
]} 研究了双量子比特海森堡 XXZ 链中非均匀磁场对热纠缠的影响。Lagmago Kamta等 ^{[
27
]} 研究了各项异性参数和磁场对海森堡 XY 链热纠缠的影响。研究表明:在双量子比特的海森堡 XY 链和双量子比特海森堡 XXZ 链中,利用温度或者外加磁场不能有效控制纠缠。本文研究了非均匀磁场下双量子比特海森堡 XYZ 链的基态纠缠和热纠缠,讨论了各向异性参数 γ _B 、 γ _J 和自旋耦合参数 J _z 对双量子比特海森堡 XYZ 链纠缠的影响,得到了一些有意义的结果。

2 理论模型和基态纠缠

2.1 理论模型

对于一个外加磁场中的双量子比特海森堡模型,它具有哈密顿量的一般形式,即

\begin{matrix} H_{XYZ} = B (\frac{1 + γ_{B}}{2} σ_{z}^{1} + \frac{1 - γ_{B}}{2} σ_{z}^{2}) + J (\frac{1 + γ_{J}}{2} σ_{x}^{1} σ_{x}^{2} + \frac{1 - γ_{J}}{2} σ_{y}^{1} σ_{y}^{2}) + J_{z} σ_{z}^{1} σ_{z}^{2}, (1) \end{matrix}

式中: $\begin{matrix} σ_{α}^{i} \end{matrix}$ 为第 i 个量子位的泡利算符, i =1,2, α = x , y , z ; B 为平均磁场; J 为任意两相邻比特在 xy 平面的自旋耦合参数, J _z 为任意两相邻比特在 z 方向的自旋耦合参数;各项异性参数 γ _B 、 γ _J 分别表征的是外部磁场的非均匀度和 xy 平面的非对称性。当 J ≠0, γ _B ≠0, γ _J ≠0时, J $\begin{matrix} \frac{1 + γ_{J}}{2} \end{matrix}$ ≠ J $\begin{matrix} \frac{1 - γ_{J}}{2} \end{matrix}$ ≠ J _z ≠0,则系统为非均匀外部磁场中双量子比特海森堡 XYZ 模型。系统 H _XYZ 的本征值为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} E_{1} = J_{z} + η_{1} \\ E_{2} = J_{z} - η_{1} \\ E_{3} = - J_{z} + η_{2} \\ E_{4} = - J_{z} - η_{2} \end{matrix}, (2) \end{matrix}

式中: E₁ , E₂ , E₃ , E₄ 分别为海森堡 XYZ 哈密顿量的4个本征值; η₁ , η₂ 为参数, η₁ = $\begin{matrix} \sqrt[]{B^{2} + (J γ_{J})^{2}} \end{matrix}$ , η₂ = $\begin{matrix} \sqrt[]{J^{2} + (B γ_{B})^{2}} \end{matrix}$ 。对应的本征态分别为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} | φ^{+} > = [1 / \sqrt[]{2 η_{1} (η_{1} + B)}] [(η_{1} + B) | 00 > + J γ_{J} | 11 >] \\ | φ^{-} > = [1 / \sqrt[]{2 η_{1} (η_{1} - B)}] [(η_{1} - B) | 00 > - J γ_{J} | 11 >] \\ | ψ^{+} > = [1 / \sqrt[]{2 η_{2} (η_{2} + B γ_{B})}] [(η_{2} + B γ_{B}) | 01 > + J | 10 >] \\ | ψ^{-} > = [1 / \sqrt[]{2 η_{2} (η_{2} - B γ_{B})}] [(η_{2} - B γ_{B}) | 01 > - J | 10 >] \end{matrix}, (3) \end{matrix}

式中, φ⁺ , φ^- , ψ⁺ , ψ^- 分别为海森堡 XYZ 链哈密顿量的4个本征态。

2.2 基态纠缠

为了研究基态纠缠态所携带的纠缠量,采用concurrence度量纠缠。Wootters等 ^{[
28
]} 引入两量子比特纠缠的concurrrence( C ):

\begin{matrix} C (ρ_{AB}) = \max {0, λ_{1} - λ_{2} - λ_{3} - λ_{4}}, (4) \end{matrix}

