1 引言

压电倾斜镜(FSM)利用分辨率达纳米量级的压电陶瓷(PZT)致动器驱动玻璃镜面,使光束发生快速、小角度的倾斜变化。与传统的电机驱动机构相比,压电倾斜镜具有运动惯性小、响应速度快、角分辨精度高等显著优点,在自适应光学、激光通信、光束控制等领域被广泛应用^[1-3]。随着系统对光轴控制精度要求的不断提高,期望压电倾斜镜能对更高频率的光束抖动进行抑制,因此对压电倾斜镜控制系统的带宽提出了很高的要求^[4]。为了提高控制系统性能,分析被控对象的数学模型,建立精确的传递函数是进行系统设计和控制算法仿真的基础^[5-6]。压电倾斜镜的结构较为复杂,同时存在机械谐振,使得压电倾斜镜传递函数具有维数较高、待估计参数量较多等特点,导致辨识算法的计算量和存储量急剧增加,以至常规的辨识算法难以准确获得压电倾斜镜的参数^[7]。

本文通过分析压电倾斜镜的物理模型,利用遗传算法(GA)对包含高阶谐振的压电倾斜镜传递函数的各个参数进行辨识,对遗传算法拟合结果与实际数据进行对比,并分析了对控制系统影响较大的各阶关键谐振频率幅度和频点的偏移情况。实验结果表明,所提方法能够精确有效地得到压电倾斜镜传递函数的参数。

2 压电倾斜镜的基本原理与数学模型

压电倾斜镜主要由镜座基底、有一定厚度和刚度的镜面、呈直角排列的PZT致动器X和Y、起稳定作用的固定支柱O组成,如图1所示^[8]。

图 1. 压电倾斜镜结构

Fig. 1. Structure of fast-steering mirror driven by PZT

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同时,根据压电倾斜镜的工作原理,可以将压电倾斜镜的模型分为质量-弹簧系统、致动器2个部分,其中质量-弹簧系统可以简化为二阶振荡环节,致动器可以简化为惯性振荡环节^[9]。因此压电倾斜镜的传递函数为

Fmodel=ωm2s2+2ξmωms+ωm2×1RCs+1,(1)

式中:s为复频率;ω_m为等效的自然谐振角频率;ξ_m为等效的阻尼比;R,C分别为致动器的等效电阻、电容。

由于致动器部分的时间常数较小,因此在分析过程中可以将压电倾斜镜的传递函数进一步简化,表达式为

Fmodel=ωm2s2+2ξmωms+ωm2。(2)

但是由于压电倾斜镜固有的弹性结构,其刚度有限,当控制信号的频率较高时,其频率响应除了在其固有的自然谐振角处产生振荡外,还会在更高的频率段出现一个或多个谐振频率点。对频率响应进行分析,其高阶谐振模式可以近似为双二阶振荡模型,表达式为

Fk(s)=s2+2ξzkωzks+ωzk2s2+2ξpkωpks+ωpk2,(3)

式中:ω_pk和ω_zk分别为第k阶谐振的极点频率和零点频率;ξ_pk和ξ_zk分别为极点阻尼系数和零点阻尼系数。因此,压电倾斜镜的频率特性表现为各阶谐振频率综合作用的结果,其传递函数可以表示为F_model与若干个机械谐振环节串联的形式,表达式为

FSM(s)=Fmodel(s)·F1(s)·F2(s)·…·Fk(s)。(4)

3 遗传算法的基本原理

由于压电倾斜镜传递函数的参数辨识过程可以等效为一个复杂问题的寻优过程,因此,采用智能寻优算法可以有效地提高模型参数辨识的效率^[10-11]。遗传算法是一种基于自然选择和遗传学原理的智能优化算法,无需任何初始信息即可寻求全局最优解。在遗传算法中,通过对计算解的适应度值进行排序来确定每个迭代优化的质量,然后通过模拟自然界中生物的选择、交叉和变异等运算来寻找最佳的解决方案^[12-15]。

利用遗传算法进行参数辨识的基本流程如图2所示,可知,利用遗传算法进行压电倾斜镜传递函数参数辨识的过程主要包括以下几个步骤。

图 2. 基于GA的参数辨识流程图

Fig. 2. Flowchart of parameter identification based on GA

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1)根据压电倾斜镜的模型,确定需要辨识的参数,对参数进行编码,确定初始种群。压电倾斜镜传递函数待辨识的参数包括自然谐振角频率ω_m、等效的阻尼比ξ_m、第k阶谐振的极点频率和零点频率ω_pk和ω_zk、第k阶谐振极点和零点阻尼系数ξ_pk和ξ_zk,由此可以确定种群为

P(e)=(ωm,ξm,ωp1,ξp1,ωz1,ξz1,…,ωzk,ξzk,ωzk,ξzk),(5)

式中:e为迭代次数。在求解连续参数优化的问题时,基于实数编码的收敛速度要显著地高于二进制编码;同时,由于待辨识的参数在其取值范围内具有连续渐变的特点,实数编码的效率要明显优于二进制编码^[16-17]。因此,根据压电倾斜镜传递函数物理模型的特点,选择使用浮点数编码的形式以期能够获得更高精度的辨识结果。

2)定义适应度函数。压电倾斜镜的参数辨识的迭代过程利用每一迭代得到的辨识结果,建立压电倾斜镜的传递函数,求取待建模压电倾斜镜的频率响应F_i,并对其与实际结果P_i进行比较。采用方均根误差R_MSE作为适应度函数,表达式为

f(e,i)=RMSE=∑i=1n(Fi-Pi)2n,(6)

式中:n为测量数据的个数;f(e,i)为第e次迭代过程中第i个个体的适应度函数值。

3)根据适应度进行排序和选择。采用精英保存的策略,其能避免轮盘赌算子在随机选择时淘汰适应度较高的染色体的问题,利用精英保存策略保存适应度较高的群体。个体被选中的概率为

Psel=f(e,j)∑j=1Nf(e,j),(7)

式中:N为个体的数量;f(e,j)为第e次迭代过程中第j个个体的适应度函数值。

4)利用变异、交叉算法产生新的个体。变异过程采用自适应变异算法与启发式交叉策略结合的方式,仅选取适应度较高的解空间并将其传递给子代,从而加快收敛速度,获得更优的解^[18]。假设种群P₁=( Pf11, Pf21,…, Pfn1)和P₂=( Pf12, Pf22…, Pfn2),其中P₁的适应度优于P₂,则经过交叉运算后的子代表示为

si1=λ×(fi1-fi2)+fi2,(8)

式中:S=(s₁,s₂…,s_n)为经过交叉运算过后的子代;λ为启发系数; fip为第p个种群中第i个个体的适应度函数。

4 压电倾斜镜传递函数参数辨识与实验

为了测试压电倾斜镜的频率响应特性,针对光束抖动控制系统,搭建了如图3所示的频率响应测试系统。该实验系统主要包括待测试的口径为200 mm的压电倾斜镜、采样频率为2000 Hz的探测器、高压放大器(HVA)、DA采样器、控制器(CC)、光源及频响分析仪。实验过程中,入射光束经压电倾斜镜在探测器上形成聚焦光斑,控制器实时计算光斑中心位置与标定位置的偏差,利用控制算法,DA采样器和高压放大器驱动压电倾斜镜产生相应的动作。在频率响应测试过程中,频响分析仪显示周期性变化的扫频信号,同时接收来自光束控制系统的误差信号和反馈信号,经过计算,输出频率响应测量的结果。

图 3. 压电倾斜镜频率响应测试结构

Fig. 3. Structure of frequency response test of fast-steering mirror driven by PZT

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在一般情况下,探测器和DA采样器的传递函数可以表达成零阶保持器,可以近似地表示为exp(-τ₁s),其中τ₁为探测器和DA采样器等效延迟时间。高压放大器的传递函数可以近似看作比例放大环节K_HV,在频率响应测试过程中,采用比例控制器,其传递函数可以表示为K_CC,压电倾斜镜的传递函数如(4)式所示^[19]。同时,考虑控制器目标提取算法时间计算、数据传输等环节带来的延时exp(-τ₂s),被测系统的传递函数可以等效地表示为