式中: λ₁ 、 λ₂ 、 λ₃ 、 λ₄ 是算符 ρ_AB $\begin{matrix} ρ_{AB}^{T} \end{matrix}$ 本征值的平方根, λ₁ ≥ λ₂ ≥ λ₃ ≥ λ₄ ; ρ_AB 为两量子比特系统的密度矩阵, $\begin{matrix} ρ_{AB}^{T} \end{matrix}$ 为转置矩阵, $\begin{matrix} ρ_{AB}^{T} \end{matrix}$ =( σ _y 􀱋 σ _y ) $\begin{matrix} ρ_{AB}^{*} \end{matrix}$ ( σ _y 􀱋 σ _y ), $\begin{matrix} ρ_{AB}^{*} \end{matrix}$ 是 ρ_AB 的复共轭。 C 的取值范围是[0,1]。(1)式体系中所描写基态纠缠的concurrence为

\begin{matrix} C (T = 0) = \{\begin{matrix} |J γ_{J}| / η_{1}, B < - B_{c}, B > B_{c} \\ |J| (|γ_{J}| / η_{1} - 1 / η_{2}) / 2, B = \pm B_{c} \\ |J| / η_{2}, - B_{c} < B < B_{c} \end{matrix}, (5) \end{matrix}

式中: T 为临界温度,± B_c 是基态纠缠发生突变的磁场值,即临界磁场值。从 H _XYZ 的本征态可以看出,基态纠缠随着参数 η₁ 、 η₂ 和 J _z 的变化而改变, H _XYZ 的基态在不同参数范围内对应着不同的本征态。在 η₁ + η₂ < $\begin{matrix} |2 J_{z}| \end{matrix}$ 的范围内,如果 J _z >0,其基态波函数为| ψ^- >,如果 J _z <0,基态波函数为| φ^- >,随着磁场 B 的变化,基态的纠缠是一个平滑的函数。在 η₁ + η₂ > $\begin{matrix} |2 J_{z}| \end{matrix}$ 的范围内,如果 η₁ - η₂ <2 J _z ,其基态波函数为| ψ^- >,如果 η₁ - η₂ >2 J _z ,基态波函数为| φ^- >,基态纠缠在磁场某个临界点发生突变。

从(5)式中可以看出,基态纠缠的concurrence与 J _z 没有直接的关系,但是本征能量中含有 J _z ,故基态的选择受其影响。对于基态| φ^- >和| ψ^- >:当 $\begin{matrix} |B| \end{matrix}$ > $\begin{matrix} |B_{c}| \end{matrix}$ 时,基态为| φ^- >,若 γ _J =0,concurrence为0;当 $\begin{matrix} |B| \end{matrix}$ < $\begin{matrix} |B_{c}| \end{matrix}$ 时,基态为| ψ^- >,若 γ _B =0,concurrence为1;当磁场处在临界磁场 $\begin{matrix} |B| \end{matrix}$ = $\begin{matrix} |B_{c}| \end{matrix}$ 时,发生量子相变,基态为| φ^- >和| ψ^- >的混合态。量子相变是指系统处在绝对零度时,基态纠缠在某个临界点发生急剧变化。 T =0时,基态纠缠concurrence随外磁场 B 变化的相变图如图1 所示。

图 1. 基态纠缠在不同各向异性参数 γ _B 、 γ _J 下随磁场变化的相变图

Fig. 1. Phase-transition diagram of ground-state entanglement with magnetic field under different anisotropic parameters γ _B and γ _J

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由图1 可以看出:当 γ _J =0 . 33时,在 B = B_c 条件下,基态纠缠发生突变,然后随着磁场的增加逐渐减小;当 γ _J >0 . 33时,在 B = B_c 条件下,基态纠缠也发生突然变化,但是在 B ≥ B_c 条件下,基态纠缠突然复活并逐渐减小;当 γ _J =1 . 00时,基态纠缠只是随着磁场 B 单调减小。通过求解方程 η₁ - η₂ =2 J _z ,可以求出临界磁场值 B_c ,即

\begin{matrix} B_{c} = \frac{\sqrt[]{J^{2} (1 - γ_{B}^{2}) (1 - γ_{J}^{2}) + 4 J_{z}^{2} (1 + γ_{B}^{2}) + 4 J_{z} \sqrt[]{J^{2} (1 - γ_{B}^{2}) (1 - γ_{B}^{2} γ_{J}^{2}) + 4 γ_{B}^{2} J_{z}^{2}}}}{1 - γ_{B}^{2}} 。 (6) \end{matrix}