G(s)=KCC×KHV×exp[-(τ1+τ2)s]×FSM(s)=K×exp(-τs)×FSM(s),(9)

式中:K为系统等效放大倍数。由(9)式可以看出,待测系统的传递函数主要包括两个部分,即时间延迟环节exp(-τs)和压电倾斜镜传递函数F_SM(s)。其中,时间延迟环节仅仅影响待测系统的相位特性,对幅值特性没有影响,因此,可以从被测系统的传递函数中得到压电倾斜镜的传递函数特性。

图4为利用Levy法和GA对压电倾斜镜传递函数进行参数辨识后,对其频率响应与实际测量结果进行比较的结果。从图4可以看出:GA对压电倾斜镜高阶谐振的辨识较好,而Levy法仅对低阶谐振有较好的辨识结果;GA辨识得到的传递函数曲线与实际测量曲线吻合较好,幅度曲线和相位曲线均与实测曲线有较高的一致性。

图 4. 压电倾斜镜频率传递函数辨识结果。(a)幅度响应;(b)相位响应

Fig. 4. Identification result about frequency transfer function of fast-steering mirror driven by PZT. (a) Amplitude response; (b) phase response

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同时,根据前述分析可知,影响压电倾斜镜频率特性的主要参数为各阶谐振的零点和极点频率ω、阻尼系数ξ。为了分析遗传算法对关键参数的识别准确性,定义谐振点频率偏移误差和幅度响应误差,表达式分别为

Eω,ir=ω'ir-ωir,(10)EM,ir=M'ω,ir-Mω,ir,(11)

式中:ω'ir为辨识的传递函数第i_r个谐振点的频率值; ωir为实际测量第i_r个谐振点的频率值;M'ω,ir为辨识的传递函数第i_r个谐振点的幅度响应; Mω,ir为实际测量第i_r个谐振点的幅度响应。

表1为谐振频率点的幅度响应误差和频率偏移误差,可以看出,对于影响压电倾斜镜频率特性的关键谐振点,所提方法辨识得到的频率偏移误差小于等于10 Hz,幅度响应误差小于等于2 dB。

为了检验GA对压电倾斜镜模型辨识的准确性,研究其对光束控制系统性能的影响,建立了如图5所示的光束抖动控制实验系统。该实验系统主要由激光器、扰动反射镜(DFSM)、控制反射镜(CFSM)、HVA、探测器、扰动模拟计算机、实时抖动控制系统组成。其中扰动模拟计算机产生符合大气湍流功率谱的实验数据,其能量与频率的关系可以近似地表示为

Edist=c×fdist-83,(12)

式中:E_dist为扰动能量;f_dist为扰动频率;c为常数项。该实验数据驱动扰动反射镜,以实现对大气湍流扰动的模拟;探测器探测到光束抖动后,利用光束抖动控制系统产生模拟电压信号,该信号经过高压放大后,驱动CFSM工作,从而实现对光束传输过程中抖动的抑制。

图 5. 光束抖动控制实验原理框图

Fig. 5. Block diagram of beam jitter control experiment principle

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图6为基于经典的PI控制器,利用双二阶补偿器对压电倾斜镜的谐振进行补偿前后的积分功率谱曲线。可以看出,在对压电倾斜镜的模型进行精确辨识并补偿后,光束控制系统对光束抖动的抑制能力大大增强。

图 6. 光束抖动的积分功率谱曲线

Fig. 6. Integral power spectrum curve of beam jitter

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5 结论

分析了压电倾斜镜的基本原理和数学模型,搭建了压电倾斜镜频率响应测试系统,利用遗传算法对压电倾斜镜传递函数的参数进行辨识,对比分析了辨识传递函数数据与实际测量数据。实验结果表明,遗传算法能够准确地辨识出压电倾斜镜传递函数的参数,其幅度响应误差小于2 dB,频率偏移误差小于10 Hz。所提方法能够获得高精度的压电倾斜镜传递函数模型,对提高系统性能具有重要的意义。