当 J _z =0时, B_c = $\begin{matrix} \sqrt[]{J^{2} (1 - γ_{J}^{2}) / (1 - γ_{B}^{2})} \end{matrix}$ ,这是海森堡 XY 模型,可以看出,随着 γ _J 的增加,临界磁场值 B_c 减小。

临界磁场 B_c 随着各向异性参数 γ _B 、 γ _J 变化的三维图如图2 所示。通过对比图2 (a)和图2 (b)可以看出,随着 J _z 的增加,临界磁场值也增加,两个相邻自旋 J _z 的 z 分量的正相互作用引起了相变位置的偏移,也就是说正 J _z 的存在增加了纠缠度达到最大值的磁场区域。更有趣的是,当 B ≥ B_c 时,通过求解 $\begin{matrix} |J γ_{J}| \end{matrix}$ /η₁ > $\begin{matrix} |J| \end{matrix} \begin{matrix} (|γ_{J}| / η_{1} - 1 / η_{2}) \end{matrix}$ / 2,得出纠缠度复活的条件是 $\begin{matrix} \frac{η_{1}}{η_{2}} \end{matrix}$ > $\begin{matrix} |γ_{J}| \end{matrix}$ > $\begin{matrix} \frac{η_{1}}{3 η_{2}} \end{matrix}$ 。文献[ 25 ]指出, J _z =0时,纠缠的条件是 γ _J > $\begin{matrix} \frac{1}{3} \end{matrix}$ 。

图 2. 临界磁场 B_c 随着各向异性参数 γ _B 和 γ _J 的变化。(a) J =1, J _z =0 . 1;(b) J

Fig. 2. Critical magnetic field B_c as a function of anisotropy parameters γ _B and γ _J . (a) J =1, J _z =0 .

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3 热纠缠

随着温度的升高,在|00>,|01>,|10>,|11>基下,各自的密度矩阵可表示为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} ρ_{1} = | ψ_{1} > < ψ_{1} |= \frac{1}{2 η_{1} (η_{1} + B)} (\begin{matrix} {(η_{1} + B)}^{2} & 0 & 0 & (η_{1} + B) J γ_{J} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ (η_{1} + B) J γ_{J} & 0 & 0 & J^{2} γ_{J}^{2} \end{matrix}) \\ ρ_{2} = | ψ_{2} > < ψ_{2} |= \frac{1}{2 η_{1} (η_{1} - B)} (\begin{matrix} {(η_{1} - B)}^{2} & 0 & 0 & - (η_{1} - B) J γ_{J} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - (η_{1} - B) J γ_{J} & 0 & 0 & J^{2} γ_{J}^{2} \end{matrix}) \\ ρ_{3} = | ψ_{3} > < ψ_{3} |= \frac{1}{2 η_{2} (η_{2} + B γ_{B})} (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (η_{2} + B γ_{B})^{2} & J (η_{2} + B γ_{B}) & 0 \\ 0 & J (η_{2} + B γ_{B}) & J^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \\ ρ_{4} = | ψ_{4} > < ψ_{4} |= \frac{1}{2 η_{2} (η_{2} - B γ_{B})} (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (η_{2} - B γ_{B})^{2} & - J (η_{2} - B γ_{B}) & 0 \\ 0 & - J (η_{2} - B γ_{B}) & J^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \end{matrix}, (7) \end{matrix}

则系统的密度矩阵为

\begin{matrix} ρ = \sum \exp (- \frac{E_{n}}{KT}) ρ_{n} = \frac{1}{Z} (\begin{matrix} μ_{-} & 0 & 0 & ν \\ 0 & w_{-} & ε & 0 \\ 0 & ε & w_{+} & 0 \\ ν & 0 & 0 & μ_{+} \end{matrix}), (8) \end{matrix}

式中: E _n 为能量的本征值; K 为玻尔兹曼常数(取 K =1);配分函数 Z =2exp(- J _z β )×cosh η₁β +2exp( J _z β ×cosh η₂β ,这里 β = $\begin{matrix} \frac{1}{T} \end{matrix}$ ;参数 μ_- =exp(- J _z β ) $\begin{matrix} (\cos h η_{1} β - \frac{B}{η_{1}} \sin h η_{1} β) \end{matrix}$ , μ₊ =exp(- J _z β )× $\begin{matrix} (\cos h η_{1} β + \frac{B}{η_{1}} \sin h η_{1} β) \end{matrix}$ , ν =-exp(- J _z β ) $\begin{matrix} \frac{J γ_{J}}{η_{1}} \end{matrix}$ ×sin η₁β , w_- =exp( J _z β ) $\begin{matrix} (\cos h η_{2} β - \frac{B γ_{B}}{η_{2}} \sin h η_{2} β) \end{matrix}$ , w₊ =exp( J _z β ) $\begin{matrix} (\cos h η_{2} β + \frac{B γ_{B}}{η_{2}} \sin h η_{2} β) \end{matrix}$ , ε =-exp( J _z β ) $\begin{matrix} \frac{J}{η_{2}} \end{matrix}$ sinh η₂β 。

有限温度下系统热纠缠的concurrence 为

\begin{matrix} C = \frac{2}{Z} \max \{0, |ε| \pm \sqrt[]{w_{+} w_{-}}, |ν| \pm \sqrt[]{μ_{+} μ_{-}}\} 。 (9) \end{matrix}

为了研究耦合系数 J _z 和各向异性 γ _J 对系统纠缠度的影响,研究了热纠缠在不同参数下随外磁场 B 和各向异性参数 γ _B 变化的三维图,如图3 所示。比较图3 (a)和图3 (b)可知,在耦合参数 J _z 相同的情况下,系统的纠缠度随磁场很快减小为0,但是之后又有了一个很小的复苏,并且随着各向异性参数 γ _J 的增加,复苏比较明显。比较图3 (a)和图3 (c),在各向异性参数 γ _J 相同的情况下,随着耦合参数 J _z 的增加,系统的热纠缠度明显增加,而且纠缠存在的磁场范围得到了扩展。

热纠缠随外磁场B和各向异性参数γB的变化。(a)J=1,γJ=0.3,T=0.9,Jz</i

图 3. 热纠缠随外磁场 B 和各向异性参数 γ _B 的变化。(a) J =1, γ _J =0 . 3, T =0 . 9, J _z
Fig. 3. Thermal entanglement as a function of external magnetic field B and anisotropy parameters γ _B . (a) J =1, γ _J =0 . 3, T =0 .
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图4 给出了热纠缠在不同耦合常数 J _z 下随磁场的变化。从图4 中可以看出,各向异性参数 γ _J 、 γ _B 取一定的值, J _z =0时,系统的热纠缠的最大值很小,并且随磁场的增加逐渐减小为0;随着 J _z 的增加,系统的热纠缠值明显增大,并且纠缠存在的磁场区域也逐渐扩展,在图4 (a)中可以看出 J _z =0 . 9时,纠缠有最大值 C =1。对比图4 (a)和4(b),发现随着各向异性参数 γ _J 的增加,系统的热纠缠却明显降低;对比图4 (a)和(c),发现随着各向异性参数 γ _B 的增加,系统的热纠缠随磁场变化的区域略微增大,但纠缠度的大小不发生变化。因此,减少各向异性 γ _J 可以有效地增加系统的热纠缠。

热纠缠在不同耦合常数Jz下随磁场B的变化。(a)J=1,γJ=0.3,γB=0.3,T</i

图 4. 热纠缠在不同耦合常数 J _z 下随磁场 B 的变化。(a) J =1, γ _J =0 . 3, γ _B =0 . 3, T
Fig. 4. Thermal entanglement as a function of magnetic field B under different coupling constants J _z . (a) J =1, γ _J =0 . 3, γ _B =0
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图5 给出了热纠缠在不同耦合常数 J _z 下随温度的变化。从图5 (a)可以看出, J _z =0时,在温度为0的时候并没有纠缠,而后随着温度的增加,系统的热纠缠随着温度的变化先增加后很快减小为0,随着引入 z 分量 J _z 的正相互作用,系统的热纠缠迅速变大然后随着温度的变化缓慢减小,纠缠存在的温度区域也逐渐扩展,并且临界温度值提高。对比图5 (a)和图5 (b),发现随着各向异性参数 γ _J 的增加,系统的热纠缠明显降低;对比图5 (a)和图5 (c),发现随着各向异性参数 γ _B 的增加,系统的热纠缠明显增加,临界温度值减小。

热纠缠在不同耦合常数Jz下随温度T的变化。(a)J=1,γJ=0.3,γB=0.3,B</i

图 5. 热纠缠在不同耦合常数 J _z 下随温度 T 的变化。(a) J =1, γ _J =0 . 3, γ _B =0 . 3, B
Fig. 5. Thermal entanglementas a function of temperature T under different coupling constants J _z . (a) J =1, γ _J =0 . 3, γ _B =0
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4 结论

在非均匀的磁场下,研究了两个量子位海森堡 XYZ 自旋链的量子纠缠。求出了基态纠缠在不同温度下的纠缠度concurrence,分别讨论了各向异性参数 γ _J 、 γ _B 和耦合参数 J _z 对系统纠缠的影响。研究结果表明:在 T =0时,基态纠缠在临界磁场值 B_c 处发生了量子相变,当 J _z =0时,随着 γ _J 的增加,临界磁场值 B_c 减小,纠缠减小;当 J _z >0时,纠缠随着 J _z 的变大而增加,同时纠缠度达到最大值的磁场区域也增大。随着温度的增加,在各向异性参数 γ _B 和耦合参数 J _z 一定的情况下,随着各向异性参数 γ _J 的增加,系统的纠缠度明显减少;在各向异性参数 γ _J 和耦合参数 J _z 一定的情况下,随着各向异性参数 γ _B 的增加,纠缠存在的磁场范围和温度范围都得到了扩展,而且系统的热纠缠度增加;在各向异性参数 γ _J , γ _B 一定的情况下,随着自旋耦合参数 J _z 的增加,系统的热纠缠度明显增加,纠缠存在的温度和磁场范围也都得到了扩展,并且临界磁场和临界温度的值提高。因此,当各向异性参数 γ _J 、 γ _B 取合适的值,耦合参数 J _z 的增加可以有效地增强系统的热纠缠。这些结果为基于非对称系数、自旋粒子间耦合系数、磁场操纵系统纠缠提供了理论依据。

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1 引言

2 理论模型和基态纠缠

2.1 理论模型

2.2 基态纠缠

图 1. 基态纠缠在不同各向异性参数 γ _B 、 γ _J 下随磁场变化的相变图

Fig. 1. Phase-transition diagram of ground-state entanglement with magnetic field under different anisotropic parameters γ _B and γ _J

图 2. 临界磁场 B_c 随着各向异性参数 γ _B 和 γ _J 的变化。(a) J =1, J _z =0 . 1;(b) J

Fig. 2. Critical magnetic field B_c as a function of anisotropy parameters γ _B and γ _J . (a) J =1, J _z =0 .

3 热纠缠

图 3. 热纠缠随外磁场 B 和各向异性参数 γ _B 的变化。(a) J =1, γ _J =0 . 3, T =0 . 9, J _z
Fig. 3. Thermal entanglement as a function of external magnetic field B and anisotropy parameters γ _B . (a) J =1, γ _J =0 . 3, T =0 .
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Fig. 3. Thermal entanglement as a function of external magnetic field B and anisotropy parameters γ _B . (a) J =1, γ _J =0 . 3, T =0 .

图 4. 热纠缠在不同耦合常数 J _z 下随磁场 B 的变化。(a) J =1, γ _J =0 . 3, γ _B =0 . 3, T
Fig. 4. Thermal entanglement as a function of magnetic field B under different coupling constants J _z . (a) J =1, γ _J =0 . 3, γ _B =0
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Fig. 4. Thermal entanglement as a function of magnetic field B under different coupling constants J _z . (a) J =1, γ _J =0 . 3, γ _B =0

图 5. 热纠缠在不同耦合常数 J _z 下随温度 T 的变化。(a) J =1, γ _J =0 . 3, γ _B =0 . 3, B
Fig. 5. Thermal entanglementas a function of temperature T under different coupling constants J _z . (a) J =1, γ _J =0 . 3, γ _B =0
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4 结论

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2 理论模型和基态纠缠

2.1 理论模型

2.2 基态纠缠

图 1. 基态纠缠在不同各向异性参数 γ B 、 γ J 下随磁场变化的相变图

Fig. 1. Phase-transition diagram of ground-state entanglement with magnetic field under different anisotropic parameters γ B and γ J

图 2. 临界磁场 Bc 随着各向异性参数 γ B 和 γ J 的变化。(a) J =1, J z =0 . 1;(b) J

Fig. 2. Critical magnetic field Bc as a function of anisotropy parameters γ B and γ J . (a) J =1, J z =0 .

3 热纠缠

图 3. 热纠缠随外磁场 B 和各向异性参数 γ B 的变化。(a) J =1, γ J =0 . 3, T =0 . 9, J zFig. 3. Thermal entanglement as a function of external magnetic field B and anisotropy parameters γ B . (a) J =1, γ J =0 . 3, T =0 . 下载图片 查看所有图片

Fig. 3. Thermal entanglement as a function of external magnetic field B and anisotropy parameters γ B . (a) J =1, γ J =0 . 3, T =0 .

图 4. 热纠缠在不同耦合常数 J z 下随磁场 B 的变化。(a) J =1, γ J =0 . 3, γ B =0 . 3, TFig. 4. Thermal entanglement as a function of magnetic field B under different coupling constants J z . (a) J =1, γ J =0 . 3, γ B =0 下载图片 查看所有图片

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图 5. 热纠缠在不同耦合常数 J z 下随温度 T 的变化。(a) J =1, γ J =0 . 3, γ B =0 . 3, BFig. 5. Thermal entanglementas a function of temperature T under different coupling constants J z . (a) J =1, γ J =0 . 3, γ B =0 下载图片 查看所有图片

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图 1. 基态纠缠在不同各向异性参数 γ _B 、 γ _J 下随磁场变化的相变图

Fig. 1. Phase-transition diagram of ground-state entanglement with magnetic field under different anisotropic parameters γ _B and γ _J

图 2. 临界磁场 B_c 随着各向异性参数 γ _B 和 γ _J 的变化。(a) J =1, J _z =0 . 1;(b) J

Fig. 2. Critical magnetic field B_c as a function of anisotropy parameters γ _B and γ _J . (a) J =1, J _z =0 .

图 3. 热纠缠随外磁场 B 和各向异性参数 γ _B 的变化。(a) J =1, γ _J =0 . 3, T =0 . 9, J _z
Fig. 3. Thermal entanglement as a function of external magnetic field B and anisotropy parameters γ _B . (a) J =1, γ _J =0 . 3, T =0 .
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图 4. 热纠缠在不同耦合常数 J _z 下随磁场 B 的变化。(a) J =1, γ _J =0 . 3, γ _B =0 . 3, T
Fig. 4. Thermal entanglement as a function of magnetic field B under different coupling constants J _z . (a) J =1, γ _J =0 . 3, γ _B =0
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Fig. 4. Thermal entanglement as a function of magnetic field B under different coupling constants J _z . (a) J =1, γ _J =0 . 3, γ _B =0

图 5. 热纠缠在不同耦合常数 J _z 下随温度 T 的变化。(a) J =1, γ _J =0 . 3, γ _B =0 . 3, B
Fig. 5. Thermal entanglementas a function of temperature T under different coupling constants J _z . (a) J =1, γ _J =0 . 3, γ _B =0
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